2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第6章 第5节 数学归纳法
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝ 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 都成立．
数学归纳法的框图表示
备战方法·巧解题
规律
方法
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
3. (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
4. 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
5. “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应
小结
1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．
3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写．
备战练习·固基石
一、单选题
1.对于不等式 某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，，不等式成立。 (2)假设当n=k()时，不等式成立，即, 则当n=k+1时， ， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A.?过程全部正确??? ?? ?B.?n＝1验得不正确??????
C.?归纳假设不正确??? ???D.?从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
2.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
3.已知 ，则f(k+1)= （?? ）
A.??????????????????????????????????????????????????B.? C.?????????????????? ???D.?
4.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
5.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A.?当n＝6时该命题不成立???????????????????????????????????????B.?当n＝6时该命题成立 C.?当n＝4时该命题不成立???????????????????????????????????????D.?当n＝4时该命题成立
6.用数学归纳法证明1+2+3+...+2n =2n-1+22n-1 时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（?? ）
A.?1项????????????????????????????????????B.?k-1 项????????????????????????????????????C.?k 项????????????????????????????????????D.?2k 项
7.下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A.?6＋6·7k??????????????????????????B.?2＋7k－1??????????????????????????C.?2(2＋7k＋1)??????????????????????????D.?3(2＋7k）
8.设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.( )
A.?2π?????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 ， (n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（?? ）．
A.?(k＋3)3??????????????????????????B.?(k＋2)3??????????????????????????C.?(k＋1)3??????????????????????????D.?(k＋1)3＋(k＋2)3
10.已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明? 时，若已假设? 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（?? ）
A.?n=k+1 时等式成立?????????????????????????????????????????????B.?n=k+2 时等式成立 C.?n=2k+2 时等式成立??????????????????????????????????????????D.?n=2(k+2) 时等式成立
11.如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是( )
A.?p(n)对所有正整数n都成立??????????????????????????????????B.?p(n)对所有正偶数n都成立 C.?p(n)对所有正奇数n都成立??????????????????????????????????D.?p(n)对所有自然数n都成立
12.用数学归纳法证明等式? 时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????B.?1+2??????????????????????????????????C.?1+2+3??????????????????????????????????D.?1+2+3+4
二、填空题
13.已知 ，用数学归纳法证明： 时,从“ 到 ”左边需增加的代数式是________.
14.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
15.已知? ，则 f(n) 中共有________项．
16.用数学归纳法证明：? 第一步应验证的等式是________．
三、解答题
17.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
（1）计算a1、a2、a3 ， 并猜想an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．
18.已知数列
（1）若 ，对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
（2）求证： ( )
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（?? ）
A.?（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5?????B.?（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C.?（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）????D.?（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
二、填空题
2.（2014?陕西）观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
3.（2016?山东）观察下列等式： （sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律， （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2=________．
4.(2015·陕西）观察下列等式： 1－= 1－+-=+ 1－+-+-=++ ………… 据此规律，第n个等式可为________?.
三、解答题
5.（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ．
6.（2014?重庆）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
7.（2016?北京）设数列A： ?， ?,… ?(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ?＜ ?，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则G（A） ? ?；
（3）证明：若数列A满足 - ?≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 ?- 。
8.(2015·江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(nN*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， aX, bYn}, 令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第6章 第5节 数学归纳法
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
数学归纳法的框图表示
备战方法·巧解题
规律
方法
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
3. (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
4. 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
5. “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应
小结
1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．
3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写．
备战练习·固基石
一、单选题
1.对于不等式 某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，，不等式成立。 (2)假设当n=k()时，不等式成立，即, 则当n=k+1时， ， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A.?过程全部正确?? ????B.?n＝1验得不正确??????
C.?归纳假设不正确????? ?D.?从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】选D.在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法 【分析】数学归纳法要求在n＝k＋1时，必须应用n＝k时的假设
2.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
【答案】C
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】因为凸n变形的最小为3，所以第一步检验等于3，故选C.
3.已知 ，则f(k+1)= （?? ）
A.??????????????????????????????????????????????????B.? C.?????????????????????D.?
【答案】C
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】注意式子中分母从n+1,依次增加1，直到3n-1.所以由等差数列知识知 ，故选C 【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据归纳法分析即可
4.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
【答案】C
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3．故选C． 【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．
5.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A.?当n＝6时该命题不成立???????????????????????????????????????B.?当n＝6时该命题成立 C.?当n＝4时该命题不成立???????????????????????????????????????D.?当n＝4时该命题成立
【答案】C
【考点】数学归纳法的作用
【解析】【解答】原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 【分析】解决此题可以用假设法，例如C选项，假设当n＝4时该命题成立，由题意知当n＝4时该命题必然成立，不符，故当n＝4时该命题不成立
6.用数学归纳法证明1+2+3+...+2n =2n-1+22n-1 时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（?? ）
A.?1项????????????????????????????????????B.?k-1 项????????????????????????????????????C.?k 项????????????????????????????????????D.?2k 项
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】运用数学归纳法证明 因此选择D 【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法结合所给式子分析即可
7.下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A.?6＋6·7k??????????????????????????B.?2＋7k－1??????????????????????????C.?2(2＋7k＋1)??????????????????????????D.?3(2＋7k）
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】取k＝1检验，只有3(2＋7k)能被9整除．选D 【分析】采用特殊值法可以使题目变得简单
8.设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.( )
A.?2π?????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1 ， 其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B. 【分析】可以采用特殊值法，例如取k=3，即可的答案为B
9.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 ， (n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（?? ）．
A.?(k＋3)3??????????????????????????B.?(k＋2)3??????????????????????????C.?(k＋1)3??????????????????????????D.?(k＋1)3＋(k＋2)3
【答案】A
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A. 【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
10.已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明? 时，若已假设? 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（?? ）
A.?n=k+1 时等式成立?????????????????????????????????????????????B.?n=k+2 时等式成立 C.?n=2k+2 时等式成立??????????????????????????????????????????D.?n=2(k+2) 时等式成立
【答案】B
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】因为此题是 n 正偶数成立的命题，若已假设 为偶数 时命题为真，下一个正偶数时 ，故选B 【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
11.如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是( )
A.?p(n)对所有正整数n都成立??????????????????????????????????B.?p(n)对所有正偶数n都成立 C.?p(n)对所有正奇数n都成立??????????????????????????????????D.?p(n)对所有自然数n都成立
【答案】B
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．选B. 【分析】考查数学归纳法的概念，注意理解数学归纳法的精髓
12.用数学归纳法证明等式? 时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????B.?1+2??????????????????????????????????C.?1+2+3??????????????????????????????????D.?1+2+3+4
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】根据题意，数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为 ，选D. 【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法分析即可
二、填空题
13.已知 ，用数学归纳法证明： 时,从“ 到 ”左边需增加的代数式是________.
【答案】
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】解：当 时，左端 ，
当 时，左端 ，
所以当 到 “”左端需要增加的代数式为 ．
【分析】本题考查的是推理与证明中的数学归纳法的证明应用，重点考察从 n = k这一步到下一步n = k + 1的证明过程，也就是这道题左端需要增加的代数式。
14.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
【答案】2k＋1
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1 【分析】注意n为正奇数
15.已知? ，则 f(n) 中共有________项．
【答案】n2-n+1
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】分母由n，依次增加1，直到 。由等差数列知识得 中共有 项 【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤结合所给事件问题分析计算即可
16.用数学归纳法证明：? 第一步应验证的等式是________．
【答案】?
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
【分析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
三、解答题
17.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
（1）计算a1、a2、a3 ， 并猜想an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．
【答案】（1）【解答】当n＝1时，a1＝S1＝2－a1 ， ∴a1＝1； 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2,∴; 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3 ， ∴ 由此猜想 （2）【解答】 证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立， ②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立， 即 当n=k+1时 所以 所以 所以当n=k+1时结论成立，于是对于一切的自然数，成立
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】先猜后证是证明数列类题目的一种有效的方法
18.已知数列
（1）若 ，对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
（2）求证： ( )
【答案】（1）解：由题意得，令 ， ∴ ，即 单调递增，∴ ，故问题等价于 ，又∵ ， ， 且 ，∴ 的取值范围是 ； （2）解：∵ ，∴ ， ∴ ， ，…… ， ，累加得： ， ∴ ， ∴ ， 要证原不等式成立，只需证： ， ， 时显然成立， 时，左边 ，故原不等式成立．
【考点】数学归纳法的作用，数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】（1）利用数学归纳法的证明步骤，证明求解即可． （2）构造函数f（n）=a2n-an ， 判断函数的单调性，转化不等式为，对数不等式，通过函数的性质，转化求解即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（?? ）
A.?（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5???? ?B.?（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C.?（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）? ???D.?（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
【答案】A
【考点】归纳推理，进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个 球，共6种情况，则其所有取法为1+ c+ c2+ c3+ c4+ c5=（1+c）5 ， 根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 ． 故选：A． 【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．
二、填空题
2.（2014?陕西）观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
【答案】F+V﹣E=2
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E， ①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2； ②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2； ③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2． 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立． 因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2 故答案为：F+V﹣E=2 【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
3.（2016?山东）观察下列等式： （sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4； （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律， （sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2=________．
【答案】n（n+1）
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（ ）﹣2= ×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×3×4；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（ ）﹣2= ×4×5； … 照此规律（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2= ×n（n+1）， 故答案为： n（n+1） 【分析】由题意可以直接得到答案．；本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．
4.(2015·陕西）观察下列等式： 1－= 1－+-=+ 1－+-+-=++ ………… 据此规律，第n个等式可为________?.
【答案】1-+-+...+-=++...+
【考点】归纳推理
【解析】【解答】观察等式知: 第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数顶为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是++...+,故答案为1-+-+...+-=++...+. 【分析】本题考查的是归纳推理，解题关键点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.本题属于基础题，注意运算的准确性.
三、解答题
5.（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当n=1时，x1=1＞0，成立， 假设当n=k时成立，则xk＞0， 那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故xn+1＞0， 因此xn＞0，（n∈N*） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ， 因此0＜xn+1＜xn（n∈N*）， （Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）= +ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0， 故2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ， ∴xn≥ ， 由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， ∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ， ∴xn≤ ， 综上所述 ≤xn≤ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明， （Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明， （Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
6.（2014?重庆）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
【答案】（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1， ∴a2=2，a3= +1； 又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1， ∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列； ∴（an﹣1）2=n﹣1， ∴an= +1（n∈N*）； （2）解：设f（x）= ，则an+1=f（an）， 令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ． 下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1． n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立； 设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1 ∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数， ∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2 ， ∴1＞c＞a2k+2＞a2 ， ∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1， ∴c＜a2k+3＜1， ∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立， 综上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2 ， a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）设f（x）= ，则an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
7.（2016?北京）设数列A： ?， ?,… ?(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ?＜ ?，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则G（A） ? ?；
（3）证明：若数列A满足 - ?≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 ?- 。
【答案】（1）解： （2）证明：因为存在 ，设数列 中第一个大于 的项为 ，则 ， 其中 ，所以 ， （3）证明：设 数列的所有“ 时刻”为 ， 对于第一个“ 时刻” ，有 ， ，则 ． 对于第二个“ 时刻” ，有 （ ）． 则 ． 类似的 ，…， ． 于是， ． 对于 ，若 ，则 ； 若 ，则 ，否则由⑵，知 中存在“ 时刻”，与只有 个“ 时刻”矛盾． 从而， ，证毕
【考点】数列与函数的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（1）结合“G时刻”的定义进行分析；（2）可以采用假设法和递推法进行分析；（3）可以采用假设法和列举法进行分析
8.(2015·江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(nN*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， aX, bYn}, 令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）解：（1）f（6）=6+2++=13 （2）当n≥6时，f（n）=． 下面用数学归纳法证明： 假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论： 1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立； 2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立； 3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立； 4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立； 5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立； 6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立． 综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+2，对满足n≥6的自然数n均成立．
【考点】集合中元素个数的最值，数学归纳法
【解析】【分析】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立； ②归纳递推：假设n=k，(kN*，k≥n0)时，命题成立，证明当n=k+1时，命题成立； ③由①②得出结论．
