2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
（学生版）
备战基础·零风险
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).
结构特征
多面体
(1)棱柱的侧棱都平行且 ，上下底面是全等且 的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形．
(3)棱台可由平行于 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
旋转体
(1)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到．
(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到．
空间几何体
三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括 、 、 ．
直观图
空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 ．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为 ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点提醒 一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强化空间几何体的结构特征．.
二是图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置．
2．一个防范 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
3. (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
4. 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
5. 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
小结
1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．
2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．
3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图所示，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.??????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（?? ）
A.?以上四个图形都是正确的????????????????????????????????????B.?只有（2）（4）是正确的 C.?只有（4）是错误的????????????????????????????????????????????D.?只有（1）（2）是正确的
3.如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A.?①是棱台??????????????????????????B.?②是圆台??????????????????????????C.?③是棱锥??????????????????????????D.?④不是棱柱
4.利用斜二侧画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O’A’=O’B’=1，则直线AB在直角坐标系中的方程为（???）
A.?x+y=1?????????????????????????????B.?x-y=1?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
5.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4．再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（ ）
A.?3：4?????????????????????????????????????B.?9：16?????????????????????????????C.?27：64?????????????????????????????????D.?都不对
6.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是被BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB=BC=CA=CF=2，AA1=3，则下列说法正确的是（?? ）
A.?设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交 B.?在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N﹣ADF的体积为 C.?设点M在BB1上，当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF D.?在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF
7.一个棱柱是正四棱柱的条件是(? )
A.?底面是正方形，有两个侧面是矩形??????????????????????????
B.?每个侧面都是全等矩形的四棱柱 C.?底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直?????
D.?底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面
8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）
A.? ??B.????????????????????????????????C.? ???D.?
9.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形；???????②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；?④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 (??? )
A.?①② ???????????????????????????B.?① ???????????????????????????C.?③④ ???????????????????????????D.?①②③④
10.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（??? ）
A.?一个圆台、两个圆锥???????????????????????????????????????????B.?两个圆台、一个圆柱 C.?两个圆台、一个圆锥???????????????????????????????????????????D.?一个圆柱、两个圆锥
11.两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（ ）
A.?一点和一条直线??????????????????????B.?两条平行线?????????????????????C.?两条相交直线?????????????????????D.?两个点
12.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（ ）
A.?两条相交直线?????????????????B.?两条平行直线?????????????????C.?两个点??????????????????D.?一条直线和直线外一点
13.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
14.下图所示为平面图形水平放置的直观图，则此平面图形的原图形可能是下图中的（ ）
A.????????????????B.?????C.????????????????D.?
15.下列判断正确的是（ ）
A.?①不是棱柱???????????????????????????B.?②是圆台??????????????????????????C.?③是棱锥??????????????????????????D.?④是棱台
16.将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的直观图是（ ）
A.? B.???????
C.????? ??D.?
17.半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
18.如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为 ( ??)
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
二、填空题
19.已知圆台的上、下底面半径分别是1、2，且侧面面积等于两底面积之和，则圆台的体积等于________?
20.在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA=6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB=________?
21.侧棱长都为的四棱锥的底面是以2为边长的正方形，其俯视图如图所示，则该四棱锥正视图的面积为________?
22.某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为________．
23.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________
24.一个三角形在其直观图中对应一个边长为2的正三角形，原三角形的面积为________?．
25.如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________．
26.一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为________．
三、解答题
27.如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图，并求几何体的体积．
28.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????????D.?
2.（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
3.甲、乙几何体的三视图分别如图?图?所示，分别记它们的表面积为 ，体积为 ，则（?? ）
A.? ,? ??????????????????????????????????????B.? , ? C.? , ???????????????????????????????????????D.? ,
4.（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.?60?????????????????????????????????????????B.?30?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
5.（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ）
A.?+1?????????????????????????B.?+3?????????????????????????C.?+1?????????????????????????D.?+3
6.（2017?北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A.?3 ?????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?2
7.（2017?新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（??? ）
A.?90π?????????????????????????????????????B.?63π?????????????????????????????????????C.?42π?????????????????????????????????????D.?36π
8.（2017?新课标Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
9.（2016?天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A.??????????????????B.????????????????????C.?????????????????????D.?
二、填空题
10.（2017?山东）由一个长方体和两个 ?圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
11.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
（教师版）
备战基础·零风险
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).
结构特征
多面体
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
旋转体
(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．
(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到．
空间几何体
三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点提醒 一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强化空间几何体的结构特征．.
二是图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置．
2．一个防范 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
3. (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
4. 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
5. 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
小结
1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．
2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．
3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图所示，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【解答】由斜二测画法的规则知与 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在 轴上，可求得其长度为 ，故在平面图中其在 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为 ，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是 ， 故答案为：B .【分析】由斜二测画法的规则知与 x ' 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，在 y 轴或与y 轴平行时，其长度变为原来的2倍，即可。
2.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（?? ）
A.?以上四个图形都是正确的????????????????????????????????????B.?只有（2）（4）是正确的 C.?只有（4）是错误的????????????????????????????????????????????D.?只有（1）（2）是正确的
【答案】C
【考点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示； （2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示； （3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示； （4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的． 故答案选C． 【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上
3.如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A.?①是棱台??????????????????????????B.?②是圆台??????????????????????????C.?③是棱锥??????????????????????????D.?④不是棱柱
【答案】C
【考点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C 【分析】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
4.利用斜二侧画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O’A’=O’B’=1，则直线AB在直角坐标系中的方程为（???）
A.?x+y=1?????????????????????????????B.?x-y=1?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【分析】在直角坐标系下， 所以直线方程为。选D。 【点评】在应用斜二测画法时x轴与平行于x轴的线段长度不变，y轴与平行于y轴的线段长度减半
5.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4．再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（ ）
A.?3：4?????????????????????????????????????B.?9：16?????????????????????????????C.?27：64?????????????????????????????????D.?都不对
【答案】D
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：设圆形纸片的半径是r， ∴沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4时，两个扇形的弧长分别是 ， 围成圆锥时两个圆锥的底面半径分别是 ， 两个圆锥的母线长度相等，都是r， ∴两个圆锥的高分别是 两个圆锥的体积分别是 ， ∴两个圆锥的体积之比是 ， 故选D． 【分析】设出圆形纸片的半径，根据两个扇形圆心角之比，得到扇形的弧长之比，得到两个圆锥的底面半径之比，得到两个圆锥的高之比，得到两个圆锥的体积之比，得到结果．
6.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是被BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB=BC=CA=CF=2，AA1=3，则下列说法正确的是（?? ）
A.?设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交 B.?在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N﹣ADF的体积为 C.?设点M在BB1上，当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF D.?在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF
【答案】C
【考点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：在A 中：连接CE，交AD于点O，则O为△ABC重心， 连接OF，由已知得OF∥EC1 ， 则EC1∥l，故A错； 在B中：若存在点N在A1C1上，则VN﹣ADF=VD﹣AFN ， 当N与C1重合时，VD﹣AFN取最小值为 ，故B错； 在C中：当BM=1时，由题意得△CBM≌△FCD，则∠BCM+∠CDF=90°， ∴CM⊥DF． 又∵AD⊥平面CB1 ， ∴AD⊥CM，又DF∩AD=D，∴CM⊥平面ADF， ∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确； 在D中：过C1作C1G∥FA，交AA1于点G， 若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G， 又C1P⊥GA1 ， ∴C1P⊥平面A1C1G1 ， ∴C1P⊥A1C1 ， 矛盾，故D错． 故选：C． 【分析】在A 中，连接CE，连接OF，推导出EC1∥l；在B中，若存在点N在A1C1上，则VD﹣AFN最小值为 ；在C中，当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF；在D中：过C1作C1G∥FA，交AA1于点G，推导出C1P⊥A1C1 ．
7.一个棱柱是正四棱柱的条件是(? )
A.?底面是正方形，有两个侧面是矩形??????????????????????????B.?每个侧面都是全等矩形的四棱柱 C.?底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直?????D.?底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面
【答案】D
【考点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 故和错，因为它们有可能是斜棱柱， 也错，因为其上下底面有可能是菱形不是正方形， 对于：底面是正方形，相邻两个侧面是矩形，能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故正确． 故选．
8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）
A.? ????????B.????????????????????????????????C.? ???????????D.?
【答案】C
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为R，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=πR，
即r= ，
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V=
故选：C
【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r= ， 求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．
9.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形；???????②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；?④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 (??? )
A.?①② ???????????????????????????B.?① ???????????????????????????C.?③④ ???????????????????????????D.?①②③④
【答案】B
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【解答】在斜二测画法画法中：平行关系不变，长度关系发生了改变，所以②正方形的直观图一定是菱形是错误的；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形也是错误的；④菱形的直观图一定是菱形也是错误的。 【分析】在斜二测画法中，与x轴平行的的线段在直观图中仍然与x‘轴平行，长度不变；与y轴平行的的线段在直观图中仍然与y‘轴平行，长度变为原来的一半。
10.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（??? ）
A.?一个圆台、两个圆锥???????????????????????????????????????????B.?两个圆台、一个圆柱 C.?两个圆台、一个圆锥???????????????????????????????????????????D.?一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】画出等腰梯形，绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，得到一个圆柱和两个圆锥的组合体.故选D。 【分析】解决此类问题，关键是发挥空间想象能力.
11.两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（ ）
A.?一点和一条直线??????????????????????B.?两条平行线?????????????????????C.?两条相交直线?????????????????????D.?两个点
【答案】D
【考点】平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】解：A选项中的情况是可能出现的，当两异面直线中的一条与平面垂直时，两条异面直线a，b在平面α上的投影可能是一点和一条直线； B选项中情况是可以出现的，当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都与已知平面垂直时，两直线的投影是两条平行线； C选项中的情况是可以出现的，当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都不与已知平面垂直时，两直线的投影是两条相交直线； D选项中的情况不可能出现，因为只有当直线与平面垂直时，它在平面中的投影是一个点，由此知，若两异面直线在同一个平面的中的投影是两个点，由此两直线都与已知平面垂直，由线面垂直的性质知，此两直线平行，这与两直线异面，矛盾，故D选项中的情况不可能出现． 故选D 【分析】本题研究两条异面直线在同一个平面上的投影的关系问题，可由两异面直线与平面的位置关系对四个选项作出判断，得出正确选项．
12.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（ ）
A.?两条相交直线?????????????????B.?两条平行直线?????????????????C.?两个点??????????????????D.?一条直线和直线外一点
【答案】C
【考点】平行投影及平行投影作图法
【解析】【解答】解：当两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面， ∴两条直线平行， ∴两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是两个点． 故选：C． 【分析】根据两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，则两条直线是平行直线，可得答案．
13.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1， ∴对应直观图的面积为 ， 故选：D． 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
14.下图所示为平面图形水平放置的直观图，则此平面图形的原图形可能是下图中的（ ）
A.????????????????B.????????C.????????????????D.?
【答案】C
【考点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】解：根据平面图形水平放置的直观图可知， 右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，这样只有A，C符合题意， 由直观图知，上下两条边是不相等的，只有C符合题意， 故选C． 【分析】本题是一个选择题，可以用选择题的方法来解，观察直观图右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，这样只有A，C符合题意，由直观图知，上下两条边是不相等的，只有C符合题意，
15.下列判断正确的是（ ）
A.?①不是棱柱???????????????????????????B.?②是圆台??????????????????????????C.?③是棱锥??????????????????????????D.?④是棱台
【答案】C
【考点】构成空间几何体的基本元素
【解析】【解答】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C． 【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果
16.将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的直观图是（ ）
A.???????B.???C.??D.?
【答案】A
【考点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】解：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点， 并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确． 故选A 【分析】根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，得到结果．
17.半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】棱锥的结构特征
【解析】解答：∵正四面体是球的内接正四面体，又∵球的半径R=1 ∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系 l= 得l= 故选D 分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．
18.如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为 ( ??)
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】A
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】显然AB1、AC、B1D1、CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线． 故答案为：A. 【分析】C点在面AA1D1D的正投影是D点，B1点在面AA1D1D的正投影是A1点,AD1就在平面AA1D1D内，A1D为实线，AD1为虚线。
二、填空题
19.已知圆台的上、下底面半径分别是1、2，且侧面面积等于两底面积之和，则圆台的体积等于________?
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：∵S侧=π×12+π×22=π×1×l+π×2×l，∴圆台的母线l= ．
∴圆台的高h=
∴圆台的体积V=x（π×12+π×22+
故答案为 ．
【分析】根据侧面积求出圆台母线，利用勾股定理解出圆台的高，代入体积公式计算体积．
20.在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA=6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB=________?
【答案】
【考点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB， 又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC， 又CH?平面PBC，∴AB⊥CH， 又CH⊥PB，PB∩AB=B， ∴CH⊥平面PAB， 又DH?平面PAB，∴CH⊥DH， 又△PAC是等腰直角三角形，且PA=6，D是PA的中点， ∴CD=PA=3，PC=AC==3 ， 设CH=a，DH=b， 则a2+b2=CD2=9， ∴9=a2+b2≥2ab，即ab≤ ， 当且仅当a=b=时，“=”成立，此时△CDH的面积最大； 在Rt△PBC，设BC=x， 则PB= ∴PC?BC=PB?CH， 即3 解得x= ， ∴CB的长是 ． 【分析】先证出△CHD是直角三角形，再利用基本不等式得出CH=DH=时△CDH的面积最大，再利用三角形的等积法求出BC的值．
21.侧棱长都为的四棱锥的底面是以2为边长的正方形，其俯视图如图所示，则该四棱锥正视图的面积为________?
【答案】1
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图： 则该正四棱锥的正视图为三角形PEF，（E，F分别为AD．BC的中点） ∵正四棱锥的底面棱长为2，侧棱长都为 ∴PB=PC= ， EF=AB=2，PF= ， ∴PO=1， ∴该正四棱锥的正视图的面积为×2×1=1． 故答案为：1． 【分析】根据正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图，然后根据正视图的定义得到正四棱锥的正视图，然后求面积即可．
22.某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为________．
【答案】
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体， 三视图中的三个投影，是三个面对角线， 则设长方体的三度：x、y、z， 所以x2+y2+z2=9，x2+y2=a2 ， y2+z2=b2 ， x2+z2=4可得a2+b2=14 ∵（a+b）2≤2（a2+b2） a+b≤ ∴a+b的最大值为： 故答案为： 【分析】由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，设出三度，利用勾股定理，基本不等式求出最大值．
23.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________
【答案】4∶3或
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】
设圆锥的底面半径为 ，由题意得 ，解得 。
所以 。
答案：
【分析】首先根据圆心角求出弧长，进而求得圆锥底面半径，根据圆锥面积公式即求。
24.一个三角形在其直观图中对应一个边长为2的正三角形，原三角形的面积为________?．
【答案】2
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【解答】解：∵三角形的直观图是一个边长为2正三角形， ∴S直观图=×22×sin60°= ， 又S原图=S直观图?2=×2=2 ． 故答案为：2 ． 【分析】求出边长为2的正三角形的面积，再利用原图与直观图的面积比求出对应的体积即可．
25.如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________．
【答案】OD
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【解答】由题图可知，还原直角坐标的图形△ABO中，OD和横轴重合长度不变故OD＝2，BD和纵轴平行，长度变为原来的2倍，故BD＝4，这样就画出原图像了。由勾股得到AB＝ ，BO＝ ?故OD26.一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为________．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】 圆锥侧面展开图是一个圆心角为 ，半径为 的扇形， 圆锥的母线长为 ，底面周长即扇形的弧长为 底面圆的面积为 ，又圆锥的高 ，故圆锥的体积为 ，故答案为 .【分析】根据题意利用圆锥的展开图为扇形，进而求出圆锥母线的长度从而求出扇形的弧长以及底面圆的半径，从而求出圆锥的高并把数值代入到圆锥的体积公式求出数值即可。
三、解答题
27.如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图，并求几何体的体积．
【答案】解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2 故体积为×2×2×2=．直观图如下图所示
【考点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，由此易求得它的体积
28.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
【答案】（1）解：如图，折起后的几何体是三棱锥. （2）解：这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形 （3）解：S△PEF= a2 ， S△DPF=S△DPE= ×2a×a=a2 ， S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2- a2-a2-a2= a2.
【考点】棱锥的结构特征
【解析】【分析】1.根据所学几何体特征以及题目所给信息确认几何体名称；2.根据第一问得出的几何体观察分析即可得到“每个面的三角形”的特点。3.由已知条件知该图像是正方形，要求正方形中间的三角形面积=正方形面积-其余3个三角形的面积。再结合第二问结论即可解出答案。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A. 【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
2.（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】D
【考点】棱柱的结构特征，向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。
故答案为：D。
【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。
3.甲、乙几何体的三视图分别如图?图?所示，分别记它们的表面积为 ，体积为 ，则（?? ）
A.? ,? ??????????????????????????????????????B.? , ? C.? , ???????????????????????????????????????D.? ,
【答案】B
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图
【解析】【解答】甲几何体是棱长为2a的下方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体,则其体积V甲=,表面积S甲=; 乙几何体是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形,高为a的三棱柱后的几何体,其体积V乙=,表面积S乙=;则S甲 > S乙 , V甲 < V乙 . 故答案为:B. 【分析】分别由三视图还原出几何体的形状和数据,甲是一个棱长为2a的正方体去掉一个棱长为a的小正方体后的几何体,求出表面积和体积;乙是一个棱长为2a的正方体去掉一个底面为直角边为a的等腰直角 三角形,高为a的三棱柱后的几何体,求出表面积和体积,再比较大小.
4.（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.?60?????????????????????????????????????????B.?30?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】D
【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积= =10． 故选：D． 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
5.（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ）
A.?+1?????????????????????????B.?+3?????????????????????????C.?+1?????????????????????????D.?+3
【答案】A
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1， 故选：A 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
6.（2017?北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A.?3 ?????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?2
【答案】B
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可得直观图， 再四棱锥P﹣ABCD中， 最长的棱为PA， 即PA= = =2 ， 故选：B． 【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
7.（2017?新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（??? ）
A.?90π?????????????????????????????????????B.?63π?????????????????????????????????????C.?42π?????????????????????????????????????D.?36π
【答案】B
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， V=π?32×10﹣ ?π?32×6=63π， 故选：B． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
8.（2017?新课标Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
【答案】B
【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形= ×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可
9.（2016?天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A.??????????????????B.????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】B
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C， 棱CD1在左侧面的投影为BA1 ， 故选B． 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．；本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．
二、填空题
10.（2017?山东）由一个长方体和两个 ?圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
【答案】2+
【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ， 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ， 故答案为：2+ ． 【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
11.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．
【答案】4 cm3
【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC， 即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h= = = ， =3 ， 则V= = = ， 令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ， 令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2， 则f（x）≤f（2）=80， ∴V≤ =4 cm3 ， ∴体积最大值为4 cm3 ． 故答案为：4 cm3 ． 【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ， f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
