2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积（学生版）
备战基础·零风险
1．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．
2．了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面　积
体　积
圆柱
S侧＝ 。
V＝ ＝ 。
圆锥
S侧＝ 。
V＝ ＝ 。
＝ 。
圆台
S侧＝ 。
V＝ ＝ 。　
直棱柱
S侧＝ 。
V＝ 。
正棱锥
S侧＝ 。
V＝ 。
正棱台
S侧＝ 。
V＝ 。
球
S球面＝ 。
V＝ 。
几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 与底面面积之和．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两点注意　一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
2.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.审题路线　正方体内接于球?正方体的体对角线长等于球的直径?求得球的半径?代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)．
5. 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
6. (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
小结
1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．
2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
备战练习·固基石
一、单选题
1.一个与球心距离为1的平面截球所得截面的面积为，则球的体积为（）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(??? )
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
3.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）
A.? ??B.?2π ????C.? ??D.?3π
4.设正方体的表面积为24 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是????? （????? ）
A.? ? ???????????B.? ? ????????? ?C.? ? ???? ???????D.? ?
5.正三棱锥的底面边长为a，高为，则此棱锥的侧面积等于（???）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
6.已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的 ，则球O的表面积为 （ ??）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
7.将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（　　）
A.? B.? ??C.? ?D.?
8.已知两个球的表面积之比为1: 9，则这两个球的半径之比为(?? )
A.?1 : 3???????????????????????????????????B.?1 : ???????????????????????????????????C.?1 : 9???????????????????????????????????D.?1 : 81
9.将边长为 的正方形 沿对角线 折成一个直二面角 .则四面体 的内切球的半径为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
10.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( ??)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.如图，平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,,将其沿对角线BD折成四面体 ， 使平面平面 ， 若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为(?? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.把直径分别为 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ .
14.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为________?
15.已知三棱锥 ?， 面 ， 中两直角边 ， ，该三棱锥的外接球的表面积为 ，则三棱锥的体积为________．
16.一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为________?
17.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________?
18.三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为 ， 的体积为 ，则 ________.
19.已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为 ． 则该三棱锥的外接球的表面积为________?
20.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2 ， 则此圆锥的体积为________?cm3 ．
三、解答题
21.如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中 ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．
22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设∠CED=60°，AP=1，AD= ， 求三棱锥E﹣ACD的体积．

备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ??）
A. B.12π C. D.
2.（2018?卷Ⅲ）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为(?? )
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）
A.?π?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.（2016?全国）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）
A.?12π???????????????????????????????????B.? π???????????????????????????????????C.?8π???????????????????????????????????D.?4π
5.（2016?全国）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）
A.?4π???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?6π???????????????????????????????????????D.?
二、填空题
6.（2018?天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M(如图)，则四棱锥 的体积为________
7.（2018?天津）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．
8.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
9.（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ， 球O的体积为V2 ， 则 的值是________．
10.（2017?新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
11.（2017?新课标Ⅰ卷）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
12.（2016?浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．
三、解答题
13.（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
14.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
15.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
16.（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
17.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
18.（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 弧AC? 长为 ?，弧A1B1? 长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．
19.（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1 ， 下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
20.（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）证明：G是AB的中点；
（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
21.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（1）证明：AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
22.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积（教师版）
备战基础·零风险
1．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．
2．了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面　积
体　积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h
＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h　
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝Ch′
V＝Sh
正棱台
S侧＝(C＋C′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝4πR2
V＝πR3
几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两点注意　一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
2.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.审题路线　正方体内接于球?正方体的体对角线长等于球的直径?求得球的半径?代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)．
5. 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
6. (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
小结
1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．
2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
备战练习·固基石
一、单选题
1.一个与球心距离为1的平面截球所得截面的面积为，则球的体积为（）
A.???????????????????????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】球的体积和表面积
【解析】【分析】由截面面积为π，可得截面圆半径为1，再根据截面与球心的距离为1，可得球的半径 ， 进而结合有关的公式求出球的体积．【解答】因为截面面积为π，所以截面圆半径为1，又因为截面与球心的距离为1，所以球的半径R==， 所以根据球的体积公式知 V球==， 故选D．
2.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(??? )
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 ， 故答案为：B.【分析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该几何体各面内只有两个相同的梯形，可得这些梯形的面积之和。
3.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）
A.? ???B.?2π ????C.? ??D.?3π
【答案】C
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1A
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，
∴Rt△O1OA中，O1A=．
又∵E为BC的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°= ．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r= ，
可得截面面积为S=πr2=π．
故选C．
【分析】设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．
4.设正方体的表面积为24 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是????? （????? ）
A.? ? ?????????????B.? ? ??????????????????C.? ? ????????????????????D.? ?
【答案】A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积
【解析】【解答】解：
∵正方体的全面积为24cm2 ，
∴正方体的棱长为2cm，
又∵球内切于该正方体，
∴这个球的直径为2cm，
则这个球的半径为1m，
∴球的体积V= ? ?.
故答案为：A．
【分析】先由已知正方体的全面积求出棱长，得到球的半径，再利用球的体积公式，即可求出这个球的体积.
5.正三棱锥的底面边长为a，高为，则此棱锥的侧面积等于（???）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】本题考查的是正三棱锥的侧面积求解问题．在解答时，应先求解正三棱锥的底面三角形的高然后利用直角三角形计算出正三棱锥的侧棱长，结合侧面等腰三角形中腰长即侧棱长、底为a，即可求解侧面三角形的面积，进而问题获得解答．【解答】由题意可知：如图 在正三角形ABC中：OB=×a×=a，所以在直角三角形POB中：PB===a，∴侧面等腰三角形底边上的高为：=， ∴三棱柱的侧面积为：S侧=3××a×=a2 ． 故选A．
6.已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的 ，则球O的表面积为 （ ??）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R= ，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的 ，∴得 ，得 ．球的表面积 故答案为：D．【分析】根据题目中所给的条件的特点，设出球的半径，通过已知条件求出球的大圆和小圆的半径，再求球的表面积．
7.将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（　　）
A.? ????B.? ??C.? ?????D.?
【答案】D
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，
设该小球的半径为r，
则
解得：，
若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，
则a=2r，
解得：a= ，
故选：D．
【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a=2r，进而可得答案．
8.已知两个球的表面积之比为1: 9，则这两个球的半径之比为(?? )
A.?1 : 3???????????????????????????????????B.?1 : ???????????????????????????????????C.?1 : 9???????????????????????????????????D.?1 : 81
【答案】A
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设两球半径分别为r，R，则由得这两个球的半径之比为1 : 3，选A。【分析】简单题，， 所以利用两个球的表面积之比为l : 9，进一步考点半径之比。
9.将边长为 的正方形 沿对角线 折成一个直二面角 .则四面体 的内切球的半径为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设球心为 ，球的半径为 ，由 ，知 ，故答案为：D.【分析】根据题意把四面体的体积转化为四个小三棱锥的体积之和利用体积公式求出半径的值。
10.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr?2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故选B【分析】出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．
11.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( ??)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积
【解析】【解答】作圆锥的轴截面，如图， 设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r= R，则l= =2 R，所以 = = = .故答案为：C.【分析】作圆锥的轴截面，求出l,r,R的关系，利用?圆 锥、 球 的面积公式即可求解。
12.如图，平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,,将其沿对角线BD折成四面体 ， 使平面平面 ， 若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为(?? )
A.????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=， 球的半径为：,所以球的体积为：,故选A.
二、填空题
13.把直径分别为 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ .
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设大铁球的半径为R cm，由 πR3＝ π×（ ）3＋ π×( )3＋ π× ( )3 ， 得R3＝216，得R＝6.故填：6
【分析】利用球的体积公式πR3 ， 即可求解。
14.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为________?
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1 ， 则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵， ∴∴高SD=2OO1= ， ∵△ABC是边长为1的正三角形，∴， ∴V三棱锥S﹣ABC=故答案为 ． 【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1 ， 进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
15.已知三棱锥 ?， 面 ， 中两直角边 ， ，该三棱锥的外接球的表面积为 ，则三棱锥的体积为________．
【答案】10
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】 外接球的表面积为 ，解得 ， ， 则 三棱锥的体积 【分析】该几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径2R，由此求出该三棱锥的体积．
16.一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为________?
【答案】169π
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC=12，AA1=5
它外接球直径2R=，
外接球的表面积为．
故答案为：169π．
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，再求球的表面积．
17.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________?
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由已知中的三棱柱的正视图可得
三棱柱的底面边长为2，高为1
则三棱柱的底面外接圆半径r= ，
球心到底面的距离d=
则球的半径R=
故该球的表面积S=4π?R2=
故答案为：
【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可以求出三棱柱的底面边长和高，进而求出它外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出答案。
18.三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为 ， 的体积为 ，则 ________.
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：
【分析】由已知三棱锥的体积特点，利用等体积转化，即可求出比值.
19.已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为 ． 则该三棱锥的外接球的表面积为________?
【答案】3π
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图所示，
设球心为O点，底面△ABC的中心为O1 ， 球的半径为R．
∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为 ．
∴
在△OAO1中，，
解得R= ．
∴该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2==3π．
故答案为：3π．
【分析】如图所示，设球心为O点，底面△ABC的中心为O1 ， 球的半径为R．由于三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为 ． 可得CO1=． 在△OAO1中，， 解得R即可得出．
20.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2 ， 则此圆锥的体积为________?cm3 ．
【答案】12π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2 ， 所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．
三、解答题
21.如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中 ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．
【答案】解：（Ⅰ）设正四棱锥底面边长为y分米，由条件知△APQ为等边三角形，
又 ，∴ ．
∵ ，∴ ．
由 ，即 得 ．
∴ ? .
答：这个正四棱锥的体积是 立方分米
（Ⅱ）设正四棱锥底面边长为y ， 则 ．
由 ，即 得 ．
∴ 即为所求表达式．
∵ ，∴ ，
令 ，则 ，
由 对 恒成立知函数在 上为减函数．
（或者分子、分母同时除以 ，利用“对勾函数”进行说明）
∴ 平方分米即为所求侧面积的范围
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（Ⅰ）结合题意先求正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算体积即可；（Ⅱ）将侧棱长和底边长分别表示为等腰三角形底角的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为底角的函数，最后利用对勾函数求出值域即可.
22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设∠CED=60°，AP=1，AD= ， 求三棱锥E﹣ACD的体积．
【答案】证明：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AP=1，AD=，
∴PD==2，
∵E为PD的中点，
∴DE=1，
由PA⊥平面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，则CD⊥ED，
在Rt△CDE中，
由DE=1，∠CED=60°，
∴CD=tan60°=，
则VE-ACD=．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）由题意求得三角形CDE是以∠CDE为直角的直角三角形，然后结合已知求得CD，再由三棱锥体积公式求得答案．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ??）
A. B.12π C. D.
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：设上下半径为r,则高为2r,
∴ 。
则圆柱表面积为 ，
故答案为：B.
【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形,得到圆柱的高为8,底面直径为8,由此求圆柱的表面积.
2.（2018?卷Ⅲ）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为(?? )
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图， 设等边三角形边长为a，则 球心O在 内射影为 中心O1 ， 连接OB则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6则 故答案为：B【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
3.（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）
A.?π?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r= = ，∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．故选：B．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
4.（2016?全国）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）
A.?12π???????????????????????????????????B.? π???????????????????????????????????C.?8π???????????????????????????????????D.?4π
【答案】A
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 =12π．故选：A．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．；本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5.（2016?全国）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）
A.?4π???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?6π???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r= =2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为 ，此时V的最大值 = ，故选：B【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案．；本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
二、填空题
6.（2018?天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M(如图)，则四棱锥 的体积为________
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵四凌锥M-EFGH为所有棱长均为 的正四棱锥.∴ 【分析】判断四棱锥为正四棱锥，高为棱长的一半.
7.（2018?天津）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解： 【分析】先算底面面积， 到底面 距离为面对角线一半.
8.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面所成的角
【解析】【解答】依题意可画图如图：
SA=SB=SC=l∠SAC=30°，AC= ∴l=4∴AC=4 r=2 ???? h= ∴ 故答案为： 【分析】先由 的面积可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥体积公式可求体积。
9.（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ， 球O的体积为V2 ， 则 的值是________．
【答案】?
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3 ， 圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3 ． 则 = = ．故答案为： ．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
10.（2017?新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
【答案】14 ?
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为： = ．则球O的表面积为：4× =14π．故答案为：14π．【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
11.（2017?新课标Ⅰ卷）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】36π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得 ，解得r=3．球O的表面积为：4πr2=36π．故答案为：36π．【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
12.（2016?浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM= 时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，
DM= ﹣t，由△ADE∽△BDM，可得 ，∴h= ，V= = ，t∈（0， ）②当AD=t＞AM= 时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH， DM=t﹣ ，由等面积，可得 ，∴ ，∴h= ，∴V= = ，t∈（ ，2 ）综上所述，V= ，t∈（0，2 ）令m= ∈[1，2），则V= ，∴m=1时，Vmax= ．故答案为： ．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．
三、解答题
13.（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
【答案】（1）解：证明： ， ∴AC⊥CM,AB⊥AC又∵AB⊥DA，DA BC=A，∴AB⊥面ACD，AB 面ABC∴面ACD⊥面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ．又 ，所以 ．作QE⊥AC ， 垂足为E ， 则 ． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC ， 所以QE⊥平面ABC ， QE=1．因此，三棱锥 的体积为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）在翻折过程中,由于 ,连接DB,在三角形ABD中求出BD,再在三角形BCD中求出角DCB为直角,于是 ,又 ,则 平面ABC,从而得到面面垂直;(2).由于点P,Q分别是BC,DA上的分点,求出三角形ABP的面积,高即为DC的三分之一,由其体积.
14.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0），设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ），∴ =（1， ）， =（﹣1， ），∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的性质，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积运算，空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
15.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD?平面ABC，可得PA⊥BD；（2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面ABC∩平面ABC=AC，BD?平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD?平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）解：PA∥平面BDE，PA?平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE= PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1，则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE?S△BDC= ×1×1= ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1.）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2.）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3.）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
16.（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴ = ， ，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1 ， EG∥E1G1 ， EG≠E1G1 ， ∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，∴EN= = =20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
17.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．（2）解：设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，∴VP﹣ABCD= = = = =8，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ，∴PB=PC= =2 ，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC= + + + = =6+2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1.）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．（2.）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
18.（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 弧AC? 长为 ?，弧A1B1? 长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．
【答案】（1）解：）由题意可知，圆柱的母线长 ，底面半径 ．圆柱的体积 ，圆柱的侧面积 （2）设过点 的母线与下底面交于点 ，则 ，所以 或其补角为 与 所成的角．由 弧A1B1 长为 ，可知 ，由 弧AC 长为 ，可知 ， ，所以异面直线 与 所成的角的大小为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角
【解析】【分析】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ．计算体积与侧面积即得．（2）由 得 或其补角为 与 所成的角，计算 即得．
19.（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1 ， 下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）解： ，则 ， ， ， ，故仓库的容积为 （2）解：设 ，仓库的容积为 ?则 ， ， ， ， ， ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，因此，当 时， 取到最大值，即 时，仓库的容积最大
【考点】组合几何体的面积、体积问题，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1= m，A1B1= m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值
20.（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）证明：G是AB的中点；
（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（1）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（2）∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，则PB⊥平面PAC，而PB?平面PAB，则平面PAB⊥平面PAC，在平面PAB中，过E作EF⊥PA，则EF⊥平面PAC，即F为E在平面PAC内的正投影．由于PA=PB=PC=6，故AB=BC=AC=6 ，易知PG= =3 ，GD= = ，由勾股定理得PD= =2 ，
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（2）由线面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC，进而由于PB?平面PAB，可得平面PAB⊥平面PAC，由此可以在平面PAB中，过E作EF⊥PA，可得F为E在平面PAC内的正投影．进而由棱锥的体积公式计算可得答案．；本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．
21.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（1）证明：AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，∴EF∥AC，且EF⊥BD，又D′H⊥EF，D′H∩DH=H，∴EF⊥平面DD′H，∵HD′?平面D′HD，∴EF⊥HD′，∵EF∥AC，∴AC⊥HD′；（2）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE= ，AD=AB=5，∴DE=5﹣ = ，∵EF∥AC，∴ ，∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1，∵HD′=DH=3，OD′=2 ，∴满足HD′2=OD′2+OH2 ， 则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，即OD′⊥底面ABCD，即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．底面五边形的面积S=?? =? =12+= ，则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= S?OD′= × ×2 =
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EF⊥平面DD′H即可．（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．；本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．
22.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．
【答案】（1）证明：取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE= BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN?平面NEM，∴MN∥平面PAB（2）解： 取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF= =2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h= ，∴S△BCM= ，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM=? = .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（2）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．；本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．