2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
平面的基本性质
公理
1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
2：过 的三点，有且只有一个平面．
3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
推论
1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
2：经过两条 直线有且只有一个平面；
3：经过两条 直线有且只有一个平面．
空间中两直线的位置关系
空间两直线的位置关系
异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围： 。
平行公理和等角定理
①平行公理：平行于 的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．
2．两个防范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线．
3．一个理解 异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
4. (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．
(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
5.空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
6. (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
小结
1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
3．异面直线的判定方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.若平面 ∥平面 ， ，则直线 与 的位置关系是(??? )
A.?平行或异面?????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????C.?异面?????????????????????????????????D.?平行
3.已知几个命题：①若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
4.下列命题中： ①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α； ②若α∩β=l，b?α，c?β，b∩c=A，则A∈l； ③A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，则α与β重合； ④任意三点不共线的四点必共面． 其中真命题的个数是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
5.给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是(?? )
A.?①和②????????????????????????????????B.?②和③????????????????????????????????C.?③和④????????????????????????????????D.?②和④
6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.?若m∥α，n∥α，则m∥n ?B.?若m∥α，m∥β，则α∥β C.?若m∥n，m⊥α，则n⊥α ????D.?若m∥α，α⊥β，则m⊥β
7.平面α与平面β，γ都相交，则这3个平面的交线可能有（ ??）
A.1条或2条 B.2条或3条 C.只有2条 D.1条或2条或3条
8.在正方体中，E是棱的中点，则与所成角的余弦值为（??）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
9.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A.?正三角形????????????????????????????B.?正方形?????????????????????????????C.?正五边形????????????????????????????D.?正六边形
10.如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长AB=2BB1 ， 则异面直线AB1与BC所成的角的余弦值是（???）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（ ）
A.?60° ??? ??B.?45° ??????C.?30° ???D.?90°
13.已知m,n,l是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下命题： ①若 ， 则m//n；?②若 ， 则；③若， ， 则；④若 ， 则 ． 其中正确命题的序号是（???）
A.?②④?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①③
14.平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
15.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(???? )
A.?平行????????????????????????????????B.?相交????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?以上都有可能
二、填空题
16.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角________?
17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 ________?（结果用反三角函数值表示）．
18.点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是________?
19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．
给出下列命题：
①PB⊥AC；
②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；
③平面PBD⊥平面PAC；
④△PCD为锐角三角形．
其中正确命题的序号是________?．（写出所有正确命题的序号）
20.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.
21.阅读以下命题： ①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面； ②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行； ③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b； ④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b?a，，那么b∥a； ⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x． 请将所有正确命题的编号写在横线上________．
22.已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α
②a、b?α，a∥β，b∥β，则α∥β
③a⊥α，b∥α，则a⊥b
其中正确命题的是________
23.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为________?
24.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与其余棱所在直线构成的异面直线共有________?对；棱AA1与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有________?对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有________?对．
25.在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且 ，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当 时，则cosα的取值范围是________．
三、解答题
26.已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.
27.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
28.在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2 ， PA⊥平面ABC．
求证：AC⊥BC
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(?? )
A. B. C. D.
2.（2016?上海）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（?? ）
A.?直线AA1??? ??????????????????????????????B.?直线A1B1????????????????????????C.?直线A1D1?????????????????????D.?直线B1C1
3.（2018?卷Ⅱ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的重点，则异面直线AE与CD所成角的正切面为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.（2018?浙江）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ， 二面角S?AB?C的平面角为θ3 ， 则（ ??）
A.?θ1≤θ2≤θ3???????????????????????B.?θ3≤θ2≤θ1???????????????????????C.?θ1≤θ3≤θ2?????????????????? ?????D.?θ2≤θ3≤θ1
5.（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
6.（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
三、解答题
7.（2016?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD ?平面ABCD，PA PD?? ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ?,
（1）求证：PD 平面PAB;?
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 ?的值；若不存在，说明理由。
8.（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
9.（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 π，A1B1长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
平面的基本性质
公理
1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
推论
1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
空间中两直线的位置关系
空间两直线的位置关系
异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．
2．两个防范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线．
3．一个理解 异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
4. (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．
(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
5.空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
6. (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
小结
1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
3．异面直线的判定方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：根据正方体的性质可得 就是异面直线 与 所成的角， 根据正方形的性质可得 ， 故答案为：B. 【分析】根据题意分析知两条异面直线所构成的角度就是，代入数据计算，即可得出答案。
2.若平面 ∥平面 ， ，则直线 与 的位置关系是(??? )
A.?平行或异面?????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????C.?异面?????????????????????????????????D.?平行
【答案】A
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】∵平面 ∥平面 ，∴平面 与平面 没有公共点 ∵ ，∴直线 ， 没有公共点 ∴直线 ， 的位置关系是平行或异面， 故答案为：A.
【分析】由平面与平面平行的概念可知直线 a 与 b 的位置关系.
3.已知几个命题：①若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：在①中：根据平面的基本性质得直线与直线外一点确定一个平面， 若在平面α内，A、B、C三点共线，则P、A、B、C四点在同一平面内．故①不正确； 在②中：共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面，故②不正确； 在③中：将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面， 连平面图形都不是，所以不是平行四边形，故③不正确． 故选：A． 【分析】根据平面的基本性质进行判断①的正误共点的三条直线可能不共面，由此能判断②的正误；将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，由此能判断③的正误．
4.下列命题中： ①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α； ②若α∩β=l，b?α，c?β，b∩c=A，则A∈l； ③A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，则α与β重合； ④任意三点不共线的四点必共面． 其中真命题的个数是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于①，若A∈α，B∈α，C∈AB，根据平面的基本性质得到C∈α；故意正确； 对于②，若α∩β=l，b?α，c?β，b∩c=A，根据平面的基本性质容易得到A同时在两个平面内，即A∈l；故②正确； 对于③，A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，根据不共线的三点确定一个平面，容易得到α与β重合；故③正确； 对于④，任意三点不共线的四点不一定共面．比如空间四面体；故④错误； 故选D． 【分析】利用平面的基本性质对四个命题分别分析解答．
5.给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是(?? )
A.?①和②????????????????????????????????B.?②和③????????????????????????????????C.?③和④????????????????????????????????D.?②和④
【答案】D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】线面平行的判定定理是说如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，所以①不正确；根据面面垂直的判定定理知②正确；垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能相交或异面，所以③不正确；根据面面垂直的判定定理知④正确.选D. 【分析】解决此类问题，要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中的条件缺一不可.
6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.?若m∥α，n∥α，则m∥n ?B.?若m∥α，m∥β，则α∥β C.?若m∥n，m⊥α，则n⊥α D.?若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【答案】C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
7.平面α与平面β，γ都相交，则这3个平面的交线可能有（ ??）
A.1条或2条 B.2条或3条 C.只有2条 D.1条或2条或3条
【答案】D
【考点】平面的概念、画法及表示，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】当平面α过平面β与γ的交线时，这3个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有1条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，这3个平面有3条交线.
故答案为:D. 【分析】平面α与平面β，γ都相交,有三种可能,交线可能有1条,2条,3条.
8.在正方体中，E是棱的中点，则与所成角的余弦值为（??）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【分析】在正方体中，连接， 则∠ED1C即为异面直线与所成角。设正方体的边长为1，则在△ED1C中，,,EC=， 所以由余弦定理，得：cos∠ED1C=。选B 【点评】两异面直线所成角的范围为， 当求得某个角的余弦值为负时，则这个角的补角才是异面直所成的角。
9.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A.?正三角形????????????????????????????B.?正方形?????????????????????????????C.?正五边形????????????????????????????D.?正六边形
【答案】C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】画出截面图形如图，显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选：C． 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．
10.如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵AC∥A1C1 ， ∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角， ∵∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1， ∴ ， ，A1C1=1， ∴cos = ． ∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ． 故选：D． 【分析】由AC∥A1C1 ， 知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长AB=2BB1 ， 则异面直线AB1与BC所成的角的余弦值是（???）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【分析】由正三棱柱的性质，可得异面直线AB1与BC所成的角为∠AB1C1或其补角，设B1C1=2，则 BB1 =1，△AB1C1中，由余弦定理可得cos∠AB1C1= ， 从而得到异面直线AB1与BC所成的角的余弦值． 【解答】正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长AB=2BB1 ， 则异面直线AB1与BC所成的角为∠AB1C1或其补角， △AB1C1中，设B1C1=2，则 BB1 =1，AC1====AB1 ， △AB1C1中，由余弦定理可得 AC12=AB12+B1C12-2AB1?B1C1cos∠AB1C1 ， 即 5=5+4-2××2cos∠AB1C1 ， ∴cos∠AB1C1=， 故异面直线AB1与BC所成的角的余弦值是 选B．
12.正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（ ）
A.?60° ???B.?45° ???C.?30° ???D.?90°
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】连接AB1
∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，
∴EF∥AB1
∵AB∥CD
∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°
故选B．
【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．
13.已知m,n,l是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下命题： ①若 ， 则m//n；?②若 ， 则；③若， ， 则；④若 ， 则 ． 其中正确命题的序号是（???）
A.?②④?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①③
【答案】A
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】根据题意，对于①若， 则；可能异面直线，错误， 对于?②若， 则；成立， 对于③若， ， 则；只有n不在平面内，成立，错误， 对于④若， ， 则， 利用平行的传递性可知成立， 故答案为A 【分析】主要是考查了空间中点线面的位置关系的平行和垂直的问题，属于基础题。
14.平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C． 【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．
15.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(???? )
A.?平行????????????????????????????????B.?相交????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?以上都有可能
【答案】D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A，B，C均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明． 【解答】如图，在正方体AC1中， ∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC， 又∵AD∥BC，∴选项A有可能； ∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB ， 又∵AD∩AB=A，∴选项B有可能； ∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1 ， ∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1 ， 又∵AC与A1D1不在同一平面内，∴选项C有可能． 故选D．
二、填空题
16.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角________?
【答案】相等或互补
【考点】平行公理
【解析】【解答】解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：相等或互补． 【分析】利用平行公理，可得结论．
17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 ________?（结果用反三角函数值表示）．
【答案】arccos
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0）， ?=（0，1，2）， =（﹣2，0，2）， 设异面直线AM与B1C所成的角为θ， cosθ= ． ∴θ= ． ∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos ． 故答案为：arccos ． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．
18.点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是________?
【答案】相交
【考点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A∈α，B?α，C?α， ∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合， ∴平面ABC与平面α的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【分析】由已知得平面ABC与平面α有公共点，且不重合，由此能判断平面ABC与平面α的位置关系．
19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．
给出下列命题：
①PB⊥AC；
②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；
③平面PBD⊥平面PAC；
④△PCD为锐角三角形．
其中正确命题的序号是________?．（写出所有正确命题的序号）
【答案】②③
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
①、若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾．①错误；
②、∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行．②正确；
③、∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC．③正确；
④、∵PD2=PA2+AD2 ， PC2=PA2+AC2 ， AC2=AD2+CD2 ， AD=CD，
∴PD2+CD2=PC2 ，
∴④△PCD为直角三角形，④错误，
故答案为：②③
【分析】AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；
由线面平行的判定和性质说明②正确；
由线面垂直的判定和性质说明③正确；
由勾股定理即可判断，说明④错误．
20.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.
【答案】 ?
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】∵PA⊥平面AC， ∴PA⊥DE 又∵PE⊥DE，PA∩PE=P ∴DE⊥平面PAE ∴DE⊥AE 即E点为以AD为直径的圆与BC的交点 ∵AB=3，BC=a，满足条件的E点有2个 ∴ 故答案为： 【分析】先根据题意证得DE⊥AE，从而可知点E的位置特点：以AD为直径的圆与BC的交点，所以只有BC的长度大于AC长度的2倍，交点才有两个，从而可得到a的取值范围.
21.阅读以下命题： ①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面； ②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行； ③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b； ④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b?a，，那么b∥a； ⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x． 请将所有正确命题的编号写在横线上________．
【答案】④⑤
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】解答①中的a、b可能都在同一个平面内，故①不正确． ②直线a和平面a的直线平行或者是异面直线，故②不正确． ③a和b平行、相交、或者是异面直线，故③不正确． ④因为平面外的2条直线中，如果有一个和这个平面平行，那么另一个也和这个平面平行．故④正确． ⑤如果2个平面都垂直于第三个平面，那么这2个平面的交线也垂直于第三个平面，故⑤正确． 综上，正确的命题是④⑤． 【分析】逐一分析各个命题，通过举反例、排除、筛选，得到正确的命题．
22.已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α
②a、b?α，a∥β，b∥β，则α∥β
③a⊥α，b∥α，则a⊥b
其中正确命题的是________
【答案】③
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于①若a?α，显然结论不成立；
对于②，若a∥b，则α与β有可能相交，也有可能平行；
对于③，∵b∥α，∴在α存在直线c∥b，
∵a⊥α，∴a⊥c，∴a⊥b．
故答案为③．
【分析】结合各判定定理及推论，举出反例说明．
23.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为________?
【答案】
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
不妨设AB=2，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
C1（0，2，2），D1（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1），F（1，0，0）．
∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，0，2）．
∴
∴异面直线OE和FD1所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线所成的夹角．
24.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与其余棱所在直线构成的异面直线共有________?对；棱AA1与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有________?对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有________?对．
【答案】4；6；5
【考点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与BC，B1C1 ， CD，C1D1所在直线构成的异面直线共有4对；棱AA1与各面对角线BD，B1D1 ， BC1 ， B1C，C1D，CD1所在的直线构成的异面直线共有 6对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线BD，A1C1 ， BC1 ， C1D，CD1构成的异面直线共有5对； 故答案为：4，6，5 【分析】画出长方体，根据其性质以及异面直线的定义解答．
25.在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且 ，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当 时，则cosα的取值范围是________．
【答案】[ ， ]
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：设P到平面ABC的射影为点O，取BC中点D， 以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴， 以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正四面体P﹣ABC的棱长为4 ， 则A（0，﹣4，0），B（2 ，2，0），C（﹣2 ，2，2 ），P（0，0，4 ），M（﹣ ，1，2 ）， 由 ，得N（ ）， ∴ =（﹣ ，5﹣6λ，2 ）， =（﹣2 ，6，0）， ∵异面直线 NM 与 AC 所成角为α， ， ∴cosα= = ，设3﹣2λ=t，则 ， ∴cosα= = ， ∵ ， ∴ ． ∴cosα的取值范围是[ ， ]． 故答案为：[ ， ]． 【分析】设P到平面ABC的射影为点O，取BC中点D，以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出cosα的取值范围。
三、解答题
26.已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.
【答案】（1）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. （2）解：取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
【考点】异面直线及其所成的角，异面直线的判定
【解析】【分析】(1)由反证法证明直线为异面直线; (2)找到EF与BD所成的角就是直线EF与EG所成的角,由三角形FEG求角.
27.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
【答案】解：取AB的中点F，连结EF,CF,则EF是过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线. ?试题解析： 如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF. ∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥CD1 ， ∴EF∥CD1. ∴E、F、C、D1四点共面． ∵E∈平面ABB1A1 ， E∈平面D1CE， F∈平面ABB1A1 ， F∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF. ∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】取AB的中点F，连结EF,CF,则EF是过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线.
28.在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2 ， PA⊥平面ABC．
求证：AC⊥BC
【答案】证明：∵PB2=PC2+BC2 ， ∴PC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∴X=(+)X=X+X=0+0=0
∴AC⊥BC.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(?? )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，
=（1,1， ）A（1,0,0）D1（0,0 ）
∴
故答案为：C
【分析】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，根据异面直线所成的角求解即可.
2.（2016?上海）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（?? ）
A.?直线AA1??? ??????????????????????????????B.?直线A1B1????????????????????????C.?直线A1D1?????????????????????D.?直线B1C1
【答案】D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1 ， A1B1 ， A1D1都和直线EF为异面直线； B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确． 故选：D． 【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．
3.（2018?卷Ⅱ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的重点，则异面直线AE与CD所成角的正切面为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图：取中点DD1中点为F，连EF，则EF∥CD
∴AE与CD所成的角即为∠AEF 在△AEF中，∠AEF=90° ∴ 故答案为：C 【分析】AB∥CD，AB与AE所成的角就是AE与CD所成的角，连BE，则∠EAB即为所求，在 中易得。
4.（2018?浙江）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ， 二面角S?AB?C的平面角为θ3 ， 则（ ??）
A.?θ1≤θ2≤θ3???????????????????????B.?θ3≤θ2≤θ1???????????????????????C.?θ1≤θ3≤θ2???????????????????????D.?θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF ， 交CD于F ， 过O作ON垂直EF于N ， 连接SO ， SN ， OM ， 则SO垂直于底面ABCD ， OM垂直于AB ， 因此 从而 因为 ，所以 即 ， 故答案为：D. 【分析】根据图形的特征作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．
5.（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图： α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1 ， m∥B1D1 ， ∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为： ． 故选：A． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
二、填空题
6.（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
【答案】
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中， = ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= = ．CO= ，CE= = = ，∴EO=CO﹣CE= ． 过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角． 则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO= ．EF=BO= = ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ． 则D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值= =2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值= = = ．故答案为： ． 【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC= ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= ．CO= ，CE= = ，EO=CO﹣CE= ．过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
7.（2016?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD ?平面ABCD，PA PD?? ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ?,
（1）求证：PD 平面PAB;?
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 ?的值；若不存在，说明理由。
【答案】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， 且AB⊥AD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD?平面PAD， ∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB； （2）解：如图： 取 中点为 ，连结 ， ∵ ∴ ∵ ∴ 以 为原点，如图建系 易知P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则 ， ， ， 设 为面 的法向量，令 ，则 与面 夹角 有 （3）解：假设存在 点使得 面 设 ， 由（2）知 ， ， ， ， 有 ∴ ∵ 面 ， 为 的法向量 ∴ 即 ∴ ∴综上，存在 点，即当 时， 点即为所求
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB； （2）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量 的坐标，再求出平面PCD的法向量 ，设PB与平面PCD的夹角为θ，由 求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设 ，M（0，y1 ， z1），由 可得M（0，1﹣λ，λ）， ，由BM∥平面PCD，可得 ，由此列式求得当 时，M点即为所求．
8.（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC； （3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA， ∵PA?平面CEF，EF?平面CEF， ∴PA∥平面CEF
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC； （2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC； （3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明． 本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
9.（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 π，A1B1长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．
【答案】（1）解：连结O1B1 ， 则∠O1A1B1=∠A1O1B1= ， ∴△O1A1B1为正三角形， ∴ = ， = = （2）解： 设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1 ， 则BB1∥AA1 ， ∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）， BB1=AA1=1， 连结BC、BO、OC， ∠AOB=∠A1O1B1= ， ，∴∠BOC= ， ∴△BOC为正三角形， ∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°， ∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）连结O1B1 ， 推导出△O1A1B1为正三角形，从而 = ，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积． （2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1 ， 则BB1∥AA1 ， ∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小． 本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
