2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第4节 直线、平面平行的判定与性质
（学生版）
备战基础·零风险
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
结论
面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
结论
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．
二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面．
三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．
2.线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．
3. 判断或证明线面平行的常用方法：
(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
4. (1)证明两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．
小结
1．平行关系的转化方向如图所示：
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
备战练习·固基石
一、单选题）
1.若两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面（ ??）
A.?有公共点??????????????????????????B.?没有公共点?????????????????????????????C.?平行??????????????????????????D.?平行或相交
2.下列命题正确的是 ( ??) ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A.?①③????????????????????????????????????B.?②④????????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????????D.?③④
3.已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A.?若直线a∥b，b?α，则a∥α????????????????????????????????B.?若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β C.?若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b??????????????????????D.?若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
4.下列说法中正确的是（ ）
A.?平行于同一直线的两个平面平行?????????????????????????B.?垂直于同一直线的两个平面平行 C.?平行于同一平面的两条直线平行?????????????????????????D.?垂直于同一平面的两个平面平行
5.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若 ，则 ＝（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
6.如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是（ ）
A.?相交?????????????????????????????????B.?n∥α??????????????????????????????????C.?n?α?????????????????????????????????D.?n∥α或n?α
7.已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A.?a⊥β，α⊥β????????????????????B.?α⊥β=b，a∥b?????????????????????C.?a∥b，b∥α????????????????????D.?α∥β，a?β
8.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.?若m?α，n∥α，则m∥n B.?m∥α，m∥β，则α∥β
C.?若α∩β=n，m∥n，则m∥β D.?若m⊥α，m⊥β，则α∥β
9.已知两个不同的平面和两条不重合的直线a,b，则下列四个命题正确的是（?????）
A.?若a//b,,则a∥α.??????????????????????????????????????????B.?若a?α,,a//β,b//β,则.α∥β C.?若,则a⊥β.???????????????????D.?若α∥β,,a∥α,则a//β.
10.已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题 ①a∥b，a∥α?b∥α；②a⊥b，a⊥α?b∥α； ③a∥α，β∥α?a∥β；④a⊥α，β⊥α?a∥β， 其中不正确的有（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
11.已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的(? ?)
A.?l∥α，l∥β且l∥γ???????????????B.?l?γ，且l∥α，l∥β???????????????C.?α∥γ，且β∥γ???????????????D.?以上都不正确
12.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（???）
A.?平行????????????????????????????????B.?垂直????????????????????????????????C.?相交不垂直????????????????????????????????D.?不确定
13.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（? ）
A.?异面??????????????????????????????????B.?相交??????????????????????????????????C.?平行??????????????????????????????????D.?不能确定
14.下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A.?一个平面内的一条直线平行于另一个平面???????????
B.?一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.?一个平面内有无数条直线平行于另一个平面???????
D.?一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
二、填空题
15.如图（1），已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图（2）所示，则BF与平面ADE的位置关系是________.
16.如图所示， 是棱长为a的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝ ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________?
18.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
19.如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1 ， B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=________．
20.在直三棱柱 中， 为 中点，点 在侧面 上运动，当点 满足条件________时， 平面 ．（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
三、解答题
21.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2． （1）求证：AC∥平面BEF； （2）求四面体BDEF的体积．
22.如图，在三棱锥 中， 、 分别是 、 的中点，平面 平面 ，求证：
（1） 平面 ；
（2） .
23.如图：平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有一条公共边CD，M为FC的中点，证明：AF∥平面MBD．
24.如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB= ， 点D是线段BC的中点．求证：A1C∥平面AB1D
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A.??????B.?????C.?????????D.?
二、解答题
2.（2018?卷Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
3.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
4.（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
5.（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
6.（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
7.（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB； （Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
8.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
9.（2016?天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
10.（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
11.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
12.（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
13.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．
14.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．
15.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第4节 直线、平面平行的判定与性质
（教师版）
备战基础·零风险
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝?
a?α，b?α，a∥b
a∥α
a∥α，a?β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b
面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝?
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．
二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面．
三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．
2.线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．
3. 判断或证明线面平行的常用方法：
(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
4. (1)证明两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．
小结
1．平行关系的转化方向如图所示：
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面（ ??）
A.?有公共点??????????????????????????B.?没有公共点?????????????????????????????C.?平行??????????????????????????D.?平行或相交
【答案】D
【考点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】当两个相交平面或平行平面与第三个平面相交时，交线都可能平行. 故答案为：D【分析】当两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行时，这两个平面可能相交，也可能平行。
2.下列命题正确的是 ( ??) ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A.?①③????????????????????????????????????B.?②④????????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????????D.?③④
【答案】D
【考点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线． 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①. 对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理． 所以只有③④正确， 故答案为：D． 【分析】结合平面与平面平行的判定定理，即可得出答案。
3.已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A.?若直线a∥b，b?α，则a∥α????????????????????????????????B.?若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β C.?若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b??????????????????????D.?若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
【答案】D
【考点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：若直线a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A不对； 若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a?β，故B不对； 若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对； 根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确， 故选：D． 【分析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
4.下列说法中正确的是（ ）
A.?平行于同一直线的两个平面平行?????????????????????????B.?垂直于同一直线的两个平面平行 C.?平行于同一平面的两条直线平行?????????????????????????D.?垂直于同一平面的两个平面平行
【答案】B
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确； 由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确； 平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确； 垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确． 故选B． 【分析】平行于同一直线的两个平面相交或平行；由平面平行的判定定理知B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两个平面平行或相交．
5.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若 ，则 ＝（ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】D
【考点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′， ，所以 ， 。 故答案为：D.【分析】由平面与平面平行，结合等角定理，得到两个三角形相似，再求比值。
6.如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是（ ）
A.?相交?????????????????????????????????B.?n∥α??????????????????????????????????C.?n?α?????????????????????????????????D.?n∥α或n?α
【答案】D
【考点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：∵直线m∥直线n，且m∥平面α， ∴当n不在平面α内时，n∥平面α， 当n在平面α内时，n?α． 故选：D． 【分析】利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面的位置关系进行判断．
7.已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A.?a⊥β，α⊥β????????????????????B.?α⊥β=b，a∥b?????????????????????C.?a∥b，b∥α????????????????????D.?α∥β，a?β
【答案】D
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：选项A，a⊥β，α⊥β?a∥α或a?α 选项B，α⊥β=b，a∥b?a∥α或a?α 选项C，a∥b，b∥α?a∥α或a?α A、B、C三个选项都不能排除a?α， 选项D，根据线面平行的性质可知正确 故选D 【分析】根据A、B、C三个选项都不能排除a?α，而选项D，根据线面平行的性质可知正确，从而得到结论．
8.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.?若m?α，n∥α，则m∥n B.?m∥α，m∥β，则α∥β
C.?若α∩β=n，m∥n，则m∥β D.?若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【答案】D
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：若m?α，n∥α，则m与n可能平行也可能异面，故A为假命题；
若m∥α，m∥β，则α与β也可能相交，故B为假命题；
若α∩β=n，m∥n则m可能在平面β上，故C为假命题；
在D中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
故选：D．
【分析】根据线线平行，线面平行的判定与性质，我们逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
9.已知两个不同的平面和两条不重合的直线a,b，则下列四个命题正确的是（?????）
A.?若a//b,,则a∥α.??????????????????????????????????????????B.?若a?α,,a//β,b//β,则.α∥β C.?若,则a⊥β.???????????????????D.?若α∥β,,a∥α,则a//β.
【答案】D
【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面平行的判定
【解析】【分析】若a//b,，则a∥α或，故A错；当相交时，，且a,b都和交线平行，也满足，故B错；空间内垂直于b的直线a有无数条，与平面的位置关系不确定，故C错；由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知D正确.
10.已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题 ①a∥b，a∥α?b∥α；②a⊥b，a⊥α?b∥α； ③a∥α，β∥α?a∥β；④a⊥α，β⊥α?a∥β， 其中不正确的有（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】D
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于①、②结论中还可能b?α，所以①、②不正确． 对于③、④结论中还可能a?β，所以③、④不正确． 故选：D 【分析】根据线面平行的判定定理，利用排除法排除错误的命题，从而找出正确的选项
11.已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的(? ?)
A.?l∥α，l∥β且l∥γ???????????????B.?l?γ，且l∥α，l∥β???????????????C.?α∥γ，且β∥γ???????????????D.?以上都不正确
【答案】C
【考点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】 ?α与β无公共点?α∥β. 故答案为:C.【分析】由平面与平面平行的判定定理进行.
12.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（???）
A.?平行????????????????????????????????B.?垂直????????????????????????????????C.?相交不垂直????????????????????????????????D.?不确定
【答案】B
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直． 故选B
13.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（? ）
A.?异面??????????????????????????????????B.?相交??????????????????????????????????C.?平行??????????????????????????????????D.?不能确定
【答案】C
【考点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b，β∩γ=c， 则a∥b且a∥c， ∴b∥c． 又b?α，α∩β=l， ∴b∥l． ∴a∥l． 故选C． 【分析】由题意设α∩β=l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．
14.下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A.?一个平面内的一条直线平行于另一个平面???????????B.?一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.?一个平面内有无数条直线平行于另一个平面???????D.?一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
【答案】D
【考点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交． 对于B，一个平面内的两条直线平行于另一个平面，如果这两条直线平行，则这两个平面可能相交． 对于C，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，如果这无数条直线平行，则这两个平面可能相交． 对于D，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足平面与平面平行的判定定理，所以正确． 故选：D． 【分析】利用两个平面平行的判定定理判断即可．
二、填空题
15.如图（1），已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图（2）所示，则BF与平面ADE的位置关系是________.
【答案】平行
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD． 又∵EB∥FD， ∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED． ∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE， ∴BF∥平面ADE. 故答案为:平行 【分析】注意将△ADE沿DE折起时,哪些因素会发生改变,在平面ADE内能不能找到直线与直线BF平行是关键.
16.如图所示， 是棱长为a的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝ ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
【答案】
【考点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ， 易知DP＝DQ＝ ，故PQ＝ DP＝ ． 故答案为: 【分析】根据线面平行的性质，由MN∥平面AC得MN∥PQ，再由三角形中的关系求长度。
17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________?
【答案】
【考点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如下图所示： 分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1 ， ∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1 ， EF∥BC1 ， ∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF， ∴MN∥平面AEF； ∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形， ∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF， ∴A1N∥平面AEF， 又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF， ∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF， 则P必在线段MN上， 在Rt△A1B1M中，A1M= 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N= ， ∴△A1MN为等腰三角形， 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长， A1O= A1M=A1N= ， 所以线段A1P长度的取值范围是 故答案为： 【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
18.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
【答案】平行四边形
【考点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形 【分析】由长方体的结构特征，根据面面平行的性质，得到两组线线平行，于是四边形为平行四边形。
19.如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1 ， B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=________．
【答案】a
【考点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ， MN?平面ABCD ∴MN∥平面A1B1C1D1 ， 又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1 ， ∴MN∥PQ． ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点 ∴MN∥A1C1∥AC， ∴PQ∥AC，又AP= ，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体， ∴CQ= ，从而DP=DQ= ， ∴PQ= = = a． 故答案为： a 【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
20.在直三棱柱 中， 为 中点，点 在侧面 上运动，当点 满足条件________时， 平面 ．（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
【答案】 是 中点
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解： 与 的中点分别为 ，直线 上的任意一点与 的连线都平行于平面 。【分析】由线面平行的判定定理可得出答案。
三、解答题
21.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2． （1）求证：AC∥平面BEF； （2）求四面体BDEF的体积．
【答案】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG， 所以，OG∥DE，且OG=DE． 因为AF∥DE，DE=2AF， 所以AF∥OG，且OG=AF， 从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA． 因为FG?平面BEF，AO?平面BEF， 所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF． 解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD， 所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2 所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2， 所以四面体BDEF的体积V=?S△DEF×AB=
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF； （2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．
22.如图，在三棱锥 中， 、 分别是 、 的中点，平面 平面 ，求证：
（1） 平面 ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵D、E分别是SA、SC的中点，
∴ ,
又 面ABC, 面ABC，
∴ 面ABC.
（2）证明：又平面 平面ABC=l， 面BDE，
∴ .
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）证明DE平行该平面一条直线，即可得出答案。（2）结合直线与平面平行的性质，即可得出答案。
23.如图：平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有一条公共边CD，M为FC的中点，证明：AF∥平面MBD．
【答案】证明：连接AC，交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD为平行四边形，
则O为AC的中点，
又∵M为FC的中点，
故OM为△ACF的中位线，
故OM∥AF，
∵AF?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AF∥平面MBD．
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】连接AC，交BD于O，连接MO，根据平行四边形的性质和中位线定理可得OM∥AF，进而由线面平行的判定定理，得到AF∥平面MBD．
24.如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB= ， 点D是线段BC的中点．求证：A1C∥平面AB1D
【答案】证明：记A1B∩AB1=O，OD为三角形A1BC的中位线，
∵A1C∥OD，OD?平面A1BD，A1C?平面AB1D
∴A1C∥平面AB1D
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】要证A1C∥平面AB1D，可利用线面平行的判定，记A1B∩AB1=O，由点D是线段BC的中点，可得A1C∥OD，然后由线面平行的判定定理得答案.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A.??????B.?????C.?????????D.?
【答案】A
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A． 【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．
二、解答题
2.（2018?卷Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 即 又DMC 面AMD 所以 平面 （2）解：连接AC、BD交于点O，取AM中点为P，连接PO 因为O是AC中点，P是AM中点所以PO∥MC， 所以MC∥面PBD
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定
【解析】【分析】在面PBD中构造线线平行，来证明线面平行
3.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系， 则 ? 设 为面CDE法向量 则 令z=-1 ∴ 又 ，则 ，又 ∴ （Ⅱ） 设 是面BCE法向量， 则 z=1 ∴ 设 是面BCF法向量，则 令z=1∴ ∴ 则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h） ∴ 为平面ADGE的一个法向量， 则 则
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证； （Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等； （Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
4.（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD,PA⊥PD， ∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD, ∴PE⊥面ABCD 又BC 面ABCD ∴PE⊥BC （Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD ∴AB⊥面PAD， 又PD 面PAD ∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD ∴PE⊥AB, ∴AB⊥面PAD 又AB∥DC,则面PAB 面PCD=l, ∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p, ∴PD⊥面PAB,又PD 面PCD， ∴面PAB⊥面PCD （Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN 则FM BC,ED BC 所以FM、DE是平行四边形 则EF∥MN,MN 面PCD，所以EF∥面PCD
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
5.（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD， ∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC， 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F． ∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°． ∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则 ， ， 设平面MEN的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取z=2，得 ． 由图可得平面CME的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为 ，则正弦值为 ； （Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， ． ∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ， ∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 解得：t=4． ∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4．
【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值； （Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长．
6.（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF， ∵E为PD的中点，∴EF∥PA， 在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点， ∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP， ∵EC?平面EFC， ∴EC∥平面PAB． （Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF， ∵PA=PD，∴PF⊥AD， 推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD， ∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC， ∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB， 设DC=CB=1，则AD=PC=2， ∴PB= ， BF=PF=1， ∴MF= ， 又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF， ∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为 ， ∵E为PD的中点，∴E天平面PBC的距离为， 在△PCD中，PC=2，CD=1，PD=， 由余弦定理得CE= ， 设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB． （Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
7.（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB； （Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD， ∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB； （Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ， ∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN= MN，BC=1， 可得：1+ BN2=BN2 ， BN= ，MN= ， 作NQ⊥AB于Q，连接MQ， 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ= = ， 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为： = ．
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
8.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线， ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE= BC=AM=2， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN?平面NEM，∴MN∥平面PAB （2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=9+4- =5． ∴AM2+MC2=AC2 ， 则AM⊥MC， ∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD， ∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD． 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= ， 在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF= ， ∴ ． ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证； （2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
9.（2016?天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：BD的中点为O， 连接OE，OG，在△BCD中， ∵G是BC的中点， ∴OG∥DC，且OG= DC=1， 又∵EF∥AB，AB∥DC， ∴EF∥OG，且EF=0G， 即四边形OGEF是平行四边形， ∴FG∥OE， ∵FG?平面BED，OE?平面BED， ∴FG∥平面BED； （2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°， 由余弦定理可得BD= ，仅而∠ADB=90°， 即BD⊥AD， 又∵平面AED⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD， ∴BD⊥平面AED， ∵BD?平面BED， ∴平面BED⊥平面AED （3）解：∵EF∥AB， ∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角， 过点A作AH⊥DH于点H，连接BH， 又平面BED∩平面AED=ED， 由（2）知AH⊥平面BED， ∴直线AB与平面BED所成的为∠ABH， 在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得cos∠ADE= ， ∴sin∠ADE= ， ∴AH=AD? ， 在Rt△AHB中，sin∠ABH= = ， ∴直线EF与平面BED所成角的正弦值
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据余弦定理求出BD= ，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
10.（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【答案】（1）证明：如图所示， ∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD． 显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB （2）解：已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OG∥EF，∵OG∥BD， ∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC． 同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．（2）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．；本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
11.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】（1）解：证明：找到 中点 ，连结 ， ∵矩形 ,∴ ∵ 、 是中点，∴ 是 的中位线 ∴ 且 ∵ 是正方形 中心 ∴ ∴ 且 ∴四边形 是平行四边形 ∴ ∵ 面 ∴ 面 （2）解：如图所示建立空间直角坐标系 ， ， ， 设面 的法向量 得： ∴ ∵ 面 ， ∴面 的法向量 （3）∵ ∴ 设 ∴ 得：
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF； （2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值
12.（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
【答案】（1）证明∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1 ， ∴DE∥A1C1 ， ∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F； （2）证明∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1 ， ∴AA1⊥A1C1 ， 又∵A1C1⊥A1B1 ， 且AA1∩A1B1=A1 ， AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1 ， ∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F， 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F?平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F．
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1 ， 据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F
13.（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．
【答案】（1）证明：取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线， ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE= BC=AM=2， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN?平面NEM，∴MN∥平面PAB （2）解： 取AC中点F，连结NF， ∵NF是△PAC的中位线， ∴NF∥PA，NF= =2， 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD， 如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM， ∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形， ∴AC=MG=3， 又∵ME=3，EC=CG=2， ∴△MEG的高h= ，∴S△BCM= ，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM=? = .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（2）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．；本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【答案】（1）证明： M为PD的中点，直线CM∥平面PAB． 取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA， ∵ME?平面PAB，PA?平面PAB， ∴ME∥平面PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE是平行四边形， ∴CE∥AB． ∵CE?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CE∥平面PAB． ∵ME∩CE=E， ∴平面CME∥平面PAB， ∵CM?平面CME， ∴CM∥平面PAB； （2）解：∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交， ∴PA⊥平面ABCD， ∵BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD， 由（1）及BC=CD= AD，可得∠BAD=∠BDA=45°， ∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面PAB， ∵BD?平面PBD， ∴平面PAB⊥平面PBD
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD；本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
15.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
【答案】（1）解：延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED= AD， ∵BC=CD= AD，∴ED=BC， ∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB， ∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE （2）解：如图所示， ∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD． 因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD． 不妨设AD=2，则BC=CD= AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴ =（﹣1，1，0）， =（0，1，﹣2）， =（0，0，2）， 设平面PCE的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得： ． 令y=2，则x=2，z=1，∴ =（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ= = = = ．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED= AD，由BC=CD= AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可． （2）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD= AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出． 本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
