2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质
（学生版）
备战基础·零风险
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.
直线与平面垂直
定义
若直线l与平面α内的 一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P? 。
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 ．即：a⊥α，b⊥α? .
平面与平面垂直
定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a?α，a⊥β? .
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b? .
直线与平面所成的角
定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
线面角θ的范围
。
二面角的有关概念
二面角
从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
二面角的平面角
二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等；
二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”；
三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况．
2.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．
3. 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．
4. 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．
5. (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
小结
1．转化思想：垂直关系的转化
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知两个平面垂直,下列命题: (1) 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意直线. (2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. (3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是(? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?0
2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ?） ??????
A.?垂直????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?相交不垂直????????????????????????????????D.?不确定
3.若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A.?a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c=A????????????????????B.?a⊥b，b∥α C.?a∩b=A，b?α，a⊥b?????????????????????????????????????????D.?α∥b，b⊥a
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（? ） ①若m∥α，n?α，则m∥n ②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m?α，n?β且m⊥n，则α⊥β ④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α ??????
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论： ①动直线A′F与直线DE互相垂直； ②恒有平面A′GF⊥平面BCED； ③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值； ④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值． 其中正确结论的个数是（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.如图,正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持 ， 则动点的轨迹是?????（???）
A.?线段?????????????????????????????????????????????????????????????B.?线段 C.?中点与中点连成的线段??????????????????????????D.?中点与中点连成的线段
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（ ）
A.?O是△AEF的垂心????????????B.?O是△AEF的内心????????????C.?O是△AEF的外心????????????D.?O是△AEF的重心
8.如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为（??）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
9.如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不垂直的是（?? ）
A.???? ??B.? C.????????????????????????????????????????????????????D.?
10.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（? ?）
A.?垂直??????????????????????????????????B.?斜交??????????????????????????????????C.?平行??????????????????????????????????D.?不能确定
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(? ?)
A.?A1E⊥DC1??????????????????????????B.?A1E⊥BD??????????????????????????C.?A1E⊥BC1??????????????????????????D.?A1E⊥AC
12.已知直线l⊥平面α，P∈α，那么过点P且垂直于l的直线（ ）
A.?只有一条，在平面α内?????????????????????????????????????????B.?只有一条，且不在平面α内 C.?有无数条，且都在平面α内??????????????????????????????????D.?有无数条，不一定都在平面α内
二、填空题
13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1 ， 则动点P的轨迹是________．
14.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体 中， 平面 ， ，则四面体 的直角个数为________．
15.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________?对．
16.平面α、β、r两两垂直，点A∈α，A到β、r的距离都是1，P是α上的动点，P到β的距离是到点A距离的倍，则P点轨迹上的点到r距离的最小值是________?
17.三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是________?
18.如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________?对．
19.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的________?心．
20.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形； ③AB与CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是； 其中正确结论是________?（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
21.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
求证：AC1⊥BA1；
22.四棱锥 中，底面 是 的菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 .
（1）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 为边 的中点，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面 ？并证明你的结论.
23.如图，在三棱锥 中， 垂直于平面 ， .求证： 平面 .
24.在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点． （Ⅰ）求证：FM∥平面ADE； （Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面ADE．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.?m∥l????????????????????????????????????B.?m∥n????????????????????????????????????C.?n⊥l????????????????????????????????????D.?m⊥n
二、解答题
2.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
3.（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
4.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
5.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
6.（2018?卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正玄值。
7.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
8.（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
9.（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
10.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
11.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
13.（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
14.（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求证：BF⊥平面ACFD；
（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质
（教师版）
备战基础·零风险
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.
直线与平面垂直
定义
若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α.
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α?a∥b.
平面与平面垂直
定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a?α，a⊥β?α⊥β.
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?a⊥β.
直线与平面所成的角
定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
线面角θ的范围
θ∈.
二面角的有关概念
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
二面角的平面角
二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等；
二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”；
三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况．
2.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．
3. 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．
4. 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．
5. (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
小结
1．转化思想：垂直关系的转化
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知两个平面垂直,下列命题: (1) 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意直线. (2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. (3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是(? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?0
【答案】C
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】(1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（1）错；（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（2）正确；（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（3）错；（4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面，（4）错.
2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ?） ??????
A.?垂直????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?相交不垂直????????????????????????????????D.?不确定
【答案】A
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面． 直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直． 故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直． 故选A 【分析】根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论．
3.若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A.?a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c=A????????????????????B.?a⊥b，b∥α C.?a∩b=A，b?α，a⊥b?????????????????????????????????????????D.?α∥b，b⊥a
【答案】A
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c=A，满足定理的条件，所以A正确；a⊥b，b∥α，a⊥α是不一定，所以不正确；a∩b=A，b?α，a⊥b及α∥b，b⊥a都不正确 故选A 【分析】按照直线与平面垂直的判断定理，直线垂直平面内的两条相交直线，直线垂直平面，考查四个选项即可得到正确结果．
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（? ） ①若m∥α，n?α，则m∥n ②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m?α，n?β且m⊥n，则α⊥β ④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α ??????
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】A
【考点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若m∥α，n?α，则m与n可能平行也可能异面，故①错误；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m?β，又由n⊥β，则m⊥n，故②正确； 若m?α，n?β且m⊥n，则α与β可能平行也可能相交，故③错误； 若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n与α可能平行也可能相交，故④错误； 故选A 【分析】根据空间中直线与直线位置关系的定义，我们可以判断①的对错；根据面面垂直，线面垂直的性质及线线垂直的定义，我们可以判断②的对错；根据面面垂直的判定方法我们能判断③的正误；根据线面平行的判定方法我们可以判断④的真假，进而得到答案．
5.已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论： ①动直线A′F与直线DE互相垂直； ②恒有平面A′GF⊥平面BCED； ③四棱锥A′﹣BCED的体积有最大值； ④三棱锥A′﹣DEF的侧面积没有最大值． 其中正确结论的个数是（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG， 所以DE⊥A′F；故①正确； ②由①得DE?平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正确； ③三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故③正确； 故选C． 【分析】由线面垂直的判定定理、性质定理由三棱锥的体积公式等进行判断．
6.如图,正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持 ， 则动点的轨迹是?????（???）
A.?线段?????????????????????????????????????????????????????????????B.?线段 C.?中点与中点连成的线段??????????????????????????D.?中点与中点连成的线段
【答案】A
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】如下图所示，连接、、， 由于四边形为正方形，所以， 因为平面， 平面， ， 因为， 所以平面， 平面， 所以， 同理可证， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以， 过点有且只有一个平面与垂直，且过点与垂直的直线都在此平面内，故平面， 而平面平面， 故点在侧面内的轨迹为线段， 故选A.
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（ ）
A.?O是△AEF的垂心????????????B.?O是△AEF的内心????????????C.?O是△AEF的外心????????????D.?O是△AEF的重心
【答案】A
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意可知PA、PE、PF两两垂直， 由PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF， 所以EF⊥平面PAO， ∴EF⊥AO，同理可知：AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O为△AEF的垂心． 故选：A． 【分析】先证明PA⊥EF，PO⊥EF，可证EF⊥平面PAO，从而可得EF⊥AO，同理可知：AE⊥FO，AF⊥EO，从而判定O为△AEF的垂心．
8.如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为（??）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵是圆的直径，∴， 又面圆， 故， 且， ∴面， 所以， 又， 且， ∴面， 故， ， 又， 且,所以面， 从而， 故①②③正确，若， 则可证面， 则∥， 这是不可能的，选C.
11.如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不垂直的是（?? ）
A.???? ??B.? C.????????????????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于 ，易证 ， ，即可证直线 平面 ；对于 ，易证 ， ，即可证直线 平面 ；对于 ，易证 ， ，即可证直线 平面 ；对于 ，由图可得 与直线 相交且不垂直，故直线 与平面 不垂直.
故答案为：D
【分析】根据直线与平面垂直的判定以及正方体的结构特征即可得到结论．
9.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（? ?）
A.?垂直??????????????????????????????????B.?斜交??????????????????????????????????C.?平行??????????????????????????????????D.?不能确定
【答案】A
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确．故答案为：A. 【分析】直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确。
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(? ?)
A.?A1E⊥DC1??????????????????????????B.?A1E⊥BD??????????????????????????C.?A1E⊥BC1??????????????????????????D.?A1E⊥AC
【答案】C
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连B1C,由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1 ，
∴A1B1⊥BC1 ，
∵A1B1∩B1C=B1 ，
∴BC1⊥平面A1ECB1 ，
∵A1E?平面A1ECB1 ，
∴A1E⊥BC1.
故答案为：C.
【分析】由正方体的结构特征,得到BC1⊥平面A1ECB1 ， A1E?平面A1ECB1 ， 故A1E⊥BC1.
12.已知直线l⊥平面α，P∈α，那么过点P且垂直于l的直线（ ）
A.?只有一条，在平面α内?????????????????????????????????????????B.?只有一条，且不在平面α内 C.?有无数条，且都在平面α内??????????????????????????????????D.?有无数条，不一定都在平面α内
【答案】C
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：∵直线l⊥平面α， ∴直线l垂直平面α内的所有直线， 则过点P且垂直于l的直线有无数条，且都在平面α内， 故选：C 【分析】根据线面垂直的性质即可得到结论．
二、填空题
13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1 ， 则动点P的轨迹是________．
【答案】B1C
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
故答案为：B1C 【分析】由正方体的结构特征得，当点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1时，BD1垂直平面AB1C，则有AP⊥BD1.
14.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体 中， 平面 ， ，则四面体 的直角个数为________．
【答案】4
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】
如图，因为 平面 ，所以 都是直角三角形；又 ，则 是直角三角形；又由题设可知 ，故 平面 平面 ，故平面 是直角三角形，故应填答案 。
【分析】根据题意结合已知条件利用线面垂直的性质即可得出直角的个数。
15.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________?对．
【答案】3
【考点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵由已知，CD⊥AB ∴平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC， 由∵ADC⊥平面BDC， ∴综上可知，互相垂直的平面有3对． 故答案为：3． 【分析】由CD⊥AB可证明平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，从而可求得互相垂直的平面有3对．
16.平面α、β、r两两垂直，点A∈α，A到β、r的距离都是1，P是α上的动点，P到β的距离是到点A距离的倍，则P点轨迹上的点到r距离的最小值是________?
【答案】0
【考点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意知，P到β的距离等于P到点A距离的倍， 即P到两个面的交线的距离等于P到点A的距离的倍， ∴P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是 当点P的轨迹上的点到r的距离的最小时，点应该在短轴的端点处， ∵ ∴a= ， c=1， ∴b=1 ∴点P的轨迹上的点到r的距离的最小值是0， 故答案为：0． 【分析】由题意知，P到两个面的交线的距离等于P到点A的距离的倍，从而得到P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是 ． 当点P的轨迹上的点到γ的距离的最小时，点应该在短轴的端点处，由此能求出P点轨迹上的点到r距离的最小值．
17.三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是________?
【答案】
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把A、B、C、P扩展为三棱柱， 上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径， PA=2AB=2a，OE=a，△ABC是正三角形，∴AB=a， ∴AE=， ∴AO= ∴V球=π?= 故答案为： 【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．
18.如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________?对．
【答案】5
【考点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCD PA?平面PAB，PA?平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD， 可得：面PAB⊥面PAD， BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC， CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD； 故答案为：5 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．
19.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的________?心．
【答案】垂
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E； 因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC； 因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO， 故AO⊥BC即AD⊥BC； 同理：BE⊥AC； 故O是△ABC的垂心． 故答案为：垂． 【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，分析可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．
20.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形； ③AB与CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是； 其中正确结论是________?（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【考点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确． 设折叠前正方形的边长为1，则BD= ， ∴AE=CE= ． ∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC==1． ∴△ABC是等边三角形，故②正确． 取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB， ∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=CD= ， FG=AB= ， EG=AC= ， ∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误． ∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为二面角A﹣BC﹣D的平面角． ∵AE⊥EF，∴tan∠AFE== ． 故④正确． 故答案为：①②④． 【分析】假设正方形边长为1，作出直观图，根据面面垂直的性质和正方形的性质进行判断．
三、解答题
21.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
求证：AC1⊥BA1；
【答案】证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A1D⊥平面ABC，
∵A1D?平面A1AC，
∴平面A1AC⊥平面ABC，
∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A1AC，
∵AC1?平面A1AC，
∴BC⊥AC1 ，
∵四边形ACC1A1为平行四边形，AA1=AC，
∴四边形ACC1A1为菱形，
∴A1C⊥AC1 ，
∵A1C?平面A1CB，BC?平面A1CB，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1CB，
∵BA1?平面A1CB，
∴AC1⊥BA1 ．
【考点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】先利用面面垂直的判定定理证明出平面A1AC⊥平面ABC，进而证明出BC⊥AC1 ， 同理根据菱形的性质证明出A1C⊥AC1 ， 利用线面垂直的判定定理证明出AC1⊥平面A1CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC1⊥BA1。
22.四棱锥 中，底面 是 的菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 .
（1）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 为边 的中点，能否在棱 上找到一点 ，使平面 平面 ？并证明你的结论.
【答案】（1）．解：如图，取 中点 ，连接 ， ， ， ∵ 为等边三角形，∴ ， 在 中， ， ， ∴ 为等边三角形，∴ ， ∴ 平面 . （2）．解：连接 与 相交于点 ， 在 中，作 ，交 于点 ， ∵ 平面 平面 ，∴ 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ 平面 平面 ， 易知四边形 为平行四边形， ∴ 是 的中点，∴ 是 的中点， ∴ 在 上存在一点 ，即为 的中点，使得平面 平面
【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明直线AD垂直于平面PBG中的两条相交直线PG,BG，即可证明线面垂直； （2）利用线面垂直证明面面垂直。
23.如图，在三棱锥 中， 垂直于平面 ， .求证： 平面 .
【答案】解：∵ 面 ， 在面 内， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ 面
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】准确理解线面垂直的基本性质，根据题意得知，结合题意,即可得出答案。
24.在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点． （Ⅰ）求证：FM∥平面ADE； （Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面ADE．
【答案】证明：（Ⅰ）取BE中点N，连结MN、FN， ∵F、M、N分别为AB、CD、BE的中点， ∴MN∥DE，FN∥AE， 又∵AE，DE?平面ADE，FN、MN?平面ADE， ∴MN∥平面ADE，FN∥ADE， MN∩FN=N，∴平面FMN∥平面ADE， FM?平面FMN，∴FM∥平面ADE． （Ⅱ）∵四边形DCBE为矩形，∴BC⊥DC， 又AC⊥BC，AC∩DC=C，∴BC⊥平面ACD， 又∵BC∥DE，∴DE⊥平面ACD， ∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）取BE中点N，连结MN、FN，推导出平面FMN∥平面ADE，由此能证明FM∥平面ADE． （Ⅱ）推导出BC⊥DC，BC⊥平面ACD，从而DE⊥平面ACD，由此能证明平面ACD⊥平面ADE．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.?m∥l????????????????????????????????????B.?m∥n????????????????????????????????????C.?n⊥l????????????????????????????????????D.?m⊥n
【答案】C
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m?β或m⊥β，l?β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【分析】由已知条件推导出l?β，再由n⊥β，推导出n⊥l．本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、解答题
2.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF ， BF⊥EF ， 又 ， ∴BF⊥平面PEF. ∴又 平面ABFD ， 平面PEF⊥平面ABFD. （2）解：作PH⊥EF ， 垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得 . 则 ? 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为 ，则 . ∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作 于H,由 得到 ,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.
3.（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA
（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:
（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
【答案】（1）解：证明： ， ∴AC⊥CM,AB⊥AC 又∵AB⊥DA，DA BC=A， ∴AB⊥面ACD，AB 面ABC ∴面ACD⊥面ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ． 又 ，所以 ． 作QE⊥AC ， 垂足为E ， 则 ． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC ， 所以QE⊥平面ABC ， QE=1． 因此，三棱锥 的体积为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）在翻折过程中,由于 ,连接DB,在三角形ABD中求出BD,再在三角形BCD中求出角DCB为直角,于是 ,又 ,则 平面ABC,从而得到面面垂直;(2).由于点P,Q分别是BC,DA上的分点,求出三角形ABP的面积,高即为DC的三分之一,由其体积.
4.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
【答案】（1）∵PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ∴PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）过点C作CH⊥OM交OM于点H 又∵PO⊥平面ABC ∴ ∴CH的长度为点C到平面POM的距离 在△COM中，CM= ?，OC=2，∠OCM=45° ∴ ∴OM= ∴
【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.
5.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ?PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB ∴AB=BC=2 ?? O是AC的中点 ∴OB⊥AC??? OB⊥平面PAC 如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz 则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0） 平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0） 平面PAC法向量为 =（1，λ，μ）， =（0，2， ）, = （x，4-x，0） 则 即 即 得到 ，∴x=-4（舍） ，x= 即M ∴PAM的法向量 记PC与平面PAM所成的角为θ ∴ 即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
6.（2018?卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正玄值。
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 即 又DMC 面AMD 所以 平面 （2）解：当M-ABC三棱锥体积最大时，M位于CD垂直的半径上 取CD中点E，则ME⊥CD,取AB中点F，则EF⊥CD 所以 为面MAB与面MCD所成二面角，又ME=1,EF=2 所以MF= ,即
【考点】平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】由线面垂直，得到面面垂直，第二问由二面角定义，做出二面角即可
7.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
【答案】解：（Ⅰ）∵AC=BC, 又E是AC的中点， ∴ , 又CC1 面ABC,EF CC1, ∴EF 面ABC， 又AC 面ABC, ∴EF AC. 又 ,所以AC 面BEF. （Ⅱ）过E作EH CD于H，连接BH ∵EH CD，BE AC,BE EF, ∴BE 面ACC1A1 ， CD 面ACC1A1 ， ∴CD BE,由二面角定义可知， 为二面角B-CD-C1的平面角的补角，BE=2，EH= ， ∴BH= ∴cos = ,而二面角B-CD-C1的余弦值为 ， （Ⅲ）假设FG与面BCD不相交，则FG 与面BCD， ∵EF CD=Q，连接BQ， 又∵面EFGB 面DCB=BQ. ∵FG BH，又BG EF， ∴四边形BGEF为平行四边形与 矛盾。所以假设不成立，故FG与面BCD相交。
【考点】反证法，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明AC垂直于面BEF内两条相交直线BE,EF.（2）用定义法作出二面角 BHE为所求二面角的补角；（3）反证法，假设平行，推出矛盾。
8.（2018?北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD,PA⊥PD， ∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD, ∴PE⊥面ABCD 又BC 面ABCD ∴PE⊥BC （Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD ∴AB⊥面PAD， 又PD 面PAD ∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD ∴PE⊥AB, ∴AB⊥面PAD 又AB∥DC,则面PAB 面PCD=l, ∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p, ∴PD⊥面PAB,又PD 面PCD， ∴面PAB⊥面PCD （Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN 则FM BC,ED BC 所以FM、DE是平行四边形 则EF∥MN,MN 面PCD，所以EF∥面PCD
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
9.（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2 ． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴ = = =1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ． 同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）． ∴cos = = =﹣ ． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2 ． 可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
10.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD． （2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ）， ∴ =（1， ）， =（﹣1， ）， ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的性质，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积运算，空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
11.（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD?平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面ABC∩平面ABC=AC， BD?平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD?平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）解：PA∥平面BDE，PA?平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE= PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE?S△BDC= ×1×1= ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1.）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证； （2.）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3.）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD， ∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． （2）解：设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ， ∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ， ∴VP﹣ABCD= = = = =8， 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ， ∴PB=PC= =2 ， ∴该四棱锥的侧面积： S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC = + + + = =6+2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1.）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD． （2.）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
13.（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【答案】（1）证明：如图所示， ∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD． 显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB （2）解：已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OG∥EF，∵OG∥BD， ∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC． 同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．（2）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．；本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
14.（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求证：BF⊥平面ACFD；
（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示： ∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF?平面BCK； ∴BF⊥AC； 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2； ∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD （2）∵BF⊥平面ACFD； ∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC； ∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴ ； 又 ； ∴在Rt△BFD中， ，cos ； 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD； （2）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF= ，DF= ，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值． 考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
