2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第1节 直线与直线方程（学生版）
备战基础·零风险
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
直线的倾斜角与斜率定义
倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ．
斜 率
当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝ ；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝ 。
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝ 。
两点式
过两点
＝ 。
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
。
所有直线
线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 。此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率)．
2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
3. 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
4. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
5. (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
小结
1．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知一直线斜率为3，且过A（3，4），B（x，7）两点，则x的值为（???）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?－6??????????????????????????????????????????D.?3
2.点 到直线 的距离为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.? ?
3.两等角的一组对应边平行，则
A.?另一组对应边平行??????B.?另一组对应边不平行??????C.?另一组对应边也不可能垂直??????D.?以上都不对
4.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为? （?? ）
A.?0.5小时 ??????????????????????????B.?1小时 ??????????????????????????C.?1.5小时??????????????????????????D.?2小时
5.若 三点共线，则 的值为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.直线l过点(-1，2)且与2x-3y+4=0直线垂直，则l的方程是(??? )
A.?2x-3y+5=0?????????????????????B.?2x-3y+8=0?????????????????????C.?3x+2y-1=0?????????????????????D.?3x+2y+7=0
7.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( ??)
A.?3x－4y－1＝0??????B.?3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0??????C.?3x－4y＋1＝0??????D.?3x－4y－21＝0
8.过点P(-1，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（??????）
A.?2x+y-1=0????????????????????????B.?2x+y-5=0????????????????????????C.?x+2y-5=0????????????????????????D.?x-2y+7=0
9.直线 , 且 不同为 经过定点（??? ）
A.????????????????????????????????????B.???????????????????C.????????????????????????????????????D.?
10.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是(???? )
A.?[- ,1]??????????????????B.?[- ,0)∪(0,1] ??????C.?[－1, ]??????????????????D.?(－∞,- ]∪[1,+∞)
11.设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?3 ?????????????????????????????????????D.?
12.a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的（ ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件??????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
13.直线x+y+1=0的倾斜角的大小是（ ）
A.?30°?????????????????????????????????????B.?60°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A.?x+2y+3=0??????????????????????B.?2x+y+3=0??????????????????????C.?x﹣2y+3=0??????????????????????D.?2x﹣y+3=0
15.已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为（??? ）
A.????B.?????C.?????????D.?
16.已知直线 ，直线 ，且 ，则 等于（?? ）
A.?-1??????????????????????????????????????B.?6或-1??????????????????????????????????????C.?-6??????????????????????????????????????D.?-6或1
17.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( ??)
A.?y＝2x＋4??????????????????????B.?y＝ x－3??????????????????????C.?x－2y－1＝0??????????????????????D.?3x＋y＋1＝0
二、填空题
18.在空间直角坐标系中，点 在平面 上的射影为点 ，在平面 上的射影为点 ，则 ________．
19.过点A（﹣1，0）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为________?
20.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1 ． 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________?
21.下列命题正确的是________. ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是: ,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大；③直线 过点 ，且横截距与纵截距相等，则直线 的方程一定为 ；④过点 ,且斜率为1的直线的方程为 .
22.已知直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于________?
23.已知点A（﹣1，2），B（﹣4，6），则|AB|等于________?
24.已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________.
25.若函数y=ax﹣2与y=bx+3的图象与x轴交于一点，则=________?
三、解答题
26.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，求入射光线所在直线方程．
27.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
若点F到直线l的距离为 ， 求直线l的斜率.
28.根据下列条件，分别求直线方程：???
（1）经过点 且与直线 垂直；
（2）求经过直线 与 的交点，且平行于直线 的直线方程．
29.已知两条直线 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?北京）在平面直角坐标系中，记d为点 到直线x-my-2=0的距离，当 ， m变化时，d的最大值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
2.（2016?全国）圆 的圆心到直线 ?的距离为1，则a=(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅰ卷）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．
4.（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
5.（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________．
6.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
三、解答题
7.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
8.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
9.（2017?新课标Ⅰ卷） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
10.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
11.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
12.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第1节 直线与直线方程（教师版）
备战基础·零风险
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
直线的倾斜角与斜率定义
倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
斜 率
当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率)．
2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
3. 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
4. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
5. (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
小结
1．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知一直线斜率为3，且过A（3，4），B（x，7）两点，则x的值为（???）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?－6??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】直线的斜率
【解析】【分析】由题意可得选A.
2.点 到直线 的距离为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.? ?
【答案】A
【考点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题已知：点 ，直线方程为： ，则： . 故答案为：A. 【分析】点（x0 ， y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为.
3.两等角的一组对应边平行，则
A.?另一组对应边平行???? ??B.?另一组对应边不平行??????
C.?另一组对应边也不可能垂直??? ???D.?以上都不对
【答案】D
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】两个等角的一组对边平行，另外一组边可以具有各种位置关系，并且不能确定是哪一种关系，故选D．
4.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为? （?? ）
A.?0.5小时 ??????????????????????????B.?1小时 ??????????????????????????C.?1.5小时??????????????????????????D.?2小时
【答案】B
【考点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】点（40,0)到直线y=x的距离为， 设台风中心到C点的时候B城市处于危险区，处于D点的时候，B城市正好不为危险区，则BC2- ， 所以CD=20.所以B城市处于危险区内的时间为1小时。 【分析】准确理解题意，分清已知和所求，画出示意图，将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，是做这类问题的主要思路。
5.若 三点共线，则 的值为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】直线的斜率
【解析】【解答】由三点共线得， ，解得 .故答案为:A. 【分析】由三点共线,则AB与AC的斜率相等,求出m的值.
6.直线l过点(-1，2)且与2x-3y+4=0直线垂直，则l的方程是(??? )
A.?2x-3y+5=0?????????????????????B.?2x-3y+8=0?????????????????????C.?3x+2y-1=0?????????????????????D.?3x+2y+7=0
【答案】C
【考点】两条直线垂直的判定，直线的一般式方程
【解析】【分析】设与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为 3x+2y+m=0，把点（-1，2)代入可得 m 值，从而得到所求的直线方程． 【解答】设与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为? 3x+2y+m=0， 把点（-1，2)代入可得-3+4+m=0，∴m=-1，故所求的直线的方程为 3x+2y-1=0， 故选C．
7.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( ??)
A.?3x－4y－1＝0??????B.?3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0??????C.?3x－4y＋1＝0??????D.?3x－4y－21＝0
【答案】B
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意得 ， 解得c＝－1或c＝－21. 故答案为:B. 【分析】设出直线方程,由平行直线间的距离公式求解.
8.过点P(-1，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（??????）
A.?2x+y-1=0????????????????????????B.?2x+y-5=0????????????????????????C.?x+2y-5=0????????????????????????D.?x-2y+7=0
【答案】A
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过点（-1，3)，由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0．应选A
9.直线 , 且 不同为 经过定点（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】令 且 ，解得 时，当 时，不管 取何值， 恒成立， 直线 经过定点 ， 故答案为：A.
【分析】直接利用直线经过定点的充要条件建立方程组，解方程组求得结果．本题考查的知识要点：直线经过定点的充要条件，一元二次方程组的解法．
10.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是(???? )
A.?[- ,1]??????????????????B.?[- ,0)∪(0,1] ??????C.?[－1, ]??????????????????D.?(－∞,- ]∪[1,+∞)
【答案】D
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】解答：画出图象，看M点的变化范围.
可知直线CM应该在AC与BC间变化，且 , ,故有选D. 分析：本题主要考查了直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，解决问题的关键是根据直线运动变换情况结合斜率定义分析计算即可.
11.设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ???????????????????????????????????C.?3 ?????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：作出点A（3，1）关于y=x的对称点A′（1，3）， 关于x轴的对称点A''（3，﹣1）， 连结A′A''，交直线y=x于点C，交x轴于点B， 则AC=A′C，AB=A''B， ∴△ABC周长的最小值为： |A′A“|= =2 ． 故答案为：B． 【分析】作出点A关于直线y=x的对称点,点A关于y轴的对称点，连接，交x轴于B点，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到，得出长即为的周长的最小值。
12.a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的（ ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件?????C.?充分必要条件????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：当a=﹣1时，两条直线分别化为：4x+9=0，y+6=0，此时两条直线相互垂直； 当a=0时，两条直线分别化为：4x﹣y+9=0，﹣x+6=0，此时两条直线不垂直； 当a≠﹣1，0时，两条直线的斜率分别：， ∵两条直线相互垂直，∴=﹣1，解得a= ． 综上可得：a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的充分不必要条件． 故选：A． 【分析】对a的值分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件即可得出．
13.直线x+y+1=0的倾斜角的大小是（ ）
A.?30°?????????????????????????????????????B.?60°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
【答案】D
【考点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为 ， 即tanα= 所以α=150° 故选D． 【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．
14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A.?x+2y+3=0??????????????????????B.?2x+y+3=0??????????????????????C.?x﹣2y+3=0??????????????????????D.?2x﹣y+3=0
【答案】C
【考点】待定系数法求直线方程
【解析】【解答】解：线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2， ∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0． ∵AC=BC， ∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0． 故选：C． 【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．
15.已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为（??? ）
A.?? B.???
C.???????? ?D.?
【答案】A
【考点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】圆 可化为： ?，显然过点 的直线 不与圆相切，则点 与圆心连线的直线斜率为 ?，则所求直线斜率为 ?，代入点斜式可得 ?，整理得 。
故答案为：A.
【分析】普通方程转化成标准方程，计算直线斜率，结合点斜式，计算方程，即可得出答案。
16.已知直线 ，直线 ，且 ，则 等于（?? ）
A.?-1??????????????????????????????????????B.?6或-1??????????????????????????????????????C.?-6??????????????????????????????????????D.?-6或1
【答案】B
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由题意知，l1⊥l2 ， 则3(m+2)+[?(m?2)]×m=0；解得，m=6或?1. 故答案为：B 【分析】利用两条直线垂直的一般方程的系数关系代入数值求出结果即可。
17.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( ??)
A.?y＝2x＋4??????????????????????B.?y＝ x－3??????????????????????C.?x－2y－1＝0??????????????????????D.?3x＋y＋1＝0
【答案】C
【考点】直线的点斜式方程，与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设点A（3,1）关于直线 的对称点为 ，则 ?，解得 ?，即 ，所以直线 的方程为 ，联立 ?解得 ?，即 ?,又 ，所以边AC所在的直线方程为 ， 故答案为：C. 【分析】先求出点A关于直线的对称点A'的坐标,得到直线A'B的方程,与∠ACB的平分线方程为y＝x＋1的交点即为点C,再求出直线AC的方程.
二、填空题
18.在空间直角坐标系中，点 在平面 上的射影为点 ，在平面 上的射影为点 ，则 ________．
【答案】
【考点】两点间距离公式的应用
【解析】【解答】因为点 在平面 上的射影为点 , 在平面 上的射影为点 ，所以由两点间距离公式可得 ?，故答案为 . 【分析】首先求出点A在平面 yOz 上的射影，再由两点间的距离公式代入数值求出结果即可。
19.过点A（﹣1，0）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为________?
【答案】2x﹣y+2=0
【考点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：设与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0， 把点A（﹣1，0）代入，得﹣2﹣0+c=0， 解得c=2， ∴过点A（﹣1，0）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+2=0． 故答案为：2x﹣y+2=0． 【分析】设与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，再把点A（﹣1，0）代入，求出c，从而得到结果．
20.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1 ． 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________?
【答案】6x﹣8y+1=0
【考点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：设直线l的方程为：y=kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y=k（x﹣3）+5+b，化为y=kx+b+5﹣3k， 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y=k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化为y=kx+3﹣4k+b． 又与直线l重合． ∴b=3﹣4k+b，解得k= ． ∴直线l的方程为：y=x+b，直线l1为：y=x++b， 设直线l上的一点P（m，b+），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4﹣m，6﹣b﹣m）， ∴6﹣b﹣m=（4﹣m）+b+ ， 解得b= ． ∴直线l的方程是y=x+ ， 化为：6x﹣8y+1=0． 故答案为：6x﹣8y+1=0． 【分析】利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出．
21.下列命题正确的是________. ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是: ,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大；③直线 过点 ，且横截距与纵截距相等，则直线 的方程一定为 ；④过点 ,且斜率为1的直线的方程为 .
【答案】②
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：对于①，当直线的倾斜角为 时，直线的斜率不存在，故①不正确． 对于②，当倾斜角的范围是 时，直线的斜率为非负数，而当倾斜角的范围是 时，直线的斜率为负值，故②正确． 对于③，直线 过点 ，且横截距与纵截距相等时还包括直线过原点的情况，故所得的直线方程有两个，另一个方程为 ．故③不正确． 对于④，直线 上不包括点 ，所求的直线方程为 ，即 ．故④不正确． 综上②正确． 【分析】对于①，倾斜角为 90 ° 时，直线的斜率不存在；对于②，利用正切函数的性质可得结论；对于③，直线 l 过点 ( 2 , 5 ) ，且横截距与纵截距相等时还包括直线过原点的情况，故所得的直线方程有两个；对于④，利用斜率的定义可得结论。
22.已知直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于________?
【答案】-1
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即 a×（a+2）=﹣1， ∴a=﹣1， 故答案为：﹣1． 【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．
23.已知点A（﹣1，2），B（﹣4，6），则|AB|等于________?
【答案】5
【考点】两点间的距离公式
【解析】【解答】∵点A（﹣1，2），B（﹣4，6）， ∴|AB|==5． 故答案为：5. 【分析】利用两点间的距离公式即可求得答案。
24.已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________.
【答案】(3+2 ，0)
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率
【解析】【解答】设Q（x,Q）， ，解得 ，所以Q
【分析】根据题意结合已知条件借助斜率的坐标公式代入数值求出x的值进而得到点Q的坐标。
25.若函数y=ax﹣2与y=bx+3的图象与x轴交于一点，则=________?
【答案】
【考点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：把y=0代入y=ax﹣2可得x= ， 即直线y=ax﹣2与x轴的交点为（ ， 0）， 由于直线y=bx+3也过点（ ， 0）， ∴0=+3，变形可得=- ， 故答案为： ． 【分析】易得其中一条直线与x轴的交点，代入另一条直线方程变形可得．
三、解答题
26.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，求入射光线所在直线方程．
【答案】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0． ∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d= =1， 化为24k2+50k+24=0， ∴k=﹣，或k=﹣． 故入射光线所在直线方程为：﹣x﹣y﹣=0或﹣x﹣y﹣=0， 即4x+3y+1=0或3x+4y+6=0．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
27.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
若点F到直线l的距离为 ， 求直线l的斜率.
【答案】解：由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x﹣4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），
因为点F到直线l的距离为，
所以，
解得k=，所以直线l的斜率为．
【考点】直线的斜率
【解析】【分析】设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l的距离为 ， 所以 ， 由此能求出直线l的斜率．
28.根据下列条件，分别求直线方程：???
（1）经过点 且与直线 垂直；
（2）求经过直线 与 的交点，且平行于直线 的直线方程．
【答案】（1）解：由已知可得所求直线的斜率为 ?所求直线方程为： ? ，即： （2）解：由 ?，解得 ，即交点为 所求直线方程为： ? ，即：
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)根据点斜式代入数值求出直线的方程即可。(2)首先联立两条直线的防腐厂求解出交点的坐标，再由两条直线平行斜率相等利用点斜式即可求出直线的方程。
29.已知两条直线 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1）解：因为直线 ?的斜率存在，
又∵ ，
∴ ，∴ ?或 ，两条直线在 ?轴是的截距不相等，
所以 ?或 ?满足两条直线平行
（2）解：因为两条直线 互相垂直，且直线 的斜率存在，所以 ，即 ，解得
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】（1）首先根据两直线平行可以得知两直线斜率存在且相等，故有,求出a。 （2）首先根据两直线垂直可以得知两直线斜率存在，而且斜率相乘等于-1，则有，求出a。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?北京）在平面直角坐标系中，记d为点 到直线x-my-2=0的距离，当 ， m变化时，d的最大值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：d= = = , 故答案为：C. 【分析】先由点到直线的距离公式得到d，再将 看成自变量，去掉 ，再将m看成自变量，求出最值。
2.（2016?全国）圆 的圆心到直线 ?的距离为1，则a=(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
【答案】A
【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程
【解析】【解答】圆 化为标准方程为： ， 故圆心为 ， ，解得 ， 故选A 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅰ卷）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．
【答案】x﹣y+1=0
【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：曲线y=x2+ ，可得y′=2x﹣ ， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
4.（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
【答案】
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
5.（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________．
【答案】
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离? =? ． 故答案为： ． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．；本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
6.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
【答案】（2，+∞）
【考点】基本不等式，两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组? 无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴ ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= ，则a+b=a+ ，则设f（a）=a+ ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ = ，当0＜a＜1时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2， 综上f（a）＞2， 即a+b的取值范围是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．
三、解答题
7.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）由题意可知如图 故设 （2）由题中几何关系可知 ，又M为OQ中点，故 。 又由几何关系可知t=3， 有 ，则 故 又QO直线斜率 ，PF⊥OQ，则PF直线斜率K2=- 则 ，联立曲线 可知 ，即 。 （3）存在；假设存在，则设E t=8时，P ，其中m∈[0，4]；Q(8，n)，其中n∈[0，8]；且s[0，4]， 则在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ中， ， 即 又n∈[0，8]，解得m∈（0，2） 故 =（6，n）= 得到方程组： ，解得 （舍）或 ，故 所以 ；当 时，以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，并有点E在 上。
【考点】两点间距离公式的应用，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，⑴涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答即可；⑵涉及面积最值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是作为距离的问题的加深；⑶考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对于运动问题应当注意抓住变量。
8.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
9.（2017?新课标Ⅰ卷） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． （2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d= = ，φ满足tanφ= ， 又d的最大值dmax= ， 所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17， 得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17， 即a=﹣16或a=8．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
10.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：设A（x1 ， ），B（x2 ， ）为曲线C：y= 上两点， 则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1； （2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ， 可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t， 再由y= 的导数为y′= x， 设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m， 由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1， 解得m=2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，kAM?kBM=﹣1， 即为 ? =﹣1， 化为x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得t=7． 则直线AB的方程为y=x+7．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的判定，抛物线的应用
【解析】【分析】（1.）设A（x1 ， ），B（x2 ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； （2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1 ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
11.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ， ∵|OM||OP|=16， ∴ =16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ， ∴△AOB的最大面积S= |OA|?（2+ ）=2+ ．
【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方程化简即可； （Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
12.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0）， 设P（x，y），由点P满足 = ． 可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0）， 可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得m= ， 即有Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由kOQ=﹣ ， kPF= ， 由kOQ?kPF=﹣1， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
