2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第2节 两条直线的位置关系
（学生版）
备战基础·零风险
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
两直线平行与垂直
平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2? .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为 ．
垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2? ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组 ；
重合?方程组有 ．
距离公式
两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝ .
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；
三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
2. (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
3. 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是
Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，此直线系不包括l2)．
4.(1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相同．
两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.．
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意
备战练习·固基石
一、单选题
1.两直线与平行，则它们之间的距离为（????）
A.?4????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.点 关于直线 的对称点为（?? ）
A.??????????????????????????????????B.????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
3.两条直线x+y+1=0和x﹣y+1=0的交点坐标是（ ）
A.?（﹣1，0）???????????????????????B.?（0，﹣1）??????????????????????C.?（1，1）??????????????????????D.?（﹣1，﹣1）
4.直线y=x+2到直线y=x的角是（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A.?12???????????????????????????????????B.?13???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?2+
6.直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????D.?
7.两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（ ）
A.? ?????B.? ? ??????C.? ??D.?1
8.a=是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的（ ）
A.?充分而不必要条件???????????B.?必要而不充分条件????????C.?充要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
9.若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????C.?1或﹣2?????????????????????????????????????D.?
10.已知点M是直线l：2x﹣y﹣4=0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的垂线的直线方程是（ ）
A.?x﹣2y﹣2=0?????????????????????B.?x﹣2y+2=0????????????????????C.?x+2y﹣2=0??????????????????????D.?x+2y+2=0
11.已知直线与直线垂直，则实数a的值等于（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.若直线与直线平行 ，则a的值为（???）
A.?1???????????????????????????????????????B.?1或2???????????????????????????????????????C.?-2???????????????????????????????????????D.?1或-2
13.已知点P在曲线上，曲线在点P处的切线平行于直线 ， 则点P的坐标为? （）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
14.由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( ??)
A.?直角三角形???????????????????????B.?等边三角形???????????????????????C.?钝角三角形???????????????????????D.?锐角三角形
二、填空题
15.直线l：y﹣3=k（x+1）必经过定点________?．
16.直线y=kx﹣7与y=﹣3x+4平行，则 k=________?
17.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．
18.两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是________?
19.两条平行直线4x+3y﹣6=0和4x+3y+a=0之间的距离等于2，则实数a=________
20.已知直线l1的方程为3x+4y-7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为________．
21.已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为________? ．
22.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是________．
三、解答题
23.一束光线从点P（0，1）出发，射到x轴上一点A，经x轴反射，反射光线过点Q（2，3），求点A的坐标．
24.已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1）． （1）求BC边上的高线所在的直线方程； （2）求BC边上的中线所在的直线方程．
25.已知直线方程为（2+r）x+（1﹣2r）y+4﹣3r=0，求证：不论r取何实数值，此直线必过定点．
26.已知两平行直线?1：ax﹣by+4=0与?2：（a﹣1）x+y﹣2=0．且坐标原点到这两条直线的距离相等．求a，b的值．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
2.（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
二、解答题
3.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第2节 两条直线的位置关系
（教师版）
备战基础·零风险
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
两直线平行与垂直
平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
距离公式
两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式；
三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同.
2. (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
3. 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是
Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，此直线系不包括l2)．
4.(1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相同．
两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.．
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意
备战练习·固基石
一、单选题
1.两直线与平行，则它们之间的距离为（????）
A.?4????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】∵两直线与平行，∴， ∴m=2，直线化为， 故两直线的距离为， 故选D 【分析】熟练运用两直线的位置关系及距离公式是解决此类问题的关键，属基础题。
2.点 关于直线 的对称点为（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设点 关于直线 的对称点为 ，则 ①，又线段 的中点 在直线 上，即 整理得： ②，联立①②解得 ．∴点 关于直线 的对称点 点的坐标为 ， 故答案为：B． 【分析】设点 A ( 2 , ? 3 ) 关于直线 y = ? x + 1 的对称点为 P ( a , b ) ，根据斜率乘积等于-1和中点在直线y = ? x + 1上，联立方程组，即可得到对称点的坐标。
3.两条直线x+y+1=0和x﹣y+1=0的交点坐标是（ ）
A.?（﹣1，0）???????????????????????B.?（0，﹣1）??????????????????????C.?（1，1）??????????????????????D.?（﹣1，﹣1）
【答案】A
【考点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】联立直线方程可得 ， 解方程组可得 ， ∴两直线交点的坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 【分析】联立直线的方程，解方程组可得．
4.直线y=x+2到直线y=x的角是（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】由题意直线y=x+2与直线y=x的斜率分别为与 所以直线y=x+2到直线y=x的角的正切是tanα= ∴直线y=x+2到直线y=x的角为 故选D. 【分析】由题意，可先解出两条直线的倾斜角，再由到角公式tanα= 求出到角的正切，然后由所得三角函数值解出所求的角，得出正确选项.
5.在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A.?12???????????????????????????????????B.?13???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?2+
【答案】B
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：∵A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5）， 由反射原理可知反射光线经过A′（﹣3，﹣5）， 设入射光线与x轴相交于M， 则这束光线从A到B所经过的距离为： |AM|+|MB|=|A′M|+|MB|=|A′B|= ==13． 故选B． 【分析】利用反射原理可知反射光线经过A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5），从而可求得答案．
6.直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是： 故选：A． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
7.两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（ ）
A.? ??? ?B.? ??C.? ?D.?1
【答案】A
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0，即6x﹣8y﹣2=0，与它平行的直线l2：6x﹣8y﹣7=0，
故它们之间的距离为 d=
故选A．
【分析】把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后利用两平行线间的距离公式，求得结果．
8.a=是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的（ ）
A.?充分而不必要条件???????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：对于：直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0， 当a=0时，分别化为：x+1=0，﹣x+y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去； 当a=﹣1时，分别化为：﹣3y+1=0，﹣2x﹣3=0，此时两条直线相互垂直，因此a=﹣1满足条件； 当a≠﹣1，0时，两条直线的斜率分别为： ， ， 由于两条直线垂直，可得=﹣1，解得a=或﹣1（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=或﹣1． ∴a=是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A． 【分析】对a分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．
9.若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????C.?1或﹣2?????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得 ，得：m=1，故选：A． 【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．
10.已知点M是直线l：2x﹣y﹣4=0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的垂线的直线方程是（ ）
A.?x﹣2y﹣2=0?????????????????????B.?x﹣2y+2=0????????????????????C.?x+2y﹣2=0??????????????????????D.?x+2y+2=0
【答案】C
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：在2x﹣y﹣4=0中， 令y=0，解得x=2， ∴M（2，0）． ∵kl=2， ∴所求的垂线所在的直线的斜率k=﹣ ， 故所求的垂线所在的直线方程是：y=﹣（x﹣2）， 整理，得x+2y﹣2=0． 故选C． 【分析】在2x﹣y﹣4=0中，令y=0，解得x=2，所以M（2，0）．由题设知所求的垂线所在的直线方程过M（2，0），斜率k=﹣ ， 由此能求出所求的垂线所在的直线方程．
11.已知直线与直线垂直，则实数a的值等于（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】先检验a=0时两直线是否垂直，当当a≠0时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于-1，解方程求出a． 当实数a=0时，两直线的方程分别为 y-1="0" 和 x=-， 显然两直线垂直． 当a≠0时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于-1得 ， ∴a=， 综上，a=或a=0， 故选 C． 【分析】研究两直线的垂直问题，注意考虑斜率不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想． 属于基础题。
12.若直线与直线平行 ，则a的值为（???）
A.?1???????????????????????????????????????B.?1或2???????????????????????????????????????C.?-2???????????????????????????????????????D.?1或-2
【答案】A
【考点】两条直线平行的判定
【解析】【分析】因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以。选A 【点评】此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证。
13.已知点P在曲线上，曲线在点P处的切线平行于直线 ， 则点P的坐标为? （）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】由曲线的解析式求出y的导函数，因为曲线上过点P的切线方程平行于直线y=3x+2，得到两直线的斜率相等，由y=3x+2求出直线的斜率，令导函数等于求出的斜率，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即为点P的横坐标，把求出的x的值代入曲线解析式中求出的y即为点P的纵坐标，写出点P的坐标即可。由y=x4-x，得到y′=4x3-1，又直线y=3x+2的斜率为3， 则4x3-1=3，解得x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，所以点P的坐标为（1，0)．故答案为：D 【分析】此题要求学生掌握两直线平行时斜率相等，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．
14.由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( ??)
A.?直角三角形???????????????????????B.?等边三角形???????????????????????C.?钝角三角形???????????????????????D.?锐角三角形
【答案】A
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0，则 ? ?故答案为：A 【分析】根据题意利用两条直线垂直斜率之积等于-1即可得出该三角形为直角三角形。
二、填空题）
15.直线l：y﹣3=k（x+1）必经过定点________?．
【答案】（﹣1，3）
【考点】过两条直线交点的直线系方程
【解析】【解答】解：取k=0，得方程为y﹣3=0，此时对应的直线设为l1； 再取k=﹣3，得方程为y﹣3=﹣3x﹣3此时对应的直线设为l2 ． 联立 ，得x=﹣1且y=3，所以直线l1与l2交于点P（﹣1，3） P点即为所求直线l：y﹣3=k（x+1）恒过的定点（﹣1，3） 故答案为：（﹣1，3）． 【分析】随着实数k取不同的值，直线l：y﹣3=k（x+1）表示不同的直线，而这一系列直线经过同一个定点．因此取两个特殊的k值，得到两条相交直线，将它们的方程联解得到交点坐标，即为所求直线l：y﹣3=k（x+1）恒过的定点．
16.直线y=kx﹣7与y=﹣3x+4平行，则 k=________?
【答案】-3
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx﹣7的斜率为k，直线y=﹣3x+4的斜率为﹣3 ∴当直线y=kx﹣7与y=﹣3x+4平行时，两条直线的斜率相等，即k=﹣3 故答案为：﹣3 【分析】根据两条直线平行的条件，结合题中的数据加以计算，即可得到实数k值．
17.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．
【答案】3x+y﹣3=0
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：直线MN的斜率为 =3，反射光线所在的直线过点N（1，0），斜率是MN的斜率的相反数﹣3， 由点斜式求得反射光线所在的直线方程为y﹣0=﹣3（x﹣1），即 3x+y﹣3=0． 故答案为? 3x+y﹣3=0． 【分析】先求出直线MN的斜率，反射光线所在的直线过点N（1，0），斜率是MN的斜率的相反数，利用点斜式求反射光线所在的直线方程．
18.两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是________?
【答案】
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0， 所以a=6， 由两条平行线之间的距离公式可得：= ． 故答案为：. 【分析】通过直线的平行求出a，然后利用两条平行线之间的距离求解即可。
19.两条平行直线4x+3y﹣6=0和4x+3y+a=0之间的距离等于2，则实数a=________
【答案】4或﹣16
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：∵两条平行直线的方程为3x+4y﹣2=0和3x+4y+3=0，∴由平行线间的距离公式可得2= ，即|﹣6﹣a|=10， 解得a=4或﹣16． 故答案是：4或﹣16． 【分析】把已知数据代入平行线间的距离公式，计算可得．
20.已知直线l1的方程为3x+4y-7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为________．
【答案】
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：直线l1的方程为6x+8y-14=0， 因为直线l2的方程为6x+8y+1=0， 所以根据两条平行线间的距离公式可得：直线l1与l2的距离为 = ． 故答案为 ． 【分析】化简直线的方程，使得与的方程A，B相等，再根据平行线间的距离公式，得出结果.
21.已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为________? ．
【答案】（x﹣2）2+（y+2）2=1
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y）， 则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上， ∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1， 即 （x﹣2）2+（y+2）2=1， ∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1． 【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入 圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．
22.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是________．
【答案】[ ， ]
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，
∴两平行线间的距离d= ，
故d2= = = ，
∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣ ≤﹣4c≤0，
∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，
∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤
故答案为：[ ， ]
【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得．
三、解答题
23.一束光线从点P（0，1）出发，射到x轴上一点A，经x轴反射，反射光线过点Q（2，3），求点A的坐标．
【答案】解：根据题意，画出图形，如图所示； 点Q（2，3）关于x轴的对称点为Q′（2，﹣3）， 则P、A、Q′三点共线， 设A（x0 ， 0）， 则﹣ = ， 解得x0= ， 即 A（ ，0）．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出点Q关于x轴的对称点为Q′的坐标，由P、A、Q′三点共线，求出点A的坐标．
24.已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1）． （1）求BC边上的高线所在的直线方程； （2）求BC边上的中线所在的直线方程．
【答案】解：（1）由题意可得直线BC的斜率kBC= ∴BC边上的高线所在的直线的斜率为﹣2， ∴所求直线的方程为：y﹣2=﹣2（x﹣1）， 化为一般式可得：2x+y﹣4=0 （2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣1）， ∴BC的中点D的坐标为（1，0）， ∴BC边上的中线所在的直线方程为：x=1
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得直线BC的斜率，再由垂直关系可得BC边上的高线所在的直线的斜率，可得直线的点斜式方程，化为一般式即可；（2）由中点坐标公式可得D的坐标，进而可得中线的方程．
25.已知直线方程为（2+r）x+（1﹣2r）y+4﹣3r=0，求证：不论r取何实数值，此直线必过定点．
【答案】证明：直线方程（2+r）x+（1﹣2r）y+4﹣3r=0，化为r（x﹣2y﹣3）+2x+y+4=0， 令 ，解得． ∴不论r取何实数值，此直线必过定点（﹣1，﹣2）．
【考点】过两条直线交点的直线系方程
【解析】【分析】直线方程（2+r）x+（1﹣2r）y+4﹣3r=0，化为r（x﹣2y﹣3）+2x+y+4=0，令 ， 解得即可得出定点．
26.已知两平行直线?1：ax﹣by+4=0与?2：（a﹣1）x+y﹣2=0．且坐标原点到这两条直线的距离相等．求a，b的值．
【答案】解：坐标原点到这两条直线的距离相等且?1∥?2 ， ∴?1 ， ?2在y轴上的截距互为相反数即 ，∴b=﹣2， 即有?1：ax+2y+4=0与?2：（a﹣1）x+y﹣2=0． 由?1∥?2 ， 且?1 ， ?2斜率存在．∴， 解之得a=2综上：a=2，b=﹣2．
【考点】两条直线平行的判定
【解析】【分析】由题意知，?1 ， ?2在y轴上的截距互为相反数，由此求出b值，再由?1∥?2 ， 且?1 ， ?2斜率存在，故他们的斜率相等，可求出a．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
【答案】（2，+∞）
【考点】基本不等式，两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组? 无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴ ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= ，则a+b=a+ ，则设f（a）=a+ ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ = ，当0＜a＜1时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2， 综上f（a）＞2， 即a+b的取值范围是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．
2.（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
【答案】
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
二、解答题
3.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
4.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：设A（x1 ， ），B（x2 ， ）为曲线C：y= 上两点， 则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1； （2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ， 可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t， 再由y= 的导数为y′= x， 设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m， 由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1， 解得m=2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，kAM?kBM=﹣1， 即为 ? =﹣1， 化为x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得t=7． 则直线AB的方程为y=x+7．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的判定，抛物线的应用
【解析】【分析】（1.）设A（x1 ， ），B（x2 ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； （2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1 ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
