2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第3节 圆的方程
（学生版）
备战基础·零风险
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
圆的定义和圆的方程
定义
平面内到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心 。
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件： 。
圆心坐标： 。
半径r
点与圆的位置关系
确定方法
比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
三种关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
① ?点在圆上；
② ?点在圆外；
③ ?点在圆内．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上．
2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号；
二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件；
三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
3. 求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
4. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
审题路线 (1)设圆心P为(x，y)，半径为r?由圆的几何性质得方程组?消去r可得点P的轨迹方程．
(2)设点P(x0，y0)?由点到直线的距离公式可得一方程?点P在第(1)问所求曲线上可得一方程?以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径?得到圆P的方程．
5. 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
小结
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算
量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（?? ）
A.?线段??????????????????????????????????????B.?直线??????????????????????????????????????C.?圆??????????????????????????????????????D.?椭圆
2.圆与直线相切于第三象限，则的值是（??）．
A.?2????????????????????????????????????????B.?-2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.已知点M（a，b）在圆O外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A.?相切,???????????????????????????????????B.?相交,???????????????????????????????????C.?相离,???????????????????????????????????D.?不确定
4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（）
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
5.空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是 ， E,F分别是AB与CD的中点，则EF的长为(??? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?3
6.若直线经过点 ， 则 （????）
A.? ． ????????????????B.? ． ????????????????C.? ． ????????????????D.? ．
7.圆 : 与圆 : 的位置关系是（?? ）
A.?相交?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?内切?????????????????????????????????????D.?相离
8.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为 (? ?)
A.?(3,0,0)??????????????????????????????B.?(0,3,0)??????????????????????????????C.?(0,0,3)??????????????????????????????D.?(0,0，－3)
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M在AB上，且 ， 点P在平面ABCD内，动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离的平方差等于1，则动点P的轨迹是（????）
A.?圆????????????????????????????????????B.?抛物线????????????????????????????????????C.?双曲线????????????????????????????????????D.?直线
10.空间直角坐标系中，点与点的距离为 ， 则等于(??? )
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?或??????????????????????????????????????D.?或
11.方程 表示的曲线是（? ）
A.?一个圆和一条直线???????????????????B.?一个圆和一条射线???????????????????C.?一个圆???????????????????D.?一条直线
12.已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（ ）
A.?（﹣3，0，0）????????????????B.?（0，﹣3，0）????????????????C.?（0，0，﹣3）????????????????D.?（0，0，3）
13.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（ ）
A.?相离 ???B.?相切 ?C.?相交但直线不过圆心 ?D.?相交且直线过圆心
14.过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为(?? )
A.?(x－3)2+(y+1)2=4???????B.?(x－1)2+(y－1)2=4???????C.?(x+3)2+(y－1)2=4???????D.?(x+1)2+(y+1)2=4
15.直线 和圆 的位置是（? ）
A.?相交且过圆心??????????????????????????B.?相交但不过圆心??????????????????????????C.?相离??????????????????????????D.?相切
16.已知两圆⊙C1：x2+y2+D1x+E1y﹣3=0和⊙C1：x2+y2+D2x+E2y﹣3=0都经过点A（2，﹣1），则同时经过点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）的直线方程为（ ）
A.?2x﹣y+2=0 ????B.?x﹣y﹣2=0 ?C.?x﹣y+2=0 ?D.?2x+y﹣2=0
17.若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（??? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
18.若直线y=x+b 与曲线 有公共点，则b的取值范围是（???? ）
A.???????????????B.? ??????????????????C.???????????????D.?
二、填空题
19.过直线2x﹣y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0的交点且过原点的圆的方程是________?
20.过两圆x2+y2+4x﹣4y﹣12=0、x2+y2+2x+4y﹣4=0交点的直线方程是________
21.已知长为+1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且= ， 则点P的轨迹方程为________?
22.圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上一点的最大距离为________．
23.经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是________?
24.已知 是射线 （ ）上的动点， 是 轴正半轴上的动点，若直线 与圆 ?相切，则 的最小值是________.
25.如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________.
26.已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．
三、解答题
27.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的对称中心在坐标原点为O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A（﹣2，﹣3，﹣1），求其他7个顶点的坐标．
28.平面内动点 到两定点 ， 距离之比为常数 ，则动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点 、 ，圆心为 ，
（1）求满足上述定义的圆 的方程，并指出圆心 的坐标和半径；
（2）若 ，且经过点 的直线 交圆 于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程.
29.（2015·湖南）（1）如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明： （1）； （2）
30.已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2 ， O为坐标原点．
求点F的轨迹C的方程；
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）圆 的圆心到直线 ?的距离为1，则a=(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
2.（2016?北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
二、填空题
3.（2018?卷Ⅰ）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
4.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
5.（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为________．
6.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
7.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
8.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
9.（2017?北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．
10.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
11.（2016?全国）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|=________．
12.（2016?天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为________．
13.（2016?浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
14.（2016?全国）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2 ，则圆C的面积为________．
15.（2016?全国）已知直线l：x﹣ y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=________．
三、解答题
16.（2018?江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
17.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
18.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
19.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
20.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
（3）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。
21.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
22.（2016?全国）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1 ， 直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第3节 圆的方程
（教师版）
备战基础·零风险
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
点与圆的位置关系
确定方法
比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
三种关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上．
2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号；
二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件；
三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
3. 求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
4. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
审题路线 (1)设圆心P为(x，y)，半径为r?由圆的几何性质得方程组?消去r可得点P的轨迹方程．
(2)设点P(x0，y0)?由点到直线的距离公式可得一方程?点P在第(1)问所求曲线上可得一方程?以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径?得到圆P的方程．
5. 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
小结
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算
量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（?? ）
A.?线段??????????????????????????????????????B.?直线??????????????????????????????????????C.?圆??????????????????????????????????????D.?椭圆
【答案】D
【考点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故答案为：D． 【分析】根据题意两圆相切即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径即为椭圆的定义故动圆的圆心P的轨迹是椭圆。
2.圆与直线相切于第三象限，则的值是（??）．
A.?2????????????????????????????????????????B.?-2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】先由直线与圆相切，求出a的值， 但是得到的a的值是2个，再由圆与直线相切于第三象限由图可知，， 进行取舍.
3.已知点M（a，b）在圆O外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A.?相切,???????????????????????????????????B.?相交,???????????????????????????????????C.?相离,???????????????????????????????????D.?不确定
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为,因为点M（a，b）在圆外，所以,所以所以相交，故选B.
4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（）
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】由已知圆x2+y2-4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．将圆x2+y2-4y=0的方程可以转化为： x2+（y-2)2=4，即圆的圆心为A（0，2)，半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=， ∴弦长2， 故选D. 【点评】解决该试题的关键是要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE)、弦心距（OE)构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解
5.空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是 ， E,F分别是AB与CD的中点，则EF的长为(??? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】空间两点间的距离公式
【解析】【解答】因为在空间四边形ABCD中点.所以线段AB的中点坐标.又因为点.所以线段CD中点的坐标是.所以线段.故选A.
6.若直线经过点 ， 则 （????）
A.? ． ???????????B.? ． ?????????????C.? ． ????????????????D.? ．
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据直线经过点， 则， 那么点M在单位圆上，可知直线与单位圆有交点，则说明圆心到直线的距离小于等于圆的半径1，那么利用点到直线的距离公式， 故答案为B.
7.圆 : 与圆 : 的位置关系是（?? ）
A.?相交?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?内切?????????????????????????????????????D.?相离
【答案】D
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题是给两圆标准方程为： ，显然两圆相离， 故答案为：D. 【分析】由题意，求得两圆的圆心距，根据圆心距和两圆的半径的和与差之间的关系，即可判定两圆的位置关系。
8.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为 (? ?)
A.?(3,0,0)??????????????????????????????B.?(0,3,0)??????????????????????????????C.?(0,0,3)??????????????????????????????D.?(0,0，－3)
【答案】C
【考点】空间两点间的距离公式
【解析】【解答】设P(0,0，z)，则有 ，解得z＝3. 故答案为：C.【分析】先根据点P的位置特点设出点P的坐标，再利用空间中两点之间的距离公式表示出PA与PB的长度，利用两者相等列出方程，解方程即可求得点P的坐标.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M在AB上，且 ， 点P在平面ABCD内，动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离的平方差等于1，则动点P的轨迹是（????）
A.?圆????????????????????????????????????B.?抛物线????????????????????????????????????C.?双曲线????????????????????????????????????D.?直线
【答案】B
【考点】轨迹方程
【解析】【解答】作PN⊥AD，则PN⊥面A1D1DA，作 NH⊥A1D1 ， N，H为垂足则由三垂线定理可得 PH⊥A1D1 ． 以AB，AD，AA1?为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设P（x，y，0)，由题意可得 M（， 0，0)． 再由PN2+NH2=PH2 ， PH2-PM2=1，可得 PN2+NH2-PM2=1， 即 x2 +1-[(x- )2+(y-0)2]=1，化简可得y2= x- ， 故答案为B 【分析】解决该试题的关键是得到 x2+1-[(x- )2+(y-0)2]=1，以AB，AD，AA1?为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设P（x，y，0)，由题意可得 M（， 0，0)，由题意可得（y2+1)-[(x- )2+(y-0)2]=1，化简可得结果．
10.空间直角坐标系中，点与点的距离为 ， 则等于(??? )
A.???????????????????????????????????????B.?????????????????????????C.?或??????????????????????????????????????D.?或
【答案】D
【考点】空间两点间的距离公式
【解析】【解答】由空间两点距离公式， 解得x=2或-8，注意不能漏解.故选D.
11.方程 表示的曲线是（? ）
A.?一个圆和一条直线???????????????????B.?一个圆和一条射线???????????????????C.?一个圆???????????????????D.?一条直线
【答案】D
【考点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】解答：由 可得， 或 ．当 时， .所以不成立；当 时曲线表示一条直线.故选D.分析：本题主要考查了二元二次方程表示圆的条件，解决问题的关键是根据方程得到对应的二元二次方程讨论方程的几何意义即可得到对应的轨迹.
12.已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（ ）
A.?（﹣3，0，0）????????????????B.?（0，﹣3，0）????????????????C.?（0，0，﹣3）????????????????D.?（0，0，3）
【答案】A
【考点】空间两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设点M（x，0，0），则 ∵A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等， ∴ ∴x=﹣3 ∴M点坐标为（﹣3，0，0） 故选：A． 【分析】点M（x，0，0），利用A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，建立方程，即可求出M点坐标
13.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（ ）
A.?相离 B.?相切 ?C.?相交但直线不过圆心 ??D.?相交且直线过圆心
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．
14.过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为(?? )
A.?(x－3)2+(y+1)2=4???????B.?(x－1)2+(y－1)2=4???????C.?(x+3)2+(y－1)2=4???????D.?(x+1)2+(y+1)2=4
【答案】B
【考点】圆的标准方程
【解析】【分析】设圆的标准方程为（x-a)2+（y-b)2=r2 ， 根据已知条件可得 （1-a)2+（－1－b)2=r2 ， ① （－1－a)2+（1－b)2=r2 ， ② a+b-2=0，③ 联立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2． 所以所求圆的标准方程为（x－1)2+（y－1)2=4．故选B。 另外，数形结合，圆心在线段AB的中垂线上，且圆心在直线x+y－2=0上，所以圆心是两线的交点，在第一象限，故选B。 【点评】待定系数法求圆的标准方程是常用方法。事实上，利用数形结合法，结合选项解答更简洁。
15.直线 和圆 的位置是（? ）
A.?相交且过圆心??????????????????????????B.?相交但不过圆心??????????????????????????C.?相离??????????????????????????D.?相切
【答案】A
【考点】圆的标准方程，圆的一般方程，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 化简为 圆心为 ， 将 代入到 中， 满足直线方程，故直线过圆心与圆相交 故答案为： 【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标，代入直线方程，即可得出结论。
16.已知两圆⊙C1：x2+y2+D1x+E1y﹣3=0和⊙C1：x2+y2+D2x+E2y﹣3=0都经过点A（2，﹣1），则同时经过点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）的直线方程为（ ）
A.?2x﹣y+2=0 ?B.?x﹣y﹣2=0 C.?x﹣y+2=0 ????????D.?2x+y﹣2=0
【答案】A
【考点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】把点A（2，﹣1）分别代入两圆的方程得?
?4+1+2D1﹣E1﹣3=0，4+1+2D2﹣E2﹣3=0，
即? 2D1﹣E1+2=0，2D2﹣E2+2=0，
∴点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）都在直线 2x﹣y+2=0 上，
故同时经过点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）的直线方程为 2x﹣y+2=0．
故选：A．
【分析】把点A的坐标分别代入两个圆的方程可得2D1﹣E1+2=0，2D2﹣E2+2=0，故点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）都在直线? 2x﹣y+2=0 上，从而得出同时经过点（D1 ， E1）和点（D2 ， E2）的直线方程。
17.若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（??? ）
A.??????????????????????????????????B.???????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得，其结果应为曲线 上的点与以 为圆心，以 为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线 上的点与圆心 的距离的最小值，在曲线 上取一点 ，曲线有 在点M处的切线的斜率为 ，从而有 ，即 ，整理得 ，解得 ，所以点 满足条件，其到圆心 的距离为 ，故其结果为 ， 故答案为：D. 【分析】根据题意分析知：结果所求为点与点之间的距离最小值，即可以认为是曲线与圆之间的最短距离。在该曲线上设一点并求出该点的斜率，由距离最短考虑，圆心连接该切点的直线与过该点的切线相垂直，代入数据计算，即可得出答案。
18.若直线y=x+b 与曲线 有公共点，则b的取值范围是（???? ）
A.????????B.? ????????C.???????????????D.?
【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系，直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：直线 ?与曲线 有公共点，转化为直线 ?与半圆 有交点。 当 ?与半圆 相切时； ，为截距 的上界。 直线 过点 ，解得 ，为截距 的下界。 所以 ， 故答案为：A 【分析】由题意转化为直线 y=x+b ?与半圆 ( x?2 )2 + ( y?3)2 = 4 , ( y ≥ 3 ) 有交点，再利用直线与圆的位置关系，即可求解答案。
二、填空题
19.过直线2x﹣y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0的交点且过原点的圆的方程是________?
【答案】x2+y2+28x﹣15y=0
【考点】圆系方程
【解析】【解答】设所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣15+λ（2x﹣y+1）=0， 因为过直线2x﹣y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0的交点的圆过原点， 所以可得﹣15+λ=0， 解得λ=15． 将λ=15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+28x﹣15y=0． 故答案为：x2+y2+28x﹣15y=0． 【分析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣15+λ（2x﹣y+1）=0，再利用此圆过原点，所以将原点的坐标代入方程可得λ的值，进而求出圆的方程。
20.过两圆x2+y2+4x﹣4y﹣12=0、x2+y2+2x+4y﹣4=0交点的直线方程是________
【答案】x﹣4y﹣4=0
【考点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】∵圆x2+y2+4x﹣4y﹣12=0、x2+y2+2x+4y﹣4=0， ∴两圆方程相减可得（x2+y2+4x﹣4y﹣12）﹣（x2+y2+2x+4y﹣4）=0 化简得x﹣4y﹣4=0 故答案为：x﹣4y﹣4=0． 【分析】将两圆方程相减可得公共弦方程，即为所求。
21.已知长为+1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且= ， 则点P的轨迹方程为________?
【答案】
【考点】轨迹方程
【解析】【解答】设P（x，y）、A（x0 ， 0）、B（0，y0），则
∵= ，
∴（x﹣x0 ， y）=（﹣x，y0﹣y），
∴，
∵|AB|=+1，
∴，
∴
∴ ．
故答案为： ．
【分析】欲求点P的轨迹方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用= ， 确定坐标之间的关系，结合长为+1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，即可得出结论。
22.圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上一点的最大距离为________．
【答案】5＋
【考点】圆的标准方程，点与圆的位置关系
【解析】【解答】点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离 加上半径长5，即为5＋ ．【分析】解答本题的关键在于牢固掌握圆的标准方程，点和圆的位置关系.已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．
23.经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是________?
【答案】5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的方程可化为（x+1）2+（y﹣2）2=4． ∴圆心坐标为（﹣1，2），半径为r=2； ∴圆心到直线2x﹣y+3=0的距离为d= ． 设直线2x﹣y+3=0和圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的交点为A，B．则|AB|=2 ∴过点A，B的最小圆半径为． 联立得5x2+6x﹣2=0， 故， 则圆心的横坐标为：纵坐标为2×（﹣）+3= ， ∴最小圆的圆心为（- ， ）， ∴最小圆的方程为（x+）2+（y﹣）2= ． 即5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0． 故答案为：5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0 【分析】题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可．
24.已知 是射线 （ ）上的动点， 是 轴正半轴上的动点，若直线 与圆 ?相切，则 的最小值是________.
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设 ， ，则直线AB的方程是 ，因为直线AB与圆 相切，所以 ，化简得 ，利用基本不等式得 ，即 从而得 ，当 ，即 时， 的最小值是 . 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，意在考查逻辑思维能力．
25.如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________.
【答案】
【考点】空间直角坐标系，空间中的点的坐标，空间两点间的距离公式
【解析】【解答】△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为 ，而|G′G|＝ |PC|，∴G ．【分析】由重心的性质可以得到重心G的坐标。
26.已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．
【答案】(x－3)2＋(y－4)2＝25
【考点】圆的标准方程，点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵ ， ， ，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 【分析】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．
三、解答题
27.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的对称中心在坐标原点为O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A（﹣2，﹣3，﹣1），求其他7个顶点的坐标．
【答案】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的对称中心在坐标原点为O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A（﹣2，﹣3，﹣1）， 其他7个顶点的坐标分别为：（﹣2，﹣3，1），（﹣2，3，﹣1），（2，﹣3，﹣1），（2，3，﹣1），（2，﹣3，1），（﹣2，3，1），（2，3，1）．
【考点】空间中的点的坐标
【解析】【分析】直接利用长方体的对称性写出其它7个顶点的坐标。
28.平面内动点 到两定点 ， 距离之比为常数 ，则动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点 、 ，圆心为 ，
（1）求满足上述定义的圆 的方程，并指出圆心 的坐标和半径；
（2）若 ，且经过点 的直线 交圆 于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程.
【答案】（1）解：设动点 ，则 ， 整理得 ，圆心 ，半径 （2）解：解法一：在（1）的结果中，令 ，则得圆 的方程为 ，即 . 设 ，则 的面积 ． 当 时， 的面积取得最大值8． 此时，直线 的斜率存在，设其方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，整理得 ，解得 ． 所以直线 的方程为 ．
【考点】圆的标准方程，直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）结合两点距离公式及圆的标准方程，代入数据计算，即可得出答案。 （2）结合（1）中所得，分析可知：当时，三角形CMN的面积最大，代入数据，即可得出答案。
29.（2015·湖南）（1）如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明： （1）； （2）
【答案】【解答】(1)如图所示， M , N 分别是弦， A B , C D 的中点。 O M ⊥ A B , O N ⊥ C D 即 ∠ O M E = 90 ° ∠ E N O = 90 ° ∠ O M E + ∠ E N O = 180 ° ，又四边形的内角和等于 306 ° ，故 ∠ M E N + ∠ N O M = 180 ° (2)有(1)知，四点共圆，故由切割线定理既得，
【考点】圆系方程
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理可得，，，再由四边形的内角和即可得证（2）由（1）中的结论可得四点共圆，再由切割线定理既得
30.已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2 ， O为坐标原点．
求点F的轨迹C的方程；
【答案】解：设点F（x，y），点P（x'，y'），因为点P在x轴上的射影为H，所以H（x'，0）．
又因为+=2，所以点F是线段PH的中点，
即有
因为点P是圆x2+y2=4上任意一点，所以（x'）2+（y'）2=4，
所以．
所以点F的轨迹C的方程为
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】利用代入法求椭圆方程.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）圆 的圆心到直线 ?的距离为1，则a=(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
【答案】A
【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程
【解析】【解答】圆 化为标准方程为： ， 故圆心为 ， ，解得 ， 故选A 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案
2.（2016?北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d= = ． 故选：C． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．；本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．
二、填空题
3.（2018?卷Ⅰ）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 。 ∴圆心到直线距离d= , ∴ . 【分析】作出AB的中点D,圆心为C,由三角形OAD为直角三角形,即由半径,弦心距,半弦长构成直角三角形,求弦长.
4.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：∵ 又直线 ∴圆心到直线距离 ，又 即 【分析】先将参数方程化为普通方程，再用勾股定理算弦长.
5.（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为________．
【答案】
【考点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设圆的方程为 ∴ ∴圆的方程为 【分析】设圆的一般方程，解三元一次方程组.
6.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系，极坐标系
【解析】【解答】解： ， ， ∴ ， 又a>0,∴a= . 故答案为： 【分析】先将极坐标方程转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，求出a。
7.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
【答案】（x+1）2+ =1
【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
8.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
【答案】2
【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别
【解析】【解答】解：直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0． 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1． ∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R． ∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2． 故答案为：2． 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．
9.（2017?北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．
【答案】1
【考点】点与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1； 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1． 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
10.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【答案】[-5 ，1]
【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50， =（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）?（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20， 化为：12x0+6y0+30≤0， 即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]． 【分析】根据题意，设P（x0 ， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
11.（2016?全国）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|=________．
【答案】4
【考点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意，|AB|=2 ，∴圆心到直线的距离d=3， ∴ =3，∴m=﹣ ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴|CD|= =4． 故答案为：4． 【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
12.（2016?天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为________．
【答案】（x﹣2）2+y2=9
【考点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由点M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，得 ，解得a=2，r=3． ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9． 故答案为：（x﹣2）2+y2=9． 【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．；本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
13.（2016?浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【答案】（﹣2，﹣4）；5
【考点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆， ∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2． 当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0， 配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为 ，此时 ，方程不表示圆， 故答案为：（﹣2，﹣4），5． 【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
14.（2016?全国）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2 ，则圆C的面积为________．
【答案】4π
【考点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为 ， ∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2 ，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d= ，即 = ， 解得：a2=2， 故圆的半径r=2． 故圆的面积S=4π， 故答案为：4π 【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为 ，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．；本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．
15.（2016?全国）已知直线l：x﹣ y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=________．
【答案】4
【考点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d= =3， ∴|AB|=2 =2 ，∵直线l：x﹣ y+6=0 ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴|CD|= =4． 故答案为：4． 【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．；本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
16.（2018?江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：∵ ∴圆O: ，点 在椭圆上， 又 ∴a=2,b=1,即 ： （2）解：①直线l概率 ，设l:y=kx+m（ ，m＞0） ， ， ∴ 又 ，又 ∴ ②设 ，由①知 又l与椭圆C相交，由②得过程知 ∴ 又 O到l距离d ∵ = 又 ∴ ∴直线l方程：
【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，待定系数法求出椭圆；（2）①联立直线，围与直线椭圆相切， ，求出k,m；②联立直线与椭圆方程，由弦长公式，点到直线距离公式求出面积。
17.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 ? =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 ? =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 ? =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由题意可知： ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
18.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
19.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0）， 设P（x，y），由点P满足 = ． 可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0）， 可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得m= ， 即有Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由kOQ=﹣ ， kPF= ， 由kOQ?kPF=﹣1， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
20.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
（3）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。
【答案】（1）解：∵N在直线x=6上，∴设N（6，n）， ∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0， 又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1， ∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1． （2）解：由题意得 ， ?设 ，则圆心 到直线 的距离 , 则 ， ，即 ， 解得 或 ，即 ： 或 （3）解： ，即 ，即 ， ， 又 ,即 ，解得 ， 对于任意 ，欲使? ， 此时 ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为 ， 必然与圆交于 两点，此时 ，即 ， 因此对于任意 ，均满足题意， 综上
【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA=2 ，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d= ，由此能求出直线l的方程． （3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，对于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 ，由此能求出实数t的取值范围．
21.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【答案】（1）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PRF， ∴AR∥FQ． （2） A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ? F（ ，0），准线为 x=﹣ ， ?S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由 得? =2（x1﹣x2）， 又 = ， ∴ = ，即y2=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．；本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.（2016?全国）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1 ， 直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【答案】（1）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4， 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由AC=AD，可得∠D=∠C， 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED， 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ， 则点E的轨迹方程为 =1（y≠0）； （2）解： 椭圆C1： =1，设直线l：x=my+1， 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由 可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， 可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ， 则|MN|= ?|y1﹣y2|= ? = ? =12? ， A到PQ的距离为d= = ， |PQ|=2 =2 = ， 则四边形MPNQ面积为S= |PQ|?|MN|= ? ?12? =24? =24 ， 当m=0时，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24? =8 ， 即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8 ）
【考点】圆的一般方程
【解析】【分析】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程.（1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（2）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围.本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
