2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
（学生版）
备战基础·零风险
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d r
Δ 0
相切
d r
Δ 0
相离
d r
Δ 0
圆与圆的位置关系
方 法
位置关系
几何法：
圆心距d与r1，r2的关系
代数法：
两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
.
解
外切
d＝ .
一组实数解
相交
|r1－r2|＜ ＜r1＋r2
解
内切
d＝ .
解
内含
.
无解
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两个防范　一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍；
二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解．
2．两个重要结论
一是两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.
3. 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法
4.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
5. (1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最
短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．
小结
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．
3．圆的弦长的常用求法
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝.
备战练习·固基石
一、单选题
1.圆上的点到直线的距离最大值是(?? )
A.?2??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（???）
A.?x+2y+1=0????????????????????????B.?x+2y-1=0????????????????????????C.?x-2y+1=0????????????????????????D.?x-2y-1=0
3.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切与点P(-1,2)，则ab的值为（???）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
4.若直线与圆相切，则的值为（????）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?0或2
5.若函数的图象在处的切线与圆相离，则与圆C的位置关系是（?）
A.?在圆外???????????????????????????????B.?在圆内???????????????????????????????C.?在圆上???????????????????????????????D.?不能确定
6.已知点P（3，2）和圆的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则它们的位置关系为（?? ）
A.?在圆心????????????????????????????????B.?在圆上????????????????????????????????C.?在圆内????????????????????????????????D.?在圆外
7.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.圆 与圆 的位置关系为（?? ）
A.?内切?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?相离
9.圆 ? 与圆 ? 的位置关系是（?? ）
A.?相离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
10.直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为 ， 则实数a的值是（　　）
A.?-1 ????B.?0 ???C.?1 ???D.?1-
11.已知P，Q，R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+ y+7=0的距离分别为x1 ， x2 ， x3 ， 若x1 ， x2 ， x3成等差数列，则公差的最大值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
12.在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=（?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
13.若点A，B在圆O：x2+y2=4上，弦AB的中点为D（1，1），则直线AB的方程是（? ）
A.?x﹣y=0???????????????????????????B.?x+y=0???????????????????????????C.?x﹣y﹣2=0???????????????????????????D.?x+y﹣2=0
14.设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
15.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为时，a的值等于(　 　)
A.????????????????????????????????????B.???????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
16.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则 的最小值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????????D.?18
17.直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（　　）
A.? ??????B.? ??C.? ??D.?
18.已知直线l的方程y=k（x﹣1）+1，圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣1=0，则直线l与C的位置关系是（?? ）
A.?相切??????????????????????????????????B.?相交??????????????????????????????????C.?相离??????????????????????????????????D.?不能确定
二、填空题
19.如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么 的最大值是________．
20.从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为________．
21.圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是________．
22.若圆 与圆 相交于 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是________．
23.已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为________．
24.过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则 的最小值为________．
25.若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的周长，则ab 的最大值是________．
26.设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为d．当d最小时，圆C的面积为________．
三、解答题
27.已知以点C（t， ）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．
（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．
28.求圆心为C（2，﹣1）且截直线y=x﹣1所得弦长为2的圆的方程．
29.已知直线l：2x﹣y+m=0，m∈R，圆C：x2+y2=5．（Ⅰ）当m为何值时，l与C无公共点；（Ⅱ）当m为何值时，l被C截得的弦长为2．
30.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．
31.如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．
（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；
（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为 ，求该圆形标志物的半径．
32.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A ， B.
（1）求直线PA ， PB的方程；
（2）求过P点的圆C的切线长．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
2.（2018?卷Ⅰ）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
3.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
4.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
5.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
三、解答题
6.（2018?江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
7.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
（3）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
（教师版）
备战基础·零风险
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
圆与圆的位置关系
方 法
位置关系
几何法：
圆心距d与r1，r2的关系
代数法：
两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两个防范　一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍；
二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解．
2．两个重要结论
一是两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.
3. 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法
4.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
5. (1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最
短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．
小结
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．
3．圆的弦长的常用求法
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝.
备战练习·固基石
一、单选题
1.圆上的点到直线的距离最大值是(?? )
A.?2??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】圆的圆心， 半径， 圆心到直线的距离， 结合图形可知最大距离为选B.
2.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（???）
A.?x+2y+1=0????????????????????????B.?x+2y-1=0????????????????????????C.?x-2y+1=0????????????????????????D.?x-2y-1=0
【答案】B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】∵， ， ∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0，【分析】两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程
3.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切与点P(-1,2)，则ab的值为（???）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为直线和圆相切与点， 所以圆心C（－2,0)到切线的距离等于|PC|，从而， 且， 解得a=1，b=2，所以的值为2，故选C。【分析】基础题，直线与圆相切，圆心到切线距离等于半径。
4.若直线与圆相切，则的值为（????）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?0或2
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，由于直线与圆相切，则圆心（0,0）到直线x+y=m的距离为， 则可知得到参数m的值为2，故答案为C.
5.若函数的图象在处的切线与圆相离，则与圆C的位置关系是（?）
A.?在圆外???????????????????????????????B.?在圆内???????????????????????????????C.?在圆上???????????????????????????????D.?不能确定
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】， 所以在x=0处的切线的斜率为， 根据点斜式可以求出切线方程为， 因为该切线与圆相离，所以， 所以点在圆内.
6.已知点P（3，2）和圆的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则它们的位置关系为（?? ）
A.?在圆心????????????????????????????????B.?在圆上????????????????????????????????C.?在圆内????????????????????????????????D.?在圆外
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为（3﹣2）2+（2﹣3）2=2＜4，所以点P（3，2）在圆内．故答案为：C．【分析】将点的坐标代入圆的方程，其结果小于4，故点在圆内.
7.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，由于圆心（2，0)到直线的的距离为d=?小于圆的半径，2，并且可知弦心距为?，那么可知直线截圆所得劣弧所对的圆心角是120?，故可以答案为， 选D.【分析】直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是高考考点，本题是基础题。
8.圆 与圆 的位置关系为（?? ）
A.?内切?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?相离
【答案】B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径 ，圆心距为 ， ，即 ，故两圆外切，
故答案为：B.
【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
9.圆 ? 与圆 ? 的位置关系是（?? ）
A.?相离?????????????????????????????????????B.?外切?????????????????????????????????????C.?相交?????????????????????????????????????D.?内切
【答案】D
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心 ，半径 圆 的圆心 ，半径 ∴ ∴ ∴两圆内切故答案为：D【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标和半径,由半径差等于圆心距离,得到两圆相内切.
10.直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为 ， 则实数a的值是（　　）
A.?-1 ??????B.?0 ???C.?1 D.?1-
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2 +a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．
又弦心距d==r2=1﹣a，求得a=0，
故选：B．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．
11.已知P，Q，R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+ y+7=0的距离分别为x1 ， x2 ， x3 ， 若x1 ， x2 ， x3成等差数列，则公差的最大值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的圆心为（1，0），半径r=3， 圆心到直线l的距离d= = =4，所以直线l与圆相离．∴圆上的点到直线l的距离的最小值为d﹣r=1，最大值为d+r=7．∴当x1=1，x3=7时，等差数列的公差取得最大值 =3．故选C．【分析】求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，继而得出圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，则距离最值的差的一半为最大公差．
12.在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=（?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，点M（1，1）满足圆（x+1）2+（y﹣2）2=5的方程， 所以，点在圆上，圆的圆心（﹣1，2），过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，所以直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a= =﹣ ，∴a= ．故选：A．【分析】求出直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a，判断点与圆的位置关系，然后列出方程，即可得出结论．
13.若点A，B在圆O：x2+y2=4上，弦AB的中点为D（1，1），则直线AB的方程是（? ）
A.?x﹣y=0???????????????????????????B.?x+y=0???????????????????????????C.?x﹣y﹣2=0???????????????????????????D.?x+y﹣2=0
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为弦AB的中点为D（1，1），则直线OD的斜率为kOD=1， 所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=﹣1，直线AB的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：D．【分析】根据斜率公式求出直线OD的斜率，由垂径定理得直线AB的斜率，代入点斜式方程化为一般式方程即可．
14.设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】解答：依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，在 中，因为 ，故 ，所以 ，则 ，解得 ． 分析：本题主要考查了直线与圆的位置关系，依题意，直线MN与圆 有公共点即可，即圆心 到直线MN的距离小于等于1即可，过 作 MN，垂足为A，然后根据有关条件通过解直角三角形解决问题.
15.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为时，a的值等于(　 　)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】∵圆的半径为2，半弦长为， ∴根据特征三角形（半弦长、弦心距、半径所构成的直角三角形）可知弦心距为1，∴， 解得， ∵， ∴． 选B.
16.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则 的最小值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????????D.?18
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+2=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=1． 所以 ，当且仅当 ，即2a=b时取等号，故选B．【分析】由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+2=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=1，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出 的最小值．
17.直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（　　）
A.? ???B.? ???C.? ??D.?
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．
∴圆心到直线x+y﹣2=0的距离
∴弦长|AB|=
故选：D．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d，即可得出弦长|AB|。
18.已知直线l的方程y=k（x﹣1）+1，圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣1=0，则直线l与C的位置关系是（?? ）
A.?相切??????????????????????????????????B.?相交??????????????????????????????????C.?相离??????????????????????????????????D.?不能确定
【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣1=0 即 （x﹣1）2+y2=2，表示以（1，0）为圆心、半径r= 的圆． 求出圆心到直线的距离为d= = ≤1＜r，故直线和圆相交，故选：B．【分析】利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离小于半径，可得直线和圆相交．
二、填空题
19.如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么 的最大值是________．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设 ，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得 ，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到 ，即为 的最大值．故答案为： 【分析】设 ， 的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．
20.从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为标准方程得（x﹣2）2+（y﹣2）2=1， 所以圆心A（2，2），半径为1，要使切线长的最小，则必须点A到直线的距离最小．过圆心A作AC垂直直线x﹣y+3=0，垂足为C，过C作圆A的切线，切点为B，连接AB，所以AB⊥BC，此时的切线长CB最短．∵圆心A到直线x﹣y+3=0的距离|AC|= = ，根据勾股定理得|CB|= = 故答案为： 【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点A到直线的距离最小．根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．
21.圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是________．
【答案】外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由于 圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，即 （x+1）2+（y+1）2=4，表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0，即 （x﹣3）2+（y+1）2=4，表示以C2（3，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于4，等于半径之和，故两个圆外切．故答案为外切．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，与半径和与差的关系判断即可．
22.若圆 与圆 相交于 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是________．
【答案】4
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】
由题意做出图形分析得：
由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直,且过对方圆心 .则在 中, ，所以
斜边上的高为半弦，用等积法易得：
.
故答案为：4.
【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系和勾股定理的应用。由题意画出图形，结合圆的切线性质可得 ， 由勾股定理可得m的值，再结合等积法即可求出AB的长度。
23.已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为________．
【答案】27
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5． 圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4弦长|AB|=2 =6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为： =27故答案为：27【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．
24.过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则 的最小值为________．
【答案】0
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t）2=1的圆心坐标为（t，t），半径为1， ∴圆心在直线y=x上，点P（﹣1，1）到直线的距离d= = ，PA=PB=1，∴∠APB的最大值为90°，∴ 的最小值为0．故答案为0【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，利用∠APB的最大值为90°，可求 的最小值．
25.若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的周长，则ab 的最大值是________．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线2ax﹣by+2=0始终平分圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的周长，
∴直线2ax﹣by+2=0过圆心（﹣1，2），
∴﹣2a﹣2b+2=0，∴a+b=1．
∵求ab的最大值，∴a＞0，b＞0．
由基本不等式可得 1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，当且仅当a=b时，等号成立，故ab的最大值等于 ，
故答案为 ．
【分析】由题意可得直线2ax﹣by+2=0过圆心（﹣1，2），即a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．
26.设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为d．当d最小时，圆C的面积为________．
【答案】2π
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心P（a，b），半径为r，则|b|= ，即2b2=r2 ， 又|a|2+1=r2 ， 所以a2+1=r2 ， 两式相减得：2b2=a2+1，点P到直线x﹣2y=0的距离d= ，∴5d2=a2﹣4ab+4b2≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时取等号，解方程组 得a=b=1或a=b=﹣1，∴当d取得最小值时，圆的半径r= = ，∴圆的面积S=2π．故答案为：2π．【分析】设圆心P（a，b），根据所给条件得出P的轨迹方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心P到直线l的距离d，利用基本不等式得出d取得最小值的条件，求出此时圆的半径即可得出答案．
三、解答题
27.已知以点C（t， ）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．
（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）解：∵OM=ON，所以，则原点O在MN的中垂线上．设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，∵直线MN的方程是3x+y﹣4=0，∴直线OC的斜率 = = ，解得t=3或t=﹣3，∴圆心为C（3，1）或C（﹣3，﹣1）∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10或（x+3）2+（y+1）2=10由于当圆方程为（x+3）2+（y+1）2=10时，圆心到直线3x+y﹣4=0的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10（2）解：在三角形PBQ中，两边之差小于第三边，故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|又B，C，Q三点共线时|BQ|最大所以，|PQ|﹣|PB|的最大值为 ，∵B（0，2），C（3，1），∴直线BC的方程为 ，∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣6，4）
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由OM=ON得原点O在MN的中垂线上，由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程，求出t的值和C的坐标，代入圆的标准方程化简，再验证直线与圆的位置关系；（2）根据三边关系判断出取最大值的条件，由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值，由点斜式方程求出BC的直线方程，以及此时点P的坐标．
28.求圆心为C（2，﹣1）且截直线y=x﹣1所得弦长为2的圆的方程．
【答案】解：设圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=r2 ．
由题设圆心到直线y=x﹣1的距离d==
又直线y=x﹣1被圆截得的弦长为2，r==2
故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】求出圆心到直线y=x﹣1的距离，利用弦长为2 ， 求出半径，即可求出圆的方程．
29.已知直线l：2x﹣y+m=0，m∈R，圆C：x2+y2=5．（Ⅰ）当m为何值时，l与C无公共点；（Ⅱ）当m为何值时，l被C截得的弦长为2．
【答案】解：（Ⅰ）由已知，圆心为O（0，0），半径r=，圆心到直线2x﹣y+m=0的距离d==，∵直线与圆无公共点，∴d＞r，即＞，∴m＞5或m＜﹣5．故当m＞5或m＜﹣5时，直线与圆无公共点．（Ⅱ）如图，由平面几何垂径定理知r2﹣d2=12 ． 即5﹣=1，得m=±2，∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根直线和圆的位置关系进行求解即可；???????????? （Ⅱ）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解即可．
30.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则 =1，解得：k=﹣ ，又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣ x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，∴1≤ ≤3，解得：0≤a≤ ．直线
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】1、根据题意可得a=1，求出圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=1。分情况讨论，直线斜率存在或不存在，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求出两条直线的方程。??????????? 2、由题意可得点M的轨迹是圆，再利用圆与圆的关系为相交或相切，可得到1≤|CD|≤3，求出|CD|的表达式，代入解得。??????
31.如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．
（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；
（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为 ，求该圆形标志物的半径．
【答案】（1）解：圆C：x2+（y﹣25）2=252 ． 直线PB方程：x﹣y+50=0．设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），因为直线PF与圆C相切，所以 ，解得 所以直线PF方程： ，即4x﹣3y+200=0（2）解：设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圆C：x2+（y﹣r）2=r2 ． 因为tan∠APF=tan（∠GPF﹣∠GPA）= = ，所以 所以直线PF方程： ，即40x﹣9y+2000=0．因为直线PF与圆C相切，所以 ，化简得2r2+45r﹣5000=0，即（2r+125）（r﹣40）=0．故r=40
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用圆心与半径，可得圆的方程，利用PF与圆C相切，可得直线PF的方程；（2）先求出直线PF方程，再利用直线PF与圆C相切，求出该圆形标志物的半径．
32.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A ， B.
（1）求直线PA ， PB的方程；
（2）求过P点的圆C的切线长．
【答案】（1）解：切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于 ，即 ＝ ，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
（2）解：在Rt△PAC中|PA|2＝|PC|2－|AC|2
＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2 .
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设出切线斜率，根据点斜式写出切线方程，结合直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，求出斜率，即可求出两切线的方程；（2）根据切线的特点，结合勾股定理，即可求出切线长.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
2.（2018?卷Ⅰ）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
3.（2018?天津）已知圆 的圆心为C ， 直线 ( 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 的面积为________.
4.（2018?北京）在极坐标系中，直线 =a 与圆 =2 相切，则a=________
5.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
三、解答题
6.（2018?江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
7.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
（3）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。