2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第5节 椭 圆
（学生版）
备战基础·零风险
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．了解椭圆的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图 形
性质
范 围
－a≤x≤a
。
。
－a≤y≤a
对称性
对称轴： ；对称中心： 。
顶点
。，A2(a,0)
B1(0，－b)， 。
A1(0，－a)， 。
。，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为 。
焦距
|F1F2|＝ 。
离心率
e＝∈ 。
a，b，c
的关系
c2＝ 。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|．
2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆；
二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当a＞b＞0时，方程＋＝1的焦点在x轴上；当b＞a＞0时，方程＋＝1的焦点在y轴上.
3.(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．
(2)求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
4. (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5.(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
小结
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m＞0，n＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，这种形式在解题中更简便．
3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.椭圆上的一点P，它到椭圆的一个焦点F1的距离是7，则它到另一个焦点F2的距离是（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?12????????????????????????????????????????D.?5
2.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（?????）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?22?????????????????????????????????????????C.?28?????????????????????????????????????????D.?24
3.设 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.中心为, 一个焦点为的椭圆,截直线所得弦中点的横坐标为 ， 则该椭圆方程是（???）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
5.椭圆 的两个焦点为F1、F2 ， 过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.若 ， 则方程表示（???）
A.?焦点在轴上的椭圆????????????????????????????????????????????B.?焦点在轴上的椭圆 C.?焦点在轴上的双曲线?????????????????????????????????????????D.?焦点在轴上的双曲线
7.短轴长为 ， 离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(??? )
A.?24??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?3
8.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得 ， 则该椭圆离心率的取值范围是(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
10.如图，F1,F2分别是椭圆?(a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以｜OF1｜为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( ???)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
11.已知是椭圆的两个焦点，A为椭圆上的一点，且 ， 则的面积是（??）
A.?7?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.椭圆 ， 为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为 ， 则该椭圆的离心率为（? ）
A.???????????????????????????????????B.?????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
13.如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（﹣x）+x的解集为（ ）
A.?{x|﹣＜x＜0或＜x≤2}?? ?B.?{x|﹣2≤x＜﹣或＜x≤2}
C.?{x|﹣2≤x＜﹣或＜x≤2} ? ?D.?{x|﹣＜x＜ ， 且x≠0}
14.已知 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 ，线段 与 轴的交点为 ， 为坐标原点，若 与四边形 的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、填空题
15.椭圆 上横坐标为2的点到左焦点的距离为________．
16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 上一点 到其左焦点的距离为4，则点 到右准线的距离为________．
17.已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，且θ∈[ ， ]，则该椭圆离心率e的取值范围为________?
18.已知P是椭圆 上一动点，定点E(3,0)，则|PE|的最小值为________．
19.如图所示,已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标等于短半轴长的 ,则椭圆的离心率是________.
20.如图，点 是椭圆 右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于 两 点，满足 ， ．则该椭圆的离心率为________．
三、解答题
21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： （a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点． （Ⅰ）当k=﹣ ，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程； （Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．
22.已知长轴长为4的椭圆 过点 ，点 是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）是否在 轴上的定点 ，使得过 的直线 交椭圆于 两点.设点 为点 关于 轴的对称点，且 三点共线？若存在，求 点坐标；若不存在，说明理由.
23.过椭圆C： + =1（a＞b＞0）右焦点F（1，0）的直线与椭圆C交于两点A、B，自A、B向直线x=5作垂线，垂足分别为A1、B1 ， 且 = ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△AFA1、△FA1B1、△BFB1的面积分别为S1、S2、S3 ， 证明： 是定值，并求出该定值．
24.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知椭圆 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为（ ??）
A. B. C. D.
2.（2018?卷Ⅱ）已知 、 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若 ，且 ,则C的离心率为（ ）
A.?1- ??????????????????????????????????B.?2- ??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.（2018?上海）设P是椭圆 + =1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（? ??）
A.2 B.2 C.2 D.4
4.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1????????????????????C.?﹣ =1???????????????D.?﹣ =1
5.（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.（2017?浙江）椭圆 + =1的离心率是（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[9，+∞）???????????????????????????????????????????B.?（0， ]∪[9，+∞） C.?（0，1]∪[4，+∞）???????????????????????????????????????????D.?（0， ]∪[4，+∞）
8.（2016?浙江）已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1 ， e2分别为C1 ， C2的离心率，则（ ）
A.?m＞n且e1e2＞1????????????B.?m＞n且e1e2＜1????????????C.?m＜n且e1e2＞1????????????D.?m＜n且e1e2＜1
9.（2016?全国）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
10.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
11.（2018?北京）已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
12.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.
三、解答题
13.（2018?卷Ⅰ）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
14.（2018?天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F ， 上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P ， 且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
15.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明: 成等差数列，并求该数列的公差。
16.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
17.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
18.（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程．
19.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
20.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
21.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
22.（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
23.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
24.（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
25.（2016?天津）设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
26.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
27.（2016?浙江）如图，设椭圆C： +y2=1（a＞1）
（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
28.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
29.（2016?北京）已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
30.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
31.（2016?山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． ①求证：点M在定直线上； ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ， △PDM的面积为S2 ， 求? 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
32.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第5节 椭 圆
（教师版）
备战基础·零风险
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．了解椭圆的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图 形
性质
范 围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|．
2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆；
二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当a＞b＞0时，方程＋＝1的焦点在x轴上；当b＞a＞0时，方程＋＝1的焦点在y轴上.
3.(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．
(2)求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
4. (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5.(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
小结
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m＞0，n＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，这种形式在解题中更简便．
3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.椭圆上的一点P，它到椭圆的一个焦点F1的距离是7，则它到另一个焦点F2的距离是（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?12????????????????????????????????????????D.?5
【答案】D
【考点】椭圆的定义
【解析】【分析】先根据条件椭圆方程求出a=6；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论。设所求距离为d，由题得：a=6．根据椭圆的定义得：2a=7+d?d=2a-7=54．故可知d=5，故选D． 【点评】解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。
2.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（?????）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?22?????????????????????????????????????????C.?28?????????????????????????????????????????D.?24
【答案】D
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质
【解析】【解答】， 相减得， 故选D。 【分析】涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题，常常利用定义及余弦定理。常见题型。
3.设 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵线段PF1的中点在y轴上 设P的横坐标为x，F1（﹣c，0）， ∴﹣c+x=0，∴x=c； ∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴， ∵∠PF1F2=30°， ∴PF2= ， ∵PF1+PF2=2a，∴PF2= ， tan∠PF1F2= ， ∴ = ，∴e= = ． 故答案为：D。 【分析】根据题目中所给的条件的特点，由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=PF1 ， PF2=a ， 从而得到a与c的关系式，由此能求出椭圆的离心率．
4.中心为, 一个焦点为的椭圆,截直线所得弦中点的横坐标为 ， 则该椭圆方程是（???）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】C
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】， 设椭圆方程为：， 联立方程得， ， 由韦达定理：， 所以椭圆方程为.选C.
5.椭圆 的两个焦点为F1、F2 ， 过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 可得椭圆的焦点坐标为 ，设F1点的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，所以 ．根据椭圆的定义可得 ，所以 故答案为：C . 【分析】画草图，根据椭圆+=1（ab0）的焦点坐标为（c，0）可知F1的坐标，点P的横坐标与点F1的横坐标相同，进而可求出点P的纵作标y0 ， 则=，根据椭圆定义可知+=2a即可求解.
6.若 ， 则方程表示（???）
A.?焦点在轴上的椭圆????????????????????????????????????????????B.?焦点在轴上的椭圆 C.?焦点在轴上的双曲线?????????????????????????????????????????D.?焦点在轴上的双曲线
【答案】B
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的标准方程为， 又， 所以可得.即椭圆的长轴在y轴上，所以椭圆的焦点在y轴上，故选B.本小题关键椭圆的焦点在那个轴上的问题，首先是化为标准方程后根据.确定在那个轴上.
7.短轴长为 ， 离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(??? )
A.?24??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】B
【考点】椭圆的定义
【解析】【分析】由已知中短轴长， 和离心率的值得到参数a,b,c的值，分别是a=3,b=2，然后结合题中条件得到三角形△ABF2的周长为椭圆上点到两焦点的距离和的2倍，故为4a=12，进而求解选B 【点评】解决该试题的关键是分析出所求解的三角形的三边两边的和是符合椭圆的定义的，另一边是焦距，这样可以求解得到。
8.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，设椭圆方程 ， 焦距为 ， 由题意， ， 所以离心率.
9.在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得 ， 则该椭圆离心率的取值范围是(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】椭圆的定义
【解析】【解答】， 得， ， 即， 即， 即， 即， ∴， 即.选B.
10.如图，F1,F2分别是椭圆?(a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以｜OF1｜为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( ???)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由图可知, ， ?? 【分析】两种圆锥曲线相交时，从交点的位置入手考虑
11.已知是椭圆的两个焦点，A为椭圆上的一点，且 ， 则的面积是（??）
A.?7?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】椭圆的定义
【解析】【解答】由于椭圆方程， 则可知因此可知其左焦点的坐标为（)，AF1的直线方程为：y=,与椭圆方程联立，则可知交点的坐标为， 则可知A的坐标， 然后利用， 故选B. 【分析】解决焦点三角形的面积，主要根据直线与椭圆相交，得到交点的坐标，进而确定出三角形的高度，利用面积公式来得到结论，属于基础题。
12.椭圆 ， 为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为 ， 则该椭圆的离心率为（? ）
A.???????????????????????????????????B.?????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由F（-c，0），B（0，b），可得直线FB：， 利用点到直线的距离公式可得：A（a，0）到直线FB的距离=b，化简解出即可．
13.如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（﹣x）+x的解集为（ ）
A.?{x|﹣＜x＜0或＜x≤2}?? B.?{x|﹣2≤x＜﹣或＜x≤2} C.?{x|﹣2≤x＜﹣或＜x≤2} ? D.?{x|﹣＜x＜ ， 且x≠0}
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由图象知f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴原不等式可化为f（x）＜ ． 由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为+y2=1，
与直线y=联立得+=1，
∴x2=2，x=± ．
观察图象知：﹣＜x＜0，或＜x≤2，
故选：A．
【分析】由图象知f（x）为奇函数，原不等式可化为f（x）＜ ， 把包含这两段弧的椭圆方程和直线y=?联立，解得x的值，结合图象得到不等式的解集．
14.已知 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 ，线段 与 轴的交点为 ， 为坐标原点，若 与四边形 的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 画出图形如图所示．设 ， ∵ 与四边形 的面积之比为1：2， ∴ 与 的面积之比为1：3， ∴ ，解得 ． 又 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 将 和 代入椭圆方程得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 （舍去）， ∴ ． 故答案为：C． 【分析】设出点Q,P的坐标,由两个三角形面积的关系得到两点P,Q的坐标的关系,求出点P的坐标代入椭圆的方程得到关于a,b,c的方程,求离心率.
二、填空题
15.椭圆 上横坐标为2的点到左焦点的距离为________．
【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设满足条件的点为P（2，m）， 可得 ，解之得m=± ，得P（2，± ）， ∵椭圆 中，a2=16，b2=7， ∴c= =3，可得椭圆的左焦点为F（﹣3，0）． 由此，|PF|= = ，即点P到左焦点的距离为 ． 故答案为： ． 【分析】先求得椭圆上横坐标为2的点的坐标，再求得椭圆的焦点坐标，利用两点间的距离公式即可求解.
16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 上一点 到其左焦点的距离为4，则点 到右准线的距离为________．
【答案】3
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【解答】根据题意，设椭圆 的右焦点为F′，点P到右准线的距离为d，
椭圆 中a=3，b= ，
则c=2，
则其离心率e= ，
若P在椭圆上，且P到左焦点F的距离为4，则|PF′|=2a﹣2=2，
又由椭圆的离心率e= ，
则有e= ?= ，解可得d=3，
即点P到右准线的距离为3；
故答案为：3.
【分析】本题利用椭圆的标准方程求出a和b的值，再利用a,b,c三者的关系式求出c的值，再利用离心率公式求出离心率，再利用离心率的第二定义，即椭圆上的点到左焦点的距离与该点到作准线的距离之比等于离心率，从而求出点 P 到右准线的距离。
17.已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，且θ∈[ ， ]，则该椭圆离心率e的取值范围为________?
【答案】[ ， ﹣1]
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；
F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴=0，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，
cos2α=
故cosα=，
而|AF|=，
|AB|==2c，
而sinθ=
∴sinθ∈
∴
解得，≤e≤﹣1；
故答案为：[ ， ﹣1]．
【分析】设点A（acosα，bsinα），从而可得（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，从而化简可得cosα=， 而sinθ=， 从而可得， 从而可得， 从而求得．
18.已知P是椭圆 上一动点，定点E(3,0)，则|PE|的最小值为________．
【答案】
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的应用
【解析】【解答】椭圆 的参数方程为 ?（0≤α＜2π）， 则|PE| ? ? 由于﹣1≤cosα≤1，当cosα= ∈[﹣1，1]时，|PE|取得最小值，且为 ． 故答案为： ． 【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用同角三角函数的平方关系，求出椭圆的参数方程，运用两点间的距离公式，结合三角函数的同角的平方关系化简和配方，以及余弦函数的值域，即可得到最小值．
19.如图所示,已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标等于短半轴长的 ,则椭圆的离心率是________.
【答案】
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【解答】由题意得 ,∴ ∴ ∴ = = ,∴ ∴ 故答案为：. 【分析】根据椭圆的简单性质可得出a，b，c的关系，进而求出离心率e=。
20.如图，点 是椭圆 右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于 两 点，满足 ， ．则该椭圆的离心率为________．
【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，
又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，
则A（a，0），C（ ，﹣ ），B（﹣ ， ），AB= a，
所以 + =1，则a2=3b2 ，
所以c2=2b2 ， e= .
故答案为：
【分析】根据椭圆的标准方程，表示出相应点的坐标，根据三角形的特点，找到a，b，c的关系，结合离心率的定义，即可求出椭圆的离心率.
三、解答题
21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： （a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点． （Ⅰ）当k=﹣ ，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程； （Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣ x+m的距离为半径1，∴ ，?m= ， 切线l：y=﹣ x+ ，?A（0， ），B（ ，0） ∴a= ，b= ，∴椭圆E的方程为： ． （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0． ． ． ∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴ ； ?（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…① 又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2…② 由①②得r2（a2+b2）=a2b2 ． ∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r2（a2+b2）=a2b2 ．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣ x+m的距离为半径1，?m= ，?A（0， ），B（ ，0）代入椭圆方程，求出a、b即可（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2 ． 联立直线方程和与椭圆的方程，利用 求解．
22.已知长轴长为4的椭圆 过点 ，点 是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）是否在 轴上的定点 ，使得过 的直线 交椭圆于 两点.设点 为点 关于 轴的对称点，且 三点共线？若存在，求 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解： ， ，点 代入 有： 椭圆方程为： （2）解：存在定点 满足条件：设 ，直线 方程为 ，联立 消 有 ，设 ， ，则 ，且 由 三点共线有： ， 存在定点 满足条件.
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出b，可得椭圆的方程； （2）存在定点 D ( 4 , 0 ) 满足条件：设 D ( t , 0 ) ，直线 l 方程为 x = m y + t ，联立椭圆方程，利用韦达定理及三点共线的条件求出t，可得结论。
23.过椭圆C： + =1（a＞b＞0）右焦点F（1，0）的直线与椭圆C交于两点A、B，自A、B向直线x=5作垂线，垂足分别为A1、B1 ， 且 = ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△AFA1、△FA1B1、△BFB1的面积分别为S1、S2、S3 ， 证明： 是定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：设点A（x，y），则|AA1|=5﹣x，|AF|= ， 由 = ，得 = ， 化简得 + =1， 由A是椭圆C上任一点， ∴椭圆C的方程为 + =1 （2）证明：∵直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在， ∴可设直线方程为：x=my+1； 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）； 由 ， 消去x得（4m2+5）y2+8my﹣16=0； ∴ （*）； 由题意：△AFA1的面积为S1= |AA1|?|y1|= |5﹣x1|?|y1|， △FA1B1的面积为S2= |BB1|?|y2|= |5﹣x2|?|y2|， △BFB1的面积为S3= |A1B1|?4=2|y1﹣y2|； ∴ = ? = ? =﹣ ? ， 将（*）式代入上述式子，化简并计算可得 =﹣ ? = ； ∴ 是定值，且该定值是
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）设点A（x，y），写出|AA1|、|AF|的表达式，由 = 求出椭圆C的方程；（2）根据题意可设直线方程为x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）；由 得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，由根与系数的关系，结合题意求出△AFA1的面积S1 ， △FA1B1的面积S2 ， △BFB1的面积S3 ， 计算 的值即可．
24.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
【答案】解：（I） ， ，∴ ， ∴椭圆方程为 ． （Ⅱ） ， ，设 ， ， 则 ， ， 直线 ，即 ， 代入椭圆 得 ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ （定值）
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）根据题目中所给的条件的特点，关键是利用椭圆的几何性质求出a、b的值，写出椭圆的标准方程即可． （2）设出点M的坐标后写出直线CM的方程，并把它和椭圆的方程联立，解方程组可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算它们的数量积，即可证明出定值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知椭圆 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为（ ??）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
则 ，
故答案为：C。
【分析】由焦点坐标得c=2,再由椭圆方程求出a的值,再求离心率.
2.（2018?卷Ⅱ）已知 、 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若 ，且 ,则C的离心率为（ ）
A.?1- ??????????????????????????????????B.?2- ??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意设 ， ， 又 ， 2r=2c ∴c=r ∴ 故答案为：D 【分析】依题意 ， ，由椭圆第一定义 ，可得离心率。
3.（2018?上海）设P是椭圆 + =1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（? ??）
A.2 B.2 C.2 D.4
【答案】C
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程
【解析】【解答】 ，故 ，
故答案为：C
【分析】椭圆定义
4.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1????????????????????C.?﹣ =1????????????????????D.?﹣ =1
【答案】B
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
5.（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 ． ∴椭圆C的离心率e= = = ． 故选：A． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
6.（2017?浙江）椭圆 + =1的离心率是（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， 所以椭圆的离心率为： = ． 故选：B． 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
7.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[9，+∞）???????????????????????????????????????????B.?（0， ]∪[9，+∞） C.?（0，1]∪[4，+∞）???????????????????????????????????????????D.?（0， ]∪[4，+∞）
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ， 解得：0＜m≤1； 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9， ∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A． 【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得m的取值范围．
8.（2016?浙江）已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1 ， e2分别为C1 ， C2的离心率，则（ ）
A.?m＞n且e1e2＞1????????????B.?m＞n且e1e2＜1????????????C.?m＜n且e1e2＞1????????????D.?m＜n且e1e2＜1
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合， ∴满足c2=m2﹣1=n2+1， 即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2 ， 则m＞n，排除C，D 则c2=m2﹣1＜m2 ， c2=n2+1＞n2 ， 则c＜m．c＞n， e1= ，e2= ，则e1?e2= ? = ，则（e1?e2）2=（ ）2?（ ）2= = = =1+ =1+ =1+ ＞1， ∴e1e2＞1， 故选：A． 【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2，进行判断，能得m＞n，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．
9.（2016?全国）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为： ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，可得： ，4=b2（ ），∴ ，=3，∴e= = ． 故选：B． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．；本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．
二、填空题
10.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】详解：设 ，由 得 因为A,B在椭圆上,所以 ? ， 与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值. 【分析】设点的坐标：A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1 ， y2 ， 点B横坐标表示成m的函数，
运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
11.（2018?北京）已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
【答案】；2
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：图中A ，设椭圆焦距为2c, 又 。 ∴ ， 又 ， ∴ ，即双曲线离心率为 故答案为： ，2. 【分析】从椭圆的半焦距c出发，先分析正六边形，再由椭圆的定义得到a,c之间关系，求出椭圆离心率，再由A点坐标得到渐近线，得到m,n的关系，从而得到双曲线离心率。
12.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.
【答案】
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意得 ，直线 与椭圆方程联立可得 ， ，由 可得 ， ， ，则 ，由 可得 ，则 【分析】设右焦点F（c，0），将y= 代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值
三、解答题
13.（2018?卷Ⅰ）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1. 由已知可得，点A的坐标为 或 . 所以AM的方程为 或 . （2）解：当l与x轴重合时， . 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 . 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ， 则 ，直线MA ， MB的斜率之和为 . 由 得 . 将 代入 得 . 所以， . 则 . 从而 ，故MA ， MB的倾斜角互补，所以 . 综上， .
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标,得到直线l的方程,代入椭圆方程中求出点A,B的坐标,再求出直线AM的方程;(2) 等价于直线MA,MB的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到椭圆的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线MA,MB的斜率的和为0,得证.
14.（2018?天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F ， 上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P ， 且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ， 又 。 由 ，从而ab=6. ∴a=3.b=2. 即椭圆方程为： 。 （Ⅱ）设 ，由已知 。 故 ， 又 从而 ∴ 又 ， 又 。 ， 又 ， ∴ 。
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a,b。（Ⅱ）由已知条件得到P,Q纵坐标关系，联立方程组，将P,Q纵坐标分别用k表示。
15.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明: 成等差数列，并求该数列的公差。
【答案】（1）解：设 设A（x1,y1）B（x2,y2） 所以 又 所以 ????? 所以 （2）解：F（1,0） 所以P（1，-2m）在抛物线上 所以3+16m2=12 16m2=9 即 ???? ???? ??????? 又 同理 所以 所以 所以 为等差数列 2d= = = = =± d=
【考点】等差数列的性质，椭圆的标准方程，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，利用M在椭圆内部得到m范围，再由k，m关系，得到k范围; （2）由向量运算，将P坐标用m表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA|、|FB|用韦达定理表示，得到d.
16.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
【答案】解：（Ⅰ） ； ∴椭圆方程 （Ⅱ）l:y=x+m, 当m=0时， （Ⅲ）设 ∴ 代入上式得 则 即 同理 因为C、D和 共线，所以
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
17.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0）， ∵椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点， P为Γ上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且|OP|= ， ∴联立 ， 解得P（ ， ） （2）解：设M（x0 ， 0），A（0，1）， P（ ）， 若∠P=90°，则 ? ，即（x0﹣ ，﹣ ）?（﹣ ， ）=0， ∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ． 如图，若∠M=90°，则 ? =0，即（﹣x0 ， 1）?（ ﹣x0 ， ）=0， ∴ =0，解得x0=1或x0= ， 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为 ，或1，或 （3）解：设C（2cosα，sinα）， ∵ ，A（0，1）， ∴Q（4cosα，2sinα﹣1）， 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）， ∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2 ， 整理得：x0= cosβ， ∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ， ∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC的斜率kAC=﹣ = ?（负值已舍去），如图． ∴直线AQ为y= x+1．
【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立 ，能求出P点坐标．（2）设M（x0 ， 0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）推导出x0= cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
18.（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2 ， 可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ． 所以，椭圆的离心率为 ； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ． 由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ． 由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ． （ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ． 由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP． 因为QN⊥FP，所以 ，所以?÷FQN的面积为 ，同理?÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为 ．
【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率． （ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
19.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1． ∴椭圆E的方程为 ； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，得 ． 由题意得△= ＞0． ， ． ∴|AB|= ． 由题意可知圆M的半径r为 r= ． 由题意设知， ，∴ ． 因此直线OC的方程为 ． 联立 ，得 ． 因此，|OC|= ． 由题意可知，sin = ． 而 = ． 令t= ，则t＞1， ∈（0，1）， 因此， = ≥1． 当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ． ∴ ，因此 ． ∴∠SOT的最大值为 ． 综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
20.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
21.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2 ， ∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ， ∴椭圆C过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆C的方程为 + =1． （Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则N（0，﹣m）， ∴⊙N的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令y= ，则y′= ， 当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，两点间距离公式的应用，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
22.（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0）， 则a=2，e= = ，则c= ， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆C的方程 ； （Ⅱ）证明：设D（x0 ， 0），（﹣2＜x0＜2），M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），y0＞0， 由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02 ， 则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ， 直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0）， 直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2）， ，解得： ， 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN， 则丨EH丨= ， 则 = ， ∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
23.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，① 椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）设P（x0 ， y0），则直线PF2的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1）， 直线PF1的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1）， 联立 ，解得： ，则Q（﹣x0 ， ）， 由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1， 则 ，解得： ，则 ， ∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）．
【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
24.（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上， 又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上． 把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得： ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为 =1． （2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1， ∴ = = =﹣1， 解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， ，x1x2= ， 则 = = = = =﹣1，又b≠1， ∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）．
【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程． （2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
25.（2016?天津）设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
【答案】（1）解：由 ， 得 + = ， 即 = ， ∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2． ∴椭圆方程为 ； （2）解：由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）， 设B（x1 ， y1），M（x0 ， k（x0﹣2））， ∵∠MOA=∠MAO， ∴x0=1， 再设H（0，yH）， 联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0． △=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得 ， ∴ ， ， MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0）， 令x=0，得yH=（k+ ）x0﹣2k， ∵BF⊥HF， ∴ ， 即1﹣x1+y1yH=1﹣ ?[（k+ ）x0﹣2k]=0， 整理得： =1，即8k2=3． ∴k=﹣ 或k=
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得 ，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
26.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
【答案】（1）解：椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．可得a=2，c= ，b= ， 可得椭圆C的方程： ； （2）解：过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m）， ①证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′， k= = ，k′= =﹣ ， = =﹣3．为定值； ②由题意可得 ，m2=4﹣ t2 ， QM的方程为：y=﹣3kx+m， PN的方程为：y=kx+m， 联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4， 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得xB= ，yB= +m， 同理解得xA= ， yA= ， xB﹣xA= ﹣ = ， yB﹣yA= +m﹣（ ）= ， kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以6k+ ，当且仅当k= 时取等号． 此时 ，即m= ，符号题意． 所以，直线AB的斜率的最小值为： ．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（2）①设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果②求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．；本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
27.（2016?浙江）如图，设椭圆C： +y2=1（a＞1）
（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】（1）由题意可得： ，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0， 得x1=0或x2= ， 直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为： = （2）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|， 记直线AP，AQ的斜率分别为：k1 ， k2；且k1 ， k2＞0，k1≠k2 ， 由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ， 故： = ，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2 ， k1 ， k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0， 因此 a2（a2﹣2）①， 因为①式关于k1 ， k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1， 所以a＞ ． 因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2， e= = 得，所求离心率的取值范围是：
【考点】椭圆的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（2）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．
28.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
【答案】（1）解：由已知， ，又 ， ? 解得 ∴椭圆的方程为 （2）解：方法一： 设椭圆上一点 ，则 . 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 将 代入上式得 故 为定值. 方法二： 设椭圆 上一点 ， 直线PA: ,令 ，得 . ∴ 直线 : ,令 ，得 . ∴ 故 为定值
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．
29.（2016?北京）已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【答案】（1）解：∵椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点， ∴a=2，b=1，则 = ， ∴椭圆C的方程为 ，离心率为e= （2）证明：如图， 设P（x0 ， y0），则 ，PA所在直线方程为 ， 取x=0，得 ； ，PB所在直线方程为 ， 取y=0，得 ． ∴|AN|= ， |BM|=1﹣ ． ∴ = = = = = ． ∴四边形ABNM的面积为定值2．
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ，则椭圆C的方程可求，离心率为e= ；（2）设P（x0 ， y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由 ，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．；本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
30.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
【答案】（1）解：如图， 由题意可得 ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆E的方程为 （2）证明： 设AB所在直线方程为 ， 联立 ，得x2+2mx+2m2﹣2=0． ∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）， 则 ， ， |AB|= ． ∴x0=﹣m， ，即M（ ）， 则OM所在直线方程为 ， 联立 ，得 或 ． ∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）． 则︳MC︳?︳MD︳= = = ． 而︳MA︳?︳MB︳= （10﹣5m2）= ． ∴︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳?︳MB︳化为? ，再由两点间的距离公式求得︳MC︳?︳MD︳的值得答案； 本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
31.（2016?山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． ①求证：点M在定直线上； ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ， △PDM的面积为S2 ， 求? 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得e= = ，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0， ）， 即有b= ，a2﹣c2= ， 解得a=1，c= ， 可得椭圆的方程为x2+4y2=1； （2）解：①证明：设P（x0 ， y0），可得x02=2y0 ， 由y= x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0 ， 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）， 可化为y=x0x﹣y0 ， 代入椭圆方程， 可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 可得x1+x2= ，即有中点D（ ，﹣ ）， 直线OD的方程为y=﹣ x，可令x=x0 ， 可得y=﹣ ． 即有点M在定直线y=﹣ 上； ②直线l的方程为y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0）， 则S1= |FG|?|x0|= x0?（ +y0）= x0（1+x02）； S2= |PM|?|x0﹣ |= （y0+ ）? = x0? ， 则 = ， 令1+2x02=t（t≥1），则 = = = =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ， 则当t=2，即x0= 时， 取得最大值 ， 此时点P的坐标为（ ， ）．
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（2）（i）设P（x0 ， y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0 ， 可得y=﹣ ．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1= |FG|?|x0|= x0?（ +y0），S2= |PM|?|x0﹣? |，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标． 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．
32.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
【答案】（1）解：设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2； 由题意，△F1F2C为直角三角形， ∴ ，解得b=c= a， ∴椭圆E的方程为 =1； 代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0， 又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3， ∴椭圆E的方程为 =1； 由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1） （2）证明：设P（x0 ， 3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT， 得l′的参数方程为 ， 代人椭圆E中，得 +2 =6， 整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0； 设两根为tA ， tB ， 则有tA?tB= ； 而|PT|2= =2 ， |PA|= =| tA|， |PB|= =| tB|， 且|PT|2=λ|PA|?|PB|， ∴λ= = = ， 即存在满足题意的λ值．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （2）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值． 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
