上海市杨浦区2019届高三上学期期末质量调研数学试题（小题解析版）

上海市杨浦区2019届高三期末质量调研
数学试卷2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设全集，若集合，则
答案：
考点：集合的运算。
解析：全集U中找集合A没有的元素，所以，
2. 已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为
答案：
考点：弧度制下扇形面积的计算。
解析：扇形的弧长为：，
扇形面积为：S＝。
3. 已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为
答案：
考点：双曲线的性质。
解析：双曲线的渐近为：，所以，夹角为
4. 若展开式的二项式系数之和为8，则
答案：3
考点：二项式定理。
解析：二项式系数之和为8，所以，＝8，故n＝3。
5. 若实数、满足，则的取值范围是
答案：
考点：参数方程，三角函数。
解析：由，可令，则，
因为，所以，的范围为：
6. 若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于
答案：
考点：圆锥体积的计算。
解析：依题意得圆锥底面半径R＝＝3，
所以，圆锥的体积为：V＝＝

7. 在无穷等比数列中，，则的取值范围是
答案：
考点：等比数列的前n项和，极限，不等式。
解析：，所以，，
因为有极限，所以：
当0＜q＜1时，－1＜－q＜0，0＜1－q＜1，，
当－1＜q＜0时，0＜－q＜1，1＜1－q＜2，，
所以，的取值范围是
8. 若函数的定义域为集合，集合，且，则实数的
取值范围为
答案：
考点：函数的定义域，集合之间的关系。
解析：依题意，得A＝（－1,1），因为，所以，
，解得：。
9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则
的零点是
答案：
考点：矩阵的运算，函数的零点。
解析：依题意，得：＝－＝
＝＝，解得：，
所以，零点为：
10. 已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为
答案：
考点：复数的几何意义，平面向量，三角恒等变换。
解析：依题意，有：，，
因为，所以，＝0，即
＝0，化简，得：
＝＝
＝，所以，最小正周期为：T＝
11. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为
答案：2
考点：基本不等式，不等式恒成立问题。
解析：恒成立，即成立，
，
当，即时，，
所以，，解得：，所以，的最大值为2
12. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），
且，若实数（，），则称具有性质，
若是数列的前项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的
的值为
答案：或4
考点：由数列的前n项和求数列的通项公式，等差数列的通项公式，分类讨论的数学思想。
解析：由，当n＝1时，，得：，
当n＝3时，，当n＝4时，，两式相减得，
又，得：，
所以，，由，得：，
所以，，
又，
当n＝2k，时，，则
当n＝2k－1，时，，则
所以，，所以，



二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
考点：函数的奇偶性，单调性。
解析：B、D是偶函数，排除；
又函数是增函数，所以，A也排除；
对于C，既是奇函数，又是减函数，所以，选C。
14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
考点：排列组合，古典概型。
解析：5名队员任派2人，可能为：＝10种，
恰有1人是女队员的可能有：＝6
所以，所求概率为：P＝，选B。
15. 已知，，设，，
，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
考点：三角函数，对数函数，基本不等式。
解析：因为，所以，，所以，在上单调递减，
，所以，，所以，，
所以，≤，即；
，
所以，，即，
所以，


16. 已知函数，记集合，
集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
考点：集合的运算，分类讨论的数学思想。
解析：设A，则，
又A＝B，所以，B，即，
所以，，得m＝0，从而，
＝＝0，
当n＝0时，A＝B＝｛0｝，满足题意；
当n≠0时，由方程＝0，得x＝0或－n，
而x＝0或－n不是方程的根，所以，无解，
即△＝，解得：0＜n＜4，
综上，0≤n＜4
所以，的取值范围是

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，，，点F是PB
的中心，点E在边BC上移动.
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE.

18. 在△中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
（1）若，求；
（2）已知，证明：.

19. 上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是
元，其中.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.

20. 如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、
，满足、的中点均在抛物线上.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）设中点为，且，，证明：；
（3）若是曲线（）上的动点，求△PAB面积的最小值.




21. 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，.
（1）若，请写出的值；
（2）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立？请说明理由.






参考答案
一. 填空题
1. 　2. 3. 　　　　　 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 或4
二. 选择题
13. C 14. B 15. D 16. A
三. 解答题

19.答案：（1）；（2），最大值为4575.
解析：（1）2（5x+1－)≥30，即5x+1－≥15
整理可得：，解得：x≥3或x≤－(舍去）
所以： 3≤x≤10
（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，
生产900千克该产品需要时间：t=，
y＝×＝4500＋－＝－2700（）＋4500
　　＝－2700＋4575
1≤x≤10，所以当x=6，y取最大值为4575元

20.（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2
（2）设，，，
则中点为，由中点在抛物线上，可得，
化简得，显然，
且对也有，
所以是二次方程的两不等实根，
所以，。
（3），
由（1）可得，，
，
此时在半椭圆上，
∴，
∵，∴，
∴，

，
所以，
，所以，
即的面积的最小值是.