2018年11月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年11月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 737.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-30 22:35:07 | ||
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文档简介
2018年11月浙江省普通高校招生学考科目考试
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
2.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，因为，所以.
3.计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
4.直线经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程中，可知选项A可使等式成立.
5.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故函数的定义域为.
6.对于空间向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即，所以.
7.渐近线方程为的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题可设双曲线方程为，因为渐进线方程为，所以，即，只有B选项符合.
8.若实数，满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由约束条件，作出可行域如图，由图易知的最大值为.
9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为，高度，所以体积.
10.关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，；
当时，无解；
当时，；
综上可得，或.
11.下列命题为假命题的是（ ）
A.垂直于同一直线的两个平面平行
B.垂直于同一平面的两条直线平行
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.平行于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.
12.等差数列的公差为，前项和为，若，，，则当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴是递减数列.
又∵，∴，，∴，，∴.
13.对于实数、，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由，得，故充分性成立；
必要性：由，得或，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
14.已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析四个选项可知只有是由的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的之后再将图像向左平移个单位得到，故和的值域是相同的.
15.函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，函数，函数图象可以是B.
当时，函数，函数可以类似于D.
当时，，时，只有一个实数根，图象可以是C.
所以函数图象不可能是A.
16.若实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以最小值为.
17.如图，在同一平面内，，是两个不同的定点，圆和圆的半径为，射线交圆于点，过作圆的切线，当变化时，与圆的公共的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
【答案】D
【解析】设直线与圆的交点为，过点作与过点平行于的直线的垂线，垂足为，易知，即点到定直线的距离等于其到定点的距离，所以点的轨迹是抛物线.
18.如图，四边形是矩形，沿将翻折成，设二面角的平面角为，直线与直线所成角为，直线与平面所成的角为，当为锐角时，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A，B选项中产生.
下面比较和的大小关系即可.
过作平面垂线，垂足为，过作，垂足为，连结，则
可以认为是与平面所成的线面角，可以认为是与平面内的所成的线线角，所以，综上，.
二、填空题
19.已知函数，则 ， .
【答案】,
【解析】因为，故；又，故.
20.已知为坐标原点，与分别为椭圆的上顶点与右焦点，若，则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】因为，为椭圆的上顶点和右焦点，故设，，又，所以，因为，所以椭圆的离心率.
21.已知数列满足：，，则 .
【答案】
【解析】，，，数列和均为等比数列，且公比均为，首项分别是，所以数列的通项为，故.
22.如图，是坐标原点，圆的半径为，点，，点，分别从点，同时出发，在圆上按逆时针方向运动，若点的速度大小是点的两倍，则在点运动一周的过程中，的最大值为 .
【答案】
【解析】
设，由点的速度是点的两倍，即，
.
三、解答题
23.在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积；
（Ⅲ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）由，可知，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，所以.
（Ⅲ）由题意得，因为，所以，即，故所求的取值范围是.
24.已知抛物线的焦点是，准线是.
（Ⅰ）写出的坐标和的方程；
（Ⅱ）已知点，若过的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，.求证：.
【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）略.
【解析】（Ⅰ）因为抛物线是焦点在轴正半轴的标准方程，所以，所以焦点为.准线方程为.
（Ⅱ）设，（且），直线方程为（是实数），代入，得，于是，.由，得，直线的方程为，令，得，同理可得，所以，故.
25.已知函数.
（Ⅰ）当时，写出的单调递增区间（不需写出推证过程）；
（Ⅱ）当时，若直线与函数的图象相交于，两点，记，求的最大值；
（Ⅲ）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）; （Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）的单调递增区间为，
（Ⅱ）因为，所以
（ⅰ）当时，的图象与直线没有交点；
（ⅱ）当或时，的图象与直线只有一个交点；
（ⅲ）当时，；
（ⅳ）当时，由，得，解得；
由，得，解得.所以，故的最大值是.
（Ⅲ）要使关于方程有两个不同的实数根，，则，且.
（ⅰ）当时，由得，所以，不符合题意；
（ⅱ）当时，由得，其对称轴，不符合题意；
（ⅲ）当，且时，由得，又因为，所以.所以函数在是增函数.
要使直线与函数图象在内有两个交点，则，只需，解得.
综上所述，实数的取值的范围为.
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
2.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，因为，所以.
3.计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
4.直线经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程中，可知选项A可使等式成立.
5.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故函数的定义域为.
6.对于空间向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即，所以.
7.渐近线方程为的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题可设双曲线方程为，因为渐进线方程为，所以，即，只有B选项符合.
8.若实数，满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由约束条件，作出可行域如图，由图易知的最大值为.
9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为，高度，所以体积.
10.关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，；
当时，无解；
当时，；
综上可得，或.
11.下列命题为假命题的是（ ）
A.垂直于同一直线的两个平面平行
B.垂直于同一平面的两条直线平行
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.平行于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.
12.等差数列的公差为，前项和为，若，，，则当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴是递减数列.
又∵，∴，，∴，，∴.
13.对于实数、，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由，得，故充分性成立；
必要性：由，得或，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
14.已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析四个选项可知只有是由的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的之后再将图像向左平移个单位得到，故和的值域是相同的.
15.函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，函数，函数图象可以是B.
当时，函数，函数可以类似于D.
当时，，时，只有一个实数根，图象可以是C.
所以函数图象不可能是A.
16.若实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以最小值为.
17.如图，在同一平面内，，是两个不同的定点，圆和圆的半径为，射线交圆于点，过作圆的切线，当变化时，与圆的公共的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
【答案】D
【解析】设直线与圆的交点为，过点作与过点平行于的直线的垂线，垂足为，易知，即点到定直线的距离等于其到定点的距离，所以点的轨迹是抛物线.
18.如图，四边形是矩形，沿将翻折成，设二面角的平面角为，直线与直线所成角为，直线与平面所成的角为，当为锐角时，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A，B选项中产生.
下面比较和的大小关系即可.
过作平面垂线，垂足为，过作，垂足为，连结，则
可以认为是与平面所成的线面角，可以认为是与平面内的所成的线线角，所以，综上，.
二、填空题
19.已知函数，则 ， .
【答案】,
【解析】因为，故；又，故.
20.已知为坐标原点，与分别为椭圆的上顶点与右焦点，若，则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】因为，为椭圆的上顶点和右焦点，故设，，又，所以，因为，所以椭圆的离心率.
21.已知数列满足：，，则 .
【答案】
【解析】，，，数列和均为等比数列，且公比均为，首项分别是，所以数列的通项为，故.
22.如图，是坐标原点，圆的半径为，点，，点，分别从点，同时出发，在圆上按逆时针方向运动，若点的速度大小是点的两倍，则在点运动一周的过程中，的最大值为 .
【答案】
【解析】
设，由点的速度是点的两倍，即，
.
三、解答题
23.在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积；
（Ⅲ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）由，可知，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，所以.
（Ⅲ）由题意得，因为，所以，即，故所求的取值范围是.
24.已知抛物线的焦点是，准线是.
（Ⅰ）写出的坐标和的方程；
（Ⅱ）已知点，若过的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，.求证：.
【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）略.
【解析】（Ⅰ）因为抛物线是焦点在轴正半轴的标准方程，所以，所以焦点为.准线方程为.
（Ⅱ）设，（且），直线方程为（是实数），代入，得，于是，.由，得，直线的方程为，令，得，同理可得，所以，故.
25.已知函数.
（Ⅰ）当时，写出的单调递增区间（不需写出推证过程）；
（Ⅱ）当时，若直线与函数的图象相交于，两点，记，求的最大值；
（Ⅲ）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）; （Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）的单调递增区间为，
（Ⅱ）因为，所以
（ⅰ）当时，的图象与直线没有交点；
（ⅱ）当或时，的图象与直线只有一个交点；
（ⅲ）当时，；
（ⅳ）当时，由，得，解得；
由，得，解得.所以，故的最大值是.
（Ⅲ）要使关于方程有两个不同的实数根，，则，且.
（ⅰ）当时，由得，所以，不符合题意；
（ⅱ）当时，由得，其对称轴，不符合题意；
（ⅲ）当，且时，由得，又因为，所以.所以函数在是增函数.
要使直线与函数图象在内有两个交点，则，只需，解得.
综上所述，实数的取值的范围为.
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