2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第7节 抛物线（学生版）
备战基础·零风险
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
抛物线
定 义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 ．
(2)其数学表达式：|MF|＝ (其中d为点M到准线的距离)．
抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝ (p>0)
y2＝ (p>0)
x2＝ (p>0)
x2＝ (p>0)
p的几何意义： 。
性质
顶点
O 。
对称轴
y＝ 。
x＝ 。
焦点
。
。
。
。
离心率
e＝ 。
准线方程
x＝ 。
x＝ 。
y＝ 。
y＝ 。
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
。
。
。
。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
2．两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；
二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.
3. 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
4. (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
5. (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
小结
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知点P是抛物线 上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.抛物线 的焦点坐标是（??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.抛物线 上一点 到直线 的距离与到点 的距离之差的最大值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.已知抛物线的焦点为F，点,在抛物线上，且 ， 则有(?????????? )
A.?????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????D.?
5.抛物线y2=8x的焦点坐标为（ ）
A.?（﹣2，0） ??B.?（2，0） ???C.?（0，2） ??D.?（1，0）
6.经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（ ）
A.?x+48y﹣3=0???????????????????B.?x+80y﹣5=0????????????????????C.?x+3y﹣3=0????????????????????D.?x+5y﹣5=0
7.抛物线的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M 在其准线上的射影为N，则的最大值为（?????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?
8.抛物线的焦点坐标是（????）
A.?（2，0）???????????????????????????B.?（0，2）???????????????????????????C.?（l，0）???????????????????????????D.?（0，1）
9.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（ ）
A.?x=1 B.?x= ????C.?y=﹣ D.?y=﹣1
10.已知点Q(-2,0)及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（ ）
A.? B.?1????? C.?2 ?D.?3
11.抛物线的焦点坐标是：? （）
A.?（0，-1）?????????????????????????B.?（0,1） ?????????????????????????C.?（1,0） （?????????????????????????D.?（-1,0）
12.一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（ ）
A.?48??????????????????????????????????B.?24??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?46
13.已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线的焦点，若 ， 则k的值为?（????）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
14.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|= ， 则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
15.已知点A（﹣,），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为________
16.设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．
17.已知点 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上两点， ，则线段 的中点的横坐标为________
18.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为 ________? m．
19.已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 =0，则k=________．
20.抛物线 上一点 到焦点的距离为4，则实数 的值为________.
三、解答题
21.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（﹣3，2）； （2）焦点在直线x﹣2y﹣4=0上．
22.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 ，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴． （Ⅰ）求线段OQ的长； （Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．
23.已知某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m，现有一船，船宽为10m，水面以上高为3m，问这条船能否从桥下通过？
24.在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设抛物线 的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 (? )
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
2.（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????D.?3
3.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
4.（2016?全国）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
5.（2016?全国）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ， 则C的焦点到准线的距离为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
6.（2016?四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A.?（0，2）???????????????????????????B.?（0，1）???????????????????????????C.?（2，0）???????????????????????????D.?（1，0）
7.（2016?四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题
8.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
9.（2018?北京）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
10.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为________．
11.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
12.（2017?新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
13.（2016?浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
14.（2016?天津）设抛物线 ，（t为参数，p＞0）的焦点为F ， 准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为 ，则p的值为________.
三、解答题
15.（2018?卷Ⅰ）设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 与C交于M,N两点
（1）当 与x轴垂直时,求直线BM的方程;
（2）证明:∠ABM=∠ABN
16.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
17.（2018?卷Ⅱ）设抛物线 的焦点为F，过F点且斜率 的直线 与 交于 两点， .
（1）求 的方程。
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
18.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
19.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
20.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
21.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
22.（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（1）求p的值；
（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
23.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
24.（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（1）求 ；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
25.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第7节 抛物线（教师版）
备战基础·零风险
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
抛物线
定 义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
2．两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；
二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.
3. 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
4. (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
5. (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
小结
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知点P是抛物线 上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用
【解析】【解答】抛物线 ，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）． 依题点P到点A（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，1）与P到该抛物线准线的距离的和减去1． 由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，1）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1， 可得： ﹣1= ． 故答案为：C． 【分析】根据抛物线上的点到准线的距离与这个点与焦点之间的距离相等这一性质，可知最短距离为P到（0，1）与P到该抛物线准线的距离的和减去1。
2.抛物线 的焦点坐标是（??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】把抛物线方程化成标准方程为 焦点坐标为F（0，）。 故答案为：D。 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。
3.抛物线 上一点 到直线 的距离与到点 的距离之差的最大值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程
【解析】【解答】如图，由抛物线的定义可知：
抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，
∴当P，Q，F共线时，
P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，
∵F（1，0），Q（2，2），
∴[|PM|﹣|PQ|]max
=[|PF|﹣|PQ|]max
=|QF|
= = ?，
故答案为：B．
【分析】本题根据抛物线定义转化点到准线的距离为点到焦点的距离，再利用两点距离公式求出点 P 到直线 x = ? 1 的距离与到点 Q ( 2 , 2 ) 的距离之差的最大值。
4.已知抛物线的焦点为F，点,在抛物线上，且 ， 则有(?????????? )
A.?????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质
【解析】【分析】点， 在抛物线上，所以它们到焦点的距离等于到准线的距离，又， 所以， 即.选C 【点评】抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，适当的利用这条性质可以简化运算.
5.抛物线y2=8x的焦点坐标为（ ）
A.?（﹣2，0） B.?（2，0） ????C.?（0，2） ??D.?（1，0）
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2=8x，
所以p=4，
∴焦点（2，0），
故选B．
【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．
6.经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（ ）
A.?x+48y﹣3=0???????????????????B.?x+80y﹣5=0????????????????????C.?x+3y﹣3=0????????????????????D.?x+5y﹣5=0
【答案】D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1）， 双曲线﹣=1的右焦点的坐标为（5，0）， ∴所求直线方程为即x+5y﹣5=0． 故选：D． 【分析】求出抛物线y=x2的焦点坐标、双曲线﹣=1的右焦点，即可求出直线方程．
7.抛物线的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M 在其准线上的射影为N，则的最大值为（?????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2 ， 进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案． 【解答】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义， 得AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b)2-2ab， 又ab≤() 2 ， ∴（a+b)2-2ab≥（a+b)2- 得到|AB|≥（a+b)． 所以≤=， 即的最大值为． 故选A．
8.抛物线的焦点坐标是（????）
A.?（2，0）???????????????????????????B.?（0，2）???????????????????????????C.?（l，0）???????????????????????????D.?（0，1）
【答案】D
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】因为， 所以， 因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。故D正确。
9.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（ ）
A.?x=1 B.?x= ?C.?y=﹣ ??D.?y=﹣1
【答案】D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），
∴定点A为抛物线的焦点，
要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，准线方程为y=﹣1
故答案为：y=﹣1．
【分析】要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线．
10.已知点Q(-2,0)及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（ ）
A.? ???????B.?1 C.?2 D.?3
【答案】C
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．
设P到准线的距离为d，则
y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）
故y+|PQ|的最小值是2．
故选：C．
【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．
11.抛物线的焦点坐标是：? （）
A.?（0，-1）?????????????????????????B.?（0,1） ?????????????????????????C.?（1,0） （?????????????????????????D.?（-1,0）
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】把抛物线y="-" x2的方程化为标准方程，求出 p值和开口方向，从而写出焦点坐标． 【解答】抛物线y=-x2的标准方程为 x2=-4y，开口向下， p=2，=1，故焦点为（0，-1)， 故选 A．
12.一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（ ）
A.?48??????????????????????????????????B.?24??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?46
【答案】A
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设其中一个顶点是（x，2） 因为是正三角形 所以=tan30°= 即 解得x=12 所以另外两个顶点是（12，4）与（12，﹣4） 三角形的面积12?（4+4）=48 故选A 【分析】根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2），根据正三角形的 性质=tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后根据面积公式求得答案．
13.已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线的焦点，若 ， 则k的值为?（????）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】直线过抛物线的准线与轴的交点,,所以， 因此又， 所以
14.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|= ， 则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】∵抛物线方程为y2=2x， ∴焦点F的坐标为（ ， 0），准线方程为x=﹣ ， 如图，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N， 则|BF|=x2+=2， ∴x2=2， 把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=﹣2， ∴直线AB过点M（3，0）与（2，﹣2） 方程为2x﹣y﹣6=0，代入抛物线方程，解得，x1= ， ∴|AE|=+=5， ∵在△AEC中，BN∥AE， ∴ 故选：A 【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．
二、填空题
15.已知点A（﹣,），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为________
【答案】
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣ ，
由题意得﹣=﹣ ， 解得p=1．
即有抛物线方程为y2=2x，
设直线MN的方程为：x=ty+m，点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
直线MN与x轴的交点为D（m，0），
x=ty+m代入y2=2x，可得y2﹣2ty﹣2m=0，
根据韦达定理有y1?y2=﹣2m，
∵=3，
∴x1?x2+y1?y2=3，从而（y1?y2）2+y1?y2﹣3=0，
∵点M，N位于x轴的两侧，
∴y1?y2=﹣6，故m=3．
当y=0时，x=3恒成立，
故直线MN所过的定点坐标是D（3，0），
当直线MN绕着定点D（3，0）旋转时，AD⊥MN，
即有点A到动直线MN的距离最大，且为
故答案为： ．
【分析】求得抛物线的准线方程，由题意解得p=1，设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=3，消元，最后可得定点D坐标，连接AD，当AD⊥MN，有点A到动直线MN的距离最大，由两点的距离公式计算即可得到．
16.设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．
【答案】5
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6， 可得抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离是5， 则点P到抛物线焦点F的距离为：5． 故答案为：5． 【分析】利用抛物线的性质，通过点P到直线x+2=0的距离是6，求解点P到抛物线焦点F的距离即可．
17.已知点 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上两点， ，则线段 的中点的横坐标为________
【答案】2
【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】 抛物线 准线方程为 ，由 ，可得 ，即 ， 的中点的横坐标为 ，故答案为 .【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出xM+xN=4，即可求出MN中点的横坐标．
18.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为 ________? m．
【答案】
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）． ∵当水面离拱顶2m时，水面宽4m． ∴B（2，﹣2）． 代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2）， 解得p=1． ∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y． 设D（x，﹣4），代入抛物线方程可得x2=﹣2×（﹣4）， 解得x= ． ∴|CD|=4 ． 故答案为：4 ． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m．可得B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），
19.已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 =0，则k=________．
【答案】8
【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立方程组 ，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0， 则x1+x2= =2+ ．x1x2=1． ∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵ =0，（x1 ， y1﹣2）（x2 ， y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8． 故答案为：1． 【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1 ， y1﹣2）（x2 ， y2﹣2）=0，即可求得k的值．
20.抛物线 上一点 到焦点的距离为4，则实数 的值为________.
【答案】2或6
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】 抛物线 上一点 到焦点的距离为4， ，解得 或 的值为 或 。 故答案为： 或 .【分析】由抛物线的焦半径长公式直接求解。
三、解答题
21.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（﹣3，2）； （2）焦点在直线x﹣2y﹣4=0上．
【答案】解：（1）设所求的抛物线方程为y2=﹣2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（﹣3，2）， ∴4=﹣2p（﹣3）或9=2p?2． ∴p=或p=． ∴所求的抛物线方程为y2=﹣x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=﹣． （2）令x=0得y=﹣2，令y=0得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣2）． 当焦点为（4，0）时，=4， ∴p=8，此时抛物线方程y2=16x； 焦点为（0，﹣2）时，=2， ∴p=4，此时抛物线方程为x2=﹣8y． ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣8y， 对应的准线方程分别是x=﹣4，y=2．
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）设所求的抛物线方程为y2=﹣2px或x2=2py，把点（﹣3，2）代入即可求得p，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程． （2）令x=0，y=0代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得p，则抛物线的方程可得．根据抛物线的性质求得准线方程。
22.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 ，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴． （Ⅰ）求线段OQ的长； （Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 得 ，所以n=2，故抛物线方程为y2=2x，P（2，2） 所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为 ，则 . 故曲线C在点P处的切线斜率 ，切线方程为： 令y=0得x=﹣2，所以点Q（﹣2，0） 故线段OQ=2 （Ⅱ）由题意知l1：x=﹣2，因为l2与l1相交，所以m≠0 设l2：x=my+b，令x=﹣2，得 ，故 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 由 消去x得：y2﹣2my﹣2b=0 则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b 直线PA的斜率为 ， 同理直线PB的斜率为 ，直线PE的斜率为 因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列 所以 + =2 即 因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2 所以2m﹣b+2=2m，即b=2 故l2：x=my+2，即l2恒过定点（2，0）
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）求出抛物线方程，曲线C在点P处的切线方程，得出Q的坐标，即可求线段OQ的长；（Ⅱ）求出直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，直线PE的斜率为 ，因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，得出2m﹣b+2=2m，即b=2，即可得出结论．
23.已知某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m，现有一船，船宽为10m，水面以上高为3m，问这条船能否从桥下通过？
【答案】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0） 将B（10，﹣4）代入得2p=25，∴x2=﹣25y， 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 设点A（5，yA），由52=﹣25yA ， 得yA=﹣1， 由于3＞1，故这条船能从桥下通过．
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），将B（10，﹣4）代入，求得抛物线方程，求出A的纵坐标，即可求得结论．
24.在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．
【答案】解：∵动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等， ∴由抛物线的定义，可得动点P的轨迹Γ是抛物线， 设其方程为y2=2px，由=1得2p=4， ∴抛物线的方程为y2=4x，即为曲线Γ的方程． ∵直线AB的一个方向向量，过点（1，0）， ∴直线AB的斜率k=2，方程为y=2（x﹣1），即y=2x﹣2． 设直线l与曲线Γ的交点坐标为A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， 由，整理得x2﹣3x+1=0，可得x1+x2=3． ∴根据抛物线的定义，可得|AB|=x1+x2+p=2+x1+x2=5．
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【分析】根据抛物线的定义得动点P的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为y2=4x．由直线方程的点斜式，算出直线AB的方程为y=2x﹣2，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB的长。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设抛物线 的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 (? )
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】D
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设 ， ∴ ，即 ， 设 , ∴ , ∴ , 故答案为：D。 【分析】将直线方程代入到抛物线方程中,消去y得到关于x的二次方程,结合韦达定理,由平面 向量的数量积的坐标运算求出值.
2.（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1）， 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知： ，解得M（3，2 ）． 可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ， 则M到直线NF的距离为： =2 ． 故选：C． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
3.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2 ， 直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= ?|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 故选：A 【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
4.（2016?全国）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y= （k＞0）与C交于点P在第一象限， 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1， 代入C得：P点纵坐标为2， 故k=2， 故选：D 【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
5.（2016?全国）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ， 则C的焦点到准线的距离为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 ， |DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，xA= = ， |OD|=|OA|， = +5， 解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
6.（2016?四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A.?（0，2）???????????????????????????B.?（0，1）???????????????????????????C.?（2，0）???????????????????????????D.?（1，0）
【答案】D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0）， 故选：D 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
7.（2016?四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得F（ ，0），设P（ ，y0）， 显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0， 则 = + = + = + （ ﹣ ）= + =（ + ， ），可得kOM= = ≤ = ， 当且仅当y02=2p2 ， 取得等号． 故选：C． 【分析】由题意可得F（ ，0），设P（ ，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得 = + =（ + ， ），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．；本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题
8.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
【答案】2
【考点】平面向量的基本定理及其意义，抛物线的应用
【解析】【解答】设 设 所以 又 所以 【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可.
9.（2018?北京）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
【答案】（1,0）
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：当x=1时，y2=4a y= ,∴ ， ∴a=1,则焦点为（1,0） 【分析】先根据题意求出弦长，再求焦点即可。
10.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
【答案】（x+1）2+ =1
【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
11.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
12.（2017?新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
【答案】6
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ， |FN|=2|FM|=2 =6． 故答案为：6． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
13.（2016?浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
【答案】9
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1， ∵点M到焦点的距离为10， ∴点M到准线x=﹣1的距离为10， ∴点M到y轴的距离为9． 故答案为：9． 【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
14.（2016?天津）设抛物线 ，（t为参数，p＞0）的焦点为F ， 准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为 ，则p的值为________.
【答案】
【考点】抛物线的简单性质，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：抛物线 （t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（ ，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（ p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|， |CF|=3p，|AB|=|AF|= p，A（p， ），△ACE的面积为3 ， ，可得 =S△ACE ． 即： =3 ，解得p= ．故答案为： ． 【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可
三、解答题
15.（2018?卷Ⅰ）设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 与C交于M,N两点
（1）当 与x轴垂直时,求直线BM的方程;
（2）证明:∠ABM=∠ABN
【答案】（1）解：当l与x轴垂直时，l:x=2，代入C：y2=4 ∴ 或（2，-2） ∴ ∴ （2）解：设 设 的斜率分别为 ， 则有： 设 ∴ 分子为0，故 =0，从而
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】(1)由点A的坐标为(2,0)得直线l的方程为x=2,代入抛物线的方程中求出点M,N的坐标,再求出直线BM的方程; （2）∠ABM=∠ABN等价于直线BM,BN的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到抛物线的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线BM,BN的斜率的和为0,得证.
16.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理,由韦达定理即可得到结论； （Ⅱ）先表示出△PAB面积，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
17.（2018?卷Ⅱ）设抛物线 的焦点为F，过F点且斜率 的直线 与 交于 两点， .
（1）求 的方程。
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0 X1+x2=2+ 而 ，且k＞0 解得：k=1 所以直线l的方程：y=x-1 （2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5 设所求圆的圆心坐标为（x0 ， y0），则 解得： 或 因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
18.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）由题意可知如图 故设 （2）由题中几何关系可知 ，又M为OQ中点，故 。 又由几何关系可知t=3， 有 ，则 故 又QO直线斜率 ，PF⊥OQ，则PF直线斜率K2=- 则 ，联立曲线 可知 ，即 。 （3）存在；假设存在，则设E t=8时，P ，其中m∈[0，4]；Q(8，n)，其中n∈[0，8]；且s[0，4]， 则在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ中， ， 即 又n∈[0，8]，解得m∈（0，2） 故 =（6，n）= 得到方程组： ，解得 （舍）或 ，故 所以 ；当 时，以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，并有点E在 上。
【考点】两点间距离公式的应用，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，⑴涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答即可；⑵涉及面积最值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是作为距离的问题的加深；⑶考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对于运动问题应当注意抓住变量。
19.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
20.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ， 联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|?|PQ|= ? = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）max=f（ ）= ，即|PA|?|PQ|的最大值为 ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
21.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ， （2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x， 由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ）， 由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = ∴A为线段BM的中点．
【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程； （2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
22.（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（1）求p的值；
（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离， 由抛物线定义得， ，即p=2 （2）解：由（1）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2 ， 2t），t≠0，t≠±1， ∵AF不垂直y轴， ∴设直线AF：x=sy+1（s≠0）， 联立 ，得y2﹣4sy﹣4=0． y1y2=﹣4， ∴B ， 又直线AB的斜率为 ，故直线FN的斜率为 ， 从而得FN： ，直线BN：y=﹣ ， 则N（ ）， 设M（m，0），由A、M、N三点共线，得 ， 于是m= = ，得m＜0或m＞2． 经检验，m＜0或m＞2满足题意． ∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值； （2）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
23.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
【答案】（1）解： ， 与 轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为 ， （2）解：① 设点 ， 则： ，即 ， 又 关于直线 对称， 即 ， 又 中点一定在直线 上 线段 上的中点坐标为 ； ② 中点坐标为 即 ，即关于 有两个不等根 ， ，
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通过抛物线方程，求解kPQ ， 通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中点在直线l上，推出 =2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．
24.（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（1）求 ；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
【答案】（1）解：将直线l与抛物线方程联立，解得P（ ，t）， ∵M关于点P的对称点为N， ∴ = ， =t， ∴N（ ，t）， ∴ON的方程为y= x， 与抛物线方程联立，解得H（ ，2t） ∴ = =2； （2）解：由（1）知kMH= ， ∴直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0， ∴△=16t2﹣4×4t2=0， ∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用 = ，求 ；（2）直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．；本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．
25.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【答案】（1）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PRF， ∴AR∥FQ． （2） A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ? F（ ，0），准线为 x=﹣ ， ?S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由 得? =2（x1﹣x2）， 又 = ， ∴ = ，即y2=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．；本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
