2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第8节 曲线与方程
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质．
3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是 ．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做 ．
求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝ ．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 ，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线 ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
3. (1)一是解题时，如根据
利用所得结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．
4. 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
5. (1)一是本题的轨迹方程中，所求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．
(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．
小结
1．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题．
2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
备战练习·固基石
一、单选题
1.方程 表示的曲线为图中的（ ??）
A.????????????????B.????????????C.????????????????D.?
2.下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（?? ）
A.?（0，0）??????????????????????????B.?（1，﹣1）??????????????????????????C.???????????????????????????D.?（1，1）
3.方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线经过4个A（1，﹣2），B（2，﹣3），C（3，10），D（0，﹣ ）中的（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题有（???）
A.?1个??????????????????????????????????????B.?2 个??????????????????????????????????????C.?3 个??????????????????????????????????????D.?4个
5.方程x2﹣xy﹣2y2=0表示的曲线为（? ）
A.?椭圆????????????????????????????????????B.?双曲线????????????????????????????????????C.?圆????????????????????????????????????D.?两直线
6.已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.?m≥3???????????????????????????????????B.?m≤3???????????????????????????????????C.?m＞3???????????????????????????????????D.?m＜3
7.如图，正方体ACD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，?且 ， 点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线 A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（?????）
A.?圆????????????????????????????????????B.?双曲线????????????????????????????????????C.?抛物线????????????????????????????????????D.?直线
8.已知两点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”．给出下列直线：①y=x+1；②y=2；③；④y=2x+1，其中为“B型直线”的是（ ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①②?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
9.关于x，y的方程y=mx+n和 + =1在同一坐标系中的图象大致是（?? ）
A.????B.??????C.??D.?
10.已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（? ?）
A.?曲线 上的点的坐标都适合方程 ??????????
B.?凡坐标不适合 的点都不在 上 C.?不在 上的点的坐标必不适合 ??????????
D.?不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
11.关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题： ①曲线C关于原点对称；???? ②曲线C关于直线y=x对称 ③曲线C围成的面积大于π ④曲线C围成的面积小于π 上述命题中，真命题的序号为（ ）
A.?①②③???????????????????????????????????B.?①②④??????????????????????????????????C.?①④??????????????????????????????????D.?①③
12.在平面直角坐标系中，方程 +|x﹣y|=1所表示的曲线为（?? ）
A.?三角形??????????????????????B.?正方形??????????????????????C.?非正方形的长方形??????????????????????D.?非正方形的菱形
13.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点； ②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的； ③设A，B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线； ④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若 则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
14.若θ是任意实数，则方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是（ ）
A.?抛物线????????????????????????????????????B.?双曲线???????????????????????????????????C.?椭圆???????????????????????????????????D.?圆
二、填空题
15.已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是________?当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________?，当曲线表示双曲线时k的取值范围是________?
16.已知直线l：x﹣y+m=0（m是常数），曲线C：x|x|﹣y|y|=1，若l与C有两个不同的交点，则m的取值范围是________．
17.已知一个动圆与圆C： 相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是________．
18.若方程x+y﹣6 +3k=0仅表示一条直线，则实数k的取值范围是________．
19.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为________.
20.如果曲线2|x|﹣y﹣4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________．
21.已知直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程： ①y=﹣|x|； ②x2+y2﹣2y=0； ③y=（x+1）2 ． 其中，具有性质P的曲线的序号是________．
22.关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线；??????????? ②关于y轴对称； ③关于坐标原点中心对称；????? ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是________?（注：把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
23.为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+ （x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO= 百米．
（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；
（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．
24.曲线C的方程： （1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？ （2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？
25.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变成曲线 x′2+y′2=1．
26.k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）双曲线 （a>0,b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ???）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
2.（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
3.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1??????????????????C.?﹣ =1??????????????????D.?﹣ =1
4.（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.? =1?????????????????????????????????????????B.? =1 C.? =1?????????????????????????????????????????D.? =1
5.（2016?天津）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.?﹣y2=1????????????????????B.?x2﹣ =1????????????????????C.?=1????????????????????D.?=1
6.（2016?天津）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b ， 则双曲线的方程为(? )
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
二、填空题
7.（2018?上海）双曲线 的渐近线方程为________。
8.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
9.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
三、解答题
10.（2018?卷Ⅱ）设抛物线 的焦点为F，过F点且斜率 的直线 与 交于 两点， .
（1）求 的方程。
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
11.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
12.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
13.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
14.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
15.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
16.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
17.（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
18.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
20.（2016?上海）双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ?， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
21.（2016?天津）设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
22.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
23.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
24.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
25.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
26.（2016?山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． ①求证：点M在定直线上； ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ， △PDM的面积为S2 ， 求? 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
27.（2016?上海）双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，且（ ）? =0，求l的斜率．
28.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第8节 曲线与方程
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质．
3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
3. (1)一是解题时，如根据
利用所得结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．
4. 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
5. (1)一是本题的轨迹方程中，所求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．
(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．
小结
1．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题．
2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
备战练习·固基石
一、单选题
1.方程 表示的曲线为图中的（ ??）
A.????????????????B.??????????C.????????????????D.?
【答案】C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】 ， ，为偶函数，图象关于 轴对称，故排除A，B. 又因为当 时， ；当 时， ，所以排除D.故答案为：C. 【分析】利用函数的定义域，奇偶性及绝对值的化简可得到函数的图像。
2.下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（?? ）
A.?（0，0）??????????????????????????B.?（1，﹣1）??????????????????????????C.???????????????????????????D.?（1，1）
【答案】C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：把（0，0）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（0，0）不在曲线上． 把（1，﹣1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，﹣1）不在曲线上． 把（0，﹣ ）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，成立，所以点（0，﹣ ）在曲线上． 把（1，1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，1）不在曲线上． 故选：C． 【分析】通过选项点的坐标代入方程，判断即可．
3.方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线经过4个A（1，﹣2），B（2，﹣3），C（3，10），D（0，﹣ ）中的（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A（1，﹣2），代入方程x2﹣xy+2y+1=0， 可得：1+2﹣4+1=0，满足方程，所以点A在曲线上． B（2，﹣3），代入方程x2﹣xy+2y+1=0， 可得：4+6﹣6+1≠0，不满足方程，所以点B不在曲线上． C（3，10），代入方程x2﹣xy+2y+1=0， 可得：9﹣30+20+1=0，满足方程，所以点C在曲线上． D（0，﹣ ）代入方程x2﹣xy+2y+1=0， 可得：0﹣0﹣1+1=0，满足方程，所以点D在曲线上． 故选：C． 【分析】点的坐标代入曲线方程，满足方程则点在曲线上．
4.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题有（???）
A.?1个??????????????????????????????????????B.?2 个??????????????????????????????????????C.?3 个??????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】到原点的“折线距离”等于1的点为,为正方形，所以①正确②不正确； 到两点的“折线距离”相等的点为， 所以， 所以， 所以③正确；到两点的“折线距离”差的绝对值为1为所以所以， 所以点的集合是两条平行线，所以④正确.
5.方程x2﹣xy﹣2y2=0表示的曲线为（? ）
A.?椭圆????????????????????????????????????B.?双曲线????????????????????????????????????C.?圆????????????????????????????????????D.?两直线
【答案】D
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣xy﹣2y2=0， ∴（x+y）（x﹣2y）=0， ∴x+y=0或x﹣2y=0，表示两条直线， 故选：D． 【分析】将方程左边因式分解，即可得出结论．
6.已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.?m≥3???????????????????????????????????B.?m≤3???????????????????????????????????C.?m＞3???????????????????????????????????D.?m＜3
【答案】A
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1）， ∵直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点， ∴12+2×12≤m， ∴m≥3． 故选：A． 【分析】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围。
7.如图，正方体ACD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，?且 ， 点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线 A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（?????）
A.?圆????????????????????????????????????B.?双曲线????????????????????????????????????C.?抛物线????????????????????????????????????D.?直线
【答案】C
【考点】轨迹方程，空间直角坐标系，曲线与方程
【解析】【解答】以D为原点，以DA,DC,DD1所以直线为x,y,z轴建立直角坐标系D-xyz，设， ,因为动点到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，所以,即,所以点P的轨迹为抛物线. 【分析】解本小题关键是建立空间直角坐标系，根据求得的点P的轨迹方程来确定其轨迹形状.
8.已知两点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”．给出下列直线：①y=x+1；②y=2；③；④y=2x+1，其中为“B型直线”的是（ ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①②?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
【答案】B
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，曲线与方程
【解析】【解答】∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0)，① ， 把y=x+1代入双曲线（x＞0)并整理，得7x2-18x-153=0，∵△=（-18)2-4×7×（-153)＞0∴y=x+1是“B型直线”． ②把y=2代入双曲线 （x＞0)并整理，得x2=， ∴y=2是“B型直线”． ③把代入双曲线（x＞0)并整理，得144=0，不成立．∴不是“B型直线”。④把y=2x+1代入双曲线 （x＞0)并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”． 故选B。 【分析】创新题型，理解满足。的点是双曲线右支上的点是关键。
9.关于x，y的方程y=mx+n和 + =1在同一坐标系中的图象大致是（?? ）
A.????B.??????C.??D.?
【答案】D
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：关于x，y的方程y=mx+n和 + =1， 如果曲线是椭圆，则m，n都是正数，直线的图象在y轴上的截距为正数，显然没有正确选项． 则曲线是双曲线，如果m＞0，焦点坐标在x轴上，直线在y轴上的截距小于0，没有正确选项． 所以m＜0，n＞0，选项D满足题意． 故选：D． 【分析】通过假设曲线是椭圆或双曲线，判断直线方程与图形对应关系，得到结果即可．
10.已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（? ?）
A.?曲线 上的点的坐标都适合方程 ??????????
B.?凡坐标不适合 的点都不在 上 C.?不在 上的点的坐标必不适合 ??????????
D.?不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
【答案】C
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意可以举例方程 为 ，曲线 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线 的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误； B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误； 如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误。
11.关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题： ①曲线C关于原点对称；???? ②曲线C关于直线y=x对称 ③曲线C围成的面积大于π ④曲线C围成的面积小于π 上述命题中，真命题的序号为（ ）
A.?①②③???????????????????????????????????B.?①②④??????????????????????????????????C.?①④??????????????????????????????????D.?①③
【答案】D
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对 对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错 对于③，在曲线C上任取一点M（x0 ， y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02 ， ∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③对，④错． 故选：D． 【分析】将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，判断出①对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出②错；由方程上的点的坐标有界判断出③对，④错。
12.在平面直角坐标系中，方程 +|x﹣y|=1所表示的曲线为（?? ）
A.?三角形??????????????????????B.?正方形??????????????????????C.?非正方形的长方形??????????????????????D.?非正方形的菱形
【答案】D
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：利用绝对值的几何意义，分类讨论方程可得， 当x+y≥0，x﹣y≥0时， x﹣ y=1； 当x+y≤0，x﹣y≤0时， x﹣ y=﹣1； 当x+y≥0，x﹣y≤0时， y+ x=1； 当x+y≤0，x﹣y≥0时， y+ x=﹣1． ∴方程 +|x﹣y|=1所代表的曲线是非正方形的菱形． 故选D． 【分析】利用绝对值的几何意义，分类讨论方程，即可求得结论．
13.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点； ②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的； ③设A，B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线； ④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若 则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】B
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：①双曲线 的焦点坐标为（±5，0），椭圆 的焦点坐标为（±5，0），所以双曲线 与椭圆 有相同的焦点，正确；②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d= ，由抛物线的定义可得： = =半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切，正确．③平面内与两个定点F1 ， F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由 则可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．故选B． 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
14.若θ是任意实数，则方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是（ ）
A.?抛物线????????????????????????????????????B.?双曲线???????????????????????????????????C.?椭圆???????????????????????????????????D.?圆
【答案】A
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】∵θ是任意实数， ∴﹣4cosθ∈[﹣4，4]， 当﹣4cosθ=1时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是圆； 当﹣4cosθ＞0且不等于1时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是椭圆； 当﹣4cosθ＜0时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是双曲线； 当﹣4cosθ=0时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是两条直线． ∴方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是抛物线． 故选：A． 【分析】由θ的范围可得﹣4cosθ的取值范围，然后对其分类可得方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线。
二、填空题
15.已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是________?当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________?，当曲线表示双曲线时k的取值范围是________?
【答案】﹣1或2；k＜﹣1或k＞2；0＜k＜1
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：当曲线表示圆时，2=k2﹣k，∴k=﹣1或2； 当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2﹣k＞2，∴k＜﹣1或k＞2； 当曲线表示双曲线时，k2﹣k＜0，∴0＜k＜1． 故答案为：﹣1或2；k＜﹣1或k＞2；0＜k＜1． 【分析】利用曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线建立k的不等式，即可求得k的取值范围．
16.已知直线l：x﹣y+m=0（m是常数），曲线C：x|x|﹣y|y|=1，若l与C有两个不同的交点，则m的取值范围是________．
【答案】（﹣ ，0）
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：曲线C：x|x|﹣y|y|=1，表示的曲线如图所示． 由直线l：x﹣y+m=0（m是常数），曲线C：x2+y2=1相切， 可得m=﹣ ， ∴m的取值范围是（﹣ ，0）． 故答案为：（﹣ ，0）． 【分析】做出曲线C：x|x|﹣y|y|=1的图象，根据条件，即可求出m的取值范围．
17.已知一个动圆与圆C： 相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是________．
【答案】
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意 ， ,∴ ,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴ ,∴动圆圆心的轨迹方程是
【分析】根据题意得到动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，找到a，b，c，即可写出动圆圆心的轨迹方程.
18.若方程x+y﹣6 +3k=0仅表示一条直线，则实数k的取值范围是________．
【答案】k=3或k＜0
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：原方程可变形为（ ﹣3）2=9﹣3k ， ∴ =± +3① 显然，k=3时，x+y=9；当0≤k＜3时，①式右边有两值，则直线不唯一； 当k＜0时，①式右边一正一负，负值不满足， 故所求k的取值范围是k=3或k＜0． 故答案为：k=3或k＜0． 【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数k的取值范围．
19.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为________.
【答案】
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】由y=x2+1,得：x2=y?1, .所以,y=x2+1(x?0)与 互为反函数。 它们的图象关于y=x对称。P在曲线y=x2+1(x?0)上,点Q在曲线 上， 设P(x, x2+1),Q(x, ) 要使|PQ|的距离最小,则P应在y=x2+1(x?0)上， 又P ， Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍。 以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离 所以当 ,即 时,d取得最小值 ， 则|PQ|的最小值等于 . 【分析】根据题意曲线的图像在第一象限，要使满足题意成立的点取到的最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图像上，分析可得以上两个函数互为反函数，它们的图像关于直线x=y对称，求出曲线上点Q到直线y=x的最小值再乘以2即可得到|PQ|的最小值。
20.如果曲线2|x|﹣y﹣4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________．
【答案】[﹣ ，0）
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4， 当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4， ∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0） ∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点， 则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0， 当λ=﹣ 时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴ ＜0， 解得﹣ ＜λ＜ 时，方程两根异号，满足题意； y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0 当λ=﹣ 时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，∴ ＜0， 解得﹣ ＜λ＜ 时，方程两根异号，满足题意； ∵λ＜0，∴实数λ的取值范围是[﹣ ，0）． 故答案为[﹣ ，0）． 【分析】首先去绝对值符号分别讨论：当x≥0时，y=2x﹣4和当x＜0时，y=﹣2x﹣4，两种情况下联立直线与曲线的方程得到关于含有λ的二次方程的根的情况。
21.已知直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程： ①y=﹣|x|； ②x2+y2﹣2y=0； ③y=（x+1）2 ． 其中，具有性质P的曲线的序号是________．
【答案】②③
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】解：①y=﹣|x|与直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）至多一个交点，不具有性质P； ②x2+y2﹣2y=0圆心为（0，1），直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k=±2，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P； ③y=（x+1）2 ， 过点（0，1），直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P． 故答案为：②③． 【分析】确定直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）过定点（0，1），曲线过定点（0，1），即可得出结论．
22.关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线；??????????? ②关于y轴对称； ③关于坐标原点中心对称；????? ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是________?（注：把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】②④
【考点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意，依次分析4个命题： 对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误； 对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确； 对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误； 对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y= ， 分析可得曲线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（1，0），与y轴的交点为E（0，﹣1），且其图象在矩形ABCD内，故曲线与x轴所围成封闭图形面积小于S矩形ABCD ， 而S矩形ABCD ， =2，故④正确； 故答案为②④． 【分析】根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点 （﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，即可得③错误，对于④：将 曲线方程变形为y= ， 分析其与x轴所围成的面积，即可得答案。
三、解答题
23.为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+ （x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO= 百米．
（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；
（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．
【答案】（1）解：设M（x，x+ ），则|OM|2=x2+（x+ ）2=2x2+ +2≥2 +2， 当且仅当2x2= 即x2= 时取等号， ∴|OM|的最短距离为 （2）解：过P作函数y=x+ 的切线l，设切线l的方程为y=k（x﹣ ）（k＜0）， 联立方程组 ，得（1﹣k）x2+ x+1=0， 令△= k2﹣4（1﹣k）=0得k=﹣3或k= （舍）， ∴直线l的方程为y=﹣3（x﹣ ）， 令y=5得x=﹣ ， ∴DQ=6﹣ = ． ∴当|DQ|= 时，通道PQ最短
【考点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）设M（x，x+ ），利用距离公式得出|OM|2关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可；（2）当直线PQ与湖边界相切时，通道最短，设出切线方程，与边界函数联立，令△=0即可得出切线方程，从而确定Q点的位置．
24.曲线C的方程： （1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？ （2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？
【答案】解：（1）5﹣m＞m﹣2＞0，得：2＜m＜， 所以：当2＜m＜时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆． （2）（5﹣m）（m﹣2）＜0得m＜2或m＞5， 所以：当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．
【考点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，可得5﹣m＞m﹣2＞0，即可得出结论； （2）曲线C表示双曲线，可得（5﹣m）（m﹣2）＜0，即可得出结论．
25.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变成曲线 x′2+y′2=1．
【答案】解：设伸缩变换为 ，代入x′2+y′2=1 得到（λx）2+（μy）2=1，即36λ2x2+36μ2y2=36?? ① 将①式与4x2+9 y2=36比较，得λ= ，μ= 故所求的伸缩变换为
【考点】曲线与方程
【解析】【分析】设伸缩变换为 ，代入x′2+y′2=1，与4x2+9 y2=36比较，即可得出结论．
26.k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．
【答案】解：当k＜0时，曲线为焦点在y轴的双曲线； 当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2； 当0＜k＜2时，曲线为焦点在x轴的椭圆； 当k=2时，曲线为一个圆； 当k＞2时，曲线为焦点在y轴的椭圆．
【考点】曲线与方程
【解析】【分析】本题要确定曲线的类型，关键是讨论k的取值范围，
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）双曲线 （a>0,b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ???）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，∴3= =2 ∴ ∴渐近线方程为：y= 故答案为：A 【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
2.（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2， ，即 ， ， 解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ． 故选：D． 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．
3.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1????????????????????C.?﹣ =1????????????????????D.?﹣ =1
【答案】B
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
4.（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.? =1?????????????????????????????????????????B.? =1 C.? =1?????????????????????????????????????????D.? =1
【答案】B
【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=± x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ， 则 =1，c=4，则a=b=2 ， ∴双曲线的标准方程： ； 故选B． 【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
5.（2016?天津）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.?﹣y2=1????????????????????B.?x2﹣ =1????????????????????C.?=1????????????????????D.?=1
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ， ∴c= ， ∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直， ∴ = ， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2 ， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为 =1． 故选：A． 【分析】利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．；本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．
6.（2016?天津）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b ， 则双曲线的方程为(? )
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】渐近线 设 ，则 ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=± x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
二、填空题
7.（2018?上海）双曲线 的渐近线方程为________。
【答案】
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】 ，a=2，b=1。故渐近线方程为 【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为 时， 。
8.（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
【答案】（x+1）2+ =1
【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
9.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
三、解答题
10.（2018?卷Ⅱ）设抛物线 的焦点为F，过F点且斜率 的直线 与 交于 两点， .
（1）求 的方程。
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0 X1+x2=2+ 而 ，且k＞0 解得：k=1 所以直线l的方程：y=x-1 （2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5 设所求圆的圆心坐标为（x0 ， y0），则 解得： 或 因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
11.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0）， ∵椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点， P为Γ上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且|OP|= ， ∴联立 ， 解得P（ ， ） （2）解：设M（x0 ， 0），A（0，1）， P（ ）， 若∠P=90°，则 ? ，即（x0﹣ ，﹣ ）?（﹣ ， ）=0， ∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ． 如图，若∠M=90°，则 ? =0，即（﹣x0 ， 1）?（ ﹣x0 ， ）=0， ∴ =0，解得x0=1或x0= ， 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为 ，或1，或 （3）解：设C（2cosα，sinα）， ∵ ，A（0，1）， ∴Q（4cosα，2sinα﹣1）， 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）， ∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2 ， 整理得：x0= cosβ， ∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ， ∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC的斜率kAC=﹣ = ?（负值已舍去），如图． ∴直线AQ为y= x+1．
【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立 ，能求出P点坐标．（2）设M（x0 ， 0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）推导出x0= cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
12.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1． ∴椭圆E的方程为 ； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，得 ． 由题意得△= ＞0． ， ． ∴|AB|= ． 由题意可知圆M的半径r为 r= ． 由题意设知， ，∴ ． 因此直线OC的方程为 ． 联立 ，得 ． 因此，|OC|= ． 由题意可知，sin = ． 而 = ． 令t= ，则t＞1， ∈（0，1）， 因此， = ≥1． 当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ． ∴ ，因此 ． ∴∠SOT的最大值为 ． 综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
13.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 ? =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 ? =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 ? =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由题意可知： ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
14.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
15.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
16.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2 ， ∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ， ∴椭圆C过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆C的方程为 + =1． （Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则N（0，﹣m）， ∴⊙N的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令y= ，则y′= ， 当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，两点间距离公式的应用，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
17.（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0）， 则a=2，e= = ，则c= ， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆C的方程 ； （Ⅱ）证明：设D（x0 ， 0），（﹣2＜x0＜2），M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），y0＞0， 由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02 ， 则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ， 直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0）， 直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2）， ，解得： ， 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN， 则丨EH丨= ， 则 = ， ∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
18.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ， （2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x， 由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ）， 由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = ∴A为线段BM的中点．
【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程； （2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
19.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，① 椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）设P（x0 ， y0），则直线PF2的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1）， 直线PF1的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1）， 联立 ，解得： ，则Q（﹣x0 ， ）， 由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1， 则 ，解得： ，则 ， ∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）．
【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
20.（2016?上海）双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ?， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
【答案】（1）解：设 ． 由题意， ， ， ， 因为 是等边三角形，所以 ， 即 ，解得 ． 故双曲线的渐近线方程为 （2）解：由已知， ． 设 ， ，直线 ． 由 ，得 ． 因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 ． 由 ， ，得 ， 故 ， 解得 ，故 的斜率为 ．
【考点】双曲线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设 ．根据 是等边三角形，得到 ，解得 ．（2）设 ， ，直线 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 与双曲线交于两点，可得 ，且 ．由|AB|=4得出 的方程求解．
21.（2016?天津）设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
【答案】（1）解：由 ， 得 + = ， 即 = ， ∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2． ∴椭圆方程为 ； （2）解：由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）， 设B（x1 ， y1），M（x0 ， k（x0﹣2））， ∵∠MOA=∠MAO， ∴x0=1， 再设H（0，yH）， 联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0． △=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得 ， ∴ ， ， MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0）， 令x=0，得yH=（k+ ）x0﹣2k， ∵BF⊥HF， ∴ ， 即1﹣x1+y1yH=1﹣ ?[（k+ ）x0﹣2k]=0， 整理得： =1，即8k2=3． ∴k=﹣ 或k=
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得 ，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
22.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
【答案】（1）解：椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．可得a=2，c= ，b= ， 可得椭圆C的方程： ； （2）解：过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m）， ①证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′， k= = ，k′= =﹣ ， = =﹣3．为定值； ②由题意可得 ，m2=4﹣ t2 ， QM的方程为：y=﹣3kx+m， PN的方程为：y=kx+m， 联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4， 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得xB= ，yB= +m， 同理解得xA= ， yA= ， xB﹣xA= ﹣ = ， yB﹣yA= +m﹣（ ）= ， kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以6k+ ，当且仅当k= 时取等号． 此时 ，即m= ，符号题意． 所以，直线AB的斜率的最小值为： ．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（2）①设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果②求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．；本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
23.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
【答案】（1）解：由已知， ，又 ， ? 解得 ∴椭圆的方程为 （2）解：方法一： 设椭圆上一点 ，则 . 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 将 代入上式得 故 为定值. 方法二： 设椭圆 上一点 ， 直线PA: ,令 ，得 . ∴ 直线 : ,令 ，得 . ∴ 故 为定值
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．
24.（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【答案】（1）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PRF， ∴AR∥FQ． （2） A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ? F（ ，0），准线为 x=﹣ ， ?S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由 得? =2（x1﹣x2）， 又 = ， ∴ = ，即y2=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．；本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
25.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
【答案】（1）解：如图， 由题意可得 ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆E的方程为 （2）证明： 设AB所在直线方程为 ， 联立 ，得x2+2mx+2m2﹣2=0． ∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）， 则 ， ， |AB|= ． ∴x0=﹣m， ，即M（ ）， 则OM所在直线方程为 ， 联立 ，得 或 ． ∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）． 则︳MC︳?︳MD︳= = = ． 而︳MA︳?︳MB︳= （10﹣5m2）= ． ∴︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳?︳MB︳化为? ，再由两点间的距离公式求得︳MC︳?︳MD︳的值得答案； 本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
26.（2016?山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． ①求证：点M在定直线上； ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ， △PDM的面积为S2 ， 求? 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得e= = ，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0， ）， 即有b= ，a2﹣c2= ， 解得a=1，c= ， 可得椭圆的方程为x2+4y2=1； （2）解：①证明：设P（x0 ， y0），可得x02=2y0 ， 由y= x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0 ， 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）， 可化为y=x0x﹣y0 ， 代入椭圆方程， 可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 可得x1+x2= ，即有中点D（ ，﹣ ）， 直线OD的方程为y=﹣ x，可令x=x0 ， 可得y=﹣ ． 即有点M在定直线y=﹣ 上； ②直线l的方程为y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0）， 则S1= |FG|?|x0|= x0?（ +y0）= x0（1+x02）； S2= |PM|?|x0﹣ |= （y0+ ）? = x0? ， 则 = ， 令1+2x02=t（t≥1），则 = = = =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ， 则当t=2，即x0= 时， 取得最大值 ， 此时点P的坐标为（ ， ）．
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（2）（i）设P（x0 ， y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0 ， 可得y=﹣ ．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1= |FG|?|x0|= x0?（ +y0），S2= |PM|?|x0﹣? |，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标． 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．
27.（2016?上海）双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，且（ ）? =0，求l的斜率．
【答案】（1）解：双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， a=1，c2=1+b2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点， 直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形， 可得：A（c，b2），可得： ， 3b4=4a2+b2 ， 即3b4﹣b2﹣4=0， b＞0，解得b2= ． 所求双曲线方程为：x2﹣ =1 （2）解：b= ，双曲线x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线的斜率为：k= ， 直线l的方程为：y=k（x﹣2）， 由题意可得： ，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=﹣ ， 则y1+y2=k（x1+x2﹣4）= ． =（x1+2，y1）， =（x2+2，y2）， （ ）? =0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1﹣x2 ， y1﹣y2）=0， 可得： =k， ， 可得：k2=1， 解得k=±1． l的斜率为：±1
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程． （2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率． 本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．
28.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
【答案】（1）解：设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2； 由题意，△F1F2C为直角三角形， ∴ ，解得b=c= a， ∴椭圆E的方程为 =1； 代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0， 又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3， ∴椭圆E的方程为 =1； 由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1） （2）证明：设P（x0 ， 3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT， 得l′的参数方程为 ， 代人椭圆E中，得 +2 =6， 整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0； 设两根为tA ， tB ， 则有tA?tB= ； 而|PT|2= =2 ， |PA|= =| tA|， |PB|= =| tB|， 且|PT|2=λ|PA|?|PB|， ∴λ= = = ， 即存在满足题意的λ值．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （2）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值． 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
