2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第二课时 最值、范围、证明问题
（学生版）
备战基础·零风险
1．根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数的范围、最值及证明等.
结论
(1)椭圆上两点间的最大距离为 ；焦半径的取值范围为[ ， ]；焦点弦中垂直于长轴的弦最短，长为 .
(2)双曲线上不同支的两点间最小距离为 ；左支上一点到左焦点的最短距离为 ，到右焦点的最短距离为 ；焦点弦中垂直于实轴的弦最短，长为 .
(3)抛物线上顶点与抛物线的准线距离最短，顶点到抛物线焦点的距离最小．焦点弦中垂直于对称轴的弦(通径)最短，长为 .
关系
(1)直线与圆锥曲线相切，是直线与圆锥曲线有公共点时斜率取最值的情形．
(2)圆与圆锥曲线相切，是圆心与圆锥曲线上的点的距离取最值的情形.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.圆锥曲线中的证明问题
两类与圆锥曲线有关的证明问题
一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解．
另一类是先判断后证明，如本例先判断直线与圆相切，再证明．
2.圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中常见最值问题及解题方法
1．两类最值问题
(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
2．两种常见解法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
提醒：求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．
3.圆锥曲线中的范围问题
解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法
①．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
③．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
④．利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
⑤．利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4.易错提示：(1)不会使用换元法，致使表示|AB|的式子繁杂，无法求解．
(2)求△AOB的面积的最大值时，不会看成二次函数的最值问题，无法求解．
5.防范措施：(1)当一个关于变量的式子频繁出现时，为了减少运算量和便于观察整体结构，常用换元法，把这个式子用“新元”表示．
(2)当某一个式子的指数是2倍关系时，常用换元法把问题转化为二次函数解决．
备战练习·固基石
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
2.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[9，+∞）???????????????????????????????????????????B.?（0， ]∪[9，+∞） C.?（0，1]∪[4，+∞）???????????????????????????????????????????D.?（0， ]∪[4，+∞）
3.（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
4.（2016?四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题
5.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
6.（2016?浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ， 若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________．
三、解答题
7.（2018?卷Ⅰ）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
8.（2018?卷Ⅰ）设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 与C交于M,N两点
（1）当 与x轴垂直时,求直线BM的方程;
（2）证明:∠ABM=∠ABN
9.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
10.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明:
11.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
12.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
13.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
14.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
15.（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（1）求p的值；
（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
16.（2016?浙江）如图，设椭圆C： +y2=1（a＞1）
（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
17.（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（2）当 时，求k的取值范围.
18.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.已知抛物线 ，若过点 作直线 与抛物线 交 ， 两个不同点，且直线 的斜率为 ，则 的取值范围是（? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
2.已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别是椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为（???? ）
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
3.已知直线l1：2x﹣y+2=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
4.设A是双曲线 的右顶点，F（c，0）是右焦点，若抛物线 的准线l上存在一点P，使∠APF=30°，则双曲线的离心率的范围是（?? ）
A.?[2，+∞）???????????????????????????B.?（1，2]???????????????????????????C.?（1，3]???????????????????????????D.?[3，+∞）
5.已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（?? ）
A.?3 ???????????????????????????????????B.?4 ???????????????????????????????????C.?3 ???????????????????????????????????D.?3
7.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（?? ）
A.??????????????????????????????B.???????????????????C.??????????????????????????????D.?
8.若双曲线 的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?[2，+∞）??????????????????C.?????????????????????????????D.?（1，2]
9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 两点，若四边形 （ 为坐标原点）的面积为 ，且 ，则点 的横坐标的取值范围为（??? ）
A.???????????????????????????B.? C.???????????????????????D.?
10.已知椭圆和双曲线有共同焦点 , 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?3
11.设椭圆 ： 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
12.过椭圆 的左顶点且斜率为 的直线 与圆 交于不同的两个点，则椭圆 的离心率的取值范围是（??? ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为________.
14.已知双曲线 ： ，曲线 ： ， 是平面内一点，若存在过点 的直线与 ， 都有公共点，则称点 为“差型点”.下面有4个结论： ①曲线 的焦点为“差型点”； ②曲线 与 有公共点； ③直线 与曲线 有公共点，则 ； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是________．
15.若双曲线 的渐近线与圆 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
16.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与抛物线 相切于点 ，记点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为________．
17.如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．
18.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 使 成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
三、解答题
19.已知圆 ： 与定点 ， 为圆 上的动点，点 在线段 上，且满足 . （Ⅰ）求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴交点为 ，不经过点 的直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，若 .证明：直线 过定点.
20.已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），离心率为 ，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）当 ⊥ =0时，求△OPQ面积的最大值．
21.已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，动点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且 ，证明：直线l经过一个定点．
22.已知抛物线 ： ，斜率为 且过点 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
23.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
24.已知抛物线 的焦点为 ， 为 轴上的点.
（1）当 时，过点 作直线 与 相切，求切线 的方程；
（2）存在过点 且倾斜角互补的两条直线 ， ，若 ， 与 分别交于 ， 和 ， 四点，且 与 的面积相等，求实数 的取值范围.
25.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， ， 分别为左、右焦点，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 的周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线交椭圆 于不同两点 ， . 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围.
26.已知椭圆C: 的左焦点为 ，已知 ，过 作斜率不为 的直线 ，与椭圆C交于 两点 ，点 关于 轴的对称点为 .
（Ⅰ）求证：动直线 恒过定点 （椭圆的左焦点）；
（Ⅱ） 的面积记为 ,求 的取值范围.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第二课时 最值、范围、证明问题
（教师版）
备战基础·零风险
1．根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数的范围、最值及证明等.
结论
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)；焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]；焦点弦中垂直于长轴的弦最短，长为.
(2)双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长)；左支上一点到左焦点的最短距离为c－a，到右焦点的最短距离为a＋c；焦点弦中垂直于实轴的弦最短，长为.
(3)抛物线上顶点与抛物线的准线距离最短，顶点到抛物线焦点的距离最小．焦点弦中垂直于对称轴的弦(通径)最短，长为2p.
关系
(1)直线与圆锥曲线相切，是直线与圆锥曲线有公共点时斜率取最值的情形．
(2)圆与圆锥曲线相切，是圆心与圆锥曲线上的点的距离取最值的情形.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.圆锥曲线中的证明问题
两类与圆锥曲线有关的证明问题
一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解．
另一类是先判断后证明，如本例先判断直线与圆相切，再证明．
2.圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中常见最值问题及解题方法
1．两类最值问题
(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
2．两种常见解法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
提醒：求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．
3.圆锥曲线中的范围问题
解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法
①．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
③．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
④．利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
⑤．利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
4.易错提示：(1)不会使用换元法，致使表示|AB|的式子繁杂，无法求解．
(2)求△AOB的面积的最大值时，不会看成二次函数的最值问题，无法求解．
5.防范措施：(1)当一个关于变量的式子频繁出现时，为了减少运算量和便于观察整体结构，常用换元法，把这个式子用“新元”表示．
(2)当某一个式子的指数是2倍关系时，常用换元法把问题转化为二次函数解决．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知抛物线 ，若过点 作直线 与抛物线 交 ， 两个不同点，且直线 的斜率为 ，则 的取值范围是（? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
【答案】A
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线 C：y2=4x，
过点 P（﹣2，0）作直线 l 与 C 交于A、B两点，直线l的斜率为k，
可得直线AB的方程为y=k（x+2），k≠0，
代入抛物线y2=4x，
可得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，
由题意可得△=（4k2﹣4）2﹣16k4＞0，
即为k2＜ ，
解得﹣ ＜k＜ 且k≠0，
故答案为：A .
【分析】联立方程，利用△，注意讨论二次项系数为0的情况。
2.已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别是椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为（???? ）
A.?????????????????????????????????B.???????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由已知得 ，故 ； ∵ 的面积为 ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ∴ ， 又 ， ∴ ∴ ．即 的取值范围为 ． 故答案为：D． 【分析】根据△F1AB的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出|PF1|的范围，得到所求式子关于|PF1|的函数，从而求出答案．
3.已知直线l1：2x﹣y+2=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线y2=4x，得焦点坐标为F（1，0），准线方程为l2：x=﹣1， 由抛物线定义知，P到直线l2的距离等于P到抛物线焦点F得距离． 故问题化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1：2x﹣y+2=0的距离和最小． 最小值为F到l1：2x﹣y+2=0的距离，等于 ． 故选：B． 【分析】由题意画出图形，把问题转化为在抛物线y2=4x上找一点P，使得P到F的距离和到直线l1：2x﹣y+2=0的距离和最小，再用点到直线的距离公式求解．
4.设A是双曲线 的右顶点，F（c，0）是右焦点，若抛物线 的准线l上存在一点P，使∠APF=30°，则双曲线的离心率的范围是（?? ）
A.?[2，+∞）???????????????????????????B.?（1，2]???????????????????????????C.?（1，3]???????????????????????????D.?[3，+∞）
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线 的准线l为x= ， 双曲线 的右顶点A（a，0）， F（c，0）是右焦点， 设l与x轴的交点为H，设P（ ，h），h＞0， 在直角三角形PHA中，可得tan∠APH= = ， 在直角三角形PHF中，可得tan∠FPH= = ， 即有tan∠APF=tan（∠FPH﹣∠APH） = = ≤ ， 即为tan30°= ≤ ， 化简可得3c2≥4ac+4a2 ， 由e= 可得3e2﹣4e﹣4≥0， 解得e≥2或e≤﹣ （舍去）， 故选：A． 【分析】求出抛物线的准线l的方程，设l与x轴的交点为H，设P（ ，h），h＞0，运用直角三角形的正切函数的定义和两角差的正切公式，结合基本不等式，化简整理，运用离心率公式可得3e2﹣4e﹣4≥0，解不等式即可得到所求范围．
5.已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2， 当焦点在x轴上时， 可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣ =1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y轴上时， 可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1， 无解． 故选：A． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（?? ）
A.?3 ???????????????????????????????????B.?4 ?????????????????????????C.?3 ???????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为 ，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）． ∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3， ∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）． 设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|， ∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|． 由勾股定理得|AB|= = =3 ． 故选：D． 【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．
7.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4）， 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为： ， 故选C． 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
8.若双曲线 的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?[2，+∞）??????????????????C.?????????????????????????????D.?（1，2]
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的一条渐近线设为y= ， 由渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，可得： 圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r， 即有 ≥ ， 解得a≥1， 则离心率e= = = ∈（1， ]． 故选：C． 【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r，由点到直线的距离公式可得a的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．
9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 两点，若四边形 （ 为坐标原点）的面积为 ，且 ，则点 的横坐标的取值范围为（??? ）
A.???????????????????????????B.? C.???????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线 ? ,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为 ,由 ,解得 ? ,又 ? ,又 , ,双曲线C的方程为 ? ,即 ,又 ,解得 或 ,所以点P的横坐标m的取值范围为 , 故答案为：A.
【分析】由题意可得四边形PAOB为平行四边形，设出直线PB的方程，将其代入渐近线方程求得B的坐标和距离|OB|，运用平面四边形的面积公式，结合向量数量积计算，即可得到所求值的范围．
10.已知椭圆和双曲线有共同焦点 , 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】考查一般性结论，当 时： 设 ，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的长半轴长为 ，两曲线的焦距为 ，结合题意有： ， 两式平方相加可得： ， 两式平方作差可得： ， 由余弦定理有： ， 则： ， ， 即 ，结合二倍角公式有： . 本题中， ，则有： ，即 ， 则 ，当且仅当 时等号成立， 据此可得 的最大值为 . 故答案为：A. 【分析】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．
11.设椭圆 ： 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程
【解析】【解答】设 ,则 即 ，又椭圆E上存在一点P使得 ，∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ，即 ，解得 . ∵ ，∴ . 故选:C 【分析】设另一焦点为F'，用椭圆定义及条件找到，再结合椭圆图形得出不等关系即可求解。
12.过椭圆 的左顶点且斜率为 的直线 与圆 交于不同的两个点，则椭圆 的离心率的取值范围是（??? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得，直线 的方程为 ，即 ，
由直线 与圆 交于两个不同的点可得：坐标原点 到直线 的距离 ，
即 ，整理可得： ，解得： ，
又椭圆的离心率： ，故： .
故答案为：C.
【分析】由题意得到关于a,b,c的不等式,求离心率的范围.
二、填空题
13.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为________.
【答案】
【考点】二倍角的正弦，正弦函数的定义域和值域，椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题意，椭圆的标准方程为 ，矩形第一象限内的一点为 ， 所以矩形面积 ， 所以 。 故答案为: 【分析】由条件得到椭圆的标准方程,设内接矩形在第一象限一点坐标,将矩形面积表示为θ的函数式,由正弦函数的性质求出最大值.
14.已知双曲线 ： ，曲线 ： ， 是平面内一点，若存在过点 的直线与 ， 都有公共点，则称点 为“差型点”.下面有4个结论： ①曲线 的焦点为“差型点”； ②曲线 与 有公共点； ③直线 与曲线 有公共点，则 ； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是________．
【答案】3
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，双曲线的应用，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】① 的左右焦点分别为 ， ，过焦点的直线 或 显然与两曲线都有公共点，故正确 ② 的渐近线方程为 ，当 ， 时， 为 ， 此时 与 不相交，则 与 不相交， 根据对称性可知，曲线 与 无公共点，故错误 ③正确 ④考虑过原点与曲线 有公共点的直线 或 ， 显然直线 与 无公共点 若直线为 ，则由方程组 可得： ，矛盾 直线 与 无公共点，因此原点不是“差型点”，故正确 故其中正确结论的个数是 个 【分析】根据双曲线的特征、双曲线性质、直线和曲线的关系可得结果。
15.若双曲线 的渐近线与圆 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线 与圆 相交，则圆心到渐近线的距离小于半径， 即 ，整理可得： ，则双曲线的离心率 ，又双曲线的离心率 ， 据此可得此双曲线的离心率的取值范围是 . 【分析】根据题意利用双曲线的简单性质求出渐近线的方程，再由题意求出圆心到直线的距离并令其小于半径从而求出a与b的关系，从而求出离心率的取值范围即可。
16.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与抛物线 相切于点 ，记点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为________．
【答案】
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，得点 因为 ，所以 ,不妨设点 , 则直线 ： . ，即 故点F到直线 的距离， ，而点P到直线 的距离 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴t的最大值为 . 故答案为： 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，表示出点到直l的距离，结合基本不等式，即可求得t的最大值．
17.如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．
【答案】4
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴|EG|= y2﹣2y1= y2+ ≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4， 故答案为4． 【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，|EG|= y2﹣2y1= y2+ ，利用基本不等式即可得出结论．
18.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 使 成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】
【考点】正弦定理，椭圆的简单性质
【解析】【解答】在△PF1F2中，由正弦定理得： ，则由已知得： ， 即：a|PF1|=|cPF2| 设点（x0 ， y0）由焦点半径公式， 得：|PF1|=a+ex0 ， |PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0） 解得：x0= ，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则 >-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈( -1，1). 故答案为：( -1，1)． 【分析】先用正弦定理将条件转化,为a,c与点P的焦半径间的关系,再用焦半径长公式将点P的横坐标表示为a,c的形式,用点P的横坐标的范围整理为关于a,c的齐次不等式,求离心率的范围.
三、解答题
19.已知圆 ： 与定点 ， 为圆 上的动点，点 在线段 上，且满足 . （Ⅰ）求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴交点为 ，不经过点 的直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，若 .证明：直线 过定点.
【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，则 , 则点 的轨迹 是以 为焦点的椭圆，可设 的方程为： ， 由已知可得 ，则点 的轨迹 的方程为： ． （Ⅱ）①如果 与 轴垂直，设 ，由题知 ，可得 ，又 ， 则 ?? 得 或 舍去，则 ②如果 与 轴不垂直，可设 ，将 代入 得 ?? 由题设可知 设 则 又 ， 由 ， 故 ， 得 即 ，则 解得 或 （舍去） 时，满足 ，于是 即 ，恒过定点 又 ，也过点 综上可知，直线 恒过定点 ，故得证.
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目的条件和椭圆的定义即可判断出点Q的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，从而可求出点Q的轨迹； （Ⅱ）分两种情况讨论：l与x轴垂直和l与x轴不垂直，结合向量垂直的条件和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证．
20.已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），离心率为 ，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）当 ⊥ =0时，求△OPQ面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知：且 ，可得： ， 椭圆C的标准方程为 （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，与 ，联立得 ． 由于 ，得 ，解得 或m=2（舍去）． 此时 ，△OPQ的面积为 当直线l的斜率存在时，由题知k≠0，设l：y=kx+m，与 联立， 整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0； 且 ， 由于 ，得： ． 代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即 或m=﹣2k（此时直线l过点A，舍去）． ， 点O到直线l的距离为： S△OPQ= ，将 代入得： ， 令 0＜p＜1， ，由y=﹣9p2﹣7p+16， 在（0，1）上递减， ∴0＜y＜16，故 ， 综上（S△OPQ）max=
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论．当直线l的斜率不存在时，求得P，Q点坐标，由 ⊥ =0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面积； 当直线l的斜率存在，且不为0，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，根据函数的单调性即可求得△OPQ面积的最大值．
21.已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，动点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且 ，证明：直线l经过一个定点．
【答案】（1）解：由题意可得动点C到点F（1，0）的距离等于到直线x=﹣1的距离， ∴曲线E是以点（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线， 设其方程为y2=2px（p＞0），∴ ，∴p=2， ∴动点C的轨迹E的方程为y2=4x （2）证明：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0， ∴ ， ． ∵ ， ∴x1x2+y1y2= = ， ∴m2+4km﹣5k2=0，∴m=k或m=﹣5k，又km＜0，m=k舍去，m=﹣5k，满足△=16（1﹣km）＞0， 则直线l的方程为y=k（x﹣5）， ∴直线l必经过定点（5，0）
【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=﹣5k，即可求得直线l的方程，则直线l必经过定点（5，0）．
22.已知抛物线 ： ，斜率为 且过点 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
【答案】（1）解：直线 的方程为 ，联立方程组 得 ， 设 ， ， 所以 ， ， 又 ， 所以 ，从而抛物线 的方程为 （2）解：因为 ， ， 所以 ， ， 因此 ? ， 又 ， ， 所以 ， 即 为定值
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】第一问，由于直线与抛物线有两个交点，所以首先验证直线斜率不存在时是否满足条件，其次用直线与圆锥曲线的关系的通用解法，得到A、B两点的坐标关系，再用求出参数p就可得抛物线方程。第二问，用斜率公式表示出、?,再借用第一问 可以求解。
23.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
【答案】解：（I） ， ，∴ ， ∴椭圆方程为 ． （Ⅱ） ， ，设 ， ， 则 ， ， 直线 ，即 ， 代入椭圆 得 ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ （定值）
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）根据题目中所给的条件的特点，关键是利用椭圆的几何性质求出a、b的值，写出椭圆的标准方程即可． （2）设出点M的坐标后写出直线CM的方程，并把它和椭圆的方程联立，解方程组可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算它们的数量积，即可证明出定值．
24.已知抛物线 的焦点为 ， 为 轴上的点.
（1）当 时，过点 作直线 与 相切，求切线 的方程；
（2）存在过点 且倾斜角互补的两条直线 ， ，若 ， 与 分别交于 ， 和 ， 四点，且 与 的面积相等，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：设切点为 ，则 ∴ 点处的切线方程为 . ∵ 过点 ，∴ ，解得 或 . 当 时，切线 的方程为 或 . （2）解：设直线 的方程为 ，代入 得 ，??? ① ，得 ，??? ② 由题意得，直线 的方程为 ， 同理可得 ，即 ，? ③ ②×③得 ，∴ .??? ④ 设 ， ，则 ， . ∴ .点 到 的距离为 ， ∴ 的面积为 . 同理 的面积为 . 由已知得 ， 化简得 ，??? ⑤ 欲使⑤有解：则 ，∴ . 又 ，得 ，∴ . 综上， 的取值范围为 或 或 .
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由切线的基本性质：该直线的斜率与抛物线在该切点的斜率相等，由导数的性质求出函数导函数，代入数据计算，即可得出答案。 （2）首先设直线方程,,联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理及两点距离公式,代入数据计算，并根据题意进行分析，即可得出答案。
25.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， ， 分别为左、右焦点，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 的周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线交椭圆 于不同两点 ， . 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ，∴ .又∵ ，∴ ，∴ ，∴椭圆 的方程是 . （2）解：设 ， ， ， 的方程为 ，由 ，整理得 . 由 ，得 . ∵ ， ， ∴ ? ， 则 ， . 由点 在椭圆上，得 ，化简得 . ① 又由 ，即 ， 将 ， 代入得 ， 化简，得 ，则 ， ，∴ . ② 由①，得 ，联立②，解得 . ∴ 或 ，即 .
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件，求出a，b，即可得到椭圆方程． （2）联立直线和椭圆的方程，利用判别式以及韦达定理，求出N的坐标，代入椭圆方程，利用弦长公式，化简不等式，求出K的范围，然后求解t的范围．
26.已知椭圆C: 的左焦点为 ，已知 ，过 作斜率不为 的直线 ，与椭圆C交于 两点 ，点 关于 轴的对称点为 .
（Ⅰ）求证：动直线 恒过定点 （椭圆的左焦点）；
（Ⅱ） 的面积记为 ,求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）设 代入
得
?
，
直线 ，令
过定点 ?
（Ⅱ） ? ?
，
在 上单调递增
，
【考点】解三角形，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出直线,代入数据，令y=0,求出定点，即可得出答案。（2）利用三角形面积计算公式,构造函数，结合导数判断单调性，即可得到答案。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2 ， 直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= ?|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 故选：A 【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
2.（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A.?（0，1]∪[9，+∞）???????????????????????????????????????????B.?（0， ]∪[9，+∞） C.?（0，1]∪[4，+∞）???????????????????????????????????????????D.?（0， ]∪[4，+∞）
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ， 解得：0＜m≤1； 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9， ∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A． 【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得m的取值范围．
3.（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4， ∴c=2，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣ =1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 故选：A． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围.本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
4.（2016?四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得F（ ，0），设P（ ，y0）， 显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0， 则 = + = + = + （ ﹣ ）= + =（ + ， ），可得kOM= = ≤ = ， 当且仅当y02=2p2 ， 取得等号． 故选：C． 【分析】由题意可得F（ ，0），设P（ ，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得 = + =（ + ， ），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．；本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题
5.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】详解：设 ，由 得 因为A,B在椭圆上,所以 ? ， 与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值. 【分析】设点的坐标：A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1 ， y2 ， 点B横坐标表示成m的函数，
运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
6.（2016?浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ， 若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，由双曲线x2﹣ =1，得a2=1，b2=3，∴ ． 不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣ =1，得y=±3，即|PF2|=3， 此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由PF1⊥PF2 ， 得 ， 又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得： ， ∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得： ，此时|PF1|+|PF2|= ．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（ ）．故答案为：（ ）． 【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
三、解答题
7.（2018?卷Ⅰ）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1. 由已知可得，点A的坐标为 或 . 所以AM的方程为 或 . （2）解：当l与x轴重合时， . 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 . 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ， 则 ，直线MA ， MB的斜率之和为 . 由 得 . 将 代入 得 . 所以， . 则 . 从而 ，故MA ， MB的倾斜角互补，所以 . 综上， .
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标,得到直线l的方程,代入椭圆方程中求出点A,B的坐标,再求出直线AM的方程;(2) 等价于直线MA,MB的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到椭圆的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线MA,MB的斜率的和为0,得证.
8.（2018?卷Ⅰ）设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 与C交于M,N两点
（1）当 与x轴垂直时,求直线BM的方程;
（2）证明:∠ABM=∠ABN
【答案】（1）解：当l与x轴垂直时，l:x=2，代入C：y2=4 ∴ 或（2，-2） ∴ ∴ （2）解：设 设 的斜率分别为 ， 则有： 设 ∴ 分子为0，故 =0，从而
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】(1)由点A的坐标为(2,0)得直线l的方程为x=2,代入抛物线的方程中求出点M,N的坐标,再求出直线BM的方程; （2）∠ABM=∠ABN等价于直线BM,BN的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到抛物线的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线BM,BN的斜率的和为0,得证.
9.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理,由韦达定理即可得到结论； （Ⅱ）先表示出△PAB面积，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
10.（2018?卷Ⅲ）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明:
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明:
【答案】（1）解：设 设A（x1,y1）B（x2,y2） 所以 又 所以 ????? 所以 （2）解：F（1,0） 所以P（1，-2m）在抛物线上 所以3+16m2=12 16m2=9 即 又 同理 所以 所以
【考点】向量在几何中的应用，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，韦达定理;（2）向量坐标运算，得到P坐标在椭圆上，即P坐标已知，再用两点间距离公式得到 ，用第一问结论代入
11.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
【答案】（Ⅰ） ，所以抛物线方程 设 因为有两个交点， ∴ ∴ （Ⅱ） , ∴ 令x=0, ∴ （定值）
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】待定系数法求出P，联立方程组 求出k范围；（2）设而不求，先化简 得到M,N两点间系数关系，再转化为 ， ， ， 关系，代入韦达定理，即可求出值.
12.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
【答案】解：（Ⅰ） ； ∴椭圆方程 （Ⅱ）l:y=x+m, 当m=0时， （Ⅲ）设 ∴ 代入上式得 则 即 同理 因为C、D和 共线，所以
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
13.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2 ， ∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ， ∴椭圆C过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆C的方程为 + =1． （Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则N（0，﹣m）， ∴⊙N的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令y= ，则y′= ， 当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，两点间距离公式的应用，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
14.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ， 联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|?|PQ|= ? = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）max=f（ ）= ，即|PA|?|PQ|的最大值为 ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
15.（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（1）求p的值；
（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离， 由抛物线定义得， ，即p=2 （2）解：由（1）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2 ， 2t），t≠0，t≠±1， ∵AF不垂直y轴， ∴设直线AF：x=sy+1（s≠0）， 联立 ，得y2﹣4sy﹣4=0． y1y2=﹣4， ∴B ， 又直线AB的斜率为 ，故直线FN的斜率为 ， 从而得FN： ，直线BN：y=﹣ ， 则N（ ）， 设M（m，0），由A、M、N三点共线，得 ， 于是m= = ，得m＜0或m＞2． 经检验，m＜0或m＞2满足题意． ∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值； （2）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
16.（2016?浙江）如图，设椭圆C： +y2=1（a＞1）
（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】（1）由题意可得： ，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0， 得x1=0或x2= ， 直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为： = （2）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|， 记直线AP，AQ的斜率分别为：k1 ， k2；且k1 ， k2＞0，k1≠k2 ， 由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ， 故： = ，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2 ， k1 ， k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0， 因此 a2（a2﹣2）①， 因为①式关于k1 ， k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1， 所以a＞ ． 因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2， e= = 得，所求离心率的取值范围是：
【考点】椭圆的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（2）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．
17.（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（2）当 时，求k的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，椭圆E的方程为 ，A点坐标为 ， 则直线AM的方程为 ． 联立 并整理得， 解得 或 ，则 因为 ，所以 因为 ， ， 所以 ，整理得 ， 无实根，所以 ． 所以 的面积为 （2）解：直线AM的方程为 ， 联立 并整理得， 解得 或 ， 所以 所以 因为 所以 ，整理得， ． 因为椭圆E的焦点在x轴，所以 ，即 ，整理得 解得
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（2）直线AM的方程为y=k（x+ ），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
18.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
【答案】（1）解： ， 与 轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为 ， （2）解：① 设点 ， 则： ，即 ， 又 关于直线 对称， 即 ， 又 中点一定在直线 上 线段 上的中点坐标为 ； ② 中点坐标为 即 ，即关于 有两个不等根 ， ，
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通过抛物线方程，求解kPQ ， 通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中点在直线l上，推出 =2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．
