2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解数形结合的思想，掌握直线与圆锥曲线的位置关系．
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得 .
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C ；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C ；
Δ＜0?直线与圆锥曲线C ．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况；
2.将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知椭圆T： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
2.已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线上，O为坐标原点，则（?????）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ? =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
6.将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（?? ）
A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?1
7.直线与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为? (? )
A.?1????????????????????????????????????B.?-1????????????????????????????????????C.?1或-1????????????????????????????????????D.?1或-1或0
8.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（??? ）
A.??????B.????????????C.??????????????????D.?
9.直线y=x+3与曲线 的交点个数为（?? ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
10.若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
11.若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?(-2,2)?????????????????????????????D.?[-2,2]
12.已知倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点，则l被椭圆所截的弦长是 （???）
A.? ???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.? ???????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.如图，已知椭圆C：=1（0＜m＜4）的左顶点为A，点N的坐标为（1，0）．若椭圆C上存在点M（点M异于点A），使得点A关于点M对称的点P满足PO=PN，则实数m的最大值为________?
14.过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为________
15.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为________?
16.已知抛物线x2=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x1 ， y1）B（x2 ， y2）两点，则y1+y2的最小值是________．
17.椭圆 上的点到直线 的最大距离是________．
18.椭圆+y2=1上的点到直线x﹣y+3=0的距离的最小值是________?
19.在直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 ： ? 相切，且椭圆 的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，则△ 的面积为________．
三、解答题
20.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧 的中点，坝宽AB为2米．
（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
21.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： =1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6． （Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程； （Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
22.已知直线l的方程为x=﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点（如图）．
（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的 ，求直线l1的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程．
23.已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），过焦点且垂直于长轴的弦长为 ， 直线l交椭圆C1于M，N两点．
（Ⅰ） 求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l的方程；
（Ⅲ）直线l与椭圆C2：+=λ（λ∈R，λ＞1）交于P，Q两点（如图），求证|PM|=|NQ|．
24.设椭圆M： （a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y= x+m交椭圆M于A，B两点，P（1， ）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
25.已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?3
2.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
二、填空题
3.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
4.（2018?北京）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
5.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.
三、解答题
6.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
7.（2018?天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F ， 上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P ， 且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
8.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
9.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
10.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
11.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
12.（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程．
13.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
14.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
15.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
16.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
17.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
18.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
20.（2016?上海）双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ?， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
21.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
22.（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（2）当 时，求k的取值范围.
23.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
24.（2016?全国）已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（2）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
25.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
26.（2016?上海）双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，且（ ）? =0，求l的斜率．
27.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解数形结合的思想，掌握直线与圆锥曲线的位置关系．
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0?直线与圆锥曲线C无公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况；
2.将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知椭圆T： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】B
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ∵ =3 ，∴y1=﹣3y2 ， ∵ ，设 ，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线AB方程为 ，代入①中消去x，可得 ， ∴ ， ， 解得 ， 故选B 【分析】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根据 =3 求得y1和y2关系根据离心率设 ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2 ， 进而根据y1和y2关系求得k．
2.已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线上，O为坐标原点，则（?????）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据抛物线的对称性，可知直线OA：， 联立， 解得A（)，B（)，∴， ， ∴,故选C
3.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ? =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， 由 ?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m， ∵ ? =2，∴x1?x2+y1?y2=2， 结合 及 ，得 ， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又 ， ∴S△ABO+S△AFO= = ×2×（y1﹣y2）+ × y1 ， = ． 当且仅当 ，即 时，取“=”号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 ? =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
4.若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意，tanα= ，tan2α= = ， ∴ = ， ∴e= = ， 故选A． 【分析】由题意，tanα= ，tan2α= = ，得出 = ，利用e= 得出结论．
5.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2， =1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1， 过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义， 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离， 所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|， 所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|= ， 故选：D． 【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|．
6.将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（?? ）
A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后， 得（y﹣2）2=4（x﹣1）， 即y2﹣4y﹣4x+8=0， 联立 ， 得y2﹣12y+4m+8=0， 由已知得△=（﹣12）2﹣4（4m+8）=0， 解得m=7． 故选：B． 【分析】将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后，得（y﹣2）2=4（x﹣1），联立 ，得y2﹣12y+4m+8=0，由已知得△=（﹣12）2﹣4（4m+8）=0，由此能求出结果．
7.直线与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为? (? )
A.?1????????????????????????????????????B.?-1????????????????????????????????????C.?1或-1????????????????????????????????????D.?1或-1或0
【答案】C
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】由得：， 当， 此时方程只有一根，所以直线与双曲线仅有一个公共点； 当时，要满足题意需， 此时无解。 所以直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为1或-1。选C 【点评】在判断直线与双曲线的位置关系时，一般的方法是联立，组成方程组，消元，判断方程解的个数。一定要注意讨论二次项系数是否为0的情况。
8.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（??? ）
A.???????????B.???????????C.?????????D.?
【答案】D
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设弦与椭圆的交点为： ， ， 由题意可知： ， 两式作差可得： ， 则： ， 设直线的斜率为 ，由题意可得： ，解得： . 则直线方程为： ， 整理为一般式即： . 故答案为：D. 【分析】利用点差法结合中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．
9.直线y=x+3与曲线 的交点个数为（?? ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
【答案】D
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：当x＞0时，曲线 方程化为 ，把直线y=x+3代入得，5x=24， 所以当x＞0时，直线y=x+3与曲线 的交点个数为1个． 当x≤0，曲线 方程化为 ，把直线y=x+3代入得，13x2+24x=0， 所以当x≤0时，直线y=x+3与曲线 的交点个数为2个． 所以，直线y=x+3与曲线 的交点个数共3个． 故选D． 【分析】先判断曲线 形状，当x＞0时，是焦点在y轴上双曲线右半部分，当x≤0时，是椭圆y轴左侧部分，再让直线方程分别与两种曲线方程联立，根据方程组的解判断．
10.若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设A（， ），B（， ）， 因为点A和B在抛物线上，所以有＝a① ＝a② ①-②得，? ＝a(? )． 整理得， 因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以=1，即＝1． 所以+=a． 设AB的中点为M（x0，y0），则y0＝． 又M在直线x+y-1=0上，所以x0＝1?y0＝1? ． 则M（1?， ）． 因为M在抛物线内部，所以＜0． 即＜0，解得0＜a＜． 故选C． 【分析】中档题，“点差法”是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于a的不等式．
11.若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?(-2,2)?????????????????????????????D.?[-2,2]
【答案】B
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】把y=k（x-2)+b代入x2-y2=1得x2-[k（x-2)+b]2=1， △=4k2（b-2k)2+4（1-k2)[（b-2k)2+1]=4（1-k2)+4（b-2k)2=4[3k2-4bk+b2+1]=4[3（k2-k+)-+1] 不论k取何值，△≥0，则1-b2≥0,∴≤1，∴b2≤3，则-≤b≤， 故选B。 【分析】常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法.
12.已知倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点，则l被椭圆所截的弦长是 （???）
A.? ???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.? ???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】设直线方程为， 代入椭圆右焦点， 可得， 设直线及椭圆两交点分别为， 联立方程，可得， 即， 则， ， 由弦长公式可知被椭圆所截的弦长为.故选D.
二、填空题
13.如图，已知椭圆C：=1（0＜m＜4）的左顶点为A，点N的坐标为（1，0）．若椭圆C上存在点M（点M异于点A），使得点A关于点M对称的点P满足PO=PN，则实数m的最大值为________?
【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，M是线段AP的中点，A（﹣2，0），
设M（x0 ， y0），则 =1①，由题意知﹣2＜x0＜2．
因为M是线段AP的中点，所以P（2x0+2，2y0）．
因为PO=PN，N的坐标为（1，0）．
所以
整理可得：2x02+2y02=1，②
由①②消去y0 ， 整理可得m=
利用二次函数的图象和性质可得：当x0=0时，m的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】设M（x0 ， y0），则=1，因为PO=PN，所以可得：2x02+2y02=1．两式联立，表示出m，利用二次函数的图象和性质即可得出结论．
14.过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为________
【答案】x+2y﹣4=0
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2） 由题意可得 ， 两式相减可得 由中点坐标公式可得， ? ∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0 故答案为x+2y﹣4=0 【分析】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由题意可得， 两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程。
15.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为________?
【答案】2x+3y﹣12=0
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1 ， y1），F（x2 ， y2）， ∵P（3，2）为EF中点， ∴x1+x2=6，y1+y2=4， 把E（x1 ， y1），F（x2 ， y2）分别代入椭圆4x2+9y2=144， 得， ∴4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴24（x1﹣x2）+36（y1﹣y2）=0， ∴k= ∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3）， 整理，得2x+3y﹣12=0． 故答案为：2x+3y﹣12=0． 【分析】设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，再利用点差法求出这弦所在直线的方程．
16.已知抛物线x2=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x1 ， y1）B（x2 ， y2）两点，则y1+y2的最小值是________．
【答案】2
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设过点P（0，1）的直线方程为： y=kx+1， 联立方程组 ， 整理，得 x2﹣2kx﹣1=0， ∴△=4k2+4＞0， ∴x1+x2=2k，x1?x2=﹣1， ∵y1=kx1+1，y2=kx2+1 ∴y1+y2=k（x1+x2）+2 =2k2+2， ∴当k=0时，y1+y2的最小值2． 故答案为：2． 【分析】先根据点P设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2=2k，然后，求解得到y1+y2=2k2+2， 从而确定其最小值．
17.椭圆 上的点到直线 的最大距离是________．
【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：∵椭圆方程为 ，∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα） ∴P到直线 的距离d= = ∵ ∴ ∴d的最大值为 【分析】利用椭圆的参数方程来解，根据椭圆的标准方程，得到椭圆的参数方程，所以可设椭圆上的任意一点坐标为（4cosα，2sinα），代入点到直线的距离公式，化简为一角一函数．再根据正弦函数的有界性求出最大值即可．
18.椭圆+y2=1上的点到直线x﹣y+3=0的距离的最小值是________?
【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设与直线x﹣y+3=0平行的直线方程为：x﹣y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得5x2+8cx+4c2﹣4=0 令△=64c2﹣20（4c2﹣4）=0，可得c=± ， ∴两条平行线间的距离为=2或 ， ∴椭圆+y2=1上的点到直线x﹣y+3=0的距离的最小值是： ． 故答案为： ． 【分析】设与直线x﹣y+3=0平行的直线方程为：x﹣y+c=0，与椭圆方程联立，消元，令△=0，可得c的值，求出两条平行线间的距离，即可求得椭圆+y2=1一点P到直线x﹣y+3=0的距离最小值．
19.在直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 ： ? 相切，且椭圆 的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，则△ 的面积为________．
【答案】1
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
在RT△ODF中， ，∴ ,∴ ，
又 ，即
设 ，则 ，
，得到：
由 ，解得： ， ，
∴S=1故答案为：1
【分析】根据题意由椭圆的定义以及性质得到b=c，再结合椭圆里a、b、c的关系求出a的值。联立直线与椭圆的方程消元得到关于y的方程利用相切的性质，Δ = 0求解出m、OD、EF的值从而求出三角形面积的值。
三、解答题
20.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧 的中点，坝宽AB为2米．
（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
【答案】（1）解：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy， ∵AB=2米，∴半圆的半径为1米， 则半圆的方程为x2+y2=1，（﹣1≤x≤1，y≤0）， ∵水深CD=0.4米，∴OD=0.6米， 在Rt△ODM，DM= = =0.8（米）， ∴MN=2DM=1.6米， ∴水面的宽度为1.6米 （2）解：为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切， 设切点为P（cosθ，sinθ），（﹣ ＜θ＜0）为圆弧BC上的一点， 过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ+ysinθ=1， 令y=0，得E（ ，0），令y=﹣1，得F（ ，﹣1）， 设直线梯形OCFE的面积为S， 则S=（CF+OE）?OC=（ + ）×1= ，（﹣ ＜θ＜0）， S′= = ， 令S′=0，解得θ=﹣ ， 当﹣ 时，S′＜0，函数单调递减；当﹣ ＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增． ∴ 时，面积S取得最小值，最小值为 ， 此时CF= = ， 即当渠底宽为 米时，所挖的土最少．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，推导出半圆的半径为1米，求出半圆的方程、OD、DM，由此能求出水面的宽度．（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，由此利用切线方程、导数性质能求出当渠底宽为 米时，所挖的土最少．
21.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： =1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6． （Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程； （Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
【答案】解：（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程：x﹣2y﹣6=0． 由曲线C： =1，可得C的参数方程： （θ为参数）． （II）设点P ，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d= = ≤ =2 ，当且仅当 =﹣1时取等号．此时点P ，dmax=2
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程．由曲线C： =1，利用平方关系可得可得C的参数方程．（II）设点P ，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d= = ，利用余弦函数的单调性即可得出．
22.已知直线l的方程为x=﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点（如图）．
（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的 ，求直线l1的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程．
【答案】（1）解：∵圆孤PQ为圆周的 ，∴ ， ∴O点到直线l1的距离为 ． 设l1的方程为y=k（x+2）， ∴ ， ∴ ， ∴l1的方程为 （2）解：设椭圆方程为 ，半焦距为c，则 ， ∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则b=1． ∴b2+c2=2c，∴c=1， ∴a2=b2+c2=2． ∴所求椭圆方程为
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由圆孤PQ为圆周的 可求得O点到直线l1的距离为 ，从而设l1的方程为y=k（x+2），由点到直线的距离公式求直线方程即可；（2）设椭圆方程为 ，从而可得 ，由椭圆与圆O恰有两个不同的公共点可得b=1，从而求椭圆方程．
23.已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），过焦点且垂直于长轴的弦长为 ， 直线l交椭圆C1于M，N两点．
（Ⅰ） 求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l的方程；
（Ⅲ）直线l与椭圆C2：+=λ（λ∈R，λ＞1）交于P，Q两点（如图），求证|PM|=|NQ|．
【答案】解：（Ⅰ）由题意，椭圆的焦点在x轴上，
可得，∴a=，b=1，c==1，
∴椭圆C1的方程为+y2=1；
（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），又F（1，0），
则△BMN的重心为（，），
由题意可得x1+x2=3，y1+y2=﹣1，
设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
即有x1+x2=﹣，
即4kt=﹣3（1+2k2），
又k（x1+x2）+2t=﹣1，即有+2t=﹣1，
解得k=，t=﹣，
代入判别式（4kt）2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0成立，
即有直线l的方程为y=x﹣；
（Ⅲ）证明：设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
即有x1+x2=﹣，
则有MN的中点的横坐标为﹣；
设直线l：y=kx+t，代入椭圆C2：+y2=λ的方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2λ=0，
设P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），
即有x3+x4=﹣，
则有PQ的中点的横坐标为﹣．
即有MN和PQ的中点重合，
即有|PM|=|NQ|．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，利用椭圆的顶点为B（0，1），过焦点且垂直长轴的弦长为 ， 建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），又F（1，0），求得△BMN的重心，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，解方程即可得到直线方程；
（Ⅲ）设直线l：y=kx+t，分别代入椭圆C1 ， C2的方程，运用韦达定理，结合中点坐标公式，可得MN和PQ的中点重合，即可得证．
24.设椭圆M： （a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y= x+m交椭圆M于A，B两点，P（1， ）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
【答案】（1）解：双曲线的离心率为 ， 由题意可得椭圆的离心率 ， 由2a=4，b2=a2﹣c2 ， 得a=2， ， ， 故椭圆M的方程为 （2）解：联立方程 ，得 ， 由 ， 得 ．且 ， 所以 ， = ． 又P到直线AB的距离为 ， 所以 = ． 当且仅当 时取等号， 所以
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．
25.已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 则 解得D=﹣6，E=4，F=4 ∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0 （2）解：设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， 则由 得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*） ∴ ∴y1y2=（x1+b）（x2+b）= ， ∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2 ， ∴ 得x1x2+y1y2=0， ∴ ， 即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4 容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根． 故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．（2）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2 ， y1y2 ， 利用垂直关系得到 ，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1）， 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知： ，解得M（3，2 ）． 可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ， 则M到直线NF的距离为： =2 ． 故选：C． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
2.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?14?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2 ， 直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= ?|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 故选：A 【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
二、填空题
3.（2018?浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A ， B满足 =2 ，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】详解：设 ，由 得 因为A,B在椭圆上,所以 ? ， 与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值. 【分析】设点的坐标：A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1 ， y2 ， 点B横坐标表示成m的函数，
运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
4.（2018?北京）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
【答案】（1,0）
【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：当x=1时，y2=4a y= ,∴ ， ∴a=1,则焦点为（1,0） 【分析】先根据题意求出弦长，再求焦点即可。
5.（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.
【答案】
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意得 ，直线 与椭圆方程联立可得 ， ，由 可得 ， ， ，则 ，由 可得 ，则 【分析】设右焦点F（c，0），将y= 代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值
三、解答题
6.（2018?浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M ， 证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理,由韦达定理即可得到结论； （Ⅱ）先表示出△PAB面积，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
7.（2018?天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F ， 上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P ， 且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ， 又 。 由 ，从而ab=6. ∴a=3.b=2. 即椭圆方程为： 。 （Ⅱ）设 ，由已知 。 故 ， 又 从而 ∴ 又 ， 又 。 ， 又 ， ∴ 。
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a,b。（Ⅱ）由已知条件得到P,Q纵坐标关系，联立方程组，将P,Q纵坐标分别用k表示。
8.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）由题意可知如图 故设 （2）由题中几何关系可知 ，又M为OQ中点，故 。 又由几何关系可知t=3， 有 ，则 故 又QO直线斜率 ，PF⊥OQ，则PF直线斜率K2=- 则 ，联立曲线 可知 ，即 。 （3）存在；假设存在，则设E t=8时，P ，其中m∈[0，4]；Q(8，n)，其中n∈[0，8]；且s[0，4]， 则在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ中， ， 即 又n∈[0，8]，解得m∈（0，2） 故 =（6，n）= 得到方程组： ，解得 （舍）或 ，故 所以 ；当 时，以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，并有点E在 上。
【考点】两点间距离公式的应用，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，⑴涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答即可；⑵涉及面积最值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是作为距离的问题的加深；⑶考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对于运动问题应当注意抓住变量。
9.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围； (Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
【答案】（Ⅰ） ，所以抛物线方程 设 因为有两个交点， ∴ ∴ （Ⅱ） , ∴ 令x=0, ∴ （定值）
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】待定系数法求出P，联立方程组 求出k范围；（2）设而不求，先化简 得到M,N两点间系数关系，再转化为 ， ， ， 关系，代入韦达定理，即可求出值.
10.（2018?北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B. （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 ，求 的最大值； （Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.
【答案】解：（Ⅰ） ； ∴椭圆方程 （Ⅱ）l:y=x+m, 当m=0时， （Ⅲ）设 ∴ 代入上式得 则 即 同理 因为C、D和 共线，所以
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
11.（2017?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；
（2）设P（ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 ， ，求直线AQ的方程．
【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0）， ∵椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点， P为Γ上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且|OP|= ， ∴联立 ， 解得P（ ， ） （2）解：设M（x0 ， 0），A（0，1）， P（ ）， 若∠P=90°，则 ? ，即（x0﹣ ，﹣ ）?（﹣ ， ）=0， ∴（﹣ ）x0+ ﹣ =0，解得x0= ． 如图，若∠M=90°，则 ? =0，即（﹣x0 ， 1）?（ ﹣x0 ， ）=0， ∴ =0，解得x0=1或x0= ， 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为 ，或1，或 （3）解：设C（2cosα，sinα）， ∵ ，A（0，1）， ∴Q（4cosα，2sinα﹣1）， 又设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）， ∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2 ， 整理得：x0= cosβ， ∵ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， =（﹣ cosβ，﹣sinβ）， ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ， ∴cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= ，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC的斜率kAC=﹣ = ?（负值已舍去），如图． ∴直线AQ为y= x+1．
【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立 ，能求出P点坐标．（2）设M（x0 ， 0），A（0，1），P（ ），由∠P=90°，求出x0= ；由∠M=90°，求出x0=1或x0= ；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0 ， 0）推导出x0= cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ cosα，且sinα= （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
12.（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2 ， 可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ． 所以，椭圆的离心率为 ； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ． 由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ． 由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ． （ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ． 由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP． 因为QN⊥FP，所以 ，所以?÷FQN的面积为 ，同理?÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为 ．
【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率． （ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
13.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分） （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1． ∴椭圆E的方程为 ； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，得 ． 由题意得△= ＞0． ， ． ∴|AB|= ． 由题意可知圆M的半径r为 r= ． 由题意设知， ，∴ ． 因此直线OC的方程为 ． 联立 ，得 ． 因此，|OC|= ． 由题意可知，sin = ． 而 = ． 令t= ，则t＞1， ∈（0，1）， 因此， = ≥1． 当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ． ∴ ，因此 ． ∴∠SOT的最大值为 ． 综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
14.（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 ? =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 ? =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 ? =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由题意可知： ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
15.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
16.（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
17.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2 ， ∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ， ∴椭圆C过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆C的方程为 + =1． （Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则N（0，﹣m）， ∴⊙N的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令y= ，则y′= ， 当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，两点间距离公式的应用，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
18.（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ， （2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x， 由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ）， 由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = ∴A为线段BM的中点．
【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程； （2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
19.（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，① 椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）设P（x0 ， y0），则直线PF2的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1）， 直线PF1的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1）， 联立 ，解得： ，则Q（﹣x0 ， ）， 由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1， 则 ，解得： ，则 ， ∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）．
【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
20.（2016?上海）双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ?， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
【答案】（1）解：设 ． 由题意， ， ， ， 因为 是等边三角形，所以 ， 即 ，解得 ． 故双曲线的渐近线方程为 （2）解：由已知， ． 设 ， ，直线 ． 由 ，得 ． 因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 ． 由 ， ，得 ， 故 ， 解得 ，故 的斜率为 ．
【考点】双曲线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设 ．根据 是等边三角形，得到 ，解得 ．（2）设 ， ，直线 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 与双曲线交于两点，可得 ，且 ．由|AB|=4得出 的方程求解．
21.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值； ②求直线AB的斜率的最小值．
【答案】（1）解：椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．可得a=2，c= ，b= ， 可得椭圆C的方程： ； （2）解：过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m）， ①证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′， k= = ，k′= =﹣ ， = =﹣3．为定值； ②由题意可得 ，m2=4﹣ t2 ， QM的方程为：y=﹣3kx+m， PN的方程为：y=kx+m， 联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4， 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得xB= ，yB= +m， 同理解得xA= ， yA= ， xB﹣xA= ﹣ = ， yB﹣yA= +m﹣（ ）= ， kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以6k+ ，当且仅当k= 时取等号． 此时 ，即m= ，符号题意． 所以，直线AB的斜率的最小值为： ．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（2）①设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果②求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．；本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（2）当 时，求k的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，椭圆E的方程为 ，A点坐标为 ， 则直线AM的方程为 ． 联立 并整理得， 解得 或 ，则 因为 ，所以 因为 ， ， 所以 ，整理得 ， 无实根，所以 ． 所以 的面积为 （2）解：直线AM的方程为 ， 联立 并整理得， 解得 或 ， 所以 所以 因为 所以 ，整理得， ． 因为椭圆E的焦点在x轴，所以 ，即 ，整理得 解得
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（2）直线AM的方程为y=k（x+ ），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
23.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
【答案】（1）解：由已知， ，又 ， ? 解得 ∴椭圆的方程为 （2）解：方法一： 设椭圆上一点 ，则 . 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 将 代入上式得 故 为定值. 方法二： 设椭圆 上一点 ， 直线PA: ,令 ，得 . ∴ 直线 : ,令 ，得 . ∴ 故 为定值
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．
24.（2016?全国）已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（2）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
【答案】（1）由椭圆E的方程： =1知，其左顶点A（﹣2，0）， ∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形， ∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a）， ∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或a=0（舍）， ∴S△AMN= a×2a=a2= （2）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），由 消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣ ，∴xM=2﹣ = ， ∴|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ? = ∵k＞0， ∴|AN|= = ， 又∵2|AM|=|AN|，∴ = ， 整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0， 设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8， 则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0， ∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数， 又f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ ＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0， ∴ ＜k＜2．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，从而可求△AMN的面积；（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），联立 消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ，|AN|= = ， 结合2|AM|=|AN|，可得 = ，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．
25.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D， 证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳
【答案】（1）解：如图， 由题意可得 ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆E的方程为 （2）证明： 设AB所在直线方程为 ， 联立 ，得x2+2mx+2m2﹣2=0． ∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）， 则 ， ， |AB|= ． ∴x0=﹣m， ，即M（ ）， 则OM所在直线方程为 ， 联立 ，得 或 ． ∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）． 则︳MC︳?︳MD︳= = = ． 而︳MA︳?︳MB︳= （10﹣5m2）= ． ∴︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳?︳MB︳化为? ，再由两点间的距离公式求得︳MC︳?︳MD︳的值得答案； 本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
26.（2016?上海）双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，且（ ）? =0，求l的斜率．
【答案】（1）解：双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， a=1，c2=1+b2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点， 直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形， 可得：A（c，b2），可得： ， 3b4=4a2+b2 ， 即3b4﹣b2﹣4=0， b＞0，解得b2= ． 所求双曲线方程为：x2﹣ =1 （2）解：b= ，双曲线x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线的斜率为：k= ， 直线l的方程为：y=k（x﹣2）， 由题意可得： ，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=﹣ ， 则y1+y2=k（x1+x2﹣4）= ． =（x1+2，y1）， =（x2+2，y2）， （ ）? =0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1﹣x2 ， y1﹣y2）=0， 可得： =k， ， 可得：k2=1， 解得k=±1． l的斜率为：±1
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程． （2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率． 本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．
27.（2016?四川）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．
【答案】（1）解：设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2； 由题意，△F1F2C为直角三角形， ∴ ，解得b=c= a， ∴椭圆E的方程为 =1； 代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0， 又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3， ∴椭圆E的方程为 =1； 由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1） （2）证明：设P（x0 ， 3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT， 得l′的参数方程为 ， 代人椭圆E中，得 +2 =6， 整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0； 设两根为tA ， tB ， 则有tA?tB= ； 而|PT|2= =2 ， |PA|= =| tA|， |PB|= =| tB|， 且|PT|2=λ|PA|?|PB|， ∴λ= = = ， 即存在满足题意的λ值．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （2）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值． 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
