2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第4节 随机事件的概率

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第4节 随机事件的概率
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式.
频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的 稳定在某个常数上，把这个 记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B 事件A(或称事件A包含于事件B)
(或 )
相等关系
若B?A且A?B
。
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的 。(或 )
(或 )
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当 且 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
(或 )
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
。
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
。
P(A∪B)＝
＝ 。
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： .
(2)必然事件的概率P(E)＝ .
(3)不可能事件的概率P(F)＝ .
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个区别　一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
2.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
3. 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
4. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
小结
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
备战练习·固基石
一、单选题
1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷结果的预测,下列说法正确的是(?? )
A.?一定出现“6点朝上”?????????????????????????????????????????B.?出现“6点朝上”的概率大于 C.?出现“6点朝上”的概率等于 ??????????????????????????D.?无法预测“6点朝上”的概率
2.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则(??? )
A.?A与B是互斥而非对立事件???????????????????????????????????B.?A与B是对立事件C.?B与C是互斥而非对立事件???????????????????????????????????D.?B与C是对立事件
3.用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是(　　)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.袋中有3个球，其中2个红球，1个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率是（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
6.在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（　　）
A.?4件都是正品?????????????????B.?至少有一件次品?????????????????C.?4件都是次品?????????????????D.?至少有一件正品
7.据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（　　）
A.?方案一的平均损失比方案二的平均损失大??????????
B.?方案二的平均损失比方案一的平均损失大C.?方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大????
D.?方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算
8.已知P（B|A）= ，P（AB）= ，则P（A）等于（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随意抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（　　）
A.?对立事件 ??B.?不可能事件 ??C.?互斥事件但不是对立事件 ??D.?以上答案都不对
11.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
12.已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的（若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行）. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是(? )?
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
13.将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（?）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
14.从高一（9）班54名学生中选出5名学生参加学生代表大会，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从54人中剔除4人，剩下的50人再按系统抽样的方法抽取5人，则这54人中，每人入选的概率（?? ）
A.?都相等，且等于 ????????????????B.?都相等，且等于 ????????????????C.?均不相等????????????????D.?不全相等
二、填空题
15.若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P（m，n）落在圆x2+y2=16内的概率是________．
16.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
17.在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率为________．
18.当我们掷一枚骰子，掷10次都出现6点，大家认为：①骰子是均匀的，纯属偶然；②6点那面的对立面比较重．若从统计的思想方法考虑，我们选择________．（填序号）
19.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ=4）=________．
20.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________.
21.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。则下列结论中正确的是________．
①P（B）= ；②P（B| ）= ；③事件B与事件 相互独立；④ 是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与 中究竟哪一个发生有关．
22.一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为 ． 取出绿球的概率是　________?；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有??????????________?个．
三、解答题
23.抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果．连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b．（1）求直线ax+by=0与直线x+2y+1=0平行的概率；（2）求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．
24.某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为 ，每次考B科合格的概率均为 ．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．
25.三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率分别为P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝ ，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
26.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
27.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
（1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
28.? 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过 个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ，摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用 表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.
（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 个交接口的概率；
（2）求 的分布列及数学期望 .
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
二、解答题
2.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
3.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
4.（2017?新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
???????? 箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
? 新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2= ．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第4节 随机事件的概率
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式.
频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?
P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个区别　一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
2.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
3. 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
4. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
小结
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
备战练习·固基石
一、单选题
1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷结果的预测,下列说法正确的是(?? )
A.?一定出现“6点朝上”?????????????????????????????????????????B.?出现“6点朝上”的概率大于 C.?出现“6点朝上”的概率等于 ??????????????????????????D.?无法预测“6点朝上”的概率
【答案】C
【考点】概率的意义
【解析】【解答】因为骰子质地均匀，所以掷一次6点朝上的概率为 ，所以第4次抛掷6点朝上的概率为
故答案为：C.
【分析】由概率的意义直接得出答案。
2.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则(??? )
A.?A与B是互斥而非对立事件???????????????????????????????????B.?A与B是对立事件C.?B与C是互斥而非对立事件???????????????????????????????????D.?B与C是对立事件
【答案】D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】∵事件B与C不同时发生且一定有一个发生，∴B与C是对立事件．故C不正确D正确；而A与B都包含向上的一面出现的点数是3，故A与B不互斥，也不对立．故选D
3.用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】根据题意，用这5个数字，组成没有重复数字的三位数有A53=60个，其中奇数，即末尾为1、3、5的三位数有3×A42=36个，则奇数的概率P==；故选C．【分析】首先由排列公式可得全部三位数的个数，进而可得其中奇数的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
4.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是(　　)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】因为题目中是有放回的抽取，因此不是条件概率而是等可能性事件概率故选C。【点评】此类型概率的求解首先需要找到所有的基本事件种数与满足题意要求的基本事件种数，求其比值即可
5.袋中有3个球，其中2个红球，1个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率是（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：第二次取到红球，若第一次取到的是白球，则第二次取得红球的概率为 ， 若第一次取到的是红球，则第二次取得的红球的概率为 = ，故第二次取到红球的概率是 + = ，故选A．【分析】若第一次取到的是白球，则第二次取得红球的概率为 ，若第一次取到的是红球，则第二次取得红球的概率为 ，再把所求得的这2个概率值相加，即得所求．
6.在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（　　）
A.?4件都是正品?????????????????B.?至少有一件次品?????????????????C.?4件都是次品?????????????????D.?至少有一件正品
【答案】D
【考点】随机事件
【解析】【解答】解：∵在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，4件都是正品是随机事件；至少有一件次品是随机事件；4件都是次品是不可能事件；至少有一件正品是必然事件，故选：D．【分析】结合已知可得：4件都是正品和少有一件次品是随机事件；4件都是次品是不可能事件；至少有一件正品是必然事件．进而得到答案．
7.据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（　　）
A.?方案一的平均损失比方案二的平均损失大???????????
B.?方案二的平均损失比方案一的平均损失大C.?方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大???
D.?方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算
【答案】A
【考点】概率的意义
【解析】【解答】解：用Xi表示方案i（i=1，2）的损失，则E（X1）=30000×0.05+4000×0.2+4000=1500+800+4000=6300．E（X2）=30000×0.05+15000×0.2=1500+3000=4500．综上可知：采用方案1的平均损失最大，故选：A【分析】根据概率的意义分别求出两种方案的平均值进行比较即可．
8.已知P（B|A）= ，P（AB）= ，则P（A）等于（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：∵P（B|A）= ，P（AB）= ， ∴P（A）= = = ．故选：C．【分析】由已知条件利用条件概率计算公式直接求解．
9.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随意抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可。【解答】 列树状图得： 共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为，选C。【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比。
10.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（　　）
A.?对立事件 ?B.?不可能事件 ??C.?互斥事件但不是对立事件??? ?D.?以上答案都不对
【答案】C
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，
事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”
由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，
又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”
不是对立事件，
故两事件之间的关系是互斥而不对立，
故选C．
【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两事件是互斥事件，不是对立事件.
11.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为 故选D．【分析】抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．
12.已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的（若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行）. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是(? )?
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】第一类：爬行轨迹为PAPAP形式路线，第一步由P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第二步回到P的概率为，第三步P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第四部回到P的概率为，所以概率为，第二类：爬行轨迹为PABCP形式路线，第一步由P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第二步，第三步的概率均为，第四部概率为，所以概率为，所以答案为D【点评】A,B是两个相互事件，则A,B同时发生的概率为，本题中要想4次后到达P点需满足第三次不落在P点，因此分了两种情况，第二次到P与不到P
13.将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（?）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷2次向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数，可以列举出结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数，有（1，2)，（1，5)，（2，1)，（2，4)，（3，3)，（3，6)，（4，2)，（4，5)，（5，1)，（5，4)，（6，3)，（6，6)有12种结果，根据古典概型概率公式得到P=12 :36 =1:3. 故答案选：D
14.从高一（9）班54名学生中选出5名学生参加学生代表大会，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从54人中剔除4人，剩下的50人再按系统抽样的方法抽取5人，则这54人中，每人入选的概率（?? ）
A.?都相等，且等于 ????????????????B.?都相等，且等于 ????????????????C.?均不相等????????????????D.?不全相等
【答案】B
【考点】概率的意义
【解析】【解答】解：无论是简单随机抽样，还是系统抽样，或是分层抽样，都是为了使每个个体都抽到的机会均等， 故这54人中，每人入选的概率还是相等的，且概率为 ；故选B．【分析】无论是简单随机抽样，还是系统抽样，或是分层抽样，都是为了使每个个体都抽到的机会均等．
二、填空题
15.若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P（m，n）落在圆x2+y2=16内的概率是________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），
分析可得，m、n都有6种情况，则点P共有6×6=36种情况；
点P（m，n）落在圆x2+y2=16内，即m2+n2＜16的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8种；
则点P落在圆内的概率P= = ；
故答案为 ．
【分析】根据题意，分析可得m、n都有6种情况，由分步计数原理可得点P的情况数目，进而列举P（m，n）落在圆x2+y2=16内，即m2+n2＜16的情况，可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
16.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
【答案】0.128
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，
故答案为0.128.
法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128
【分析】先由已知进行分析，得到必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，再利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求出晋级下一轮的概率.
17.在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率为________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由于函数cos 是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率
在区间[0，1]上随机取一个数x，
即x∈[0，1]时，要使cos πx的值介于0到0.5之间，
需使 ≤ πx≤
∴ ≤x≤1，区间长度为 ，
由几何概型知 cos πx的值介于0到0.5之间的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos 是一个偶函数，故可研究出cos πx的值介于0到0.5之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．
18.当我们掷一枚骰子，掷10次都出现6点，大家认为：①骰子是均匀的，纯属偶然；②6点那面的对立面比较重．若从统计的思想方法考虑，我们选择________．（填序号）
【答案】②
【考点】概率的意义
【解析】【解答】解：当我们掷一枚质地均匀的骰子，掷10次出现1，2，3，4，5，6点的可能性都相同，其可能性都为 ．而现在掷10次都出现6点，反过来说明此骰子的质地不均匀，而是6点那面的对立面比较重．故选择②．故答案为②．【分析】利用统计的思想“极大似然法”和古典概型的思想即可得出．
19.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ=4）=________．
【答案】
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B（5， ）．即有P（ξ=k）=C（ ）k×（ ）5﹣k ， k=0，1，2，3，4，5．∴P（ξ=4）=C （ ）4×（ ）1= ．故答案为： 【分析】根据n次独立重复试验的概率公式进行求解即可．
20.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________.
【答案】
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 + = .
【分析】判断出“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”是互斥事件，是本题解题关键，然后应用互斥事件概率加法公式解的答案即可。
21.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。则下列结论中正确的是________．
①P（B）= ；②P（B| ）= ；③事件B与事件 相互独立；④ 是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与 中究竟哪一个发生有关．
【答案】②④
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】②④【解答】由题意可知 是两两互斥的事件， 所以 ，因此②正确；而
，而 P ( B
，故①③不正确， 是两两互斥的事件，由此可知④正确；所以正确的是②④．
【分析】由公式一次计算出 P ( A 1 )? , P ( A 2 )? , P ( A 3 ) ， P ( B | A 2 )，P(B|A3)， P ( B），从而判断②④正确。
22.一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为 ． 取出绿球的概率是　________?；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有??????????________?个．
【答案】；18
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（取出绿球）=1﹣P（取出黄球）=1﹣=；设袋中有绿球x个．根据题意，得：， 解得：x=18，经检验：x=18是所列方程的解．答案是：；18．【分析】根据取出绿球的概率=1﹣取出黄球的概率即可；利用关系式为： =取出绿球的概率，列出等式即可解出绿球个数．
三、解答题
23.抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果．连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b．（1）求直线ax+by=0与直线x+2y+1=0平行的概率；（2）求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．
【答案】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6；三种结果，∴所求的概率是P==（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b共有1，2；2，1；2，2；2，3；3，2；3，3，3；3，4；4，3；4，4；4，5；5，4；5，5；5，6；6，5；6，6共有15种结果，∴所求的概率是=
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6三种结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b可以列举出来共有15种结果，得到概率．
24.某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为 ，每次考B科合格的概率均为 ．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．
【答案】解：设甲“第一次考A科成绩合格”为事件A1 ， “A科补考后成绩合格”为事件A2 ， “第一次考B科成绩合格”为事件B1 ， “B科补考后成绩合格”为事件B2 ． （Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为：?? （Ⅱ）由题意知，ξ可能取得的值为：2，3，4 = 分布列（如表）
ξ
2
3
4
P
故
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）甲参加3次考试通过分两种情况：A科考两次B科考一次和A科考一次B科考两次，分别计算每种情况的概率，进而可得甲恰好3次考试通过的概率；（II）先分别求出随机变量的所有可能取值的概率，再写出分布列，进而可得期望．
25.三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率分别为P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝ ，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
【答案】解：①如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，
则 ,
又 ,
∴ .
∴三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；
②如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】解答本题的关键在于事件A,B,C是否互斥，故要进行分类讨论；若互斥，则由互斥事件概率加法公式直接求解。
26.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
【答案】（1）解：从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种， 而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P= （2）解：先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴P=1﹣ = ．
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．
27.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
（1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【答案】（1）解：X的可能取值为0，1，2，3，则 P（X=0）= = ；P（X=1）= = ；P（X=2）= = ；P（X=3）= = 即X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
（2）解：去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X=1）+P（X=2）= + =
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）确定X的可能取值，利用独立重复试验概率公式求概率，从而可得X的概率分布列；（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X=1）+P（X=2），从而可得结论．
28.? 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过 个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ，摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用 表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.
（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 个交接口的概率；
（2）求 的分布列及数学期望 .
【答案】（1）解：由题意可知： （2）解： 的所有可能值为 .
则 ，且 ， ， ， 相互独立.
故 ，
，
.
从而 的分布列为
0
1
2
3
4
所以
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得结果.(2)利用相互独立事件的概率乘法公式计算各随机变量的概率，进而可得X的分布列及数学期望.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
【答案】B
【考点】概率的基本性质，互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解:p=1-0.45-0.15=0.4故答案为：B【分析】根据对立事件进行解答
二、解答题
2.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）设时间B为“恰有一部获的好评” （Ⅲ） ∴
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）相互独立事件，恰有一个发生概率，分类讨论是哪一部好评，（3）由方差定义直接写.
3.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．（2）解：当温度大于等于25°C时，需求量为500，Y=450×2=900元，当温度在[20，25）°C时，需求量为300，Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，当温度低于20°C时，需求量为200，Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20°C的天数有：90﹣（2+16）=72，∴估计Y大于零的概率P= ．
【考点】频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2.）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
4.（2017?新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
???????? 箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
? 新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2= ．
【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：
?箱产量＜50kg
? 箱产量≥50kg
?总计
?旧养殖法
?62
?38
?100
?新养殖法
?34
?66
?100
?总计
?96
?104
?200
则K2= ≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一： =5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．