2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第3节 二项式定理
（学生版）
备战基础·零风险
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tr＋1＝ ，它表示第 项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是 .
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为 或 .
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ ，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．
2．二项式系数与展开式项的系数的异同
一是在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
3. (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
4. (1)求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；在求解过程中，常因把n的等量关系表示，如C＝C，而求错n的值．
(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
5. (1)如在求解512 012的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．
小结
1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.二项式 的展开式的常数项为第（ ??）项
A.?17?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?19?????????????????????????????????????????D.?20
2.被8除的余数是????????????（???）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?7
3.若,则的值为(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?-5????????????????????????????????????????C.?50????????????????????????????????????????D.?255
4.在的展开式中，的系数为(??? )
A.?????????????????????????????????B.????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
5.已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是（??）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?40
6. 是 的展开式中存在常数项的（?? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
7.已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10 ， 则a7=（ ）
A.?-120 ??????????B.?120 ????C.?-960 ???D.?960
8.在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A.?15 ????? ??B.?20 ???????C.?30 ? ?????D.?120
9.设复数（i是虚数单位），则（ ）
A.? ???????????????????????????????B.? ?????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.设（ +x2）3的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为（? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.已知, 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于?????????????（???）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
12.二项式的展开式中常数项是? （）
A.?28?????????????????????????????????????????B.?-7?????????????????????????????????????????C.?7?????????????????????????????????????????D.?-28
13.使 的展开式中含有常数项的最小的 为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
14.已知的最小值是n，则二项式展开式中项的系数为（??）
A.?15????????????????????????????????????????B.?-15????????????????????????????????????????C.?30????????????????????????????????????????D.?-30
15.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是???（???）
A.?1.23?????????????????????????????????????B.?1.24?????????????????????????????????????C.?1.33?????????????????????????????????????D.?1.34
16.若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为?（?）
A.?462??????????????????????????????????????B.?252??????????????????????????????????????C.?210??????????????????????????????????????D.?10
17.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是( )
A.?－10????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?－5????????????????????????????????????????D.?5
18.(1-2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是（??）
A.?120?????????????????????????????????????B.?-120?????????????????????????????????????C.?100?????????????????????????????????????D.?-100
19.二项式? 的展开式中 x3 的系数是（??? ）
A.?84??????????????????????????????????????B.?-84??????????????????????????????????????C.?126??????????????????????????????????????D.?-126
20.二项式（x2﹣）6展开式中的常数项为（ ）
A.?120???????????????????????????????????????B.?-30???????????????????????????????????????C.?15???????????????????????????????????????D.?-15
二、填空题
21. 展开式中， 项的系数为________．
22.在 的展开式中， 项的系数是________（用数字作答）．
23. 的展开式中的常数项是________
24.在 的展开式中，含 项的二项式系数为________；系数为________．（均用数字作答）
25.在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是________．
26.设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a=________?．
27.在 的展开式中x3的系数是________．
28.二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是________?
三、解答题
29.已知数列 的前 项和 恰好与 的展开式中含 项的系数相等.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
30.已知二项式（+）n（n∈N* ， n＜15） （1）求二项式展开式中各项系数之和； （2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值； （3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （??? ）
A.?0.7???????????????????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????????????C.?0.4???????????????????????????????????????D.?0.3
2.（2018?卷Ⅲ） 的展开式中x4的系数为（ ??）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?80
3.（2017?新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （??? ）
A.?﹣80??????????????????????????????????????B.?﹣40??????????????????????????????????????C.?40??????????????????????????????????????D.?80
4.（2017?新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?30?????????????????????????????????????????D.?35
5.（2016?四川）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（ ）
A.?﹣15x4?????????????????????????????????B.?15x4?????????????????????????????????C.?﹣20ix4?????????????????????????????????D.?20ix4
二、填空题
6.（2018?浙江）二项式 的展开式的常数项是________．
7.（2018?天津）在 的展开式中， 的系数为________
8.（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为________。（结果用数值表示）
9.（2017?山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
10.（2017?浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
11.（2016?上海）在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
12.（2016?天津） 的展开式中x2的系数为________.(用数字作答)
13.（2016?北京）在 的展开式中， 的系数为________.（用数字作答）
14.（2016?全国） 的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）
15.（2016?山东）若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=________．
16.（2016?上海）在（ ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第3节 二项式定理
（教师版）
备战基础·零风险
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．
2．二项式系数与展开式项的系数的异同
一是在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
3. (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
4. (1)求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；在求解过程中，常因把n的等量关系表示，如C＝C，而求错n的值．
(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
5. (1)如在求解512 012的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．
小结
1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.二项式 的展开式的常数项为第（ ??）项
A.?17?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?19?????????????????????????????????????????D.?20
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理可知 ,展开式的常数项是使 的项,解得r=18为第19项,
故答案为：C.
【分析】由二项式定理，利用通项公式即得。
2.被8除的余数是????????????（???）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【分析】由展开后，最后一项为1，其余各项均含因数8，故被8除的余数是1，选A。
3.若,则的值为(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?-5????????????????????????????????????????C.?50????????????????????????????????????????D.?255
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于 令x=2，可知-5=， 当x=3时，则可知左边为0，右边就是+=0 故可知的值为5，故答案为C. 【分析】主要是考查了二项式定理的基本运用，属于基础题。
4.在的展开式中，的系数为(??? )
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由于展开式中第r+1项为?，因此可知当10-r=6，即r=4时，为所求的项的系数，即为， 化简可知为， 选D.
5.已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是（??）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?40
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为Tr+1=?x2（5-r)?x-r=x10-3r ， 令10-3r=1解得r=3，∴展开式中含x项的系数是，=10,故选C． 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，要求准确记忆，同时考查了运算求解的能力，属于基础题。
6. 是 的展开式中存在常数项的（?? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】 的通项为 ，如果展开式中存在常数项，所以
所以当n=10时， 的展开式中存在常数项，所以充分性成立.
的展开式中存在常数项时，n不一定等于10，所以必要性不成立.
故答案为：A.
【分析】本题考查的是利用二项式定理通项展开式结合n的值求出常数项，从而判断二者的关系满足的充要条件。
7.已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10 ， 则a7=（ ）
A.?-120 ????B.?120 ???C.?-960 ????D.?960
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（x+1）﹣2]）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10 ，
∴a7=C103?（﹣2）3=﹣960．
故选：C．
【分析】由（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10 ， 可得∵（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（x+1）﹣2]）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10 ， 即可求出a7 ．
8.在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A.?15 ??B.?20 ??C.?30 ?D.?120
【答案】A
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵二项展开式中中间项的二项式系数最大
又∵二项式系数最大的项只有第4项
∴展开式中共有7项
∴n=6
展开式的通项为 =C6rx12﹣3r
?令12﹣3r=0，r=4，
展开式的常数项为T5=C64=15
故选A
【分析】利用二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n，再用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项
9.设复数（i是虚数单位），则（ ）
A.? ???????????????????????????????B.? ??????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为有， 而复数,则所求的即为,故选B.
10.设（ +x2）3的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为（? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（ +x2）3的展开式的通项公式为Tr+1= ?x3r﹣3 ， 令3r﹣3=0，求得r=1， 可得展开式的常数项为3，再根据常数项为a，可得a=3． 由 ，求得x=0，或x=3， 则由定积分的几何意义可得直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积 为 （3x﹣x2）dx=（ x2﹣ ） = ， 故选：C． 【分析】在（ +x2）3的展开式的通项公式中求得展开式的常数项，再根据常数项为a，求得a的值．再根据直线和曲线交点的横坐标为x=0，或x=3，由定积分的几何意义可得直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积 （3x﹣x2）dx 的值
11.已知, 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于?????????????（???）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【分析】的展开式按a的降幂排列，其中， 所以， 又， 所以=4，故选A。 【点评】考查知识点明确，方法具体，细心计算。
12.二项式的展开式中常数项是? （）
A.?28?????????????????????????????????????????B.?-7?????????????????????????????????????????C.?7?????????????????????????????????????????D.?-28
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于二项式的展开式， 故可知展开是的常数项为， 故可知答案为C. 【分析】主要是考查了二项式定理的展开式的运用，属于基础题。
13.使 的展开式中含有常数项的最小的 为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】B
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：设 （n ∈ N +）的展开式的通项为 ，
则： ，
令 得： ，又 ，
∴当 时， 最小，即 ．
故答案为：B．
【分析】?由二项展开式的通项公式整理得n =? r，可得n的最小值。
14.已知的最小值是n，则二项式展开式中项的系数为（??）
A.?15????????????????????????????????????????B.?-15????????????????????????????????????????C.?30????????????????????????????????????????D.?-30
【答案】A
【考点】二项式定理
【解析】【解答】， 当且仅当时取等号， ∴二项式为， ∴， ∴令， ∴， ∴.选A.
15.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是???（???）
A.?1.23?????????????????????????????????????B.?1.24?????????????????????????????????????C.?1.33?????????????????????????????????????D.?1.34
【答案】D
【考点】二项式定理的应用
【解析】【分析】(1.05)6 = =1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．故选D。
16.若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为?（?）
A.?462??????????????????????????????????????B.?252??????????????????????????????????????C.?210??????????????????????????????????????D.?10
【答案】C
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【分析】展开式的通项为Tr+1=Cnrx3n-5r ， 所以展开式的系数与二项式系数相同。 ∵展开式中，只有第6项的系数最大，∴n=10 ∴展开式的通项为Tr+1=C10rx30-5r 令30-5r=0，得r=6 所以展开式中的常数项为C106=210，选C。
17.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是( )
A.?－10????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?－5????????????????????????????????????????D.?5
【答案】B
【考点】二项式定理
【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得． 【解答】对于Tr+1=(x2)5-r(-)r=(-1)rx10-3r ， 对于10-3r=4， ∴r=2， 则x4的项的系数是C52（-1)2=10 故选项为B
18.(1-2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是（??）
A.?120?????????????????????????????????????B.?-120?????????????????????????????????????C.?100?????????????????????????????????????D.?-100
【答案】B
【考点】二项式定理
【解析】【分析】由二项式通式可知，在展开式中，及均可获得的项，所以的项的系数为.选B。 【点评】此题考查二项式定理通式的理解与运用，属中低档题.
19.二项式? 的展开式中 x3 的系数是（??? ）
A.?84??????????????????????????????????????B.?-84??????????????????????????????????????C.?126??????????????????????????????????????D.?-126
【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由于二项式的通项公式为 ,令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x3的系数是 （?1）3? , 故答案为B． 【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
20.二项式（x2﹣）6展开式中的常数项为（ ）
A.?120???????????????????????????????????????B.?-30???????????????????????????????????????C.?15???????????????????????????????????????D.?-15
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式（x2﹣）6展开式的通项为 ， 令12﹣3r=0，得到r=4， 所以展开式的常数项为 =15； 故选：C． 【分析】首先写出通项，化简后令字母x 的指数为0，得到常数项．
二、填空题
21. 展开式中， 项的系数为________．
【答案】
【考点】二项式定理
【解析】【解答】 ?∴二项式 展开式中，含 项为 ?∴它的系数为70．
故答案为70．
【分析】利用二项式展开式可得到 x 2 项的系数.
22.在 的展开式中， 项的系数是________（用数字作答）．
【答案】 ?
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式的通项为： .令 ，得 .答案为：-40. 【分析】根据题意首先求出二项式的展开式，结合题意求出r的值进而得到该项的系数。
23. 的展开式中的常数项是________
【答案】60
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】详解：展开式的通项为 ， 令 得 ， 所以展开式的常数项为 ， 故答案为 . 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
24.在 的展开式中，含 项的二项式系数为________；系数为________．（均用数字作答）
【答案】；
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，含 项的二项式系数为 ，含 项的系数为 ．
【分析】写出二项式（2-x）6的展开式中含x3项，进而能求出其系数．本考点虽说比较容易，但也是高考的一个常考点，希望大家都能记住这个公式，并学会计算和灵活运用．
25.在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是________．
【答案】-56
【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】∵在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大， ∴展开式中第5项是中间项，共有9项， ∴n=8； 展开式的通项公式为 . 令8﹣2r=2，得r=3， ∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3? =﹣56. 【分析】根据题目中所给的条件的特点，先求出n，在展开式的通项公式，令x的指数为2，即可得出结论．注意： （1）二项展开式有n+1项； （2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念； （3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.
26.设二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a=________?．
【答案】﹣3
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为二项式（x﹣）6的展开式中x2的系数为A= =15a2；
常数项为B=﹣ =﹣20a3；
因为B=4A，所以﹣20a3=4×15a2；
所以a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】通过二项式定理展开式的通项公式，求出x2的系数为A，常数项为B，利用B=4A，即可求出a的值．
27.在 的展开式中x3的系数是________．
【答案】1008
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】（x2+1）（x-2）7的展开式中x3的系数等于（x-2）7展开式的x的系数加上（x-2）7展开式的x3的系数（x-2）7展开式的通项为Tr+1=C7rx7-r（-2）r令7-r=1，得r=6故（x-2）7展开式的x的系数为C76（-2）6=448令7-r=3得r=4故（x-2）7展开式的x3的系数为C74（-2）4=560故展开式中x3的系数是448+560=1008故答案为：1008．【分析】先分析展开式中x3项的构成，再进行计算.
28.二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是________?
【答案】45
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由通项公式Tr+1=
令20﹣=0=0，解得r=8．
∴常数项为T8=×（﹣1）2=45
故答案为：45．
【分析】利用二项式的通项公式即可得出x的指数幂为0，即可得出r的值，就能够求解常数项．
三、解答题
29.已知数列 的前 项和 恰好与 的展开式中含 项的系数相等.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1）解：依题意得 ， 故当 时， ， 又当 时， ，也适合上式， 故 . （2）解：由（1）得 ， 故 .
【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】(1)利用二项展开式的性质求出通项，(2)求出bn；利用裂项求和求出数列的前n项和．
30.已知二项式（+）n（n∈N* ， n＜15） （1）求二项式展开式中各项系数之和； （2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值； （3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项．
【答案】解：（1）二项式展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和 ∴二项式展开式中各项系数之和为+++…+=2n ， （2）展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是Cn8 ， Cn9 ， Cn10 ， 依题意得Cn8+Cn10=2Cn9 ， 写成+=2? 化简得90+（n﹣9）（n﹣8）=2?10（n﹣8）， 即：n2﹣37n+322=0，解得n=14或n=23； （3）展开式的通项为Tr+1=?=， ∴展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0≤r≤14， ∴展开式中的有理项共3项是r=0，r=6，r=12， ∴展开式中的有理项是T1=x7=x7 ， T7=x6=3003x6 ， T13=x5=91x5 ．
【考点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二项式系数即为该项的系数，再由二项式系数的性质，即可得到； （2）由展开式中的通项，得到各项的二项式系数，再由等比数列的性质，结合组合数公式，化简整理，解方程即可求出n； （3）写出通项，化简整理，判断r是6的倍数，又0≤r≤14，列举出所有的有理项即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （??? ）
A.?0.7???????????????????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????????????C.?0.4???????????????????????????????????????D.?0.3
【答案】B
【考点】一元二次不等式，极差、方差与标准差，二项式定理，二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可知x服从二项分布 则 又 所以 =0.6 故答案为：B 【分析】由题可知x服从二项分布，由二项分布方差求出P，再由 排除其中-P.
2.（2018?卷Ⅲ） 的展开式中x4的系数为（ ??）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?80
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】 通式 令10-3r=4 r=2?? 所以 的系数是 故答案为：C 【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
3.（2017?新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （??? ）
A.?﹣80??????????????????????????????????????B.?﹣40??????????????????????????????????????C.?40??????????????????????????????????????D.?80
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40． 故选：C． 【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
4.（2017?新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?30?????????????????????????????????????????D.?35
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中： 若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数： 若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数： 由（1+x）6通项公式可得 ． 可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ． 可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ． （1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30． 故选C． 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
5.（2016?四川）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（ ）
A.?﹣15x4?????????????????????????????????B.?15x4?????????????????????????????????C.?﹣20ix4?????????????????????????????????D.?20ix4
【答案】A
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为 x4?i2=﹣15x4 ， 故选：A． 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．；本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．
二、填空题
6.（2018?浙江）二项式 的展开式的常数项是________．
【答案】7
【考点】二项式定理，二项式定理的应用
【解析】【解答】详解：二项式 的展开式的通项公式为 , 令 得 ，故所求的常数项为 【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
7.（2018?天津）在 的展开式中， 的系数为________
【答案】
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵ 的通式为 ∴ 则 【分析】先写出二项式的通式，令x的指数为2，求出是通式中第3项，则可得到系数.
8.（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为________。（结果用数值表示）
【答案】21
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】（1+x）7中有Tr+1= ，故当r=2时， = =21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 第r+1项为Tr+1= 。
9.（2017?山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
【答案】4
【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ． ∵含有x2的系数是54，∴r=2． ∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ． 解得n=4． 故答案为：4． 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
10.（2017?浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
【答案】16；4
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4， a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4． 故答案为：16；4． 【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．
11.（2016?上海）在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
【答案】112
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为 ，由题意得 ，所以 ，二项式的通项为 ，求常数项则令 ，所以 ，所以 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
12.（2016?天津） 的展开式中x2的系数为________.(用数字作答)
【答案】-56
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，∴系数为-56 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
13.（2016?北京）在 的展开式中， 的系数为________.（用数字作答）
【答案】60
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理得含 的项为 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．
14.（2016?全国） 的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）
【答案】10
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（2x+ ）5的展开式中，通项公式为：Tr+1= =25﹣r， 令5﹣ =3，解得r=4∴x3的系数2 =10． 故答案为：10. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.（2016?山东）若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=________．
【答案】-2
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（ax2+ ）5的展开式的通项公式Tr+1= （ax2）5﹣r = a5﹣r ， 令10﹣ =5，解得r=2．∵（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80∴ a3=﹣80，得a=﹣2． 【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1= （ax2）5﹣r ，化简可得求的x5的系数．；本题考查了向量的坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.（2016?上海）在（ ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．
【答案】112
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵在（ ﹣ ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n=256，解得n=8， ∴（ ﹣ ）8中，Tr+1= = ， ∴当 =0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2 =112． 故答案为：112． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．；本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
