2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第2节 排列与组合

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第2节 排列与组合
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简单的实际问题.
排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
排列数与组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
有 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
有 的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝ ＝ 。
(2)C＝＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝ .
性质
(1)0！＝ ；A＝ .
(2)C＝ ；C＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别　排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
3.(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4. 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
5. (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
小结
1．熟练掌握：(1)排列数公式A＝；(2)组合数公式C＝，这是正确计算的关键．
2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
备战练习·固基石
一、单选题
1.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、蓝），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（　　）（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）
A.?6种　?????????????????????????????????B.?12种　?????????????????????????????????C.?24种　?????????????????????????????????D.?48种
2.某电影院第一排共有8个座位，现有3名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有（??）??
A.?12?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?32
3.已知 = ， 则x=（　　）
A.?1??????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????C.?1或2????????????????????????????????????????????D.?1或3
4.若 ，则m等于(?? )
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?6
5.3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（?? ）
A.?144??????????????????????????????????????B.?160??????????????????????????????????????C.?180??????????????????????????????????????D.?240
6.乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（　 　）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
7.用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是（）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
8.世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（　　）
A.?12种?????????????????????????????????????B.?10种?????????????????????????????????????C.?8种?????????????????????????????????????D.?6种
9.五种不同的商品在货架上排成一排，其中 ， 两种必须排在一起，而 ， 两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（??? ）
A.?12种????????????????????????????????????B.?20种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?48种
10.= ， 则n=（　　）
A.?26?????????????????????????????????????????B.?27?????????????????????????????????????????C.?28?????????????????????????????????????????D.?29
11.从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有 （ ??）
A.?280??????????????????????????????????????B.?240??????????????????????????????????????C.?180??????????????????????????????????????D.?96
12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（?? ）
A.?234??????????????????????????????????????B.?346??????????????????????????????????????C.?350??????????????????????????????????????D.?363
13.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为??????????? (???? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
14.方程的解共有（?）?
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
15.有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边的位置，共________?种排法；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起，共________?种排法；（3）全体排成一行，男生不能排在一起，共________?种排法；（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，共________?种排法；（5）全体排成一行，其中甲不再最左边，乙不在最右边，共________?种排法；（6）若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共________?种排法；（7）排成前后两排，前排3人，后排2人，共________?种排法；（8）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有1人，共________?种排法．
16.假设乒乓球团体比赛的规则如下：进行5场比赛，除第3场为双打外，其余各场为单打，参赛的每个队选出3名运动员参加比赛，每个队员打两场，且第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛．某队有4名乒乓球运动员，其中 不适合双打，则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有________种
17.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
18.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为________（用数字作答）．
19.设A=37+35+33+3，B=36+34+32+1，则A﹣B的值为________?．
20.在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________?种．（用数值作答）
21.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________?
22.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是________?．
三、解答题
23.??????????????????????????????????????????????????
（1）计算 ；
（2）求 中n的值．
24.将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
25.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻
26.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.（2017?新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（??? ）
A.?12种????????????????????????????????????B.?18种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?36种
3.（2016?四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）
A.?24?????????????????????????????????????????B.?48?????????????????????????????????????????C.?60?????????????????????????????????????????D.?72
二、填空题
4.（2018?卷Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
5.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
6.（2017?山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
7.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
8.（2017?浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
9.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
10.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
11.（2016?江苏）
（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证： .

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第2节 排列与组合
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简单的实际问题.
排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别　排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
3.(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4. 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
5. (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
小结
1．熟练掌握：(1)排列数公式A＝；(2)组合数公式C＝，这是正确计算的关键．
2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
备战练习·固基石
一、单选题
1.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、蓝），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（　　）（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）
A.?6种　?????????????????????????????????B.?12种　?????????????????????????????????C.?24种　?????????????????????????????????D.?48种
【答案】A
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于涂色过程中，要保证满足条件（用四种颜色，相邻的面不同色)，正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有=6种不同的涂法。选A.【分析】主要是考查了分步计数原理的运用，属于基础题。
2.某电影院第一排共有8个座位，现有3名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有（??）??
A.?12?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?32
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意，由于电影院第一排共有8个座位，现有3名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，先排列3个人有,然后对于空位分情况可知有4种那么利用分步计数园里得到共有24种，故答案为C.【分析】主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。
3.已知 = ， 则x=（　　）
A.?1??????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????C.?1或2????????????????????????????????????????????D.?1或3
【答案】D
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由= ， ， 解得：x=1或3．故选：D．【分析】由题意可， 求解可得x值．
4.若 ，则m等于(?? )
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式
【解析】【解答】解： ，
，
即 ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】由排列数及组合数公式计算可得m的值.
5.3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（?? ）
A.?144??????????????????????????????????????B.?160??????????????????????????????????????C.?180??????????????????????????????????????D.?240
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：①、要求左端排男同学，右端排女同学，在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置，有C31×C31=9种选法；②、对5号位置分2种情况讨论：若5号位置为女生，有2种情况，则4号位置必须为男生，有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在2、3号位置，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，若5号位置为男生，有2种情况，将剩余的3人全排列，安排在2、3、4号位置，有A33=6种情况，此时有2×6=12种情况，则剩余的4个位置有8+12=20种情况，故有9×20=180种不同的排法；故答案为：C．【分析】根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：（1）在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置.（2）分析中间的4个位置，对5号位置分为男生和女生2种情况讨论，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案。
6.乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（　 　）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】首先从5名男运动员中选2人有种方法，从5名女运动员中选2人有种方法，将4人按照男女混双分成2组有种方法，所以不同的选法共有种，选D.【分析】此类题目的求解一般按照先选择后排列的方法分步完成。
7.用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是（）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
【答案】A
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】由题意知Y=X与X=m两直线的交点必在Y=X这条直线上，而要想使任意两块不同色共有涂法120种，必须让直线X=m，Y=X将圆分成四块不同的面积，那么不同的涂法是5×4×3×2，要求出Y=X与圆的交点，得到结果．【解答】由题意知Y=X与X=m两直线的交点必在Y=X这条直线上，而要想使任意两块不同色共有涂法120种，∴必须让直线X=m，Y=X将圆分成四块不同的面积，那么不同的涂法才能是5×4×3×2=120．要求出Y=X与圆的交点分别为（-， -)（， )．∴-≤m≤， ∵当m=或-时，两直线只能把该圆分成三个区域，∴不成立，∴-＜m＜． 故答案为：A
8.世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（　　）
A.?12种?????????????????????????????????????B.?10种?????????????????????????????????????C.?8种?????????????????????????????????????D.?6种
【答案】D
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上的全排列，即有种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数=6种．故选：D．【分析】该题要求甲、乙两人被分配到同一展台，故采取捆绑法进行求解，然后利用排列组合知识进行求解即可。
9.五种不同的商品在货架上排成一排，其中 ， 两种必须排在一起，而 ， 两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（??? ）
A.?12种????????????????????????????????????B.?20种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?48种
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】a,b必须相连，全排列有 种方法；把ab看做一整体再与e全排列， 种方法；最后将c,d插入四个空内有 种方法，所以共有 ? ? =24种方法，故答案为：C。【分析】由题意结合捆绑法和插空法即可求出结果。
10.= ， 则n=（　　）
A.?26?????????????????????????????????????????B.?27?????????????????????????????????????????C.?28?????????????????????????????????????????D.?29
【答案】B
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】∵= ， ∴n（n﹣1）（n﹣2）= 整理，得n﹣3=24，∴n=27．故选B．【分析】利用排列数公式和组合数公式，化简计算即可．
11.从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有 （ ??）
A.?280??????????????????????????????????????B.?240??????????????????????????????????????C.?180??????????????????????????????????????D.?96
【答案】B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解： ．故答案为：B．【分析】按甲乙两个人被选取的个数分类。
12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（?? ）
A.?234??????????????????????????????????????B.?346??????????????????????????????????????C.?350??????????????????????????????????????D.?363
【答案】B
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知本题需要分类讨论（1）前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，前排一个，后排一个共有2C81?C121=192．（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+…+1）=110．（3）前排坐两个2（6+5+…+1）+2=44个．∴总共有192+110+44=346个．故选B．【分析】前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，当两个人分别在前排和后排做一个时，前排有8种，后排有12种，两个人之间还有一个排列，当两个人都在前排坐时，因为两个人不相邻，可以列举出所有情况，当两个人都在后排时，也是用列举得到结果，根据分类计数得到结果．
13.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为??????????? (???? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】用插空法解决的排列组合问题， 将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．
14.方程的解共有（?）?
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】B
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】所以原方程的解共有2个.
二、填空题
15.有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边的位置，共________?种排法；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起，共________?种排法；（3）全体排成一行，男生不能排在一起，共________?种排法；（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，共________?种排法；（5）全体排成一行，其中甲不再最左边，乙不在最右边，共________?种排法；（6）若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共________?种排法；（7）排成前后两排，前排3人，后排2人，共________?种排法；（8）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有1人，共________?种排法．
【答案】72；36；12；20；78；144；120；36
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：（1）利用元素分析法，甲为特殊元素，先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择．有3种，其余4人全排列，有A44种．由乘法原理得3A44=72种；（2）捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，有A33种，再与2名女生进行全排列有A33种，故共有A33A33=36种；（3）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，共有A22A33=12种；（4）定序排列用除法，共有=20种；（5）位置分析法（特殊位置优先安排）．先排最左边，除去甲外，余下的4个位置全排有A41A44 ， 但应剔除乙在最右边的排法数A31A33种．故共有A41A44﹣A31A33=78种；（6）插空法，先排男生，再将女生插入其中的四个空位，共有A33A43=144种；（7）与无任何限制的排列相同，共有A55=120种；（8）从除甲、乙以外的3人中选1人排在甲、乙中间的排法有3种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A22A33种，最后再把选出的1人的排列插入到甲、乙之间即可，共有3A22A33=36种．故答案为：72；36；12；20；78；144；120；36．【分析】对8个小题，分别采用恰当的方法，即可得出结论．
16.假设乒乓球团体比赛的规则如下：进行5场比赛，除第3场为双打外，其余各场为单打，参赛的每个队选出3名运动员参加比赛，每个队员打两场，且第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛．某队有4名乒乓球运动员，其中 不适合双打，则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有________种
【答案】48
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】安排运动员参加比赛的方法分两类，第一类，运动员A参加比赛,第一步，选排A，由于A不适合双打，第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛，所以运动员A从第1，2场、3，4场中各选一场参赛，有 ，第二步，从另外三人中选出的两人必须参加双打，有 种不同的方法，第三步，安排参加双打的两名运动员分别参加一场单打，有 ,共有 种不同的方法；第二类，运动员A不参加比赛，第一步，从剩下的三人中选一人，并从第1，2场、3，4场中各选一场参赛，有 种不同的方法，其余两人除一同参加双打比赛外，在剩下的两场单打比赛中各安排一场比赛，共有 种不同的方法，由乘法原理，有 ；综上安排运动员参加比赛的方法共有 种，所以答案应填48.【分析】本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据所给问题分类讨论结合排列组合知识计算即可.
17.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
【答案】12
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：设2名教师为A，B，第一步，先分组，与A同组的2名学生公有 种，另两名学生与B同组有 种方法，第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有 种方法，由分步计数原理可得，共有 ? ? =12种，故答案为：12．【分析】不妨设2名教师为A，B，利用分步计数原理即可求得不同的安排方案种数．
18.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为________（用数字作答）．
【答案】36
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由题意可知，可分为两类：
一类：甲乙在一个地区时，剩余的三类分为两组，再三组派遣到三个地区，共有 种不同的派遣方式；
另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有 种不同的派遣方式；
由分类计算原理可得，不用的派遣方式共有 种不同的派遣方式．
【分析】分类，然后计算出每种情况对应的种类，结合分类计算原理，即可得出答案。
19.设A=37+35+33+3，B=36+34+32+1，则A﹣B的值为________?．
【答案】128
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：∵ ， 取x=1，得47=37+36+35+34+33+32+3+1，取x=﹣1，得27=37﹣36+35﹣34+33﹣32+3﹣1，两式作和得37+35+33+3=8256，两式作差得36+34+32+1=8128，∴A﹣B=8256﹣8128=128．故答案为：128．【分析】构造二项式， 分别取x=1和x=﹣1得两等式，分别作和作差求得A，B的值，则答案可求．
20.在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________?种．（用数值作答）
【答案】13968
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有，则包括两件次品和两件正品，
共有C32C972=13968种结果．
故答案为：13968．
【分析】由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有两件次品，则包括两件次品和两件正品。
21.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________?
【答案】
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法∴故答案为：【分析】甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解
22.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是________?．
【答案】48
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．
若奥迪车上没有小孩，则有 =10种方法；
若奥迪车上有一个小孩，则有 =28种；
若奥迪车上有两个小孩，则有 =10种．
综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，
故答案为 48．
【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．
三、解答题
23.??????????????????????????????????????????????????
（1）计算 ；
（2）求 中n的值．
【答案】（1）解： （2）解：原式可化为 ，即 ，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，解得n＝2或n＝－7.又n≥1且n∈Z，所以n＝2
【考点】组合及组合数公式
【解析】【分析】利用组合数公式进行化简，即可得出答案.
24.将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
【答案】（1）解：利用分步乘法计数原理，第一步，4个人分到甲学校，有 种分法；第二步，2个人分到乙学校，有 种分法；第三步，剩下的1个人分到丙学校，有 种分法，所以，总的分配方案有 （种）（2）解：同样用分步乘法计数原理，第一步，选出4人有 种方法；第二步，选出2人有 种方法；第三步，选出1人有 种方法；第四步，将以上分出的三伙人进行全排列有 种方法.所以分配方案有 （种）
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）分3步讨论：①、在7人中选出4人，②、在剩余3人中选出2人，③、将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．排列数、组合数问题：（1）排列组合恒等式的计算;（2）排列组合恒等式的证明;（3）解排列组合恒等方程.
25.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻
【答案】（1）【解答】解：特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有：种（2）【解答】解：把甲、乙看成一个人来排有 种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种（3）【解答】解：甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种（4）【解答】解：先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查了，解决问题的关键是（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有 种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有 种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为 种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各 种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有 种;(4)插空法:先将其余3个全排列 种，再将甲、乙插入4个空位 种， 所以，一共有 种不同排法.
26.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
【答案】解：（Ⅰ）根据分类计数原理知，当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A42=12种结果，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有A21A31A31=18种结果，根据分类计数原理知共有12+18=30种结果；（Ⅱ）十位上的数为0时，有4×3=12个，十位上的数为1时，有3×2=6个，十位上的数为2时，有2×1=2个，共有20个；（Ⅲ）1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有2A33=12种结果，1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，只是注意0不能放在首位，共有2C21A22=8，当1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果，共有2C21A22=8，根据分类加法原理得到共有12+8+8=28种结果．
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（Ⅰ）因为数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，所以针对于0进行讨论，当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个．根据分类计数原理得到结果．??????????? （Ⅱ）十位上的数为0，1，2，分类讨论即可得出结论；??????????? （Ⅲ）1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有2A33种结果，1和3两个奇数夹着2时，注意0不能放在首位，当1和3两个奇数夹着4时，同理，得到结果。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有 =36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
2.（2017?新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（??? ）
A.?12种????????????????????????????????????B.?18种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?36种
【答案】D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6× =36种．故选：D．【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
3.（2016?四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）
A.?24?????????????????????????????????????????B.?48?????????????????????????????????????????C.?60?????????????????????????????????????????D.?72
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有 =24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．；本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．
二、填空题
4.（2018?卷Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
【答案】16
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，从6名学生中任意选3人有 种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，故答案为：16.【分析】由至少有女生不入选,分成1女2男和3男两类,由组合数公式求选法种数.
5.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为 因此一共有 个没有重复数字的四位数.【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
6.（2017?山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
【答案】4
【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ． ∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ． 解得n=4．故答案为：4．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
7.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【答案】1080
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53?C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
8.（2017?浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
三、解答题
9.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为
?X
?0
?1
?2
?3
?4
?P
?
?
?
?
?
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
10.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， B1），（A2 ， B2），（A2 ， B3），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A3 ， B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1 ， B2），（A1 ， B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
11.（2016?江苏）
（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证： .
【答案】（1）解： （2）解：对任意的 ，① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立，② 假设 时命题成立，?? 即 ，?? 当 时，?? 左边= ?????? ，?? 右边 ，?? 而 ， ?? 因此 ，?? 因此左边=右边，?? 因此 时命题也成立，综合①②可得命题对任意 均成立．另解：因为 ，所以左边 又由 ，知 ，所以，左边 右边．
【考点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N* ， 当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．