第15章 轴对称图形与等腰三角形单元检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第15章 轴对称图形与等腰三角形单元检测试题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-01 20:17:21 | ||
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文档简介
第16章 轴对称图形与等腰三角形单元检测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A． A B． B C． C D． D
2．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（ ）
A． 114° B． 123° C． 132° D． 147°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A． 30° B． 40° C． 45° D． 60°
5．已知等腰三角形两边长分别为2和3,则此等腰三角形的周长是( )
A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8
6．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( )
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A． 15° B． 17.5° C． 20° D． 22.5°
9．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）
A． 150° B． 160° C． 130° D． 60°
10．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A． 40° B． 45° C． 60° D． 70°
12．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④
二、填空题
13．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC，则S△ABD∶S△ACD＝ ．
14．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有_________个.
16．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC．则∠PCQ的度数为________．
17．（题文）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________(用含a的式子表示)．
18．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=__．
三、解答题
19．如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
20．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
?
21．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．
22．如图，等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于D，∠CDE＝60°.求证：△CBE为等边三角形．
23．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
25．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
26．(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
参考答案
1．D
【解析】
解：A、B、C不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选D．
2．B
【解析】
试题分析：∵BD=CD=CE，等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，
∴∠DCB+∠CDE=57°，
∴∠DFC=180°﹣57°=123°，
故选B．
【考点】等腰三角形的性质．
3．B
【解析】
试题分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解：
∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°.
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD.
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°="30°." ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
故选B．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理．
4．B
【解析】
试题分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选：B．
考点：等腰三角形的性质．
5．D
【解析】
根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为2时，②当腰长为3时，解答即可.
解：根据题意，
①当腰长为2时，周长=2+2=3=7；
②当腰长为3时，周长=3+3+2=8.
故选D.
6．D
【解析】
解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故选：D．
7．C
【解析】
试题分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
考点：等腰三角形的性质．
8．A
【解析】
解：∵AF∥BC，∠FAC=75°，∴∠ACE=105°．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=75°，∴∠A=30°，∴∠D=∠A=15°．故选A．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形内角和定理和平行线的性质解答．
9．A
【解析】
试题分析：∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=（360°﹣∠BAD）=（360°﹣60°）=150°．故选A．
考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质；3．多边形内角与外角．
10．C
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得∠1+∠2=240°．
【详解】
解：如图， ∵等边三角形 ∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-120°=240°． 故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为360°；2、等边三角形的内角均为60°．
11．A
【解析】
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选A．
“点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
12．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．
∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．
故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．
故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；
④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．
故本选项正确；
其中正确的是①③④．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．
13．2
【解析】
试题分析：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，即△ABD和△ACD中AB和AC边上的高相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=2
考点：角平分线的性质
14．52
【解析】
分析：因为AC=AD=DB，所以可设∠B=x°，即可表示∠BAD=x°，∠ADC=∠ACD=2x°；
根据三角形的内角和等于180°，列方程求得x的值，便可得到∠ADC的度数.
详解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠C=2∠B.
设∠B=x°，则∠C=2x°.
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+102=180.
解得：x=26.
∴∠ADC=2x=52°.
故答案为：52.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和的问题，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角的性质.
15．6
【解析】
试题分析：如图：①作AB的垂直平分线交直线AC和BC于一点，则AP=BP，此时三角形是等腰三角形，即2个；②因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，所以△AB为等边三角形，所以以A为圆心，以AB为半径画弧交直线AC于点，交直线BC于点B,,此时AB=AP，所以三角形是等腰三角形，即2个；③以B为圆心，以AB为半径画弧交直线BC于点，交直线AC于点A和，此时AB=PB，所以三角形是等腰三角形，即2个；所以共有2+2+2=6个．
考点：直角三角形的性质、等腰三角形的判定．
16．（）°
【解析】
【分析】
根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B，设∠A=x°，则∠AQP=x°，根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°，∠BQC=3x°，∠ACB=∠B=3x°．在△ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°+3x°+3x°=180°，解方程求出即可．
【详解】
∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角），
设∠A=x°，则∠AQP=x°，
∵在△AQP中，∠QPB是外角，∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵在△BCQ中，∠BQC是外角，∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°，∴∠B=3x°，∴∠ABC=3x°，
∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x°+3x°+3x°=180°（三角形三个内角的和等于180°），
解得：x=（）°，∴∠PCQ=2x=（）°．
故答案为：（）°．
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x°+3x°+3x°=180°是解答此题的关键．
17．3A
【解析】
试题解析：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．
18．9
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
19．4.5．
【解析】
试题分析：由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后由平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再由等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
试题解析：解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×9=4.5，∴DF=4.5．
考点：1．等腰三角形的性质；2．含30度角的直角三角形．
20．证明见解析
【解析】
试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
试题解析：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
21．证明见解析
【解析】
试题分析：因为角度是一个轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线，因此OM与ON关于OP对称， PA⊥OM ，PB⊥ON，PA＝PB，A点和B点关于OP对称，OP垂直平分AB.
试题解析：证明：∵PA⊥OM ，PB⊥ON ∴∠OAP=∠OBP=90o
又∵∠AOP=∠BOP OP=OP
∴△OAP≌△OBP（AAS）
∴OA=OB，则△OAB为等腰三角形
OP是∠AOB的平分线，OP垂直平分AB
考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形全等的判定和性质.
22．证明见解析
【解析】
【分析】
首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA，再利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案．
【详解】
∵CA=CB，CE=CA，∴BC=CE，∠CAE=∠CEA．
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，∴∠DAC=∠CEA=15°，∴∠ACE=150°，∴∠BCE=60°，∴△CBE为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠BCE=60°是解题的关键．
23．证明见解析
【解析】
试题分析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴；
（2）如图，在上取一点，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形
∴
∴△BMD是等边三角形，..
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴，.
∴.
∵，即.
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
考点：等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
点评：本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）70°.
【解析】
试题分析：（1）应用“边角边”证得△BDE≌△CEF，所以DE=EF，即△DEF是等腰三角形；
（2）应用角的和差和三角形外角的性质可得∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由△BDE≌△CEF可得∠BDE=∠CEF，进而证得∠DEF=∠B，在△ABC中求得∠B的度数，即可得到∠DEF的度数．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中：
∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，
由（1）知△BDE≌△CEF，
则∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C==70°，
∴∠DEF=70°．
考点：全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
25．（1）60°；（2）60°
【解析】
试题分析：（1），由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°；
（2）由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，∠6=∠7，根据三角形内角和可得∠5=∠6，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.
解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠4=30°．
同理∠6=30°．
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°．
（2）如图4，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．
点睛：本题主要考查的是等边三角形性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.
26．(1)AF＝BD(2)AF＝BD仍然成立(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB. Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′
【解析】
解：（1）AF=BD。证明如下：
∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）。
同理知，DC=CF，∠DCF=60°。
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。
在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）。
（2）AF=BD仍然成立。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF。
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD。
∴AF+BF′=BD+AD=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′。证明如下：
在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）。
又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A． A B． B C． C D． D
2．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（ ）
A． 114° B． 123° C． 132° D． 147°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A． 30° B． 40° C． 45° D． 60°
5．已知等腰三角形两边长分别为2和3,则此等腰三角形的周长是( )
A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8
6．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( )
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A． 15° B． 17.5° C． 20° D． 22.5°
9．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）
A． 150° B． 160° C． 130° D． 60°
10．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A． 40° B． 45° C． 60° D． 70°
12．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④
二、填空题
13．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC，则S△ABD∶S△ACD＝ ．
14．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有_________个.
16．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC．则∠PCQ的度数为________．
17．（题文）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________(用含a的式子表示)．
18．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=__．
三、解答题
19．如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
20．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
?
21．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．
22．如图，等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于D，∠CDE＝60°.求证：△CBE为等边三角形．
23．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
25．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
26．(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
参考答案
1．D
【解析】
解：A、B、C不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选D．
2．B
【解析】
试题分析：∵BD=CD=CE，等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，
∴∠DCB+∠CDE=57°，
∴∠DFC=180°﹣57°=123°，
故选B．
【考点】等腰三角形的性质．
3．B
【解析】
试题分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解：
∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°.
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD.
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°="30°." ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
故选B．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理．
4．B
【解析】
试题分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选：B．
考点：等腰三角形的性质．
5．D
【解析】
根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为2时，②当腰长为3时，解答即可.
解：根据题意，
①当腰长为2时，周长=2+2=3=7；
②当腰长为3时，周长=3+3+2=8.
故选D.
6．D
【解析】
解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故选：D．
7．C
【解析】
试题分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
考点：等腰三角形的性质．
8．A
【解析】
解：∵AF∥BC，∠FAC=75°，∴∠ACE=105°．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=75°，∴∠A=30°，∴∠D=∠A=15°．故选A．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形内角和定理和平行线的性质解答．
9．A
【解析】
试题分析：∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=（360°﹣∠BAD）=（360°﹣60°）=150°．故选A．
考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质；3．多边形内角与外角．
10．C
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得∠1+∠2=240°．
【详解】
解：如图， ∵等边三角形 ∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-120°=240°． 故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为360°；2、等边三角形的内角均为60°．
11．A
【解析】
根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选A．
“点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
12．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．
∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．
故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．
故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；
④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．
故本选项正确；
其中正确的是①③④．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．
13．2
【解析】
试题分析：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，即△ABD和△ACD中AB和AC边上的高相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=2
考点：角平分线的性质
14．52
【解析】
分析：因为AC=AD=DB，所以可设∠B=x°，即可表示∠BAD=x°，∠ADC=∠ACD=2x°；
根据三角形的内角和等于180°，列方程求得x的值，便可得到∠ADC的度数.
详解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠C=2∠B.
设∠B=x°，则∠C=2x°.
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+102=180.
解得：x=26.
∴∠ADC=2x=52°.
故答案为：52.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和的问题，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角的性质.
15．6
【解析】
试题分析：如图：①作AB的垂直平分线交直线AC和BC于一点，则AP=BP，此时三角形是等腰三角形，即2个；②因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，所以△AB为等边三角形，所以以A为圆心，以AB为半径画弧交直线AC于点，交直线BC于点B,,此时AB=AP，所以三角形是等腰三角形，即2个；③以B为圆心，以AB为半径画弧交直线BC于点，交直线AC于点A和，此时AB=PB，所以三角形是等腰三角形，即2个；所以共有2+2+2=6个．
考点：直角三角形的性质、等腰三角形的判定．
16．（）°
【解析】
【分析】
根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B，设∠A=x°，则∠AQP=x°，根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°，∠BQC=3x°，∠ACB=∠B=3x°．在△ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°+3x°+3x°=180°，解方程求出即可．
【详解】
∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角），
设∠A=x°，则∠AQP=x°，
∵在△AQP中，∠QPB是外角，∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵在△BCQ中，∠BQC是外角，∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°，∴∠B=3x°，∴∠ABC=3x°，
∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x°+3x°+3x°=180°（三角形三个内角的和等于180°），
解得：x=（）°，∴∠PCQ=2x=（）°．
故答案为：（）°．
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x°+3x°+3x°=180°是解答此题的关键．
17．3A
【解析】
试题解析：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．
18．9
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
19．4.5．
【解析】
试题分析：由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后由平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再由等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
试题解析：解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×9=4.5，∴DF=4.5．
考点：1．等腰三角形的性质；2．含30度角的直角三角形．
20．证明见解析
【解析】
试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
试题解析：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
21．证明见解析
【解析】
试题分析：因为角度是一个轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线，因此OM与ON关于OP对称， PA⊥OM ，PB⊥ON，PA＝PB，A点和B点关于OP对称，OP垂直平分AB.
试题解析：证明：∵PA⊥OM ，PB⊥ON ∴∠OAP=∠OBP=90o
又∵∠AOP=∠BOP OP=OP
∴△OAP≌△OBP（AAS）
∴OA=OB，则△OAB为等腰三角形
OP是∠AOB的平分线，OP垂直平分AB
考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形全等的判定和性质.
22．证明见解析
【解析】
【分析】
首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA，再利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案．
【详解】
∵CA=CB，CE=CA，∴BC=CE，∠CAE=∠CEA．
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，∴∠DAC=∠CEA=15°，∴∠ACE=150°，∴∠BCE=60°，∴△CBE为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠BCE=60°是解题的关键．
23．证明见解析
【解析】
试题分析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴；
（2）如图，在上取一点，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形
∴
∴△BMD是等边三角形，..
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴，.
∴.
∵，即.
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
考点：等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
点评：本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）70°.
【解析】
试题分析：（1）应用“边角边”证得△BDE≌△CEF，所以DE=EF，即△DEF是等腰三角形；
（2）应用角的和差和三角形外角的性质可得∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由△BDE≌△CEF可得∠BDE=∠CEF，进而证得∠DEF=∠B，在△ABC中求得∠B的度数，即可得到∠DEF的度数．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中：
∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，
由（1）知△BDE≌△CEF，
则∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C==70°，
∴∠DEF=70°．
考点：全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
25．（1）60°；（2）60°
【解析】
试题分析：（1），由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°；
（2）由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，∠6=∠7，根据三角形内角和可得∠5=∠6，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.
解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠4=30°．
同理∠6=30°．
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°．
（2）如图4，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．
点睛：本题主要考查的是等边三角形性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.
26．(1)AF＝BD(2)AF＝BD仍然成立(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB. Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′
【解析】
解：（1）AF=BD。证明如下：
∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）。
同理知，DC=CF，∠DCF=60°。
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。
在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）。
（2）AF=BD仍然成立。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF。
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD。
∴AF+BF′=BD+AD=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′。证明如下：
在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）。
又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′