2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第5节 古典概型

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第5节 古典概型
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和．
古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
P(A)＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)＝＝；根据古典概型概率公式计算．
3.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
4.(1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解．
5.(1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这
都是得分的重点．
小结
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
备战练习·固基石
一、单选题
1.甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为(? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是(?? )
A.?至少有一个红球与都是红球????????????????????????????????B.?至少有一个红球与都是白球C.?至少有一个红球与至少有一个白球??????????????????????D.?恰有一个红球与恰有两个红球
3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 ，乙解决这个问题的概率是 ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ??）
A.????????B.???????????C.????????????D.?
4.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（???）?
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有(????? )
A.?44人????????????????????????????????????B.?42人????????????????????????????????????C.?22人????????????????????????????????????D.?21人
6.以下四个说法：①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②同时抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③甲、乙两人进行下棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是0.6；④在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．正确的个数为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.连续掷两次骰子得到点数分别为，记，，则（O为坐标原点）的概率为? (???? )
A.???????????????????????????????????????B.?　　??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
8.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 ， 则函数在上为增函数的概率是???（?????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
9.从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
10.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( ??)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807?? 966? 191? 925? 271? 932? 812?? 458? 569? 683?431?? 257? 393? 027? 556? 488? 730?? 113? 537? 789据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（??）
A.?0.35?????????????????????????????????????B.?0.25?????????????????????????????????????C.?0.20?????????????????????????????????????D.?0.15
12.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（???? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
13.(2015·新课标1卷）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.从1，2，…，10这十个数中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q.给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤ ；④p≤ .其中说法正确的有(?? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
15.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（　　）
A.?至少有一个黑球与都是黑球????????????????????????????????B.?至少有一个黑球与至少有一个红球C.?恰有一个黑球与恰有两个黑球?????????????????????????????D.?至少有一个黑球与都是红球
16.一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
17.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和 ， 且各株大树是否成活互不影响，在移栽的4株大树中，两种大树各成活1株的概率为________?
18.在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率为________．
19.从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为 ，则 的概率是________．
20.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．
21.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
22.一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为 ． 取出绿球的概率是　________?；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有??????????________?个．
23.有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是________．
24.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________（结果用数值表示）．
三、解答题
25.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
26.某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
27.甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.
（1）从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；
（2）从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.
28.采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12人的样本，求每人被抽取的机率．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（?? ）
A.?0.6????????????????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
2.（2018?卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(?? )
A. B. C. D.
3.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
4.（2017?天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
5.（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.（2016?天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.（2016?全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.（2016?北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
9.（2018?江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________.
10.（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）
11.（2016?上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．
12.（2016?四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
三、解答题
13.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
14.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
15.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
16.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
17.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
18.（2017?北京卷）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
19.（2017?北京卷）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（13分）
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
20.（2016?全国）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
21.（2016?北京）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班
6??? 6.5??? 7???? 7.5????? 8
B班
6??? 7????? 8???? 9????? 10??? 11??? 12
C班
3??? 4.5???? 6??? 7.5????? 9??? 10.5?? 12???? 13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记?? ，表格中数据的平均数记为 ?，试判断 ? 和 的大小，（结论不要求证明）

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第5节 古典概型
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
P(A)＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)＝＝；根据古典概型概率公式计算．
3.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
4.(1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解．
5.(1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这
都是得分的重点．
小结
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
备战练习·固基石
一、单选题
1.甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为(? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【分析】目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为.选A.
2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是(?? )
A.?至少有一个红球与都是红球????????????????????????????????B.?至少有一个红球与都是白球C.?至少有一个红球与至少有一个白球??????????????????????D.?恰有一个红球与恰有两个红球
【答案】D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立.故答案为：D【分析】结合对立事件和互斥事件的意义，即可得出答案。
3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 ，乙解决这个问题的概率是 ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ??）
A.???????????B.????????C.?????????????D.?
【答案】B
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
故答案为：B.
【分析】分别计算出甲解决问题乙未解决问题的概率和甲未解决问题乙解决问题的概率，即可得到答案。
4.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（???）?
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】记分别是投掷两次骰子所得的数字，其结果共有， 共36种情况，要满足有两个不同实根，需?=， 满足此条件的基本事件有（3,1)，（4,1)，（5,1)，（5,2)，（5,3)，（6,1)，（6,2)，（6,3)，（6,4)，共9个，所以其概率为。选B.
5.两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有(????? )
A.?44人????????????????????????????????????B.?42人????????????????????????????????????C.?22人????????????????????????????????????D.?21人
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】设参加面试的人数为， 根据已知得， 解得.故选D．
6.以下四个说法：①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②同时抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③甲、乙两人进行下棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是0.6；④在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．正确的个数为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】A
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：中位数不受少数几个极端值的影响，平均数受样本中的每一个数据影响，故①不正确，同时抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率是、“两枚都是反面朝上”的概率是、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率是；三个事件的概率不等，故②不正确，甲、乙两人进行下棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是0.4+0.2=0.6，故③正确在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率除以组距，故④不正确，综上可知有一个命题是正确的，故选A．【分析】中位数不受少数几个极端值的影响，平均数受样本中的每一个数据影响，同时抛掷两枚硬币，做出出现的各种情况的概率，结果不等，利用互斥事件的概率得到第三个命题正确，在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率除以组距．
7.连续掷两次骰子得到点数分别为，记，，则（O为坐标原点）的概率为? (???? )
A.???????????????????????????????????????B.?　　??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】若， 则， 所以， 即， 连续掷两次骰子所得基本事件共有36个，其中满足的基本事件有共15个，所以所求事件的概率为， 即.故选B.
8.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 ， 则函数在上为增函数的概率是???（?????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个．函数在[1，+∞)上为增函数包含的基本事件个数为30个，利用古典概型公式即可得到答案．【解答】函数在[1，+∞)上为增函数，等价于导数y′=2mx2-n 在[1，+∞)上大于或等于0恒成立．而x2≥?在[1，+∞)上恒成立即≤1．∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足≤1包含的（m，n)基本事件个数为30个，故函数在[1，+∞)上为增函数的概率是?=， 故答案为B．【点评】本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数，利用导数解决函数的恒成立问题，属于中档题
9.从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】从3个人中选出2个人当代表，则所有的选法共有3种，即：甲乙、甲丙、乙丙，其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是 ， 故选C．【分析】从3个人中选出2个人，则每个人被选中的概率都是 ．
10.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( ??)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】设三男分别记为， 设三女分别记为， 从三男三女6名学生中任选2名学生有共， ， ， ， 共种选法，其中选出的2名都是女同学的有3种选法，∴2名都是女同学的概率为， 故选C．
11.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807?? 966? 191? 925? 271? 932? 812?? 458? 569? 683?431?? 257? 393? 027? 556? 488? 730?? 113? 537? 789据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（??）
A.?0.35?????????????????????????????????????B.?0.25?????????????????????????????????????C.?0.20?????????????????????????????????????D.?0.15
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】由20组随机数可知恰有两次命中的有191，271，932，812，393共五组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为,故选B.
12.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（???? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有， 再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为12 /225 ="4" /75 ，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．
13.(2015·新课标1卷）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从 1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4,5故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.【分析】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
14.从1，2，…，10这十个数中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q.给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤ ；④p≤ .其中说法正确的有(?? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从1，2，…，10这十个数字中任意取出两个数，共有 种不同的取法．
当两个数和是偶数时，则这两个数都是偶数或都是奇数，共有 种取法，
所以两个数的和是偶数的概率为 ；
当两个数的积是奇数时，则两个数必须都是奇数，有 种，
因此两个数的积是偶数的概率为 ．
所以①，②，③不正确，④正确．
故答案为：A．
【分析】利用古典概型及其概率计算公式分别求得p与q,即可求得结果.
15.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（　　）
A.?至少有一个黑球与都是黑球????????????????????????????????B.?至少有一个黑球与至少有一个红球C.?恰有一个黑球与恰有两个黑球?????????????????????????????D.?至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
16.一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为： ，∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为： .故答案为：C.
【分析】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为,由此能求出这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率．
二、填空题
17.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和 ， 且各株大树是否成活互不影响，在移栽的4株大树中，两种大树各成活1株的概率为________?
【答案】
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：∵甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和 ， 且各株大树是否成活互不影响，∴甲两株中活一株的概率为= ， 乙两株中活一株的概率为= ， 故在移栽的4株大树中，两种大树各成活1株的概率为×= ， 故答案为：【分析】甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．
18.在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率为________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由于函数cos 是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到 之间的概率
在区间[0，1]上随机取一个数x，
即x∈[0，1]时，要使cos πx的值介于0到0.5之间，
需使 ≤ πx≤
∴ ≤x≤1，区间长度为 ，
由几何概型知 cos πx的值介于0到0.5之间的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos 是一个偶函数，故可研究出cos πx的值介于0到0.5之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．
19.从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为 ，则 的概率是________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】由题意知，从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字 的所有可能结果有 ，共10种．其中，满足条件 的结果有 ，共3种．故所求概率为 ．答案： 【分析】根据题目中所给的条件的特点，先根据条件知道从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字 a , b , c ( a < b < c ) 的所有可能结果，再根据计数原理计算即可．
20.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．
【答案】 ?
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】 本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是 ，以 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有： ，共6个，同理以 为顶点的也各有6个，但是，所有列举的三棱锥均出现2次， 四个面都是直角三角形的三棱锥有 个， 所求的概率是 ，故答案为: .【分析】长方体中任选四个顶点的选法有70种, 四个面都是直角三角形的三棱锥有24个,由古典概率公式求解.
21.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
【答案】0.2
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.【分析】首先根据“摸出红球或白球”与“摸出黑球”是对立事件，“摸出红球或黑球”与“摸出白球”是对立事件，分别求出“摸出黑球”和“摸出白球”的概率，再根据互斥事件概率加法公式求出“摸出红球”的概率。
22.一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为 ． 取出绿球的概率是　________?；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有??????????________?个．
【答案】；18
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（取出绿球）=1﹣P（取出黄球）=1﹣=；设袋中有绿球x个．根据题意，得：， 解得：x=18，经检验：x=18是所列方程的解．答案是：；18．【分析】根据取出绿球的概率=1﹣取出黄球的概率即可；利用关系式为： =取出绿球的概率，列出等式即可解出绿球个数．
23.有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9．
共10种情况．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9．三种情况，故概率是 ．
故填： ．
【分析】先写出任意取三条的所有情况，再根据三角形的三边关系写出符合条件的情况，即可求出概率.
24.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________（结果用数值表示）．
【答案】0.3
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C22C31种结果，∴剩下两个数字都是奇数的概率是 ．故答案为：0.3【分析】利用古典概型的计算公式，结合排列组合可计算出结果.
三、解答题
25.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
【答案】解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．??????????????设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．????????????????????????????????????因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可，而满足a+b=c的（a，b，c）有3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求
26.某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【答案】解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人；（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．所以所求概率为P（M）=．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，求出成绩低于60分的频率，再求得成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（2）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．
27.甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.
（1）从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；
（2）从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.
【答案】（1）解：将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为 .从甲袋中任取两球，所有可能的结果有 共6种.其中两球颜色不相同的结果有 共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件 ，则 ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为 （2）解：将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为 ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有 ? 共12种.其中两球颜色相同的结果有 共5种记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件 ，则 ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）先求出取出两球的种数，再根据列举法两球颜色不相同的种数，根据概率公式计算即可．（2）分为同是红色，黑色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．
28.采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12人的样本，求每人被抽取的机率．
【答案】解：由已知中总体容量为121，样本容量为12，则每个个体被抽到的概率P=．
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】在系统抽样中，每个个体都抽中的可能性都相等，故每个个体被抽到的概率均为样本容量÷总体容量，结合题意可得到答案．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（?? ）
A.?0.6????????????????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】记选中的2人都是女同学为事件A?? 则P(A)= 故答案为：D【分析】由古典概型知识，从5人中任选2人共有 种，则选中2人都是女同学为事件A的结果总数为 种.
2.（2018?卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(?? )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个
记任取两数和为30为事件A
P（A）=
故答案为：C
【分析】在不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个数，从10个数中任选2个共有 种，则记其和等于30为事件A的结果总数为 种.
3.（2018?卷Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ??）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
【答案】B
【考点】概率的基本性质，互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解:p=1-0.45-0.15=0.4故答案为：B【分析】根据对立事件进行解答
4.（2017?天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n= =10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ．故选：C．【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．
5.（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ．故选：D．【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
6.（2016?天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．故选：A．【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．；本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
7.（2016?全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有 =6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为 = ．故选：C．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．；本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
8.（2016?北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．故选：B．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
二、填空题
9.（2018?江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解： 【分析】从5合产生中选2名 ，是2名女生 。
10.（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据古典概率公式 【分析】五个砝码，从中随机选取三个为 ，三个砝码的总质量为9克，可种情况有5，3，1和5，2，2
11.（2016?上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 ，乙同学的选法种数为 ， 则两同学的选法种数为 种．两同学相同的选法种数为 ．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．故答案为： ．【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．
12.（2016?四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n= =12，logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴logab为整数的概率p= ．故答案为： ．【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab为整数的概率；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
三、解答题
13.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）设时间B为“恰有一部获的好评” （Ⅲ） ∴
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）相互独立事件，恰有一个发生概率，分类讨论是哪一部好评，（3）由方差定义直接写.
14.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）获得好评的电影部数为：140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2×510×0.1=372估计这部电影没有获得好评的概率为：1-=0.814.（Ⅲ）只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）根据表格数据，求出获得好评的电影部数，从而可以求出这部电影没有获得好评的概率；（3）增加电影部数多的，减少电影部数少的.
15.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为
?X
?0
?1
?2
?3
?4
?P
?
?
?
?
?
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
16.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．（2）解：当温度大于等于25°C时，需求量为500，Y=450×2=900元，当温度在[20，25）°C时，需求量为300，Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，当温度低于20°C时，需求量为200，Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20°C的天数有：90﹣（2+16）=72，∴估计Y大于零的概率P= ．
【考点】频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2.）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
17.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， B1），（A2 ， B2），（A2 ， B3），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A3 ， B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1 ， B2），（A1 ， B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
18.（2017?北京卷）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
19.（2017?北京卷）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（13分）
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）解：由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p= = ．（2）解：由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ的分布列如下：
?ξ
?0
?1
?2
?P
?
?
?
E（ξ）= =1．（3）解：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1.）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2.）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3.）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
20.（2016?全国）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【答案】（1）解：设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 ， （2）解：设续保人保费比基本保费高出 为事件 ， （3）解：设本年度所交保费为随机变量 ．
平均保费 ，∴平均保费与基本保费比值为
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（2）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（3）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值
21.（2016?北京）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班
6??? 6.5??? 7???? 7.5????? 8
B班
6??? 7????? 8???? 9????? 10??? 11??? 12
C班
3??? 4.5???? 6??? 7.5????? 9??? 10.5?? 12???? 13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记?? ，表格中数据的平均数记为 ?，试判断 ? 和 的大小，（结论不要求证明）
【答案】（1）解： ，C班学生40人（2）解：在A班中取到每个人的概率相同均为 设 班中取到第 个人事件为 C班中取到第 个人事件为 班中取到 的概率为 所求事件为 则 （3）解： 三组平均数分别为 总均值 但 中多加的三个数据 平均值为 ，比 小，故拉低了平均值
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1