2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第6节 几何概型
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：
①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝ 。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.
3. 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
4.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
5.很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．
小结
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换,y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是( ??)
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
3.关于随机数的说法正确的是 （? ）
A.?随机数就是随便取的一些数字?????????????????????????????B.?随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数 C.?用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数????????D.?不能用伪随机数估计概率
4.ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(?? )
A.????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 (??? )
A.?16????????????????????????????????????B.?16.32????????????????????????????????????C.?16.34????????????????????????????????????D.?15.96
6.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（ ）
A.????????? ???B.?+ ??????C.? ??D.?+
7.已知非负实数满足,则关于的一元二次方程有实根的概率是（?????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.已知函数f（x）=x2﹣ax+4满足a∈[﹣1，7]，那么对于a，使得f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立的概率为（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
9.在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（ ）
A.? ?????????B.? ???????????????C.? ??????D.?
10.已知函数f（x）=x2+ax﹣2b．若a，b都是区间[0，4]内的数，则使f（1）＞0成立的概率是（ ）
A.? B.? ???C.? ?D.?
11.若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为(?????????? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.下列不能产生随机数的是（? ）
A.?抛掷骰子试验??????????????????????????????B.?抛硬币 C.?计算器????????????????????????????????????????D.?正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
13.取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是(?????????? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?不确定
14.如图，矩形 中，点 的坐标为 ．点 的坐标为 ．直线 的方程为： 且四边形 为正方形，若在五边形 内随机取一点，则该点取自三角形 ?(阴影部分)的概率等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
15.已知正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点 ， 使得的概率是（ ?）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
16.从1到815这815个整数中选出100个整数（一个整数可以重复被选），现在利用电脑模拟随机数抽样，程序框图如图所示，则在A、B两框中应填入（ ）
A.?x≤815，i＞100?????????????????B.?x≤815，i≥100?????????C.?x≤0.815，i≥100?????????D.?x≤0.815，i＞100
二、填空题
17.记函数 的定义域为 .若在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为________．
18.（2015·福建卷）如图，点A的坐标（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f(x)=，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________?.
19.在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是________?
20.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是 ，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为 ，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为________
21.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ， 则m=________?
22.若 是从区间 内任意选取的一个实数， 也是从区间 内任意选取的一个实数，则 的概率为________．
23.在圆 ： 上任取一点 ，则锐角 （ 为坐标原点）的概率是________．
24.已知实数a∈[0，10]，那么方程x2﹣ax+9=0有实数解的概率是________?
三、解答题
25.用随机模拟方法求函数 ?与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
26.设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0． （1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； （2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
27.在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．
28.如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．
附表：
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.（2016?全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 ?的近似值为(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.（2016?全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.（2016?全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
6.（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．
7.（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
8.（2016?山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________．
三、解答题
9.（2016?山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第6节 几何概型
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：
①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.
3. 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
4.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
5.很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．
小结
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【分析】由题意可得：符合条件的点必须在内接等边三角形的内切圆内， 理由如下：因为两圆的圆心相同，大圆的半径为1，故内接正三角形的边长为 故内接等边三角形的内切圆半径为， 故=== 故选A。
2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换,y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是( ??)
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】C
【考点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】当x= 时,y=2× +3=4. 故答案为：C 【分析】利用变换，代入计算，可得结论。
3.关于随机数的说法正确的是 （? ）
A.?随机数就是随便取的一些数字?????????????????????????????B.?随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数 C.?用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数????????D.?不能用伪随机数估计概率
【答案】C
【考点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】随机数是用来模拟试验结果的数字，是在等可能的条件下产生的，不是随便取的，可用计算机或计算器依照一定的算法产生，由此产生的随机数具有周期性，称为伪随机数，但周期较长，可用来近似地估计概率值.故A、B、D错误，C正确.【分析】本题主要考查了随机数的含义与应用，解决问题的关键是根据随机数的含义分析即可
4.ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(?? )
A.????????????????????????????????????????B.??????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可． 【解答】 根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：P=圆外部分的面积: 矩形的面积=?,故答案为A.
5.矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 (??? )
A.?16????????????????????????????????????B.?16.32????????????????????????????????????C.?16.34????????????????????????????????????D.?15.96
【答案】B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】 设阴影部分的面积为 ?，则由几何概型概率公式可得 ?即 ? ,
故答案为：B.
【分析】由模拟方法估计概率的计算方法易得阴影部分的面积.
6.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（ ）
A.? ???B.?+ ???????C.? ??D.?+
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．
设“满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”为事件M，
则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=
∴P（M）=
故满足|PH|＜的概率为+
故选B．
【分析】根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”的面积即可求出所求．
7.已知非负实数满足,则关于的一元二次方程有实根的概率是（?????）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】关于的一元二次方程有实根，则， 又为非负实数，所以， 从而.由作出平面区域： 由图知，表示非负实数满足的平面区域；表示其中的平面区域. 又， .所以所求概率为.
8.已知函数f（x）=x2﹣ax+4满足a∈[﹣1，7]，那么对于a，使得f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立的概率为（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，可得a≤x+ 在x∈[1，4]上恒成立，∴a≤4 又a∈[﹣1，7]，∴a∈[﹣1，4]， ∴使得f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立的概率为 = ， 故选：C． 【分析】由f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，可得a≤x+ 在x∈[1，4]上恒成立，可得a∈[﹣1，4]求出区间[﹣1，4]上构成的区域长度，再求出在区间[[﹣1，7]上任取一个数构成的区域长度，再求两长度的比值．
9.在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（ ）
A.? ????B.? ?C.? ??D.?
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】∵2sinx＞1，x∈[0，2π]，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由于在区间[0，2π]内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足2sinx＞1的区间长度，即可求得概率．
10.已知函数f（x）=x2+ax﹣2b．若a，b都是区间[0，4]内的数，则使f（1）＞0成立的概率是（ ）
A.? ???B.? ??????C.? ???D.?
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】f（1）=1+a﹣2b＞0，即a﹣2b+1＞0，
则a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，有f（1）＞0，
即满足条件：
转化为几何概率如图所示，
其中A（0，），C（4，），
事件“f（1）＞0”的表示的平面区域为阴影部分，
其面积为s=（OA+BC）×OB=（+）×4=6，
∴事件“f（1）＞0”的概率为．
故选C．
【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中，画出f（1）＞0对应 的区域，和a、b都是在区间[0，4]内表示的区域，计算它们的比值即得．
11.若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为(?????????? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【分析】画出平面区域及单位圆，表示的 平面区域的面积为， 其中点P恰好在单位圆内的的面积是， 所以由几何概型概率计算公式得点P恰好在单位圆内的概率为， 故选A。 【点评】中档题，简单几何概型概率的计算，要明确“几何特征”及几何度量。
12.下列不能产生随机数的是（? ）
A.?抛掷骰子试验??????????????????????????????B.?抛硬币 C.?计算器????????????????????????????????????????D.?正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
【答案】D
【考点】随机数的含义与应用
【解析】解答：D项中，出现2的概率为 ,出现1,3,4,5的概率均是 ,则D项不能产生随机数. 分析：本题主要考查了模拟方法估计概率，解决问题的关键是根据随机数的产生的原理分析即可
13.取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是(?????????? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?不确定
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【分析】首先找出绳子AB的三等分点C,D(如图)，当马灯挂在线段CD上时，符合要求。由几何概型概率计算公式得灯与两端距离都大于1m的概率是。故选B 【点评】明确几何概型的两个特点，以区分概型。明确“几何度量”，以准确计算概率。本题中几何度量是线段的长度。
14.如图，矩形 中，点 的坐标为 ．点 的坐标为 ．直线 的方程为： 且四边形 为正方形，若在五边形 内随机取一点，则该点取自三角形 ?(阴影部分)的概率等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】在 中，令 ，得 ，即 ， 则 ，所以 ， ，由几何概型的概率公式，得在五边形 内随机取一点，该点取自三角形 ?(阴影部分)的概率 .故答案为：D. 【分析】根据题意求出点D的坐标，再由两点间的距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。
15.已知正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点 ， 使得的概率是（ ?）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【分析】本题利用几何概型解决．根据题中条件：”得点P所在的区域为棱锥的中截面以下，结合大棱锥与小棱锥的体积比即可求得结果。 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足， 故使得的概率为P=,故选A. 【点评】本题主要考查了几何概型划，以及空间想象能力，属于基础题．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，解本题的关键是理解体积比是相似比的平方
16.从1到815这815个整数中选出100个整数（一个整数可以重复被选），现在利用电脑模拟随机数抽样，程序框图如图所示，则在A、B两框中应填入（ ）
A.?x≤815，i＞100?????????????????B.?x≤815，i≥100?????????C.?x≤0.815，i≥100?????????D.?x≤0.815，i＞100
【答案】C
【考点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】根据判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质：A是要判断x是否不大于0.815；B是要判断循环次． 对于A，所以当x≤0.815满足判断框的条件，当x＞0.815不满足判断框的条件； 对于B，所以当i≥100满足判断框的条件，当i＜100不满足判断框的条件； 则在A、B两框中应填入：x≤0.815，i≥100 故选C． 【分析】按照此程序框图的功能，程序框图的流程是从1到815这815个整数中选出100个整数的结果，利用电脑模拟随机数抽样，最大值不能超过815，得到x满足什么条件输出，满足什么条件不输出，求出A判断框中的条件；再根据输出数的个数得出需循环的次数从而得出B判断框中的条件．
二、填空题
17.记函数 的定义域为 .若在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】函数 则 ，即 解得 的定义域 在区间 上随机取一个数 ， 则 的概率为 【分析】根据根号下函数的取值基本性质得到函数的定义域取值，由几何概型的计算方法，代入数据计算，即可得出答案。
18.（2015·福建卷）如图，点A的坐标（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f(x)=，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________?.
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】由已知的阴影部分面积为.所以此点取自阴影部分的概率等于. 【分析】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
19.在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是________?
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x2+a≥0，
∴f（x）是增函数，
若f（x）在[﹣1，1]有且仅有一个零点，
则f（﹣1）?f（1）≤0
∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，
即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，
由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4﹣
∴P=
故答案为： ．
【分析】根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．
20.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是 ，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为 ，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为________
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】设直角三角形的较长的边长为a,则小正方形的边长为a-3,由于四个直角三角形的面积和小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以 .
所以绿豆落在小正方形的概率为 .故填 .
【分析】结合几何概型计算公式，利用面积除以面积，即可得出答案。
21.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ， 则m=________?
【答案】3
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ， 所以m=3． 故答案为：3． 【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为 ， 直接求出m的值即可．
22.若 是从区间 内任意选取的一个实数， 也是从区间 内任意选取的一个实数，则 的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】详解：
根据题意，画出图形，如图所示，
则不等式组 表示的是正方形区域，面积为 ，
其中满足 的平面区域为阴影部分的面积 ，
故所求的概率为 ，故答案为 .
【分析】根据题意画出图形，结合图形,利用几何概型的概率公式P（A）=,求出对应面积的比值即可得出概率值．
23.在圆 ： 上任取一点 ，则锐角 （ 为坐标原点）的概率是________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】当 时， 的方程为 ，圆心到直线 的距离为： ， 又圆 的半径为 ，此时弦所对的圆心角为 ，所以所求概率为： 故答案为： 【分析】根据周角等于360°，得到所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域，再得到符合题意的事件对应的图形是所成角为60°的两条射线之间区域．最后用符合题意的图形对应的角度，除以所有的基本事件对应图形的角度，可得概率.
24.已知实数a∈[0，10]，那么方程x2﹣ax+9=0有实数解的概率是________?
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵实数a∈[0，10]，
若方程x2﹣ax+9=0有实数解，
则△=a2﹣4×9≥0，
即a2≥36，
解得：a≤﹣6，或a≥6，
∵a∈[0，10]，
∴a∈[6，10]，
故方程x2﹣ax+9=0有实数解时a∈[6，10]，
故方程x2﹣ax+9=0有实数解的概率P=
故答案为： ．
【分析】求出方程x2﹣ax+9=0有实数解对应的区间长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到结论．
三、解答题
25.用随机模拟方法求函数 ?与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】解:如图,阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S. 随机模拟的步骤: ⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND; ⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< ? 的点(x,y)的个数); ⑶计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值; ⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S. 则S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 .
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。
26.设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0． （1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； （2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【答案】解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）， 其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值 由方程9x2+6ax﹣b2+4=0的△=36a2﹣36（﹣b2+4）≥0?a2+b2≥4 ∴方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根包含7个基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）． ∴此时方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根的概率为 （2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2 ∴构成“方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）． ∴此时所求概率为
【考点】几何概型
【解析】【分析】（1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答； （2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．
27.在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．
【答案】解：据题意知是几何概型 设取出两个数为x，y则所有的基本事件构成 所以S（Ω）=1 设“两数之和小于”为事件A则 A= 所以S（A）=1﹣ 所以P（A）=
【考点】几何概型
【解析】【分析】求出所以的基本事件构成的区域面积，求出事件A构成的区域面积，利用几何概型概率公式求出事件A的概率．
28.如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．
附表：
【答案】解：（I） （II）依题意所求概率为 ， ?
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】（I）X服从二项分布， EX=np;（II）有题意可得2425备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.?????????????????????????????B.??????????????C.?????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：记三角形区域面积为S1 ， 黑色部分面积为S2 ， AB=a,AC=b,BC=c.则c2=a2+b2, ∴S1= ab,S2= . 即S1=S2, 故答案为：A. 【分析】先求出三个部分的面积,再由几何概型概率公式求出概率,再比较大小.
2.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S= ， 则对应概率P= = ， 故选：B 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
3.（2016?全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 ?的近似值为(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知 ，∴ ，故选C 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
4.（2016?全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯， ∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ． 故选：B． 【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．；本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础．
5.（2016?全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设小明到达时间为y， 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故P= = ， 故选：B 【分析】.求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
二、填空题
6.（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：如图所示， 单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中， △AOB是边长为1的正三角形， 所以正六边形ABCDEF的面积为 S6=6× ×1×1×sin60°= ． 故答案为： ． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
7.（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
【答案】 ?
【考点】一元二次不等式的解法，几何概型
【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]， 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ， 故答案为： 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
8.（2016?山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为? ，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为 ．故答案为： ． 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．；本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题
9.（2016?山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：两次记录的数为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），共12个， 满足xy≤3，有（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共4个， ∴小亮获得玩具的概率为 = ； （2）解：满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4个，∴小亮获得水杯的概率为 = ； 小亮获得饮料的概率为1﹣ ﹣ = ， ∴小亮获得水杯与获得饮料的概率相等
【考点】几何概型
【解析】【分析】（1）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（2）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．；本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
