2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为 ，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 随机变量
离散型随机变量的分布列及性质
离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的 ．
离散型随机变量的分布列的性质
①pi 0(i＝1,2，…，n)；
② ＝1
常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
。
。
其中p＝P(X＝1)称为 ．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P

。
…
。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．离散型随机变量的特点
一是在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量，即存在统计规律性．
2．分布列的两条性质
离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误．
3.(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)若X是随机变量，则Y＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率，进而写出分布列．
4. (1)求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．
(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
5. (1)求解本题的关键在于：①从统计图表中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
小结
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．
3．求概率分布的常见类型
(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；
(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
备战练习·固基石
一、单选题
1.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为 ，则 的数学期望是（?? ）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?30?????????????????????????????????????????D.?40
2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 则 （??? ）
A.?0.7???????????????????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????????????C.?0.4???????????????????????????????????????D.?0.3
3.已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ， EX=1，则DX=（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：
?ξ
?p
?q
?P
?q
p
若E（ξ）= ．则p2+q2=（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
5.若离散型随机变量X的分布列如图，则常数c的值为（? ）
X
0
1
P
9c2﹣c
3﹣8c
A.?或 ????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
6.某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X）=8.9，则y的值为（?? ）
?X
?7
?8
?9
10
?P
?x
?0.1
?0.3
?y
A.?0.8???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.2
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则 的最小值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?4
8.若离散型随机变量的分布列为
X
0
1
P


则X的数学期望为（? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?2或0.5????????????????????????????????????????C.?0.5????????????????????????????????????????D.?1
9.从集合M={1，2，3，4}中任取三个元素组成三位数．记组成三位数的三个数字中偶数个数为ζ，则ζ的数学期望为（?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
10.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：
质量指标值分组
[10，30）
[30，50）
[50，70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计 这批产品的质量指标的方差为（?? ）
A.?140?????????????????????????????????????B.?142?????????????????????????????????????C.?143?????????????????????????????????????D.?134.8
11.若X是离散型随机变量， ，且x1＜x2 ， 又已知 ，DX=2，则x1+x2=（? ）
A.?或1???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（? ）
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
13.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地取3次，每次取1件，设取出的次品数为X，求EX=________．
14.王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1 ， L2 两条路线（如图），L1 路线上有 A1 ， A2 ， A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2 路线上有 B1 ， B2 两个路．各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．若走 L1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为________；若走 L2 路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为________．
15.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）=________；D（Y）=________．
16.口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．
17.已知随机变量η=3ξ+2，且Dξ=2，则Dη=________．
18.由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有________个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有________个（用数字作答）．
三、解答题
19.某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．
（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；
（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；
（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
20.某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为 ， ；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为 ， ， 且两人租用的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
21.随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.
（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数 （单位：人）与时间 （单位：年），列表如下： 依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明(计算结果精确到0.01).(若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式 ，参考数据 .
（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.方案一:每满600元可减100元；方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为 ?，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.??? v两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
22.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：
支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年
90
青年
120
合计
300
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中 .
（1）完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求 的分布列与数学期望.
23.一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3，6，8，9；蓝色卡片2张，编号分别为6，8，从盒子中任取3张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；
（Ⅱ）记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望．
24.某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示．
根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．
?分数
[50，85]
[85，110]
[110，150]
?可能被录取院校层次
?专科
?本科
?重本
（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
25.在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图： （Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．
26.某校在2 015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X，求X的分布列和期望．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）设0ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小????????????B.?D（ξ）增大????????????C.?D（ξ）先减小后增大????????????D.?D（ξ）先增大后减小
2.（2017?浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（??? ）
A.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????B.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????D.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
4.（2016?四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　________　 ．
三、解答题
5.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
6.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
7.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
8.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
9.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
10.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
11.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
13.（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.
14.（2016?全国）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
15.（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
离散型随机变量的分布列及性质
离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1
常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P


…

备战方法·巧解题
规律
方法
1．离散型随机变量的特点
一是在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量，即存在统计规律性．
2．分布列的两条性质
离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误．
3.(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)若X是随机变量，则Y＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率，进而写出分布列．
4. (1)求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．
(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
5. (1)求解本题的关键在于：①从统计图表中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
小结
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．
3．求概率分布的常见类型
(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；
(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
备战练习·固基石
一、单选题
1.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为 ，则 的数学期望是（?? ）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?30?????????????????????????????????????????D.?40
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为一次同时抛掷 枚质地均匀的硬币，恰好出现 枚正面向上的概率 ， ，所以 ，故答案为：B．【分析】变量服从二项分布,由公式求期望.
2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 则 （??? ）
A.?0.7???????????????????????????????????????B.?0.6???????????????????????????????????????C.?0.4???????????????????????????????????????D.?0.3
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得 可得1﹣2p＜0．即p ．因为DX=2.1，可得10p（1﹣p）=2.1，解得p=0.7或p=0.3（舍去）．故答案为：A．【分析】根据题意知该事件为二项分布，结合二项分布方差的计算方法（DX=10p(1-p)）,同时由第二个条件分别计算出各自概率，代入数据计算，即可得出答案。
3.已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ， EX=1，则DX=（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，因为E（X）=0×+p+2q=1①又p+q= ， ②由①②得，p= ， q= ， ∴D（X）=，故选：A．【分析】由设P（X=1）=p，P（X=2）=q，因为E（X）=1，可求得X=1，X=2的概率．并求得方差．
4.已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：
?ξ
?p
?q
?P
?q
p
若E（ξ）= ．则p2+q2=（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量ξ的分布列的性质得： ，∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ．故选：C．【分析】由随机变量ξ的分布列的性质列出方程组，能求出结果．
5.若离散型随机变量X的分布列如图，则常数c的值为（? ）
X
0
1
P
9c2﹣c
3﹣8c
A.?或 ????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由随机变量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c=1，∴c= ．故选C【分析】根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c的值．
6.某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X）=8.9，则y的值为（?? ）
?X
?7
?8
?9
10
?P
?x
?0.1
?0.3
?y
A.?0.8???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.2
【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：∵X的数学期望E（X）=8.9， ∴由射手射击所得环数X的分布列，得： ，解得x=0.2，y=0.4．故选：B．【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出y的值．
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则 的最小值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】基本不等式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得：3a+2b+0?c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1））， ∴ = = = ，当且仅当a=2b= 时取等号．故选：C．【分析】由题意可得：3a+2b+0?c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
8.若离散型随机变量的分布列为
X
0
1
P


则X的数学期望为（? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?2或0.5????????????????????????????????????????C.?0.5????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得： ，解得a=1，∴X的数学期望E（X）=0× = =0.5．故选：C．【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质先求出a=1，由此能求出X的数学期望．
9.从集合M={1，2，3，4}中任取三个元素组成三位数．记组成三位数的三个数字中偶数个数为ζ，则ζ的数学期望为（?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：ζ的取值为1，2， P（ζ=1）= = ，P（ζ=2）= = ，∴ζ的数学期望E（ζ）=1× +2×1= ，故答案选：C．【分析】由ζ的取值为1，2，分别求得P（ζ=1）= = 及P（ζ=2）= = ，由期望公式即可求得ζ的数学期望．
10.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：
质量指标值分组
[10，30）
[30，50）
[50，70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计 这批产品的质量指标的方差为（?? ）
A.?140?????????????????????????????????????B.?142?????????????????????????????????????C.?143?????????????????????????????????????D.?134.8
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，计算质量指标的样本平均数为： =20×0.1+40×0.6+60×0.3=44；所以质量指标的样本方差为S2=（44﹣20）2×0.1+（44﹣40）2×0.6+（44﹣60）2×0.3=134.8．故选：D．【分析】根据定义，计算质量指标的样本平均数 和方差S2 ．
11.若X是离散型随机变量， ，且x1＜x2 ， 又已知 ，DX=2，则x1+x2=（? ）
A.?或1???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意EX= ，DX= =2又∵x1＜x2 ， 解得x1=﹣ ，x2= ，∴x1+x2= 故选C．【分析】利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．
12.已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（? ）
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意和概率的性质得0.5+0.1+b=1，且Eξ=4×0.5+0.1a+9b=6.3，∴b=0.4，a=7，故选C．【分析】估计分布列中，所有的概率之和是1，得到关于b的方程，求出b的值，根据本组数据的期望值和分布列列出关于a，b的方程，代入b的值，求出a，得到结果．
二、填空题
13.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地取3次，每次取1件，设取出的次品数为X，求EX=________．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由已知得X=0，1，2，
P（X=0）= = ，
PX=1）= = ，
P（X=2）= = ，
∴EX= = ．
故答案为： ．
【分析】由已知得X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出EX．
14.王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1 ， L2 两条路线（如图），L1 路线上有 A1 ， A2 ， A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2 路线上有 B1 ， B2 两个路．各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．若走 L1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为________；若走 L2 路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为________．
【答案】；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：走L1路线最多遇到1次红灯的概率为 = ，依题意X的可能取值为0，1，2，则由题意P（X=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）= ，P（X=1）= = ，P（X=2）= ，∴EX= = ．故答案为： ， ．【分析】利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式和互斥事件概率计算公式能求出走L1路线最多遇到1次红灯的概率；依题意X的可能取值为0,1,2，分别求出相应的概率，由此能求出走L2 路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望。
15.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）=________；D（Y）=________．
【答案】5.8；23.2
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：E（X）=0+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.3=2.4． ∴E（Y）=2E（X）+1=5.8；D（Y）=22E（X）=23.2．故答案为：5.8，23.2．【分析】利用数学期望计算公式、方差的性质即可得出．
16.口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．
【答案】7
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：P（X=2）= = = ， 即7n2﹣55n+42=0，即（7n﹣6）（n﹣7）=0．因为n∈N* ， 所以n=7．故答案为：7．【分析】x=2 说明第一次取出的是红球，第二次取出的是白球，取球方法数为A31?An1 ， 所有的取球方法数An+32 ， 利用P（X=2）= ，建立方程求出n的值．
17.已知随机变量η=3ξ+2，且Dξ=2，则Dη=________．
【答案】18
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量η=3ξ+2，且Dξ=2， 则Dη=9Dξ=18．故答案为：18．【分析】直接利用公式D（aξ+b）=a2Dξ进行计算．
18.由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有________个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有________个（用数字作答）．
【答案】18；10
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有： =18．其中数字0，1相邻的四位数有： =10．故答案为：18，10．【分析】先排千位数，有 种排法，再排另外3个数，有 种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；数字0，1相邻，先把0，1捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，1相邻的四位数的个数．
三、解答题
19.某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．
（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；
（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；
（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设乙班共有学生x名，则 ，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，∴ =40． ∴用上述样本数据估计乙班优秀生的数量为40（2）解：至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生． ∴要求的概率P= = （3）解：由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为 ． 则ξ～B ，P（ξ=k）= ，可得P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= ，P（ξ=0）= ．
?ξ
?0
?1
?2
?P
?
?
?
∴Eξ= =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设乙班共有学生x名，则 ，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，即可得出．（2）至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生．利用互斥事件与相互独立事件、古典概率计算公式即可得出．（3）由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为 ． 则ξ～B ，P（ξ=k）= ，即可得出分布列与数学期望．
20.某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为 ， ；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为 ， ， 且两人租用的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）甲、乙所付费用可以为100、200元、300元
甲、乙两人所付费用都是100元的概率为P1=x=
甲、乙两人所付费用都是200元的概率为P1=x=
甲、乙两人所付费用都是300元的概率为P1=(1--)x(1--)=
故甲、乙两人所付费用相等的概率为P=P1+P2+P3=
（Ⅱ）随机变量ξ的取值可以为200，300，400，500，600
P（ξ=200）=x=
P（ξ=300）=xx=
P（ξ=400）=x+(1--)x+(1--)x=
P（ξ=500）=x(1--)+(1--)x=
P（ξ=600）=(1--)x(1--)=
故ξ的分布列为：
ξ
200
300
400
500
600
P
∴ξ的数学期望是Eξ=200x+300x+400x+500x+600x=350
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．
（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为200，300，400，500，600，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．
21.随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.
（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数 （单位：人）与时间 （单位：年），列表如下： 依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明(计算结果精确到0.01).(若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式 ，参考数据 .
（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.方案一:每满600元可减100元；方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为 ?，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.??? v两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
【答案】（1）解：由题知 ， ， ， ，∴ .∴ 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合（2）解：①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件 ，则 ，故所求概率为 .②若选择方案一，则需付款 元，若选择方案二，设付款 元，则 可能取值为700,800,900，1000. ； ； ； .∴ 元，∵ ，∴选择方案二更划算
【考点】两个变量的线性相关，可线性化的回归分析，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由相关系数公式求出相关系数 r=0.97 > 0.75 , 得到y 与 t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合;(2)①选择方案二比方案一更优惠,则需要至少中奖一次,由对立事件求出其概率;②若选择方案一，则需付款900 元,若选择方案二,设付款 X 元，则 X 可能取值为700,800,900，1000,求出各取值的概率,再求出期望值与900元对比,得到选择方案二更划算.
22.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：
支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年
90
青年
120
合计
300
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中 .
（1）完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：列联表补充如下
支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年
60
90
150
青年
120
30
150
合计
180
120
300
,
故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.
（2）解：把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以 的取值依次为0,1,2,3，且 服从二项分布
所以 的分布列为
0
1
2
3
【考点】独立性检验，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)结合题目所给信息，将该列联表完整，运用K2的计算公式，即可得出答案。（2）分别计算出X=0，1，2时对应的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。
23.一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3，6，8，9；蓝色卡片2张，编号分别为6，8，从盒子中任取3张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；
（Ⅱ）记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率：
p==．
（Ⅱ）由题意取到红色卡片的张数X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
?X
?1
?2
?3
?P
EX=1x+2x+3x=2．
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）取出的3张卡片中，利用互斥事件概率计算公式能求出含有编号为6的卡片的概率．
???????????? （Ⅱ）由题意取到红色卡片的张数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
24.某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示． 根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．
?分数
[50，85]
[85，110]
[110，150]
?可能被录取院校层次
?专科
?本科
?重本
（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知，样本容量 解得 （2）解：成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是 ，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为 记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；则 （3）解：成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人， 故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3所以， ， ， ， 故随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
随机变量ξ的数学期望
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可知，样本容量n= ，再根据频率分布直方图的性质即可得出x，y．（2）成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是 ，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为 ．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；进而得出P（E）=1﹣ 即可得出．（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人，可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布列即可得出．
25.在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图： （Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．
【答案】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为：87+89+90+91+93=450， 乙班前5位选手的总分为：82+85+92+91+93=443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，∴乙班总分超过甲班的概率P= = ．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ，P（ξ=4）= = ，∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】茎叶图，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为450，乙班前5位选手的总分为443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，即可得出乙班总分超过甲班的概率．（II）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式，进而得出分布列与数学期望．
26.某校在2 015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图，得： 成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）解：根据频率分布直方图得， 这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）= = = ，P（X=1）= = = ，P（X=2）= = = ，P（X=3）= = = ；所以X的分布列为：
X
0
1
2
7
P
数学期望值为EX=0× +1× +2× +3× =1.2．
【考点】频率分布直方图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，求出成绩在[120，130）的频率以及平均成绩；（2）根据题意，计算对应的概率值，求出X的分布列与数学期望值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）设0ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小????????????B.?D（ξ）增大????????????C.?D（ξ）先减小后增大????????????D.?D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ， ， ，∴ 先增后减,故答案为：D.【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
2.（2017?浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（??? ）
A.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????B.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????D.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2，…，0＜p1＜p2＜ ，∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1 ， E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2 ， D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1 ， E（ξ2）=p2 ， 从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
4.（2016?四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　________　 ．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（ ）2= ，∴在2次试验中成功次数X～B（2， ），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）= = ．故答案为： ．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2， ），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．；本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
三、解答题
5.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此 .令 ，得 .当 时， ；当 时， .所以 的最大值点为 .（2）解：由（1）知， .（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .所以 .（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由20件产品恰有2件不合格的产品,则其余18件产品合格,得到f(p)的表达式,由导数研究函数的单调性求出最值;(2)由题意得到X的可能取值为2,27,求出X=2和X=27时对应的概率,得到分布列,再求期望值;(3)由于对每一箱产品都检验时费用为400元,由(2)中期望值为依据,则费用为900元,由此作出决定.
6.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3:2:2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人（Ⅱ）（i）随机变量 取值可能为0.1.2.3 ∴随机变量x的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴x的数学期望为 （ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则 由①知 ， 则： 则事件A发生的概率为 .
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）分层抽样对应成比例;（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。
7.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）获得好评的电影部数为：140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2×510×0.1=372估计这部电影没有获得好评的概率为：1-=0.814.（Ⅲ）只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）根据表格数据，求出获得好评的电影部数，从而可以求出这部电影没有获得好评的概率；（3）增加电影部数多的，减少电影部数少的.
8.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为
?X
?0
?1
?2
?3
?4
?P
?
?
?
?
?
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
9.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）= =0.2，P（X=300）= ，P（X=500）= =0.4，∴X的分布列为：
?X
?200
?300
?500
?P
?0.2
?0.4
?0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y= ，EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
10.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
?????????????
???????????
?????????????
???????????
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）?P（Z=1）+P（Y=1）?P（Z=0）= × + × = ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
11.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）= = = ．证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）= （ ）= = ＜ = = ?（ ）= = ，∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，且 = =9.97，s= = ≈0.212，所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，所以9.22?（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，则剩下的数据估计μ= =10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
13.（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：设事件 ：选2人参加义工活动，次数之和为4? （2）随机变量 可能取值?? 0，1，2? ? ?
0
1
2
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【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX
14.（2016?全国）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
【答案】（1）解：由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（ ）2= ，P（X=17）= ，P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，P（X=19）= = ，P（X=20）= = ，P（X=21）= = ，P（X=22）= ，∴X的分布列为：
?X
?16
?17
?18
?19
?20
?21
?22
?P
（2）解：由（1）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）= ．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= ．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19（3）解：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= ．买19个所需费用期望：EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200×19+500×3）× =4040，买20个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，∵EX1＜EX2 ， ∴买19个更合适
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】离散型随机变量及其分布列.（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（3）由X的分布列得P（X≤19）= ．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2 ， 由此能求出买19个更合适.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
15.（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（1）解：“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P= ? + = + + = （2）解：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）= = ，P（X=1）=2×[ + ]= ，P（X=2）= + + + = ，P（X=3）=2× = ，P（X=4）=2×[ + ]= P（X=6）= = 故X的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = =
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．