2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3．能解决一些简单的实际问题.
条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)>0，
称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
。
(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ 。
事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．
独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝ ．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为 ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．
2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.
二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.
3.(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
4. (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
5. (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．
小结
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与(n－k)个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ??）
A.?0.960??????????????????????????????????B.?0.864??????????????????????????????????C.?0.720??????????????????????????????????D.?0.576
2.如果ξ～B （20，），则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（　　）
A.?5或6??????????????????????????????????B.?6或7??????????????????????????????????C.?7或8??????????????????????????????????D.?以上均错
3.已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（ ??）
A.?100，0.8?????????????????????????????B.?20，0.4?????????????????????????????C.?10，0.2?????????????????????????????D.?10，0.8
4.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.如果随机变量ξ～B(n ， p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于 (?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.? ?
6.某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（　　）
A.?ab﹣a﹣b+1????????????????????????????B.?1﹣a﹣b????????????????????????????C.?1﹣ab????????????????????????????D.?1﹣2ab
7.如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
8.两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是（　　）
A.?0.72????????????????????????????????????B.?0.85????????????????????????????????????C.?0.1????????????????????????????????????D.?不确定
9.如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（　　）
A.?1.6??????????????????????????????????????B.?3.2??????????????????????????????????????C.?6.4???????????????????????????????????????D.?12.8
11.设某批电子手表正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（?? ）
A.??????????????B.?????????????C.?????????????D.?
12.如果X～B（1，p），则D（X）（? ）
A.?有最大值 ??????????????????????B.?有最大值 ??????????????????????C.?有最小值 ??????????????????????D.?有最小值
二、填空题
13.向区间[0，1）内随机地任投一点，以事件A表示点落在子区间[0，）内，而事件B表示点落在子区间[ ， ）内，则事件A与事件B________?相互独立事件．（填“是”或“不是”）
14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1 ， 按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2 ， 对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3 ， 当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为 ， 则a1的取值范围是________?
15.某学生参加3门课程的考试．假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 ， ， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为________．
16.在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是________．
17.若A、B为两个独立事件，且P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，则P（B）=________?．
18.接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为 ， 现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________?
19.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=________．
20.（理科）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为 ，至少一项技术指标达标的概率为 ．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是________．
三、解答题
21.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率．
22.袋子里装有大小相同，重量相等的5个红球和5个白球，用A表示第一个摸出的球是红球，B表示第二个摸出的球是红球，在下列条件下，问事件A与B是否为相互独立事件？（1）第一个摸出的球不放回；（2）第一个摸出的球要放回．
23.一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？
24.一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同.
（1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率；
（2）采用放回抽样，每次随机取一球，连续取5次，求恰有两次取到红球的概率．
25.翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为 ， 赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0（0＜P0＜1），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为 ， 求P0的大小；（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？
26.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ． 假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．（结果须用分数作答）（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
二、解答题
2.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
3.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
4.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
5.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
6.（2017?新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
???????? 箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
? 新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2= ．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3．能解决一些简单的实际问题.
条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1
(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．
独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．
2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.
二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.
3.(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
4. (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
5. (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．
小结
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与(n－k)个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ??）
A.?0.960??????????????????????????????????B.?0.864??????????????????????????????????C.?0.720??????????????????????????????????D.?0.576
【答案】B
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（ ）P（ ）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；故答案为：B．【分析】问题相当于物理学中的并联串联电路，要想能正常工作，则k必须正常工作，A1、A2至少有一个正常工作才行。
2.如果ξ～B （20，），则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（　　）
A.?5或6??????????????????????????????????B.?6或7??????????????????????????????????C.?7或8??????????????????????????????????D.?以上均错
【答案】B
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：随机变量ξ～B（20，），∴当P（ξ=k）=（）20﹣k（1﹣）k=（）20?2k? ， 由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值，这和期望的意义接近．∵Eξ=20×= ， ∴k=6，或k=7都可能是极值，∵P（ξ=6）=P（ξ=7），∴p（ξ=k）取最大值时k的值是6或7．故选：B．【分析】随机变量ξ～B（20，），当P（ξ=k）的表达式，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ=20×= ， 知k=6，或k=7都可能是极值，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值．
3.已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（ ??）
A.?100，0.8?????????????????????????????B.?20，0.4?????????????????????????????C.?10，0.2?????????????????????????????D.?10，0.8
【答案】C
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由题意可得 解得p＝0.2，n＝10.故答案为：C.【分析】由二项分布的公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.
4.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是 （1﹣ ）+ （1﹣ ）= ，故选D．【分析】根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，这两种情况是互斥的，进而根据相互独立事件的概率公式计算可得其概率．
5.如果随机变量ξ～B(n ， p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于 (?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.? ?
【答案】C
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由题意可得： ?，解得： ?.
故答案为：C
【分析】根据题意，由二项分布的期望和方差公式Eξ=np，Dξ=np（1-p）解出p即可．本题考查二项分布的期望和方差公式.
6.某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（　　）
A.?ab﹣a﹣b+1????????????????????????????B.?1﹣a﹣b????????????????????????????C.?1﹣ab????????????????????????????D.?1﹣2ab
【答案】A
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，两道工序出正品的概率分别是1﹣a，1﹣b，又这两道工序出废品是彼此无关的，故产品的合格率为为（1﹣a）（1﹣b）=ab﹣a﹣b+1故选A【分析】由题意，只有两道工序都合格，才能产出合格品，且这两道工序出废品是彼此无关的，故先求出每道工序出产品合格的概率，再求它们的乘积即可．
7.如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
【答案】C
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：由题意，假设最可能击中目标的次数为k，则 ≥ 且 ≥ ，可得k=8， 故选C【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得 ≥ 且 ≥ ，即可得k的最大值．
8.两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是（　　）
A.?0.72????????????????????????????????????B.?0.85????????????????????????????????????C.?0.1????????????????????????????????????D.?不确定
【答案】A
【考点】相互独立事件
【解析】【解答】解：∵甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，∴甲、乙同时射中目标的概率是0.9×0.8=0.72．故选A．【分析】在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率为单独射中目标时的概率之积计算．
9.如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是（? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】小青蛙的跳动路线：第一次跳动后由3到1,2,4,5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5，依据相互独立事件同时发生的概率可知所求概率为故选C。【点评】若A，B是两个相互独立事件，则A,B同时发生的概率为
10.设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（　　）
A.?1.6??????????????????????????????????????B.?3.2??????????????????????????????????????C.?6.4???????????????????????????????????????D.?12.8
【答案】C
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：∵设随机变量X～B（10，0.8），∴DX=10×0.8（1﹣0.8）=1.6，∴D（2X+1）=22×1.6=6.4故选C．【分析】根据设随机变量X～B（10，0.8），看出变量符合二项分布，看出成功概率，根据二项分布的方差公式做出变量的方差，根据D（2X+1）=22DX，得到结果．
11.设某批电子手表正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（?? ）
A.????????????????B.???????????????C.?????????????D.?
【答案】C
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品． 故P（X=3）= = ，故选：C．【分析】根据X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果．
12.如果X～B（1，p），则D（X）（? ）
A.?有最大值 ??????????????????????B.?有最大值 ????????????????C.?有最小值 ??????????????????????D.?有最小值
【答案】B
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：∵随机变量X服从二项分布X～B（1，p）， ∴D（X）=p（1﹣p）≤ = ，当且仅当p=1﹣p，即p= 时，D（X）有最大值 ．故选：B．【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的方差公式，列出等式，利用基本不等式即可求出答案．
二、填空题
13.向区间[0，1）内随机地任投一点，以事件A表示点落在子区间[0，）内，而事件B表示点落在子区间[ ， ）内，则事件A与事件B________?相互独立事件．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【考点】相互独立事件
【解析】【解答】解：向区间[0，1）内随机地任投一点，以事件A表示点落在子区间[0，）内，而事件B表示点落在子区间[ ， ）内，∴事件A是否发生与B无关，同样事件B是否发生与A无关，∴事件A与事件B是相互独立事件．故答案为：是．【分析】事件A是否发生与B无关，同样事件B是否发生与A无关，由此得事件A与事件B是相互独立事件．
14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1 ， 按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2 ， 对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3 ， 当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为 ， 则a1的取值范围是________?
【答案】（﹣∞，12]∪[24，+∞）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，a3的结果有四种：
1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3 ，
2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3 ，
3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3 ，
4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3 ，
每一个结果出现的概率都是
∵a1+18＞a1 ， a1+6＞a1 ，
∴要使甲获胜的概率为 ， 即a3＞a1的概率为 ，
∴4a1﹣36＞a1 ， a1+18≤a1 ，
或4a1﹣36≤a1 ， a1+18＞a1 ，
解得a1≥24或a1≤12．
故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）
故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）
【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为 ， 可求a1的取值范围．
15.某学生参加3门课程的考试．假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 ， ， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为________．
【答案】
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：只有第一门合格的概率等于 （1﹣ ）（1﹣ ），
只有第二门合格的概率等于（1﹣ ）? （1﹣ ），
只有第三门合格的概率等于（1﹣ ）（1﹣ ）? ，
故该生只取得一门课程合格的概率为 （1﹣ ）（1﹣ ）+（1﹣ ）? （1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ）? = ．
故答案为： ．
【分析】分别求出只有第一门合格的概率、只有第二门合格的概率、只有第三门合格的概率，相加，即得所求．
16.在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是________．
【答案】0.768
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．故答案为：0.768．【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率．
17.若A、B为两个独立事件，且P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，则P（B）=________?．
【答案】0.5
【考点】相互独立事件
【解析】【解答】解：∵A、B为两个独立事件，P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A∩B）∴0.7=0.4+P（B）﹣0.4P（B）∴0.6P（B）=0.3∴P（B）=0.5故答案为：0.5．【分析】根据公式P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A∩B）和P（A∩B）=P（A）?P（B），即可求出P（B）．
18.接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为 ， 现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________?
【答案】
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：恰有一人出现发热反应的概率为故答案为： ． 【分析】由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式计算求得结果．
19.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=________．
【答案】0.03
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p， 每道工序产生废品相互独立，经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，∴由题意得：（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，解得p=0.03．故答案为：0.03．【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出p的值．
20.（理科）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为 ，至少一项技术指标达标的概率为 ．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是________．
【答案】
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2 ， 一个零件经过检测，为合格品的概率P；
由题意得： ，
解可得P1= ，P2= ，或P1= ，P2= ，
则P=P1×P2= ；
故答案为 ．
【分析】设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2 ， 根据题意，可得关于P1、P2 ， 的二元一次方程组，解可得P1、P2 ， 的值，由题意将P1、P2相乘可得答案．
三、解答题
21.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率．
【答案】（1）解：该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P1＝ ·（1－ ）· ·（1－ ）· ＝ （2）解：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合独立重复试验概率模型，故所求其概率为P2＝ ?（ ）3·（1－ ）2＝
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】(1)由于射击5次中只在第一、三、五次击中目标，第二、四次没有击中目标,又各次射击的结果互不影响,由独立重复实验概率公式求解;(2)恰有3次击中目标指的是5次有3次击中目标,由n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求解.
22.袋子里装有大小相同，重量相等的5个红球和5个白球，用A表示第一个摸出的球是红球，B表示第二个摸出的球是红球，在下列条件下，问事件A与B是否为相互独立事件？（1）第一个摸出的球不放回；（2）第一个摸出的球要放回．
【答案】解：相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两事件叫做相互独立事件．袋子里装有大小相同，重量相等的5个红球和5个白球，用A表示第一个摸出的球是红球，B表示第二个摸出的球是红球，（1）第一个摸出的球不放回，事件A发生影响事件B发生，故事件A与B不是相互独立事件；（2）第一个摸出的球要放回，事件A发生不影响事件B发生，故事件A与B是相互独立事件；
【考点】相互独立事件
【解析】【分析】相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
23.一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？
【答案】解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p==；（Ⅱ）若m=3，每次中奖的概率p=，∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为=；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）==3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），∴f′（p）=3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴p=时，f（p）取得最大值，即p==∴m=2，即m=2时，f（p）取得最大值．
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（Ⅰ）利用取出2球的颜色相同则为中奖，可得每次中奖的概率p==；（Ⅱ）m=3，每次中奖的概率p= ， 可得三次摸奖恰有一次中奖的概率为；（Ⅲ）求出三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）==3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），利用导数确定单调性，可得p=时，f（p）取得最大值，从而求出m的值．
24.一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同.
（1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率；
（2）采用放回抽样，每次随机取一球，连续取5次，求恰有两次取到红球的概率．
【答案】（1）解：记“第i次取到红球”为Ai（i=1，2）， 则先后取一球，恰好摸到一个红球和一个白球可表示为 + ，其概率为P（ + ）=P（ ）+P（ ）= ，∴恰好取到1个红球，1个白球的概率为 （2）解：采用放回抽样，每次取到红球的概率 ． 连续取5次，可看作5次独立重复试验， ∴恰有两次取到红球的概率为
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记“第i次取到红球”为Ai（i=1，2），则先后取一球，恰好摸到一个红球和一个白球可表示为 + ，由此能求出恰好取到1个红球，1个白球的概率．（2）采用放回抽样，每次取到红球的概率 ，连续取5次，可看作5次独立重复试验，由此能求出恰有两次取到红球的概率．
25.翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为 ， 赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0（0＜P0＜1），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为 ， 求P0的大小；（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？
【答案】解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为，收藏者李先生赌中的概率为P0 ， 且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”．因为P(X=50)=，所以P(A)=1-P(X=50)=1-=，求得．（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为X1 ， 都选择规则乙赌中的次数为X2 ， 则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为E（20X1），选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为E（30X1）．由已知可得，X1~B(20,)，X2～B（20，P0），所以E(X1)=，E（X2）=2P0 ， 从而E(20X1)=20E(X1)=20=，E（30X2）=30E（X2）=60P0 ． ?若E（20X1）＞E（30X1），则，解得；若E（20X1）＜E（30X1），则，解得；若E（20X1）=E（30X1），则，解得．综上所述，当时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等．
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】第（1）问是理解对立事件及其概率的计算，即若“2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”；第（2）问是考查离散型随机变量的期望值，通过对期望值的计算，比较期望值的大小得到求解问题的决策．
26.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和 ． 假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．（结果须用分数作答）（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
【答案】解：（1）记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1 ， 由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故 ．（2）记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2 ， “乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2 ， 则，．由于甲、乙射击相互独立，故? ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）先由条件利用互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得三次全都击中目标的概率，再用1减去此概率，即得所求．（2）分别求出“甲射击2次，恰有2次击中目标”的概率、“乙射击2次，恰有1次击中目标”的概率，再把这两个概率相乘，即得所求．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
二、解答题
2.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，且 = =9.97，s= = ≈0.212，所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，所以9.22?（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，则剩下的数据估计μ= =10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
3.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）设时间B为“恰有一部获的好评” （Ⅲ） ∴
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）相互独立事件，恰有一个发生概率，分类讨论是哪一部好评，（3）由方差定义直接写.
4.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
?????????????
???????????
?????????????
???????????
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）?P（Z=1）+P（Y=1）?P（Z=0）= × + × = ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
5.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）= = = ．证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）= （ ）= = ＜ = = ?（ ）= = ，∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
6.（2017?新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
???????? 箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
? 新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2= ．
【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：
?箱产量＜50kg
? 箱产量≥50kg
?总计
?旧养殖法
?62
?38
?100
?新养殖法
?34
?66
?100
?总计
?96
?104
?200
则K2= ≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一： =5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．