2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第9章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)均值：
称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的 ．
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ ．(a，b为常数)
两点分布与二项分布的均值、方差
均值
方差
变量X服从两点分布
E(X)＝ 。
D(X)＝ 。
X～B(n，p)
E(X)＝ 。
D(X)＝ 。
正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线 对称，在x＝μ处达到峰值 。.
(2)正态总体三个基本概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．
(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．
2．方差的意义
D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.
3.求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．
4. 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．
5. (1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列．
(2)随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．
6. (1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x＝2对称．
(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
小结
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.　
备战练习·固基石
一、单选题
1.袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是???????（?）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.设两个正态分布N(μ1 ， )(σ1＞0)和N(μ2 ， )(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（?? ）
A.?μ1＜μ2 ， σ1＜σ2????????B.?μ1＜μ2 ， σ1＞σ2????????C.?μ1＞μ2 ， σ1＜σ2????????D.?μ1＞μ2 ， σ1＞σ2
3.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p ， 则P(－1<ξ<0)等于（?? ）
A.????????????????????????????????????B.? －p???????????????????????????????????C.?1－2p???????????????????????????????????D.?1－p
4.已知X的分布列为（?? ）
X
－1
0????
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为
A.?? ?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?－1?????????????????????????????????????????D.?1
5.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为（　　）
A.?5????????????????????????????????????????B.?5.25????????????????????????????????????????C.?5.8????????????????????????????????????????D.?4.6
7.已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＞8）=0.4，则P（ξ＜0）=（　　）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
8.已知 三地在同一水平面内， 地在 地正东方向 处， 地在 地正北方向 处，某测绘队员在 、 之间的直线公路上任选一点 作为测绘点，用测绘仪进行测绘， 地为一磁场，在其不超过 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（? ?）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.某班班会对新出台的三项规章制度A、B、C进行全班表决同意与否．同意A的占 ， 同意B的仅差一票不足 ， 同意B的与同意C的人数相同，同意B不同意AC的人数与同意C不同意AB的人数及同意BC不同意A的人数相同，同意AB不同意C的人数与同意AC不同意B的人数相同，对ABC都同意的与对ABC都不同意的人数相同并且各占 ， 由上述条件推测该班至少有（　　）
A.?60人???????????????????????????????????B.?40人???????????????????????????????????C.?20人???????????????????????????????????D.?120人
10.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为?（?????）
A.???????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sincos+cosx≥”发生的概率为（　　）
A.? ?????B.? ?C.? ???????D.?
12.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（???）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
13.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(?? )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
14.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
15.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　）
A.??????????????????????????????????????B.?1-?????????????????????????????????????C.?1-?????????????????????????????????????D.?1-
16.同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”则P（B|A）为（　　）
A.? ? ?B.? ????C.? ??D.?
二、填空题
17.任取两个小于1的正数x、y ， 若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．
18.已知随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
2
P
??
??
??
则Eξ=________，Dξ=________．
19.气象台统计, 6月1日泰州市下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ,设 为下雨, 为刮风,则 ________．
20.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________
21.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
22.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________
三、解答题
23.某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），随即按如下所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖． （Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收入（含门票）的期望．
24.某中学教职工春季竞走比赛在校田径场隆重举行，为了解高三年级男、女两组教师的比赛用时情况，体育组教师从两组教师的比赛成绩中，分别各抽取9名教师的成绩（单位：分钟），制作成下面的茎叶图，但是女子组的数据中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示，规定：比赛用时不超过19分钟时，成绩为优秀．
（1）若男、女两组比赛用时的平均值相同，求a的值；
（2）求女子组的平均用时高于男子组平均用时的概率；
25.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ． 并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
26.从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．
分组（米）
频数
频率
[3.0，5.0）
0.10
[5.0，7.0）
0.10
[7.0，9.0）
0.10
[9.0，11.0）
0.20
[11.0，13.0）
0.40
[13.0，15.0）
10
合计
1.00
（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．
27.一个盒子里装有标号为1，2，3，…，5的5张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X为两张标签上的数字之和．
（1）求X的分布列．
（2）求X的期望E（X）和方差D（X）．
28.若X～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服X～N（90，100）．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在（100，120）之间的考生约有多少人；（Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？
29.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
30.（2015·北京卷）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（?? ）
A.?新农村建设后，种植收入减少???????????????????????????
??B.?新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.?新农村建设后，养殖收入增加了一倍??????
??D.?新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
2.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是
A.?新农村建设后,种植收入减少????????????????????????????????
B.?新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.?新农村建设后,养殖收入增加了一倍?????????????????????
D.?新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.（2018?浙江）设0ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小????????????B.?D（ξ）增大????????????C.?D（ξ）先减小后增大????????????D.?D（ξ）先增大后减小
5.（2017?浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（??? ）
A.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????B.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????D.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
6.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.（2016?全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 ?的近似值为(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.（2016?全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.（2016?全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
10.（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
11.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
12.（2016?山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________．
13.（2016?四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　________　 ．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
15.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
16.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
17.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
18.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
20.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
21.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
22.（2016?山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
23.（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.
24.（2016?全国）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
25.（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第9章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)均值：
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
两点分布与二项分布的均值、方差
均值
方差
变量X服从两点分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p)
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)
正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x＝μ处达到峰值.
(2)正态总体三个基本概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
备战方法·巧解题
规律
方法
(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．
(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．
2．方差的意义
D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.
3.求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．
4. 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．
5. (1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列．
(2)随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．
6. (1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x＝2对称．
(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
小结
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.　
备战练习·固基石
一、单选题
1.袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是???????（?）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P（A)=， P（AB)=， 所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)=。故选C。
2.设两个正态分布N(μ1 ， )(σ1＞0)和N(μ2 ， )(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（?? ）
A.?μ1＜μ2 ， σ1＜σ2????????B.?μ1＜μ2 ， σ1＞σ2????????C.?μ1＞μ2 ， σ1＜σ2????????D.?μ1＞μ2 ， σ1＞σ2
【答案】A
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2 ， σ1＜σ2.故答案为：A.【分析】结合正态分布曲线的意义，即可得出答案。
3.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p ， 则P(－1<ξ<0)等于（?? ）
A.????????????????????????????????????B.? －p???????????????????????????????????C.?1－2p???????????????????????????????????D.?1－p
【答案】B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态分布正态分布的对称性可得 ，故选B.
【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（-1＜ξ＜0）．
4.已知X的分布列为（?? ）
X
－1
0????
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为
A.?? ?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?－1?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1× +0× +1× =﹣ ， ∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣ ）+3= ?．故答案为：A．【分析】计算出E(X).然后利用，即可得出答案。
5.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【分析】路口红绿灯设置共75秒，其中红灯时间为30秒，故当某人到达路口时看见的是红灯的概率是.故选B。
6.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为（　　）
A.?5????????????????????????????????????????B.?5.25????????????????????????????????????????C.?5.8????????????????????????????????????????D.?4.6
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知，X可以取3、4、5、6，P（X=3）=P（X=4）=P（X=5）=P（X=6）=∴EX=3×+4×+5×+6×=5.25．故选B．【分析】根据题意可知，，X可以取3、4、5、6，根据古典概型概率计算公式求得P（X=3）、P（X=4）、P（X=5）、P（X=6），利用期望的计算公式即可求得X的均值．
7.已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＞8）=0.4，则P（ξ＜0）=（　　）
A.?0.3???????????????????????????????????????B.?0.4???????????????????????????????????????C.?0.6???????????????????????????????????????D.?0.7
【答案】B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），∴曲线关于x=4对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞8）=0.4，故选B．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），得到曲线关于x=4对称，根据曲线的对称性得到小于0的概率和大于8的概率是相等的，从而得到所求．
8.已知 三地在同一水平面内， 地在 地正东方向 处， 地在 地正北方向 处，某测绘队员在 、 之间的直线公路上任选一点 作为测绘点，用测绘仪进行测绘， 地为一磁场，在其不超过 的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（? ?）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】如图,当点设在线段PQ上测绘结果不准确,由于 ,因此 ,由于 ,所以 ,因此测绘时得到不准确数据的概率为 ,所以测绘时得到准确数据的概率为 , 故答案为：A.【分析】利用直线与圆相交及解三角形求出MN和AB的长，再利用几何概型求出结果即可。
9.某班班会对新出台的三项规章制度A、B、C进行全班表决同意与否．同意A的占 ， 同意B的仅差一票不足 ， 同意B的与同意C的人数相同，同意B不同意AC的人数与同意C不同意AB的人数及同意BC不同意A的人数相同，同意AB不同意C的人数与同意AC不同意B的人数相同，对ABC都同意的与对ABC都不同意的人数相同并且各占 ， 由上述条件推测该班至少有（　　）
A.?60人???????????????????????????????????B.?40人???????????????????????????????????C.?20人???????????????????????????????????D.?120人
【答案】A
【考点】概率的应用
【解析】【解答】解：设总人数为x人，则由题意∵同意A的占 ， ∴x为20的倍数，∵不同意ABC的人占 ， ∴同意B或C的人数为（x﹣x﹣），即 ． ∵同意B不同意AC的人数与同意C不同意AB的人数及同意BC不同意A的人数相同，∴同意B不同意AC的人数为 ， ∴x为6的倍数．综上所述：x既为20的倍数又为6的倍数，则x至少为60．∴该班人数至少有60人．故选A．【分析】利用同意A的占 ， 可得总人数为20的倍数，利用同意B不同意AC的人数与同意C不同意AB的人数及同意BC不同意A的人数相同，可得总人数为6的倍数，由此可得结论．
10.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为?（?????）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：已知如图所示： 长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆)面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==故选B．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P= 求解．
11.在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sincos+cosx≥”发生的概率为（　　）
A.? ?????B.? ????C.? ???D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】∵2sincos+cosx≥”
即sinx+cosx≥ ，
即sin（x+）≥ ，
∴sin（x+）≥ ，
又∵x∈[0，π]，∴x+∈[ ， ]，
∴在区间[ ， ]内，满足sin（x+）≥时，
x+∈[ ， ]，
∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥时，
∴事件“2sincos+cosx≥”发生的概率为
P=
故选：B．
【分析】先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．
12.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（???）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【分析】直线OB对应的函数是， 则阴影部分的面积为， 则所求的概率为。故选B。【点评】几何概型的概率是常考点。求几何概型的概率，只要求出事件占总的比例即可。
13.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(?? )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.
因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，
所以a=7.
故答案为：C.
【分析】先根据分布列的性质求出b，再利用求期望的公式求出a即可.
14.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1= = ，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P= = ，根据条件概率公式，得：P2= = ，故选：D．【分析】事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．
15.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　）
A.??????????????????????????????????????B.?1-?????????????????????????????????????C.?1-?????????????????????????????????????D.?1-
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】三角形ABC的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣故选D【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率。
16.同时抛掷三颗骰子一次，设A=“三个点数都不相同”，B=“至少有一个6点”则P（B|A）为（　　）
A.? ??B.? ??????C.? ????D.?
【答案】A
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：∵P（B|A）=，
同时抛掷三颗骰子一次，每颗骰子出现的点数有6种情况，
三颗骰子出现的点数组合有63种情况．
三个点数都不相同且至少有一个6点，则三颗骰子中只有一个6点，共×5×4=60种，
∴P（AB）=
∵A=“三个点数都不相同”，共有6×5×4=120种，
∴P（A）= ，
∴P（B|A）=
故选A．
【分析】本题要求条件概率，根据P（B|A）=， 需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．
二、填空题
17.任取两个小于1的正数x、y ， 若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：
.
这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：
，对应的区域如图，
由圆面积的 为 ，
直线和区域围成的三角形面积是 ，
则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率 ．
故答案为： ．
【分析】应用三角形三边关系，绘制出构成三角形三边长的可行域，然后绘制出构成钝角三角形的可行域，利用几何概型计算出概率，即可得出答案。
18.已知随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
2
P
??
??
??
则Eξ=________，Dξ=________．
【答案】1；
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由随机变量ξ的概率分布列，知：Eξ= =1，Dξ=（0﹣1）2× +（1﹣1）2× +（2﹣1）2× = ．故答案为：1， ．【分析】利用随机变量ξ的概率分布列的性质能求出Eξ和Dξ．
19.气象台统计, 6月1日泰州市下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ,设 为下雨, 为刮风,则 ________．
【答案】
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由条件得 ，
∴ ．
【分析】先由已知求出P(A)和P(AB)，再根据条件概率的定义求出P(B|A?)即可.
20.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】假设小张是 后的 分钟到校，小王是 后的 分钟到校，则两人到校应满足 ，它是一个平面区域，对应的面积为 .设随机事件 为“小张比小王至少早5分钟到校”，则两人到校时间应满足 ，对应的平面区域如图下图阴影部分所示，其面积为 ，故所求概率为 ，故填 . 【分析】假设小张是 7 : 30 后的 x 分钟到校，小王是 7 : 30 后的 y 分钟到校，（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|x-y≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
21.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
【答案】1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望是1.
【分析】正态总体的数据落在关于对称轴:x=数学期望对称的两个区间里的概率相等.
22.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．
三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形
即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，
阴影部分的面积 ?，
所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为 ．
【分析】结合题意，构造不等式，绘制可行域，结合几何概型，计算概率，即可得出答案。
三、解答题
23.某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），随即按如下所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖． （Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收入（含门票）的期望．
【答案】解：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（3，1），（3，3）共2个，∴ ．（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为﹣100，900，9900. ， ， ．∴ξ的分布列为
ξ
﹣100
900
9900
P
∴
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，列出所有的基本事件共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A，求出事件A所包含的基本事件2个，利用古典概型求出概率即可．（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为﹣100，900，9900．求出概率，列出分布列，然后利用期望公式求解即可．
24.某中学教职工春季竞走比赛在校田径场隆重举行，为了解高三年级男、女两组教师的比赛用时情况，体育组教师从两组教师的比赛成绩中，分别各抽取9名教师的成绩（单位：分钟），制作成下面的茎叶图，但是女子组的数据中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示，规定：比赛用时不超过19分钟时，成绩为优秀．
（1）若男、女两组比赛用时的平均值相同，求a的值；
（2）求女子组的平均用时高于男子组平均用时的概率；
【答案】解：（1）依题意，得：
(18+15+16+19+13+21+25+20+23)=(18+16+15+19+19+13+26+21+20+a），
解得 a=3．
（2）设“女子组的平均用时超过男子组平均用时”为事件A，
依题意a=0，1，2，…9，共有10种可能，
由（1）可知，当a=3时男女两组平均用时相同，
所以当a=4时女子组的平均用时超过男子组平均用时，共有6种可能，
所以女子组的平均用时超过男子组平均用时的概率为，
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意，得(18+15+16+19+13+21+25+20+23)=(18+16+15+19+19+13+26+21+20+a），由此能求出a的值．
??????????? （2）设“女子组的平均用时超过男子组平均用时”为事件A，依题意a=0，1，2，…9，共有10种可能，由此能求出女子组的平均用时超过男子组平均用时的概率．
25.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ． 并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
【答案】解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球个数为x，则P（A）=1﹣=，
解得x=5，∴白球个数是5个．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）===，
P（ξ=1）===，
P（ξ=2）===
P（ξ=3）===，
∴ξ的分布列为：
?ξ
?0
?1
?2
?3
?P
Eξ=x0+x2+x3=．
证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，
由题意，得y=n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴，
记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P（B）=，
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于n，黑球个数少于n，
故袋中红球个数最少．
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）设袋中白球个数为x，由对立事件概率计算公式得：1﹣= ， 由此能求出白球个数．
????????????? （ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ
???????????? （Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y=n，从而2y＜n，2y≤n﹣1，进而 ， 由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ． 并得到袋中哪种颜色的球个数最少。
26.从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．
分组（米）
频数
频率
[3.0，5.0）
0.10
[5.0，7.0）
0.10
[7.0，9.0）
0.10
[9.0，11.0）
0.20
[11.0，13.0）
0.40
[13.0，15.0）
10
合计
1.00
（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，∵第6小组的频数为10，∴总人数为 =100（人）．∴第5、6组的学生均为“优秀生”，人数为（0.40+0.10）×100=50（人）．即“优秀生”的人数为50． …（Ⅱ） 根据分层抽样，在各组抽取的人数分别1人，1人，1人，2人，4人，1人．其中成绩不低于13.0米的有1人．设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，则P（A）= = ．∴选出的2名男生的成绩中至少有1名男生的成绩不低于13.0米的概率为 ．…（Ⅲ）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为 ．由题意知X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ．所求分布列为：
X
0
1
2
3
P
?????
?????
?????
?????
∴EX= = ．…
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】1、由题意可得第6小组的频率为1﹣（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，第5、6组的学生均为“优秀生”，人数为（0.40+0.10）×100=50（人）．即“优秀生”的人数为50． …??????????? 2、本题考查的是"至少"的概率问题设事件A为“至少1名男生成绩不低于13.0米”，则P（A）= = ．∴选出的2名男生的成绩中至少有1名男生的成绩不低于13.0米的概率为 ??????????? 3、由题意知X的可能取值为0，1，2，3．???????? P（X=0）= ，???????? P（X=1）= ，???????? P（X=2）= = ，???????? P（X=3）= = ．列表可得X的分布列，期望值由公式可得。
27.一个盒子里装有标号为1，2，3，…，5的5张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X为两张标签上的数字之和．
（1）求X的分布列．
（2）求X的期望E（X）和方差D（X）．
【答案】解　（1）由题意知X的值可以是3，4，5，6，7，8，9．
P（X=3）==，
P（X=4）==，
P（X=5）==，
P（X=6）==，
P（X=7）==，
P（X=8）==，
P（X=9）==，
∴X的分布列为
X
3
4
5
6
7
8
9
P
（2）由X的分布列，得：
E（X）=3x+4+5x+6x+7x+8×+9x=6，
D（X）=（3﹣6）2×+（3﹣6）2×+（4﹣6）2×+（5﹣6）2×+（6﹣6）2×+（7﹣6）2×+（8﹣6）2×+（9﹣6）2×=3．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】由题意知X的值可以是3，4，5，6，7，8，9．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列期望EX和方差DX．
28.若X～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服X～N（90，100）．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在（100，120）之间的考生约有多少人；（Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？
【答案】解：（Ⅰ）∵考生的数学成绩服X～N（90，100）．∴P（80＜X≤100）=0.6826P（60＜X≤120）=0.9974∴P（100＜X≤120）=0.1574∴数学分数在（100，120）之间的考生约有0.1574×5000=787人；（Ⅱ）注意到114人占5000的比例为2.2%，所以录取分数线应该在110．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（I）根据考生的数学成绩服X～N（90，100）得到P（80＜X≤100）=0.6826，P（60＜X≤120）=0.9974，把两个概率的表示式进行整理得到P（100＜X≤120）=0.1574，用概率乘以总体数得到结果．（II）注意到114人占5000的比例为2.2%，根据所给的三个概率的范围得到所以录取分数线应该在110．
29.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【答案】（1）解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件（2）解：由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】判断两个事件A、B是否相互独立，可以看A的发生对事件B发生的概率是否有影响，也可根据独立事件的定义：P（AB）=P（A）P（B）来判断．
30.（2015·北京卷）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】（I）0.2；（II）0.3；（III）同时购买丙的可能性最大.
【考点】概率的应用
【解析】【解答】（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为。（II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为。（III）与（I）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。【分析】本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分体问题解决问题的能力、转化能力、计算能力。（I）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；（II）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；（III）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的 人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，在通过比较大小得出结论。解题时一定要抓住重要字眼“估计”和“最大”，否则很容易失分．解此类统计表的试题一定要理解透彻题意，提取必要的信息．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（?? ）
A.?新农村建设后，种植收入减少?????????????????????????????
B.?新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.?新农村建设后，养殖收入增加了一倍??????????????????
D.?新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【考点】概率的应用
【解析】【解答】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a 37%>a 60%,∴种植收入增加，则A错。故答案为：A【分析】设建设前的经济收入为1,则建设后的经济收入为2,由建设前后的经济收入饼图对比,对各选项分析得到正确答案.
2.（2018?卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ,则（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：记三角形区域面积为S1 ， 黑色部分面积为S2 ， AB=a,AC=b,BC=c.则c2=a2+b2,∴S1= ab,S2= .即S1=S2,故答案为：A.【分析】先求出三个部分的面积,再由几何概型概率公式求出概率,再比较大小.
3.（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是
A.?新农村建设后,种植收入减少????????????????????????????????
B.?新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.?新农村建设后,养殖收入增加了一倍?????????????????????
D.?新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【考点】概率的应用
【解析】【解答】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a 37%>a 60%,∴种植收入增加，则A错。故答案为：A【分析】设建设前的经济收入为1,则建设后的经济收入为2,由建设前后的经济收入饼图对比,对各选项分析得到正确答案.
4.（2018?浙江）设0ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ??）
A.?D（ξ）减小????????????B.?D（ξ）增大????????????C.?D（ξ）先减小后增大????????????D.?D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ， ， ，∴ 先增后减,故答案为：D.【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
5.（2017?浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（??? ）
A.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????B.?E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）?????????????D.?E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2，…，0＜p1＜p2＜ ，∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1 ， E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2 ， D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1 ， E（ξ2）=p2 ， 从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
6.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S= ，则对应概率P= = ，故选：B【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
7.（2016?全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 ?的近似值为(? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知 ，∴ ，故选C【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
8.（2016?全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．故选：B．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．；本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础．
9.（2016?全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P= = ，故选：B【分析】.求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
二、填空题
10.（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
【答案】?
【考点】一元二次不等式的解法，几何概型
【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，故答案为： 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
11.（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
12.（2016?山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为? ，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为 ．故答案为： ．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．；本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
13.（2016?四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　________　 ．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（ ）2= ，∴在2次试验中成功次数X～B（2， ），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）= = ．故答案为： ．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2， ），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．；本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ）,且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此 .令 ，得 .当 时， ；当 时， .所以 的最大值点为 .（2）解：由（1）知， .（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .所以 .（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由20件产品恰有2件不合格的产品,则其余18件产品合格,得到f(p)的表达式,由导数研究函数的单调性求出最值;(2)由题意得到X的可能取值为2,27,求出X=2和X=27时对应的概率,得到分布列,再求期望值;(3)由于对每一箱产品都检验时费用为400元,由(2)中期望值为依据,则费用为900元,由此作出决定.
15.（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3:2:2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人（Ⅱ）（i）随机变量 取值可能为0.1.2.3 ∴随机变量x的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴x的数学期望为 （ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则 由①知 ， 则： 则事件A发生的概率为 .
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）分层抽样对应成比例;（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。
16.（2018?北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）,写出方差 的大小关系。
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）设时间B为“恰有一部获的好评” （Ⅲ） ∴
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）相互独立事件，恰有一个发生概率，分类讨论是哪一部好评，（3）由方差定义直接写.
17.（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为
?X
?0
?1
?2
?3
?4
?P
?
?
?
?
?
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
18.（2017?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）= =0.2，P（X=300）= ，P（X=500）= =0.4，∴X的分布列为：
?X
?200
?300
?500
?P
?0.2
?0.4
?0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y= ，EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
19.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
?????????????
???????????
?????????????
???????????
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）?P（Z=1）+P（Y=1）?P（Z=0）= × + × = ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
20.（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）= = = ．证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）= （ ）= = ＜ = = ?（ ）= = ，∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
21.（2017?新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，且 = =9.97，s= = ≈0.212，所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，所以9.22?（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，则剩下的数据估计μ= =10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
22.（2016?山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：两次记录的数为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），共12个，满足xy≤3，有（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共4个，∴小亮获得玩具的概率为 = ；（2）解：满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4个，∴小亮获得水杯的概率为 = ；小亮获得饮料的概率为1﹣ ﹣ = ，∴小亮获得水杯与获得饮料的概率相等
【考点】几何概型
【解析】【分析】（1）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（2）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．；本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
23.（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：设事件 ：选2人参加义工活动，次数之和为4? （2）随机变量 可能取值?? 0，1，2? ? ?
0
1
2
??????
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX
24.（2016?全国）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
【答案】（1）解：由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（ ）2= ，P（X=17）= ，P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，P（X=19）= = ，P（X=20）= = ，P（X=21）= = ，P（X=22）= ，∴X的分布列为：
?X
?16
?17
?18
?19
?20
?21
?22
?P
（2）解：由（1）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）= ．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= ．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19（3）解：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= ．买19个所需费用期望：EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200×19+500×3）× =4040，买20个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，∵EX1＜EX2 ， ∴买19个更合适
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】离散型随机变量及其分布列.（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（3）由X的分布列得P（X≤19）= ．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2 ， 由此能求出买19个更合适.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
25.（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（1）解：“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P= ? + = + + = （2）解：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）= = ，P（X=1）=2×[ + ]= ，P（X=2）= + + + = ，P（X=3）=2× = ，P（X=4）=2×[ + ]= P（X=6）= = 故X的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = =
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．