上海市宝山区2019届高三上学期期末教学质量监测数学试题

宝山区2018-2019学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120分钟，150分）
考生注意：
1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
3．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期为 .
2．集合，集合，则 .
3．若复数满足（是虚数单位），则 .
4．方程的根为 ．
5．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一名代表，则各班的代表数有______种不同的选法.（用数字作答）
6．关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则 ．
7．如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比 ．
8．函数与的图像关于直线对称，则 ．
9．已知，，则 ．
10．将函数的图像绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是 ．
11．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，求边。显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解.那么，的可能取值是 .（只需填写一个适合的答案）
12．如果等差数列的公差都为，若满足对于任意都有，其中为常数，，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则 .
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则（ ）
（A）． （B）． （C）． （D）．
14．“”是“”的（ ）条件．
（A）充分非必要． （B）必要非充分． （C）充要． （D）既非充分又非必要．
15．关于函数的下列判断，其中正确的是（ ）
（A）函数的图像是轴对称图形． （B）函数的图像是中心对称图形．
（C）函数有最大值． （D）当时，是减函数．
16．设点、均在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
（A）． （B）4 ． （C） ． （D）以上都不对．

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，设为侧棱的中点．
（1）求正四棱锥的体积；
2）求直线与平面所成角的大小．





18．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．
已知函数，将的图像向左移个单位得函数的图像．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，的一条对称轴为，求，的值域．









19．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：度)与时间(单位：小时，)近似地满足函数关系，其中，为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到）；
（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
















20．（满分16分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知椭圆：的左、右焦点为．
（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；
（3）设，若椭圆上存在两个不同点满足，证明直线过定点，并求该定点的坐标.








21．（满分18分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分．
如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”．若数列满足，，．
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”。已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由．


高三数学参考答案
2018/12/15
一、填空题
1． 2． 3． 4．0 5． 20 6．
7． 8． 9．或； 10． 11． 12．
二、选择题
13． D 14． B 15． A 16．B
三、解答题
17．解：（1）因为正方形的边长为2，所以，…………2分
， …………………………………4分
因为为侧棱的中点，所以.…………………………………………………6分
（2）建立空间直角坐标系，，
如图所示：，，……8分
……………9分
设平面的一条法向量为
，
令，则，……………………………………………………11分
故， ……………………………………………13分
所以，直线与平面所成角大小.……………………14分
18．解：（1）……………………………3分

，，…………………………………5分
令，……………………………6分
解得，
所以的单调递增区间是。………7分
（2）若的一条对称轴，
则，……………………………………………8分
解得，
因为，所以．…………………………………………10分
，
因为，所以，……………………………12分
因而，即值域为.……………………14分

19．解：（1），，，
当时，是减函数， ………………………………………2分
当时，是增函数，………………………………………4分
所以，，
因而，大棚一天中保温时段的最低温度是.………………………………6分
（2）由题意，所以，…………8分
令，
只需求的最大值，……………………………………………………………10分
当时，递增，，…………………………………11分
当时，，即，，……………12分
故，，
所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为256个单位. …………………14分
20．解：（1）因为，所以，，…………2分
所以抛物线的标准方程是.…………………………………………4分
（2）设，由椭圆性质得，
又，所以在中，
，……………………6分
化简得：，…………………………8分
又，……………………………9分
所以：.………………………………………………………………10分
（3）设，由题可知必存在，
，……………………………11分
设,得，
即（*）……13分
由于代入（*）式得，………………………15分
解得（舍）或，所以定点为.…………………………………16分

21．解：（1）由得，……………………2分
作差得，………………………………………………………3分
即数列是“间等差数列”，间公差.…………………………………4分
（2）由（1）得分别以为首项，公差为2的等差数列，
因此，
所以，……………………………………6分
又，所以，
当为偶数时，，
当时，最小值为.……………………………7分
当为奇数，
，…………8分
当时，最小值为，因为的最小值为，
因此只需. ………………………10分
（3）由得………………………11分
作比得，，所以数列是“间等比数列”. ………………13分
由得分别以为首项，公比为的等比数列，
又，所以，又因为，
所以，由得，……………………………………16分
解得，
即最大的整数． …………………………………………………………18分