上海市13区2019届高三上学期期末（一模）考试数学试题分类汇编：数列

上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编
数列
一、填空、选择题
1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则
公比
2、（崇明区2019届高三）已知数列满足：①；②对任意的，都有成立.
函数，满足：对于任意的实数，
总有两个不同的根，则的通项公式是
3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
4、（虹口区2019届高三）已知7个实数、、、、、、依次构成等比数列，若成这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为
5、（金山区2019届高三）无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是
6、（浦东新区2019届高三）已知数列为等差数列，其前项和为. 若，则
7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，
照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）
8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列各项的和为4，则首项的取值范围是
9、（松江区2019届高三）已知等差数列的前项和为，则
10、（徐汇区2019届高三）若数列的通项公式为，则___________.
11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列中，，则的取值范围
是
12、（长宁区2019届高三） 已知数列的前项和为，且，若数列收敛于常数，则首项取值的集合为
13、（闵行区2019届高三）等比数列中，，，则
14、（闵行区2019届高三）若无穷数列满足：，当，时，（其中表示中的最大项），有以下结论：
① 若数列是常数列，则（）；
② 若数列是公差的等差数列，则；
③ 若数列是公比为的等比数列，则；
④ 若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项.
则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）

参考答案
一、填空、选择题
1、　　2、　　3、B　　4、　　5、　　6、12
7、10.4 　　8、　　9、12　　10、－1　　11、　　
12、　　13、　　　14、①②③④


二、解答题
1、（宝山区2019届高三）如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”．若数列满足，，．
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”。已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由．

2、（崇明区2019届高三）已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，
（）.
（1）若，，求的值；
（2）若是公比为（）的等比数列，求证：数列为等比数列；
（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、、、
成等差数列的充要条件是.

3、（奉贤区2019届高三）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称数列是“回归数列”.
（1）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；
（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；
（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得
（）成立，请给出你的结论，并说明理由.

4、（虹口区2019届高三）对于个实数构成的集合，记. 已知由
个正整数构成的集合满足：对于任意
不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.
（1）试求、的值；
（2）求证：“、、、成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若，求证：的最小值为11；并求取得最小值时，的最大值.

5、（金山区2019届高三）在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列
的前项和为，求使得的最小整数；
（3）若，使不等式成立，求实数的取值范围.

6、（浦东新区2019届高三）已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点（），
并在第一象限内的抛物线上依次取点（），使得
（）都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为.
（1）求，，并猜想；（不要求证明）
（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列
的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，
求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，，数列满足：
，，求证：.

7、（普陀区2019届高三）设数列满足，（）.
（1）求、的值；
（2）求证：是等比数列，并求的值；
（3）记的前项和为，是否存在正整数，使得对于任意的（且）均有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

8、（青浦区2019届高三）若存在常数（，）、、，使得无穷数列满足，
则称数列为“数列”，已知数列为“数列”.
（1）若数列中，，，，，试求的值；
（2）若数列中，，，，，记数列的前项和为，若不
等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

9、（松江区2019届高三）对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.
（1）若，且数列是的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；
（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”；
（3）设，（其中），若是的“相伴数列”，试分析实数、的取值应满足的条件.

10、（徐汇区2019届高三）已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：
①(为正整数)；②或，其中；
③任取数列中的两项，剩下的项中一定存在两项，满足. 则称数列为数列.
（1）若数列是首项为，公差为，项数为项的等差数列，判断数列是否是数列，并说明理由；
（2）当时，设数列中出现次，出现次，出现次，其中，求证：；
（3）当时，求数列中项数的最小值.

11、（杨浦区2019届高三）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，.
（1）若，请写出的值；
（2）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立？请说明理由.

12、（长宁区2019届高三）已知数列的前项和为，且，.
（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；
（2）若数列满足（），且，求证：是等差数列；
（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的（），都存在，使得，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合.

13、（闵行区2019届高三）




参考答案

二、解答题
1、解：（1）由得，……………………2分
作差得，………………………………………………………3分
即数列是“间等差数列”，间公差.…………………………………4分
（2）由（1）得分别以为首项，公差为2的等差数列，
因此，
所以，……………………………………6分
又，所以，
当为偶数时，，
当时，最小值为.……………………………7分
当为奇数，
，…………8分
当时，最小值为，因为的最小值为，
因此只需. ………………………10分
（3）由得………………………11分
作比得，，所以数列是“间等比数列”. ………………13分
由得分别以为首项，公比为的等比数列，
又，所以，又因为，
所以，由得，……………………………………16分
解得，
即最大的整数． …………………………………………………………18分
2、解：（1）由，知.………………………4分
（2）因为①，
所以当时，②，
①-②得，当时，③，
所以，………………………3分
所以，………………………5分
又因为（否则为常数数列与题意不符），
所以 为等比数列。………………………6分
（3）因为为公差为的等差数列，所以由③得，当时，,
即，因为，各项均不相等，所以,
所以当时，④,
当时，⑤,
由④-⑤，得当时⑥,………………………3分
先证充分性：即由证明成等差数列,
因为，由⑥得,
所以当时，,
又，所以
即成等差数列.………………………5分
再证必要性：即由成等差数列证明.
因为成等差数列，所以当时，,
所以由⑥得，
所以，………………………7分
所以成等差数列的充要条件是.…………………8分

3、

4、


5、


6、解：（1）， （2分）
猜想 （2分）
（2） （5分）
由
（6分）
（7分）

（9分）
对任意恒成立（10分）.
（3）记，则
（12分）
记，则
（14分）

当时，可知：
（18分）
7、


故不等式的解集为：；


8、解：（1）因为数列是“数列”，且，、、，
所以当，时，，
又，即，
，
（2）因为数列是“数列”，且，、、
则数列前项中的项是以为首项，为公差的得差数列，
易知中删掉含有的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，


，，设，则，

当时，，；当，时，，，∴，∴，
即
（3）因为 既是“数列”又是等比数列，设的公比为，由等比数列的通项公式有，
当时，，即
1 ，则，；
2 ，则，则为常数，则，为偶数，，；
经检验，满足条件的的通项公式为或.
9、解：（1）， …………………………………………2分
此时，
所以是数列的“相伴数列”． …………………………………………4分
注：答案不唯一，只需是正负相间的数列．
（2）证明，假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有 …………5分
若，则由 得…①，
又由 得
又因为是等差数列，所以，得，与①矛盾 …………7分
同理，当，则由 得…②，
又由 得
又因为是等差数列，所以，得，与②矛盾 ……………9分
所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列” ………………10分
（3）由于，易知且，
①当时，，由于对任意，都有，
故只需， ………………12分
由于，所以当时，，
故只需当时，，
即对恒成立，得； ………………13分
②当时，
，，与矛盾，不符合题意； ……14分
③当时，，
当时，，
故只需当时，，
即对恒成立，得； ……………15分
④当时，，则，
下证只需： 若，则，
当时，，
当时，，
符合题意． ……………17分
综上所述，实数的取值应满足的条件为：
或 ………………18分
10、解：(1)若数列是数列，取数列中的两项和，则剩下的4项中不存在两项，使得，故数列不是数列；……….4分
(2)若，对于，若存在，满足，
因为，于是，
所以，，从而，矛盾，
所以，同理 .……………….8分
下面证明：
若，即出现了1次，不妨设，，
等式左边是；等式右边有几种可能，分别是或或，等式两边不相等，矛盾，
于是 .……………….10分
(3)设出现次，出现次，…，出现次，其中
由(2)可知，，且，同理， ……………….12分
又因为，所以项数 .……….14分
下面证明项数的最小值是：
取，可以得到数列
.
接下来证明上述数列是数列：
若任取的两项分别是，则其余的项中还存在2个1，满足，
同理，若任取的两项分别是也满足要求；
若任取的两项分别是，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求，
同理，若任取的两项分别是也满足要求；
若任取，则在其余的项中选取，满足要求，
同理，若也满足要求；
若任取的两项满足，则在其余的项中选取，
每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.
从而，项数的最小值是. ……………….18分
11、解：(1)因为 ……2分
所以 ……4分
(2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为
当 时， ，所以，所以，，
当 时， ，所以，所以，，
当 时， ，所以，所以，
综上，总有
所以 ，所以数列是等差数列 ……6分
（充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为
因为，
根据的定义，有以下结论：
，且两个不等式中至少有一个取等号
当时，则必有，所以，
所以是一个单调递增数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当时，则必有，所以
所以是一个单调递减数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当时，
因为中必有一个为0，
根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
所以 所以为常数数列，所以为等差数列
综上，结论得证. ……9分

(3)存在 ……10分
假设不存在，
因为，即 或者，
所以对任意，一定存在，使得符号相反 ……12分
所以在数列中存在，其中
且 ，
……14分
因为，即
注意到，且有且仅有一个等号成立，
所以必有 ……16分
所以，所以
因为，所以 ，所以
所以
所以
所以
所以


……

所以
所以
所以，
这与矛盾，所以假设错误， ……18分
所以存在，使得任意，，有.
12、解：（1）设等差数列的公差为．由，得，
解得． ………………………………………………………2分
则得 ，所以．…………………………………………4分
（2）由，得 ，
解得， …………………………………………2分
由，且，，得
当为奇数时，；
当为偶数时，． ………………………………………4分
所以对任意，都有，当时，，
所以数列是以为首项、为公差的等差数列． …………………………………6分
其它解法，对应给分。
（3）由题意， ……………………………………………1分
①当时，，
所以对任意，都有， ………………………………2分
因此数列不具有性质． …………………………………………3分
②当时，，，
所以对任意，都有，
因此数列不具有性质． ．…………………………………………4分
③当时，
,

取(表示不小于的最小整数)，则，.
所以对于任意，，
即对于任意，都不在区间内，
所以数列不具有性质． ………………………………………………6分
④当时，，且，
即对任意的，都有，
所以当时，数列具有性质．……………………………………………7分
综上,使得数列具有性质的正实数的集合为． …………………8分
③④的另解：
当时，单调递增，单调递增，且时，．
若对任意，都存在，使得，即存在在区间内．
观察，，…，
发现在内的只能是． ……………………………………………5分
证明：在个区间，，…，内需要个，
因为，，所以可选择的只能是，共个．
由，得． …………………………………………6分
所以只需满足恒成立，即，
得对任意都成立．
因为数列单调递增，且，所以．
综上,使得数列具有性质的正实数的集合为．……………………8分