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27.3位似（1）
教学目标：
1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质。
2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
3、掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
教学重点：位似图形的有关概念
教学难点：利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小
教学过程：
新知引入
1．生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
2.在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？幻灯机在哪儿呢？我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
二、新知讲解
知识点1 位似图形的概念
活动1：观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
学生通过观察了解到有一类相似的图形，除具备相似的所有性质外，还有其他特性，学生自己归纳出位似图形的概念：
●如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．利用位似可以将一个图形放大或缩小．
例题讲解：
例、判断下列各对图形哪些是相似图形，哪些是位似图形.
①DE∥BC ②两个正方形 ③∠AED＝∠B
相似且位似 相似但不是位似 相似但不是位似
巩固练习：
下列图形中的两个图形不是位似图形的是 （ ）B
2、由位似变换得到的图形与原图形是（ ）B
A.全等 B .相似 C.不一定相似 D .一定不全等
3.下列运动形式中：
（1）传动带上的电视机（2）电梯上的人的升降 （3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人
（4）国旗上的红五角星 上述运动形式中不是位似变换的有（ ）C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点2 位似中心
活动2 观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
学生小组讨论，得出结论：
●位似中心的位置：
由两个图形的位置决定，可能在两个图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
巩固练习：
画出下列图形的位似中心
思考:确定位似中心的方法?( 连接每组对应点的交点)
知识点3 位似图形的性质
活动3 学生自主讨论，归纳出位似的一般性质和特殊性。
●位似图形的性质
性质：⑴一般性质：具有相似多边形的性质①周长比等于位似比②面积比等于位似比的平方
⑵特殊性质：位似图形上任意一对对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比.
提醒学生特别注意：
※注意：位似是一种具有位置关系的相似。
似图形是相似图形的特殊情形。
位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
两个位似图形的位似中心只有一个。
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
例题讲解：
例、如图27-3-2，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=_______.
巩固练习：
1、如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（ ）D
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE:AD是位似比
2、如图，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′，若AB∶A′B′＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A′B′C′D′的面积为（ ）D
A．4∶1 B． 2 ∶1 C．1∶2 D．1∶4
1题 2题 活动4
知识点4 画位似图形
活动4 如上图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△A’B’C’ 和△ABC位似，且位似比为2.
注：在作图中，如无特殊说明，位似比通常代表新图形与原图形的比。
k﹥1，将原图形放大，0＜k＜1，将原图形缩小
教师提出问题，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不唯一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似中心O可能选在三角形ABC外，可能选在ABC三角形内，可能选在三角形ABC的一条边上，可能选在三角形ABC的一个顶点上)，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，因此，位似中心的确定是关键．
作法一：如图．
(1)在三角形ABC外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，
(3)分别在射线OA，OB，OC，上取点A′，B′，C′，，使得＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，所得三角形A′B′C′就是所要求作的图形．
作法二：如图．
(1)在三角形ABC外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC；
(3)分别在射线OA，OB，OC的反向延长线上取点A′，B′，C′，使得＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，所得三角形A′B′C′就是所要求作的图形．
作法三：如图．
(1)在三角形ABC内任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC；
(3)分别在射线OA，OB，OC上取点A′，B′，C′，使得＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，所得三角形A′B′C′就是所要求作的图形．
●归纳：
作位似变换的步骤：
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
巩固练习：
如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．
三、拓展提高
1．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )D
A．3 B．6 C．9 D．12
2．小张用手机拍摄得到图7－31－21甲，经放大后得到图乙，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )B
A．FG B．EF C．EH D．FH
3．下列由位似变换得到的图形中，面积比是1∶9的是( )D
A．OA＝1.2OA′ B．OA＝AA′ C．OA＝2AA′ D．OA＝0.5AA′
4．如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．
5．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)以O为位似中心, 在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
6.如图7－31－24，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
课堂小结
1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
2．位似的作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小．
3．位似图形的画法．
布置作业
教材51页：2、3、4题
当堂测评
1、 如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
2、如图，△OCD与△OAB是位似三角形，则位似中心是( )
A．点A B．点C C．点O D．点B
3、下列说法中，错误的是( )
A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行
4、如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是( )
A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
5题
5、画出所给图形的位似中心．
6、如图，△ABC和△DEF是位似三角形，且AC=2DF，则OE：OB=__________．
6题 7题 8题
7、如图，矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形，OB：OF=3：5，则矩形ABCD的面积：矩形EFGH的面积=_________．
8、如图，△ABC和△DEF是位似图形，且D是OA的中点，则=______．
9、如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则________．
9题 10题
10、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位．
当堂测评答案
1.解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O.(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形)
2. C 3. D 4. B
5.
6. 1：2 7. 9：25 8. 9. 18
10.(1)作图略 (2)作图略 (3)20
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27.3位似（1）
学习目标：
1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质。
2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
3、掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
学习重点：位似图形的有关概念
学习难点：利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小
学习过程：
新知引入
1．生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
2.在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？幻灯机在哪儿呢？我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
二、新知讲解
知识点1 位似图形的概念
活动1：观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
●如果两个图形不仅是_____图形，而且每组对应点的连线相_______，对应边互相______，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_______，这时的相似比又称为_____．利用位似可以将一个图形放大或缩小．
例题讲解：
例、判断下列各对图形哪些是相似图形，哪些是位似图形.
①DE∥BC ②两个正方形 ③∠AED＝∠B
巩固练习：
下列图形中的两个图形不是位似图形的是（ ）
2、由位似变换得到的图形与原图形是（ ）
A.全等 B .相似 C.不一定相似 D .一定不全等
3.下列运动形式中：
（1）传动带上的电视机（2）电梯上的人的升降 （3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人
（4）国旗上的红五角星 上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点2 位似中心
活动2 观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
学生小组讨论，得出结论：
●位似中心的位置：
由两个图形的位置决定，可能在两个图形的_____，_____，图形的____，____，或_______
巩固练习：
画出下列图形的位似中心
思考:确定位似中心的方法?( ____________)
知识点3 位似图形的性质
活动3 学生自主讨论，归纳出位似的一般性质和特殊性。
●位似图形的性质
性质：⑴一般性质：具有相似多边形的性质①周长比等于位似比②面积比等于位似比的平方
⑵特殊性质：位似图形上任意一对对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比.
例题讲解：
例、如图27-3-2，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=_______.
巩固练习：
1、如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE:AD是位似比
2、如图，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′，若AB∶A′B′＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．4∶1 B． 2 ∶1 C．1∶2 D．1∶4
1题 2题 活动4
知识点4 画位似图形
活动4 如上图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△A’B’C’ 和△ABC位似，且位似比为2.
注：在作图中，如无特殊说明，位似比通常代表新图形与原图形的比。
k﹥1，将原图形放大，0＜k＜1，将原图形缩小
●归纳：
作位似变换的步骤：
巩固练习：
如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．
三、拓展提高
1．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2．小张用手机拍摄得到图7－31－21甲，经放大后得到图乙，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )
A．FG B．EF C．EH D．FH
3．下列由位似变换得到的图形中，面积比是1∶9的是( )
A．OA＝1.2OA′ B．OA＝AA′ C．OA＝2AA′ D．OA＝0.5AA′
4．如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．
5．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)以O为位似中心, 在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
6.如图7－31－24，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
课堂小结
1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
2．位似的作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小．
3．位似图形的画法．
布置作业
教材51页：2、3、4题
当堂测评
1、 如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
2、如图，△OCD与△OAB是位似三角形，则位似中心是( )
A．点A B．点C C．点O D．点B
3、下列说法中，错误的是( )
A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行
4、如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是( )
A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
5题
5、画出所给图形的位似中心．
6、如图，△ABC和△DEF是位似三角形，且AC=2DF，则OE：OB=__________．
6题 7题 8题
7、如图，矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形，OB：OF=3：5，则矩形ABCD的面积：矩形EFGH的面积=_________．
8、如图，△ABC和△DEF是位似图形，且D是OA的中点，则=______．
9、如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则________．
9题 10题
10、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位．
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