第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测试题（含解析）

第14章 三角形中的边角关系单元检测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )
A． 4，8，4 B． 4，9，6 C． 15，20，8 D． 9，15，8
2．在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，则该三角形斜边上的高长为（ ）
A． B． 7.5 C． 4.8 D． 8
3．若等腰三角形的一个外角是80°，则底角是（ ）．
A．40° B．80°或50° C．100° D．100°或40°
4．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）
A． 10° B． 20° C． 25° D． 30°
5．下面说法错误的是 (　　)
A． 三角形的三条角平分线交于一点 B． 三角形的三条中线交于一点
C． 三角形的三条高交于一点 D． 三角形的三条高所在的直线交于一点
6．6．若等腰三角形有两条边的长为5和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A． 12 B． 17 C． 19 D． 17或19
7．下列说法正确的是（ ）
A． 真命题的逆命题是真命题 B． 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C． 定理一定有逆定理 D． 命题一定有逆命题
8．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（　　）
A． 一定有一个内角为45° B． 一定有一个内角为60°
C． 一定是直角三角形 D． 一定是钝角三角形
9．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（ ）
A． ∠1+∠2=2∠A B． ∠2-∠A=2∠1
C． ∠2-∠1=2∠A D． ∠1+∠A=∠2
10．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为，则的值可能是（　　）
A． 10 B． 20 C． 30 D． 40
11．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝a∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，能确定△ABC为直角三角形的条件有(　　)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
12．如图，AB⊥AC，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，AG∥BC，AG⊥BG。下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°，其中正确的结论是（ ）
A． ①③ B． ②④ C． ①③④ D． ①②③④
二、填空题
13．一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°．
14．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD⊥AB于D，则∠ACD _________度
15．命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________，结论________．
16．如图，在△ABC中，BC⊥AC,CD是AB边上的高，若AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm,那么CD=______
17．两根木棒的长分别是7cm和9 cm，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为_______cm.
18．如图，在△ABC中，已知点D为BC边上一点，E、F分别为边AD、CE的中点，且S△ABC=8cm2，则S阴影=___cm2．
三、解答题
19．请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
20．证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°
21．在△ABC中，∠A＝50°，∠B－∠C＝70°，请按角的分类判断△ABC的形状，并说明理由．
22．如图，AD、AF分别是△ABC中∠BAC的平分线和BC边上的高，已知∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的大小．
23．已知，如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠1＝∠C，∠2＝2∠3，∠BAC＝70°.
(1)求∠2的度数；
(2)若∠DAC的平分线AE交BC于点E，则AE与BC有什么位置关系？请说明理由．
24．如图，给出三个论断：①∠A=∠B；② AB//CD；③∠BCD=∠DCE，试回答下列问题：
（1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果＊、＊，那么＊）；
（2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由.
25．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
26．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；
(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．
x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；
(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
参考答案
1．A
【解析】试题分析：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
考点：三角形三边关系
2．C
【解析】分析：根据三角形的面积：（三角形斜边上的高）即可求得.
详解：
如图所示：AD是三角形斜边上的高，
∵△ABC是直角三角形，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AD＝
故选C.
点睛：考查了三角形面积计算，解题关键是根据两种不同的方式求得三角表的面积会相等（）即可求得.
3．A．
【解析】
试题分析：若这个80度是等腰三角形底角的外角，则可算出两个底角都是100度，这和三角形内角和180度矛盾，此种情况舍去；所以80度是顶角的外角，则这个等腰三角形的两个底角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和，所以两个底角都是80÷2=40度．故选A．
考点：1．三角形内角和定理；2．三角形外角性质．
4．C
【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°。
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°。
故选C。
5．C
【解析】A. 三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故命题正确；
B. 三角形的三条中线交于一点，是三角形的重心，故命题正确；
三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故C错误，D正确。
故选C.
6．D
【解析】试题解析：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，7，5+5=10>7，此等腰三角形的周长5+5+7=17；
当等腰三角形的腰为7时，三边为5，7，7，三边关系成立，周长为5+7+7=19．
故选D．
7．D
【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．用逻辑的方法判断为正确的命题叫做定理．任何命题都有逆命题．由此作出判断即可.
详解：
选项A，真命题的逆命题不一定是真命题，例如对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，此逆命题是错误的；选项B、原命题是假命题，则它的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，但是其逆命题对顶角相等是真命题；选项C，定理不一定有逆定理，如对顶角相等是定理，逆定理是相等的角是对顶角，此逆定理是错误的； 选项D，命题一定有逆命题，此说法是正确的，因为把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；由此可得，只有选项D正确， 故选D．
点睛：本题考查了命题与定理的有关概念，说明一个命题错误，只要举出一个反例即可．
8．C
【解析】试题解析：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
即△ABC一定是直角三角形；
故选C．
9．C
【解析】如图：
分别延长CE、BD交于点，
∴∠2=∠EA+∠EA,∠1=∠DA+∠DA，
而根据折叠可以得到∠EA=∠EA,∠DA=∠DA，
∴∠2?∠1=2(∠EA?∠DA)=2∠EAD.
故选C.
10．C
【解析】∠ACB=∠90°+∠CBD
∴(5x?10)°=∠90°+∠CBD
化简得：x=20+∠DBC
∵0°<∠DBC<90°
∴20°故选C
点睛：此题考查了一元一次不等式的应用, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可以得到x与∠CBD的关系，根据∠CBD是锐角，就可以得到一个关于x的不等式组，就可以求出x的范围．
11．【考点】三角形内角和定理
【分析】根据所给的4个条件分别求出4个条件下△ABC中的最大角的度数，再进行判断即可.
解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴此时△ABC是直角三角形；
②∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，解得∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°，
∴此时△ABC不是直角三角形；
③∵∠A＝∠B＝a∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴（2a+1）∠C=180°，解得∠C=，
∴∠A=∠B=，
∴此时△ABC中三个内角的度数是不确定的，
∴不能确定△ABC是否是直角三角形；
④∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴此时△ABC是直角三角形.
综上所述，根据上述条件能够确定△ABC是直角三角形的有2个.
故选B.
【点睛】本题的解题要点是：“根据已知条件结合三角形内角和是180°确定出△ABC的最大角的度数即可判断此时△ABC是否是直角三角形了”.
12．C
【解析】∵AB⊥AC.
∴∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB=90°
∴∠FBC+∠FCB=45°
∴∠BFC=135°故④正确。
∵AG∥BC，
∴∠BAG=∠ABC
∵∠ABC=2∠ABF
∴∠BAG=2∠ABF故①正确。
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB=90°
∵∠BAG=∠ABC，
∴∠ABG=∠ACB故③正确。
故选C.
点睛：此题考查了三角形内角和定理, 平行线的性质, 三角形的外角性质，具有一定的综合性。由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．解决此题的关键是理清各角之间的关系.
13．65
【解析】
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，
∴∠2=155°-90°=65°．
14．25°
【解析】此题根据直角三角形的性质：两锐角互余求解．
解答：解：∵∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD⊥AB于D，∴∠ABC+∠A=90°，∠A+∠ACD=90°∴∠ACD=∠ABC=25°．
15． 一个角是三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和
【解析】先把命题写成“如果”，“那么”的形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论。命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是一个角是三角形的外角，结论是等于和它不相邻的两个内角的和．
16．4.8cm
【解析】
【分析】
在△ABC中，由勾股定理的逆定理可求出△ABC是直角三角形，进而可根据直角三角形面积的不同表示方法求出CD的长．
【详解】
在△ABC中，BC⊥AC，CD是AB边上的高，
∴S△ABC =AC?BC=AB?CD=×6×8=×10×CD，
解得：CD=4.8（cm），
故答案为：4.8cm．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，利用不同的方式表示三角形的面积是解题的关键.
17．7cm或14cm
【解析】设选择的第三根木棒长为acm.
根据“三角形的任意两边之差小于第三边”可知a＞9-7=2
根据“三角形的任意两边之和大于第三边”可知a＜7+9=16
∴ a的取值范围是2＜a＜14.
由于所选择木棒长度是7的倍数,且2＜a＜16,
则选择的第三根木棒长为7或14cm.
故答案为：7cm或14cm
18．2
【解析】∵点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，高相等；
∴S△BEF=S△BEC，
同理得S△EBC=S△ABC，
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=8，
∴S△BEF=2，
即阴影部分的面积为2．
【点睛】本题考查了三角形的性质，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质是解好本题的关键 ；根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等；因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半，至此问题即可．
19．见解析.
【解析】
【分析】
将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．
【详解】
条件：两个角分别是两个相等角的余角；?
结论：这两个角相等.
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角.
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2,
∴∠3=∠4．
【点睛】
本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
20．证明见解析.
【解析】
【分析】
过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
【详解】
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即三角形内角和等于180°．
【点睛】
本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质及平角的定义进行证明．
21．△ABC是钝角三角形．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可求得三个角的度数，从而判定这个三角形的形状．
【详解】△ABC是钝角三角形.
理由如下：∵∠A＝50°，
∴∠B＋∠C＝180°-∠A=180°-50=130°，
又∵∠B－∠C＝70°，
∴∠B＝100°，∠C＝30°，
所以△ABC是钝角三角形．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和为180°是解题的关键．
22．20°
【解析】
【分析】
由三角形的内角和是180°，可求∠BAC=68°，因为AD为∠BAC的平分线，得∠BAD=34°；又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠BAD+∠B=72°；又已知AF为BC边上的高，所以∠DAF=90°-∠ADC=20°．
【详解】
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝68°.
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝34°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝70°.
又∵AF为BC边上的高，
∴∠DAF＝90°－∠ADC＝20°.
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；解答的关键是沟通外角和内角的关系．
23．（1) 44°. (2)AE⊥BC.理由
【解析】
（1）由于∠C=∠1，利用∠1是△ABD的外角，可得∠1=∠2+∠3，从而可得∠C=3∠3，再结合三角形内角和定理，可求∠3，从而可求∠2；
（2）利用AE是角平分线，可求∠DAE，结合（1）中所求∠3，可求∠DAC、∠1，在△ADE中，利用∠AED=180°-∠1-∠DAE，可求∠AED=90°，那么AE⊥BC．
24．（1）命题见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据平行线的判定和性质，进行分析即可解答；
（2）如果①、②，那么③，理由：根据AE∥BC，可得∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCE；再根据已知∠A＝∠B，即可得到结论.
试题解析:（1） 答案一：如果①，②，那么③；
答案二：如果②、③，那么①；
答案三：如果①，③，那么②；
（2）答案一：如果①，②，那么③：
∵AB//CD，
∴∠A=∠DCE，∠B=∠BCD，
∵∠A=∠B，
∴∠BCD=∠DCE
点睛：这道题考查了平行线的判定和性质，平行线的性质定理有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；夹在两平行线间的平行线段相等.平行线的判定定理有:同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线平行。
25．（1）105°（2）120°（3）n°+90°.
【解析】
试题分析：∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
试题解析：
（1）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC=∠A+90°=105°；（2）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC=∠A+90°=120°；
（3）∠BOC=n°+90°，
∵OB、OC是两条角平分线，
∴∠OBC=∠ABC, ∠OCB=∠ACB ，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=∠A+90°
=n°+90°.
26．（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140
【解析】
【分析】
（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.

(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．