上海市13区2019届高三上学期期末（一模）考试数学试题分类汇编：圆锥曲线

上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（宝山区2019届高三）设点、均在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
（A）． （B）4 ． （C） ． （D）以上都不对．
2、（崇明区2019届高三）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是
3、（奉贤区2019届高三）双曲线的一条渐近线的一个方向向量，则
4、（虹口区2019届高三）双曲线的焦点到其渐近线的距离为
5、（金山区2019届高三）抛物线的准线方程是
6、（浦东新区2019届高三）抛物线的焦点坐标为
7、（普陀区2019届高三）若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为
8、（青浦区2019届高三）长轴长为8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9、（松江区2019届高三）已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为
10、（徐汇区2019届高三）已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.
11、（杨浦区2019届高三）已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为
12、（闵行区2019届高三）已知两条直线和，则与的距离
为
13、（普陀区2019届高三）下列关于双曲线的判断，正确的是（ ）
A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标为
C. 实轴长为12 D. 顶点坐标为

参考答案
一、填空、选择题
1、B　　2、4　　3、　　4、　　5、　　6、
7、　　8、D　　9、1　　10、　　11、　　12、
13、B

二、解答题
1、（宝山区2019届高三）已知椭圆：的左、右焦点为．
（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；
（3）设，若椭圆上存在两个不同点满足，证明直线过定点，并求该定点的坐标.

2、（崇明区2019届高三）已知椭圆（），、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，△是边长为4的等边三角形.
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
（3）设点满足：，，求证：△与△面积之比为定值.

3、（奉贤区2019届高三）已知抛物线上的、两点满足，点、在抛物线对称轴的左右两侧，且的横坐标小于零，抛物线顶点为，焦点为.
（1）当点的横坐标为2，求点的坐标；
（2）抛物线上是否存在点，使得（），若请说明理由；
（3）设焦点关于直线的对称点是，求当四边形面积最小值时点的坐标.

4、（虹口区2019届高三）设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点P、Q.
（1）当点P在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，
求证：点、、共线；
（3）如图2，点是直线上任意一点，设直线、、的斜率分别为、、，求证：、、成等差数列.


5、（金山区2019届高三）已知椭圆以坐标原点为中心，焦点在轴上，焦距为2，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，当时，设的面积为（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以为边长的正方形的面积为，若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.

6、（浦东新区2019届高三）已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦 和所在直线分别平行于轴与 轴，线段的延长线与线段相交于点 P（如图）.
（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）若， ，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.


7、（普陀区2019届高三）已知曲线的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点.
（1）当异于、时，记直线、的斜率分别为、，求证：是定值；
（2）设点满足（），且的最大值为7，求的值.


8、（青浦区2019届高三）（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为4，渐近线方程为，求双曲线的标准方程；
（2）过（1）中双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于、两点，且
是线段的中点，求证：为常数；
（3）我们知道函数图像是由双曲线的图像逆时针旋转45°得到的，函数
图像也是双曲线，请尝试写出双曲线的性质（不必证明）.

9、（松江区2019届高三）已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点.
（1）求曲线的方程；
（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若，求△面积的取值范围.

10、（徐汇区2019届高三）已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，,求的值；
（3）若原点到直线的距离为，，当时， 求的面积的范围.


11、（杨浦区2019届高三）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）设中点为，且，，证明：；
（3）若是曲线（）上的动点，求△PAB面积的最小值.






参考答案


二、解答题
1、解：（1）因为，所以，，…………2分
所以抛物线的标准方程是.…………………………………………4分
（2）设，由椭圆性质得，
又，所以在中，
，……………………6分
化简得：，…………………………8分
又，……………………………9分
所以：.………………………………………………………………10分
（3）设，由题可知必存在，
，……………………………11分
设,得，
即（*）……13分
由于代入（*）式得，………………………15分
解得（舍）或，所以定点为.…………………………………16分
17. 2、解：（1）………………………………………4分
（2）由题意，得：直线的方程为…………………………………1分
由，得：…………………………………3分
故所求圆的圆心为，半径为………………………………………4分
所以所求圆的方程为：………………………………………5分
（3） 设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由直线的方程为．
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以．……………3分
所以 …………………………………4分
由，所以直线的方程为．
由 ，得． …………………………………6分
所以． …………………………………7分
3、

4、


5、



6、解：（1）双曲线的渐近线方程为：
即，所以，…………2分
从而，，
所以．……………………………..4分
（2）设 ，则由条件知：
，
，即．…………6分
所以， ，………………………………7分
代入双曲线方程知：……9分
……………………………………………….. 10分
（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为: ，
令，所以，
，令，所以，
，令，所以， …………12分
故以为直径的圆的方程为：，
即，
即，…………………………….14分
若以为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过轴上两个定点和……………………………16分
7、


8、解：（1），
又双曲线的渐近线方程为，所以，
双曲线的标准方程是．
（2）法一：由题不妨设，，
则，
由在双曲线上，代入双曲线方程得；
法二：当直线的斜率不存在时，显然，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
则由
同理
此时代入双曲线方程得，所以
（3）①对称中心：原点；对称轴方程：
②顶点坐标：，；焦点坐标：，
实轴长：、虚轴长：、焦距：
③范围：
④渐近线：

9、解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， …………1分
设其标准方程为，则有，
所以，∴ …………4分
（2）证明：设直线的方程为， ……………………5分
设
则由 可得，即
∴，∴ ……………………8分
，
， ……………………9分
∴直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 …………10分
（3）解法一：设
则由知，，即，∴ ………11分
………12分
因、两点在椭圆上，有
即 也即
得 ∴ …………………13分
又由 得
∴ ∴ …………………15分
∴ …………………………………………16分
解法二：
当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，…11分
当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：、 ， 点，
由 可得，
∴，代入 得 …………………………………12分
同理可得，
∴ …………………………………………13分
令，，
则 ………14分
由知 …………………………………………15分
综上可知， …………………………………………16分

10、解：（1） ……………….1分
又， ……………….2分

……………….3分
故椭圆方程为 ……………….4分
（2）过，
，
，则 ……………….6分
,,代入椭圆方程， ……………….8分
得，即，所以 ……………….10分
（3）原点到直线的距离为1， ……………….12分
设
联立

由式知，

，得……14分



……………….15分
令
……………….16分
11、解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分
（2）设，
则 ……6分
整理得，，
同理，， ……8分
所以，是关于的方程的两根，
故的纵坐标为，即； ……9分



（3）若直线轴，则的纵坐标为0，
因此，，
则两点的纵坐标满足，
故，； ……10分
若直线的斜率存在，方程为，
即，整理得，，

将代入得，直线， ……12分
故，
而点到直线的距离为， ……14分
故，
而，
故， ……15分
由得，，
综上，的面积的最小值为. ……16分