2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第6节 双曲线
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
双曲线的定义
定 义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数 (2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴： ；对称中心： 。
顶点
A1 ， 。
A1(0，－a)， 。
渐近线
y＝ 。
y＝ 。
离心率
e＝ 。，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 。
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝ (c＞a＞0，c＞b＞0)
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零．
2．二个防范 一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系；
二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点．
3. (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
4. 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
5. 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
小结
1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若双曲线的一条渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（???）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.双曲线上的点M到点(-5，0)的距离为7，则M到点（5,0）的距离为（?）
A.?1或13???????????????????????????????????????B.?15???????????????????????????????????????C.?13???????????????????????????????????????D.?1
3.过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围为???? (????? )??
A.??????????????????????????????B.???????????????C.??????????????????????????????D.?
4.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 ， 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.??????????B.???????????????C.???????????????????????D.?
5.双曲线的焦距是（???）
A.?4??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????D.?与m有关
6.动点P与点与点满足，则点P的轨迹方程为（ ）
A.???????????B.????C.?????D.?
7.已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若△是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（???）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
8.设双曲线的虚轴长为2，焦距为 ， 则双曲线的渐近线方程为（?? ）
A.?????????????????????????B.??????????????C.?????????????????????????D.?
9.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
10.已知双曲线?的左、右焦点分别为 ， 以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ， 则此双曲线的方程为（????）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
11.设分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.点P是双曲线 ﹣ =1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
13.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣ ，则此双曲线的方程是（?? ）
A.????????????????????????B.???????????????C.????????????????D.?
14.双曲线x2﹣4y2=一1的渐近线方程为（ ）
A.?x±2y=0????????????????????????????B.?y±2x=0????????????????????????????C.?x±4y=0?????????????????????????????D.?y±4x=0
15.设F1 ， F2是双曲线x2﹣4y2=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 ， ，则a的值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
16.已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
17.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（???）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
18.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=???? (??? ) ???????????????????????????????????????
A.?-12??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?4
19.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是(?? )
A.?-1??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
20.已知直线与双曲线 ， 有如下信息：联立方程组：, 消去后得到方程 ， 分类讨论：（1）当时，该方程恒有一解；（2）当时，恒成立。在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.?????????????????C.???????????????????????????????D.?
21.,分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点。若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
22.已知F1、F2是双曲线 （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2 ， 若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是?（?????）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
A.?4+ ?????????????????????B.?+1 ??????????????C.?—1 ?????????????????????D.?
23.已知双曲线 的右焦点为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两点， 为锐角三角形，则双曲线 的离心率的取值范围是(??? )
A.????????????????????????????B.???????????????????C.????????????????????????????D.?
24.双曲线 的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是（?? ）．
A.?－12
二、填空题
25.双曲线 的两条渐近线的方程为________.
26.已知双曲线 的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为________．
27.直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 两点， 为右顶点， 为坐标原点，若 ，则该双曲线的离心率为________．
28.已知双曲线C： ﹣ =1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2 = ，则双曲线的离心率________．
29.已知双曲线 ，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为 ，则双曲线的离心率为________．
30.若 ， 分別是双曲线 ? 的左、右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线的左支上，点 在直线 上，且满足 ， ，则该双曲线的离心率为________．
31.已知点 ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹方程为________.
32.已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题
33.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2 ， 试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．
34.设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围
35.已知双曲线 的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥ k．
（1）求m的取值范围；
（2）设条件p：e≥ k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
36.已知椭圆D：与圆M：x2+（y﹣5）2=9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知双曲线C: ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若 为直角三角形，则 =（ ??）
A. B.3 C. D.4
2.（2018?浙江）双曲线 的焦点坐标是（ ??）
A.?(? ，0)，( ，0)??????????????????????????????????????B.?(?2，0)，(2，0) C.?(0，? )，(0， )??????????????????????????????????????D.?(0，?2)，(0，2)
3.（2018?天津）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ， B两点. 设A ， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（ ??）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
4.（2018?天津）已知双曲线 ?的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ?则双曲线的方程为（ ??）
A. B. C. D.
5.（2018?卷Ⅱ）双曲线 （a>0,b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ???）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
6.（2018?卷Ⅲ）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的最近线的距离为(? ?)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
8.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1?????????C.?﹣ =1????????????????????D.?﹣ =1
9.（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.? =1?????????????????????????????????????????B.? =1 C.? =1?????????????????????????????????????????D.? =1
10.（2017?新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（??? ）
A.?（ ，+∞）????????????????????B.?（ ，2）????????????C.?（1， ）????????????????????D.?（1，2）
11.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
12.（2017?新课标Ⅱ）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
13.（2016?天津）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.?﹣y2=1????????????????????B.?x2﹣ =1????????????????????C.?=1????????????????????D.?=1
14.（2016?浙江）已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1 ， e2分别为C1 ， C2的离心率，则（ ）
A.?m＞n且e1e2＞1????????????B.?m＞n且e1e2＜1????????????C.?m＜n且e1e2＞1????????????D.?m＜n且e1e2＜1
15.（2016?天津）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b ， 则双曲线的方程为(? )
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
16.（2016?全国）已知F1 ， F2是双曲线E 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 ?轴垂直，sin ?,则E的离心率为(? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
17.（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
二、填空题
18.（2018?上海）双曲线 的渐近线方程为________。
19.（2018?北京）已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
20.（2018?北京）若双曲线 =1（a﹥0）的离心率为 ，则a=________.
21.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
22.（2017?新课标Ⅲ）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a=________．
23.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
24.（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
25.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________．
26.（2017?新课标Ⅰ卷）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________?．
27.（2016?山东）已知双曲线E： 1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
28.（2016?浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ， 若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________．
29.（2016?北京）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=________.
30.（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的焦距是________.
31.（2016?北京）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ，0），则a=________，b=________．
32.（2016?山东）已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第6节 双曲线
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
双曲线的定义
定 义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零．
2．二个防范 一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系；
二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点．
3. (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
4. 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
5. 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
小结
1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若双曲线的一条渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（???）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，由于双曲线的渐近线方程为?，而圆的圆心（， 半径为1，则利用圆心到直线的距离d,故选A. 【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想
2.双曲线上的点M到点(-5，0)的距离为7，则M到点（5,0）的距离为（?）
A.?1或13???????????????????????????????????????B.?15???????????????????????????????????????C.?13???????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】双曲线的定义
【解析】【分析】易知双曲线的焦点坐标为(5，0)，因为点M到点(-5，0)的距离为73.过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围为???? (????? )??
A.??????????????????????????????B.??????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】由图像可知所作直线的倾斜角要大于渐近线的倾斜角，需满足的倾斜角大于， 即故选C。 【分析】求离心率的范围主要是找到关于的不等式，此题的关键是通过作图确定渐近线倾斜角的取值范围
4.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 ， 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.???????????????????????B.???????????C.??????????????D.?
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2" =4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得?= ∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0。故选C。 【点评】解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案。
5.双曲线的焦距是（???）
A.?4??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????D.?与m有关
【答案】C
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为表示双曲线，所以， 双曲线焦距为2 =8，选C. 【分析】简单题，理解双曲线的几何性质。
6.动点P与点与点满足，则点P的轨迹方程为（ ）
A.???????????B.??????C.?????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程
【解析】【分析】因为动点与点与点满足， 且,所以轨迹为焦点在y轴的双曲线的一支（下支)，故选D。
7.已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若△是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（???）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】在双曲线中，令x="-c" 得，y=±， ∴A，B两点的纵坐标分别为±． ?由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜， tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2-2ac-a2＜0，e2-2e-1＜0，∴1-＜e＜1+． 又 e＞1，∴1＜e＜1+， 故选A． 【分析】此类问题中判断∠AF2F1＜， tan=＜1，是解题的关键，属基础题
8.设双曲线的虚轴长为2，焦距为 ， 则双曲线的渐近线方程为（?? ）
A.?????????????????????????B.????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，由于双曲线的虚轴长为2，焦距为， 则可知b=1,c=,而焦点在x轴上，故其渐近线方程为即为,故选C.
9.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【分析】连接， 由为圆的切线又为线段的中点. 选A. 【点评】求离心率需转换出a,c的关系
10.已知双曲线?的左、右焦点分别为 ， 以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ， 则此双曲线的方程为（????）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设， 则， 即c=5，∵点在渐近线上，即， ∴， ∴双曲线的方程为.
11.设分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得?，故可知双曲线的离心率为， 选B. 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题。
12.点P是双曲线 ﹣ =1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1的右支中，∵a=3，b=4，c=5， ∴F1（﹣5，0），F2（5，0）， ∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6， ∴|MP|≤|PF1|+|MF1|， 所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|| =6+2 =8． 故选D 【分析】利用双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=6故|MP|≤|PF1|+|MF1|即|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||=8
13.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣ ，则此双曲线的方程是（?? ）
A.????????????????????????B.???????????????C.????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设双曲线方程为 ． 将y=x﹣1代入 ，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0． 由韦达定理得x1+x2= ，则 = =﹣ ． 又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5， 所以双曲线的方程是 ． 故选D． 【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2 ， 则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
14.双曲线x2﹣4y2=一1的渐近线方程为（ ）
A.?x±2y=0????????????????????????????B.?y±2x=0????????????????????????????C.?x±4y=0?????????????????????????????D.?y±4x=0
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】双曲线x2﹣4y2=﹣1的渐近线方程为x2﹣4y2=0， 整理，得x±2y=0． 故选：A． 【分析】双曲线x2﹣4y2=﹣1的渐近线方程为x2﹣4y2=0，由此能求出结果。
15.设F1 ， F2是双曲线x2﹣4y2=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 ， ，则a的值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得∠F1PF2为直角，△PF1F2为直角三角形， 又双曲线的方程可化为 ， 故 =4c2=20a， 变形可得（PF1﹣PF2）2+2PF1?PF2=20a， 由双曲线定义得（2× ）2+4=20a， 即a2=1，解得a=1， 故选C 【分析】由数量积的意义结合勾股定理可得（PF1﹣PF2）2+2PF1?PF2=20a，代入已知可得关于a的方程，解之可得．
16.已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|， 由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a， 可得|PF1|=4a，|PF2|=2a， 由四边形PF1MF2为平行四边形， 又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°， 在三角形PF1F2中，由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°， 即有4c2=20a2+8a2 ， 即c2=7a2 ， 可得c= a， 即e= = ． 故选B． 【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即可求出双曲线C的离心率．
17.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（???）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知，一渐近线方程为 ， 则的方程为 y-0=k（x-c），代入渐近线方程?可得的坐标为， 故的中点， 根据中点在双曲线上，∴， 解得， 故?， 本题求出的中点的坐标是解题的关键．故选A.
18.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=???? (??? ) ???????????????????????????????????????
A.?-12??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】由题设知b= ， 再根据点在该双曲线上知y=1．由此能求出 ． 【解答】∵双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x，∴b=． 把点代入双曲线，得-=1，解得y=1． ∴P（， 1)，F（-2，0)，F（2，0)，． =（-2-， 0-1)(2-， 0-1)=0， 或P（， -1)，F（-2，0)，F（2，0)， =（-2-， 0+1)(2-， 0+1)=0． 故答案为0． 选C。
19.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是(?? )
A.?-1??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题知双曲线焦点在y轴上，且c=3,双曲线方程可化为 ∴k=-1.，故选A. 【分析】因为双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），所以c=3,将双曲线化为标准方程即可。
20.已知直线与双曲线 ， 有如下信息：联立方程组：, 消去后得到方程 ， 分类讨论：（1）当时，该方程恒有一解；（2）当时，恒成立。在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.?????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】联立方程组：, 消去后得到方程,此时恒成立，即恒成立，解得；所以双曲线离心率， 即为正确答案.
21.,分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点。若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的定义
【解析】【分析】不妨设，由双曲线的定义知即；同理可求得；在中，由余弦定理化简可得.
22.已知F1、F2是双曲线 （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2 ， 若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是?（?????）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
A.?4+ ?????????????????????B.?+1 ???????????C.?—1 ?????????????????????D.?
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e． 【解答】依题意可知双曲线的焦点为F1（-c，0)，F2（c，0) ∴F1F2=2c ∴三角形高是c M（0，c) 所以中点N（-， c) 代入双曲线方程得：-=1 整理得：b2c2-3a2c2=4a2b2 ∵b2=c2-a2 所以c4-a2c2-3a2c2=4a2c2-4a4 整理得e4-8e2+4=0 求得e2=4±2 ∵e＞1， ∴e=+1 故选B
23.已知双曲线 的右焦点为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两点， 为锐角三角形，则双曲线 的离心率的取值范围是(??? )
A.????????????????????????????B.???????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的右焦点为 ?，一条渐近线方程为 ?， 圆 的圆心 ?，半径为 ?， 渐近线与圆交于 两点， 为锐角三角形， 可得： ?可得 ?又 ? 可得 ?可得： ?，由 ?可得 ? 所以双曲线 的离心率的取值范围是 ． 故答案为：D． 【分析】设出双曲线的渐近线方程，由题意，圆心到渐近线的距离小于圆的半径，结合三角形ABF是锐角三角形，所以圆心到渐近线的距离大于，结合双曲线离心率公式,代入数据计算，即可得出答案。
24.双曲线 的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是（?? ）．
A.?－12【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线方程可变为 ，则a2＝4，b2＝－k ， c2＝4－k ， e＝ ， 又∵e∈(1，2)，则1<<2，解得－12二、填空题
25.双曲线 的两条渐近线的方程为________.
【答案】?
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】由双曲线 得a=4,b=3,故两条渐近线的方程为 。
【分析】利用双曲线的标准方程求出a,b再利用渐近线公式求解.
26.已知双曲线 的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的离心率为2，可得 ，即： ， 可得 ， 该双曲线的渐近线方程为： ． 故答案为： ． 【分析】由双曲线的离心率可得，进而可得，从而可得双曲线的渐近线方程．
27.直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 两点， 为右顶点， 为坐标原点，若 ，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ∵ ，∴ ， ∴ ， 代入双曲线 ，可得 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，故答案为 .
【分析】由已知的角相等可得出点C的坐标，代入双曲线的方程找出a与b的关系再结合双曲线里的关系求出c进而得出离心率的值。
28.已知双曲线C： ﹣ =1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2 = ，则双曲线的离心率________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=± ，设M在直线y= 上，M（x0 ， ），F（c，0）， 则MF= =b，OM= = =a， ∵2 = ，∴FN=2b， ∴S△OFN=2S△OMF ， 即 =2× ∵∠MOF=∠NOF， ∴ON=2a， 在Rt△OMN中，由勾股定理得a2+9b2=4a2 ， ∴b2= ，∴e= = ． 故答案为： ．, 【分析】由双曲线的渐近线方程为 ,设M在直线上，M（x0 ， ? x 0 ），F（c，0），在双曲线中,则, ,由图可得? ∴S△OFN=2S△OMF可得∵∠MOF=∠NOF，∴ON=2a，在Rt△OMN中，由勾股定理得。
29.已知双曲线 ，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为 ，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不失一般性，令双曲线 的焦点为 ，渐近线为 ，即 ，垂线段的长度即焦点到准线的距离即 ，故由题意可得 ，所以双曲线的离心率满足 ，即 ，故答案为 .【分析】结合双曲线的性质计算出两条垂线段的长度，结合题目所给的条件，计算出a与b的关系，再结合离心率计算公式计算答案。
30.若 ， 分別是双曲线 ? 的左、右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线的左支上，点 在直线 上，且满足 ， ，则该双曲线的离心率为________．
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵ ， ，∴四边形F1OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，
∵|F1O|=|PM|=c，MN= ，
∴P点的横坐标为﹣（c﹣ ），
把x=﹣ 代入双曲线双曲线 =1（a＞0，b＞0）得y=± ?
∴M（ ? ），
∴|OM|= ,
∵四边形F1OMP是菱形，∴|OM|=|F1O|，
∴ =c．
整理得e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或e2=1（舍去）．
∴e=2，或e=﹣2（舍去）．
故答案为：2
【分析】四边形F1OMP是菱形，|OM|=|F1O|，代入坐标运算即得。
31.已知点 ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹方程为________.
【答案】
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程
【解析】【解答】由 ，结合双曲线定义可知动点 的轨迹为以 ?为焦点的双曲线右支，双曲线中 ，轨迹方程为 .故答案为：=1（x0）. 【分析】因为 ， 所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.
32.已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，双曲线的应用
【解析】【解答】∵右顶点为A ， ∴A(a,0)，
∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点， ，
∵|FA|=c ， ∴ ①，
抛物线的准线方程为 ，
由 得 ，
②，
由①②,得 ,即c2=2a2 ，
∵c2=a2+b2 ，
∴a=b ，
∴双曲线的渐近线方程为：y=±x ，
故答案为：y=±x.
【分析】本题利用抛物线方程求出焦点F的坐标，再利用双曲线方程求出A的坐标，再结合已知条件 | F A | = c找出a,p,c三者的关系，再利用抛物线准线与双曲线相交的条件，联立双曲线方程和抛物线准线方程两交点的横坐标，从而求出所截弦长的长度，再利用双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2 c 的已知条件，求出a,b,p,c四者的关系式，再结合双曲线a,b,c三者的关系式求出a和b的关系式，最后将a和b的关系式代入到双曲线准线方程中求出双曲线准线方程。
三、解答题
33.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2 ， 试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．
【答案】解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，则圆心为（0，2），半径为2．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=2．
即有交点为（2，2）．
设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），
则=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，
由解得，x2=6，y2=2．
由解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（,），（﹣,），
（﹣，﹣），（，﹣）．
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a=2，令y=2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；
（2）求出焦点坐标，∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．
34.设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围
【答案】解：设点P的坐标为（x，y），依题设得，即y=±2x，x≠0 因此，点P（x，y）、M（﹣1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|﹣|PN||＜|MN|=2 ∵||PM|﹣|PN||=2|m|＞0 ∴0＜|m|＜1 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故． 将y=±2x代入，并解得≥0， 因为1﹣m2＞0，所以1﹣5m2＞0， 解得， 即m的取值范围为．
【考点】双曲线的定义
【解析】【分析】先设点P的坐标为（x，y），然后由点P到x、y轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过x2求得m的取值范围．
35.已知双曲线 的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥ k．
（1）求m的取值范围；
（2）设条件p：e≥ k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由已知得： ， ， ∵ ，∴ ，解得m≤3， ∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3] （2）解：∵m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2， ∵p是q的必要不充分条件，∴ 解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）先结合双曲线的方程表示出其离心率与渐近线的斜率，再根据题中离心率与渐近线斜率的特征列出不等式，即可求得m的取值范围；（2）先求得条件p，q成立时m的取值范围，再结合“p是q的必要不充分条件”求得a的取值范围.
36.已知椭圆D：与圆M：x2+（y﹣5）2=9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
【答案】解：∵椭圆D的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5． 设双曲线G的方程为﹣=1（a＞0，b＞0） ∴渐近线为bx±ay=0且a2+b2=25， ∵圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3， ∴=3，即=3，解得a=3，b=4， ∴G方程为﹣=1．
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【分析】依题意，设双曲线G的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），从而得到其渐近线方程，由椭圆方程可求得双曲线G的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），利用圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3即可求得a，b，从而可得双曲线G的方程。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知双曲线C: ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若 为直角三角形，则 =（ ??）
A. B.3 C. D.4
【答案】B
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】解： ,不妨设 , ,
∴ ,即 ,
∴ ,
故答案为：B.
【分析】由于 不是直角,则只可能 , 为直角,则由渐近线的方程求出斜率,得到MN的斜率,求出直线MN的方程,与渐近线方程联立求出M,N的坐标,再求|MN|.
2.（2018?浙江）双曲线 的焦点坐标是（ ??）
A.?(? ，0)，( ，0)??????????????????????????????????????B.?(?2，0)，(2，0) C.?(0，? )，(0， )??????????????????????????????????????D.?(0，?2)，(0，2)
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ， 因为 ，所以焦点坐标为 ， 故答案为：B. 【分析】求得双曲线的a，b，由c= ， 求得c=2，即可得到所求焦点坐标．
3.（2018?天津）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ， B两点. 设A ， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（ ??）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： ∴ ∴双曲线渐近线方程为 又 即 则 则b=3 ∴双曲线方程为 故答案为：C 【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a，即可得到双曲线方程.
4.（2018?天津）已知双曲线 ?的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ?则双曲线的方程为（ ??）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵ ，则
∴双曲线方程为
渐进性方程为
又 ，即： ，则
∴
即：
∴双曲线方程为
故答案为：A
【分析】利用离心率，把双曲线方程用一个字母a表示，再使通径两端点到两渐进线距离之和为6，求出a.
5.（2018?卷Ⅱ）双曲线 （a>0,b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ???）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，∴3= =2 ∴ ∴渐近线方程为：y= 故答案为：A 【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
6.（2018?卷Ⅲ）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的最近线的距离为(? ?)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】点到直线的距离公式，双曲线的应用
【解析】【解答】 因为a=b 则渐近线方程为y=±x 所以（4,0）到渐近线距离d= 故答案为：D 【分析】利用离心率得到渐近线斜率，再用点到直线距离公式
7.（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2， ，即 ， ， 解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ． 故选：D． 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．
8.（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A.?﹣ =1????????????????????B.?﹣ =1????????????C.?﹣ =1????????????????????D.?﹣ =1
【答案】B
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
9.（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.? =1?????????????????????????????????????????B.? =1 C.? =1?????????????????????????????????????????D.? =1
【答案】B
【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=± x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ， 则 =1，c=4，则a=b=2 ， ∴双曲线的标准方程： ； 故选B． 【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
10.（2017?新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（??? ）
A.?（ ，+∞）????????????????????B.?（ ，2）??????????C.?（1， ）????????????????????D.?（1，2）
【答案】C
【考点】函数的值域，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为： = = ∈（1， ）． 故选：C． 【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
11.（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】三角形中的几何计算，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ， 故选D． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
12.（2017?新课标Ⅱ）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为： = ， 解得： ，可得e2=4，即e=2． 故选：A． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
13.（2016?天津）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.?﹣y2=1????????????????????B.?x2﹣ =1????????????????????C.?=1????????????????????D.?=1
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ， ∴c= ， ∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直， ∴ = ， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2 ， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为 =1． 故选：A． 【分析】利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．；本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．
14.（2016?浙江）已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1 ， e2分别为C1 ， C2的离心率，则（ ）
A.?m＞n且e1e2＞1????????????B.?m＞n且e1e2＜1????????????C.?m＜n且e1e2＞1????????????D.?m＜n且e1e2＜1
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2： ﹣y2=1（n＞0）的焦点重合， ∴满足c2=m2﹣1=n2+1， 即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2 ， 则m＞n，排除C，D 则c2=m2﹣1＜m2 ， c2=n2+1＞n2 ， 则c＜m．c＞n， e1= ，e2= ，则e1?e2= ? = ，则（e1?e2）2=（ ）2?（ ）2= = = =1+ =1+ =1+ ＞1， ∴e1e2＞1， 故选：A． 【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2，进行判断，能得m＞n，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．
15.（2016?天津）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b ， 则双曲线的方程为(? )
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】渐近线 设 ，则 ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=± x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
16.（2016?全国）已知F1 ， F2是双曲线E 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 ?轴垂直，sin ?,则E的离心率为(? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】离心率 ，由正弦定理得 ． 故选A 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
17.（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.?（﹣1，3）?????????????????????B.?（﹣1， ）?????????????????????C.?（0，3）?????????????????????D.?（0， ）
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4， ∴c=2，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣ =1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 故选：A． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围.本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
二、填空题
18.（2018?上海）双曲线 的渐近线方程为________。
【答案】
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】 ，a=2，b=1。故渐近线方程为 【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为 时， 。
19.（2018?北京）已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
【答案】；2
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：图中A ，设椭圆焦距为2c, 又 。 ∴ ， 又 ， ∴ ，即双曲线离心率为 故答案为： ，2. 【分析】从椭圆的半焦距c出发，先分析正六边形，再由椭圆的定义得到a,c之间关系，求出椭圆离心率，再由A点坐标得到渐近线，得到m,n的关系，从而得到双曲线离心率。
20.（2018?北京）若双曲线 =1（a﹥0）的离心率为 ，则a=________.
【答案】4
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：e= = a=4. 【分析】根据双曲线离心率公式代入数据，用待定系数法求解。
21.（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
22.（2017?新课标Ⅲ）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a=________．
【答案】5
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，解得a=5． 故答案为：5． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
23.（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
24.（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
【答案】2
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
25.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________．
【答案】2 ?
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x， 所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）． 则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ． 故答案为：2 ． 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
26.（2017?新课标Ⅰ卷）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________?．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ， 可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ． 故答案为： ． 【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
27.（2016?山东）已知双曲线E： 1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b =± ， 由题意可设A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ），由2|AB|=3|BC|，可得2? =3?2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2 ， e= ，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=± ，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．；本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
28.（2016?浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ， 若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，由双曲线x2﹣ =1，得a2=1，b2=3，∴ ． 不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣ =1，得y=±3，即|PF2|=3， 此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由PF1⊥PF2 ， 得 ， 又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得： ， ∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得： ，此时|PF1|+|PF2|= ．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（ ）．故答案为：（ ）． 【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
29.（2016?北京）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=________.
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线图象如图 ∵ 为正方形， ∴ ， ∵直线 是渐近线，方程为 ，∴ 又∵ ∴ 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可
30.（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的焦距是________.
【答案】
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】 ，因此焦距为 【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线 ﹣ =1的焦距.
31.（2016?北京）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ，0），则a=________，b=________．
【答案】1；2
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ，0）， ∴ ， 解得a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ，0），列出方程组，由此能出a，b．；本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
32.（2016?山东）已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b =± ， 由题意可设A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ），由2|AB|=3|BC|，可得2? =3?2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2 ， e= ，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=± ，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．；本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
