2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第6节 空间向量及其运算
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
空间向量
定义
在空间中，具有 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
有关定理
共线向量
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝ .
共面向量
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ .
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝ .
两个向量的数量积
数量积
非零向量a，b的数量积
a·b＝ .
空间向量数量积的运算律
①结合律
(λa)·b＝ .
②交换律
a·b＝ .
③分配律
a·(b＋c)＝ .
空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
.
共线
a＝λb(b≠0)
.
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
.
模
|a|
.
夹角
(a≠0，b≠0)
.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一种思想 理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比．
2．两种方法 一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算．二是强化坐标运算，.
3. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．
（2）首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和
4. 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
5. (1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．
①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；
②|a|＝；
③cos＝.
小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ?， ?， ?，则 等于(???? )
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
2.?设，且，则xz等于?????????????????????????????（ ）
A.?-4?????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.?-9?????????????????????????????????????????D.?
3.设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与α的位置关系是（ ）
A.?l∥α???????????????????????????????????B.?l⊥α???????????????????????????????????C.?l?α??????????????????????????????????D.?l?α或l∥α
4.在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为,已知P(－1, 3, 2)，则P到平面OAB的距离等于 （ ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?1
5.向量=(2,3)在向量=（3，-4）上的投影为（ ）
A.??????????????????????????????????????B.?-?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?-
6.设 =（﹣2，2，5）、=（6，﹣4，4）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（ ）
A.?平行??????????????????????????????B.?垂直??????????????????????????????C.?相交但不垂直??????????????????????????????D.?不能确定
7.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（ ）
A.?M一定在直线AC上?????????????????????????????????????????????B.?M一定在直线BD上 C.?M可能在直线AC上，也可能在直线BD上????????????D.?M既不在直线AC上，也不在直线BD上
8.平面α的一个法向量为（1，2，0），平面β的一个法向量为（2，﹣1，0），则平面α与平面β的位置关系是（ ）
A.?平行??????????????????????????????B.?相交但不垂直??????????????????????????????C.?垂直??????????????????????????????D.?不能确定
9.设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 （???? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
10.若向量 ， 则在方向上的投影为（???）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.已知动点P的竖坐标恒为2，则动点P的轨迹是（ ）
A.?平面?????????????????????????B.?直线?????????????????????????C.?不是平面也不是直线?????????????????????????D.?以上都不对
12.向量=（1，2，3），则||=（ ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
13.点P（1，3，5）关于平面xoz对称的点是Q，则向量=（ ）
A.?（2，0，10）??????????????B.?（0，﹣6，0）??????????????C.?（0，6，0）??????????????D.?（﹣2，0，﹣10）
14.如图，在正方体 中，若 ，则x+y+z的值为（ ??）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-1??????????????????????????????????????????D.?-3
二、填空题
15.若=(1,0,2)，=(0,1,2)，则|-2|=________?
16.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为=（1，0，﹣1），=（﹣2，0，2），则l1与l2的位置关系是________?．
17.已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________?
18.边长为2的正△ABC的三个顶点都在体积是4的球面上，则球面上的点到平面ABC的最大距离是________?
19.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若 ，则x+y+z________
20.直线l的一个方向向量=(1,2)，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为________?．（结果用反三角函数值表示）
21.如图，在直三棱柱 中，若= ， ， ， 则 ________.（用a，b，c表示）
22.已知=（λ+1，0，2），=（6，2μ﹣1，2λ），若∥ ， 则λ与μ的值是________?
三、解答题
23.如图，四边形 为菱形，四边形 为平行四边形，设 与 相交于点 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为60°，求二面角 的余弦值．
24.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点． （1）若DE∥平面A1MC1 ， 求； （2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
25.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB= ， BC=t，∠PAB=∠PAD=α． （Ⅰ）当t=3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．
26.如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ， 点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
2.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
3.如图，在正方体 中，直线 与平面 所成角的余弦值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.? ? C.????????????????????????????????????????????D.?
5.（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
6.（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A.?A1E⊥DC1??????????????????????????B.?A1E⊥BD??????????????????????????C.?A1E⊥BC1??????????????????????????D.?A1E⊥AC
二、填空题
7.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
8.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
三、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
10.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
13.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
14.（2018?卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正玄值。
15.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
16.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
17.（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
18.（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
19.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
20.（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）证明：G是AB的中点；
（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
21.（2016?全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
22.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第6节 空间向量及其运算
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
空间向量
定义
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
有关定理
共线向量
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.
共面向量
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
两个向量的数量积
数量积
非零向量a，b的数量积
a·b＝|a||b|cos.
空间向量数量积的运算律
①结合律
(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律
a·b＝b·a.
③分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
(a≠0，b≠0)
cos＝
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一种思想 理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比．
2．两种方法 一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算．二是强化坐标运算，.
3. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．
（2）首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和
4. 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
5. (1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．
①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；
②|a|＝；
③cos＝.
小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键
备战练习·固基石
一、单选题
1.如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ?， ?， ?，则 等于(???? )
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】B
【考点】空间向量的基本定理及其意义，空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故选B。【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
2.?设，且，则xz等于?????????????????????????????（ ）
A.?-4?????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.?-9?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【分析】∵=(x，4，3)，=(3，2，z)， 由∥则存在实数λ使=λ 即（x，4，3)=λ（3，2，z),即 解得λ=2 故x=6，z= 故xz=9 故选B
3.设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与α的位置关系是（ ）
A.?l∥α???????????????????????????????????B.?l⊥α???????????????????????????????????C.?l?α??????????????????????????????????D.?l?α或l∥α
【答案】D
【考点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：∵=﹣6+8﹣2=0， ∴ ． ∴l?α或l∥α． 故选：D． 【分析】由=0，可得 ． 即可判断出位置关系．
4.在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为,已知P(－1, 3, 2)，则P到平面OAB的距离等于 （ ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【考点】向量的投影
【解析】【分析】因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以.
5.向量=(2,3)在向量=（3，-4）上的投影为（ ）
A.??????????????????????????????????????B.?-?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?-
【答案】D
【考点】向量的投影
【解析】【解答】解：根据投影的定义可得： 在 方向上的投影为||cos＜ ， ＞= =． 故选D． 【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的投影为||cos＜ ， ＞=求解．
6.设 =（﹣2，2，5）、=（6，﹣4，4）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（ ）
A.?平行??????????????????????????????B.?垂直??????????????????????????????C.?相交但不垂直??????????????????????????????D.?不能确定
【答案】B
【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】=（﹣2，2，5）（6，﹣4，4）=﹣2×6+2×（﹣4）+5×4=0 ∴⊥ ∵=（﹣2，2，5）、=（6，﹣4，4）分别是平面α，β的法向量 ∴平面α与平面β垂直 故选B. 【分析】先根据向量的坐标运算计算向量与向量的数量积，然后根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系。
7.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（ ）
A.?M一定在直线AC上?????????????????????????????????????????????B.?M一定在直线BD上 C.?M可能在直线AC上，也可能在直线BD上????????????D.?M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】A
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD． ∵E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA ∴EF?面ABC，GH?面ACD∵EF∩GH=M∴M∈面ABC，M∈面ACD? ∵面ABC∩面ACD=AC ∴M∈AC????? 故选A． 【分析】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD，再由公理1，3可得M的位置．
8.平面α的一个法向量为（1，2，0），平面β的一个法向量为（2，﹣1，0），则平面α与平面β的位置关系是（ ）
A.?平行??????????????????????????????B.?相交但不垂直??????????????????????????????C.?垂直??????????????????????????????D.?不能确定
【答案】C
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：由题意可得（1，2，0）?（2，﹣1，0）=1×2﹣2×1+0×0=0， 故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直， 故选：C 【分析】由数量积的运算可得数量积为0，可得法向量垂直，故平面垂直
9.设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 （???? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】D
【考点】平面的法向量
【解析】【解答】∵平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ， ，∴ ，∴ ． 故答案为：D．【分析】利用向量共线定理即可得出． 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．
10.若向量 ， 则在方向上的投影为（???）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】向量的投影
【解析】【解答】根据题意，由于向量， ， 那么可知?=-8+21=13，那么||=?可知， 因此可知在方向上的投影为， 故选C. 【分析】主要是考查了向量的数量积的几何意义的运用，属于基础题。
11.已知动点P的竖坐标恒为2，则动点P的轨迹是（ ）
A.?平面?????????????????????????B.?直线?????????????????????????C.?不是平面也不是直线?????????????????????????D.?以上都不对
【答案】A
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】动点P的竖坐标恒为2，在空间直角坐标系中，方程为：z=2， 动点P的轨迹是平面， 故选：A． 【分析】直接判断轨迹图形即可.
12.向量=（1，2，3），则||=（ ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】空间向量的概念
【解析】【解答】向量=（1，2，3），则 故选：B． 【分析】根据空间向量模的公式计算即可。
13.点P（1，3，5）关于平面xoz对称的点是Q，则向量=（ ）
A.?（2，0，10）??????????????B.?（0，﹣6，0）??????????????C.?（0，6，0）??????????????D.?（﹣2，0，﹣10）
【答案】B
【考点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：点P（1，3，5）关于xoz平面对称点的坐标，就是求出y关于xoz平面对称的值，可得Q（1，﹣3，5）． ∴向量=（1，﹣3，5）﹣（1，3，5） =（0，﹣6，0）． 故选B． 【分析】欲求出点P（1，3，5）关于xoz平面对称点的坐标，只需求出y关于xoz平面对称点的坐标即可，然后向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标即可求出所求．
14.如图，在正方体 中，若 ，则x+y+z的值为（ ??）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-1??????????????????????????????????????????D.?-3
【答案】B
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得 ， ∵ ，∴x=1，y=-1，z=1．故x+y+z=1，故B符合题意． 故答案为：B . 【分析】根据向量的加减法法则将用，，表示即可求出x，y，z的值，进而可求出x+y+z的值.
二、填空题
15.若=(1,0,2)，=(0,1,2)，则|-2|=________?
【答案】3
【考点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：∵=（1，0，2），=（0，1，2） ∴﹣2=（1，﹣2，﹣2） ∴ 【分析】本题直接根据空间向量的坐标运算（即对应坐标想加减）和模的公式（即坐标的平方和的算术平方根）进行计算即可
16.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为=（1，0，﹣1），=（﹣2，0，2），则l1与l2的位置关系是________?．
【答案】平行
【考点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：∵直线l1和l2的方向向量分别为=（1，0，﹣1），=（﹣2，0，2）， ∴=﹣2 ， 即∥ ， ∴l1与l2的位置关系平行． 故答案为：平行． 【分析】根据空间向量坐标之间的关系，即可得到直线之间的位置关系．
17.已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________?
【答案】（﹣1，0，2）
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】根据题意，可得 =（﹣1，﹣1，﹣1），=（2，0，1），=（x，﹣1，y） ∵PA⊥平面ABC， ∴⊥且⊥ ， 可得， 解之得x=﹣1，y=2，可得P的坐标是（﹣1，0，2）． 故答案为：（﹣1，0，2）． 【分析】根据题意算出、、的坐标，由PA⊥平面ABC得⊥且⊥ ， 建立关于x、y的方程组，解之即可得出点P的坐标。
18.边长为2的正△ABC的三个顶点都在体积是4的球面上，则球面上的点到平面ABC的最大距离是________?
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：边长是2的正三角形ABC的外接圆半径 ， ∴球O的半径R= ． ∴球心O到平面ABC的距离 ∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+ 故答案为： ． 【分析】边长是2的正三角形ABC内接于体积是4的球O，易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．
19.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若 ，则x+y+z________
【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，有.
又因为 ,所以 解得
所以
【分析】根据向量的加法原则将用、、表示，即可求出x、y、z的值.
20.直线l的一个方向向量=(1,2)，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为________?．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【考点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量=(1,2)， ∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是= ， ∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos ． 故答案为：arccos ． 【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量=(1,2)，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．
21.如图，在直三棱柱 中，若= ， ， ， 则 ________.（用a，b，c表示）
【答案】-+-
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
【分析】根据向量加减法法则即可求解.
22.已知=（λ+1，0，2），=（6，2μ﹣1，2λ），若∥ ， 则λ与μ的值是________?
【答案】2，或﹣3，
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解析】【解答】解：∵=（λ+1，0，2），=（6，2μ﹣1，2λ），∥ ， ∴=t ， 则（λ+1，0，2）=t（6，2μ﹣1，2λ）=（6t，（2μ﹣1）t，2λt） 即， 解得． 故答案为：2，或﹣3， ． 【分析】根据∥则存在唯一的实数t使得=t ， 将坐标代入，建立等式关系，从而求出λ与μ的值．
三、解答题
23.如图，四边形 为菱形，四边形 为平行四边形，设 与 相交于点 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为60°，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：连接 ， ∵四边形 为菱形， ∵ ， 在 和 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 ； （2）解法一：过 作 垂线，垂足为 ，连接 ， 易得 为 与面 所成的角， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∴ 为二面角 的平面角， 可求得 ， 在 中由余弦定理可得： ， ∴二面角 的余弦值为 ； 解法二：如图，在平面 内，过 作 的垂线，交 于 点， 由（1）可知，平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∴直线 两两互相垂直， 分别 为 轴建立空间直角坐标系 ， 易得 为 与平面 所成的角，∴ ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 且 ， ∴ ，且 取 ，可得平面 的一个法向量为 ， 同理可求得平面 的一个法向量为 ， ∴ ， ∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）做辅助线，连接EG，通过证明△EAD和△EAB全等，得到ED=EB，即EG⊥BD。四边形ABCD为菱形，则有AC⊥BD，故BD⊥平面ACFE，进而可以证明两个平面垂直。（2）分别 为 轴建立空间直角坐标系 ，设出平面 的一个法向量为 ，利用法向量求出二面角B-EF-D的余弦值。
24.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点． （1）若DE∥平面A1MC1 ， 求； （2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
【答案】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N， ∵M，N分别为AB，CB中点 ∴MN∥AC∥A1C1 ， ∴A1 ， M，N，C1四点共面， 且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N， 又DE∩平面BCC1B1 ， 且DE∥平面A1MC1 ， ∴DE∥C1N， ∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点， ∴=． （2）连结B1M， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1 ， ∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M， 又A1C1⊥平面ABB1A1 ， ∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1 ， ∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影， ∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M， 又B1C1∥BC， ∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角 设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形 ∴，则MC1=2，， ∴cos=， ∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出= ． （2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
25.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB= ， BC=t，∠PAB=∠PAD=α． （Ⅰ）当t=3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．
【答案】解：（1）在棱PA上取点E，使得=， 连接AC，BD交于点F， 因为AD∥BC， 所以=， 所以=，所以，EF∥PC 因为PC?平面BDE，EF?平面BDE 所以PC∥平面BDE （Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG． AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°， 所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD， 所以OA=OB=OD， 即点O为正方形ABGD对角线的交点， 以O坐标原点，分别以,,的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 则O（0，0，0），P（0，0，1），A（﹣1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），G（1，0，0） 设棱BC的长为t，则C（t，1﹣t，0）， =（﹣1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（t，1﹣t，﹣1），=（0，﹣1，﹣1） 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 ，取=（﹣1，1，1） 同理平面PCD的法向量=（1﹣，1，﹣1） 由=0，解得t=2，即BC的长为2
【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【分析】（Ⅰ）在棱PA上取点E，使得= ， 连接AC，BD交于点F，证明EF∥PC，即可证明PC∥平面BDE； （Ⅱ）取BC上一点G使得BG= ， 连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG，以O坐标原点，分别以,,的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量=（﹣1，1，1）、同平面PCD的法向量=（1﹣ ， 1，﹣1），由=0，解得BC的长．
26.如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ， 点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由
【答案】解：（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．由线面平行的判定定理可以证出结论．用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图截面，S=6 ,
故答案为：A.
【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角相等,得到平面 与其中一条对角线垂直,此时截面与相应侧面构成正三棱锥,再求出截面面积的最大值.
2.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
【答案】C
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：AC1与面BB1C1C所成角平面角为 ,
∴BC1=2
∴CC1=2 .长方体体积为22 2 =8 ，
故答案为：C.
【分析】由长方体的结构特征找到直线与与平面所成的角,求出长方体的高,再求体积.
3.如图，在正方体 中，直线 与平面 所成角的余弦值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接AC,则就是直线 A1C 与平面 ABCD 所成角,设棱长为a,则cos= 故答案为:D. 【分析】正方体中体对角线A1C与底面ABCD所成的角就是A1C与其在底面的射影AC所成的角A1CA，在三角形A1CA中求角.
4.在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.? ? C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】= 故答案为:C.【分析】由若 D为 BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.
5.（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】D
【考点】棱柱的结构特征，向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。
故答案为：D。
【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。
6.（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A.?A1E⊥DC1??????????????????????????B.?A1E⊥BD??????????????????????????C.?A1E⊥BC1??????????????????????????D.?A1E⊥AC
【答案】C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用向量证明垂直
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）， =（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0）， ∵ ? =﹣2， =2， =0， =6， ∴A1E⊥BC1 ． 故选：C． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求向量的数量积，得到答案．
二、填空题
7.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：设母线长为l ∵ ∴ ∴ 2r= r= ∴ 【分析】先由 ，可得 ? 可由 的面积等于 ，可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥侧面积公式可求。
8.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
【答案】
【考点】平行向量与共线向量，空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 又 所以 【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
三、解答题
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF ， BF⊥EF ， 又 ， ∴BF⊥平面PEF. ∴又 平面ABFD ， 平面PEF⊥平面ABFD. （2）解：作PH⊥EF ， 垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得 . 则 ? 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为 ，则 . ∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作 于H,由 得到 ,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.
10.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系， 则 ? 设 为面CDE法向量 则 令z=-1 ∴ 又 ，则 ，又 ∴ （Ⅱ） 设 是面BCE法向量， 则 z=1 ∴ 设 是面BCF法向量，则 令z=1∴ ∴ 则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h） ∴ 为平面ADGE的一个法向量， 则 则
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证； （Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等； （Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD ， 平面ABC∩平面ABD=AB ， AD⊥AB ， 可得AD⊥平面ABC ， 故AD⊥BC ． （Ⅱ）解：取棱AC的中点N ， 连接MN ， ND ． 又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC ． ∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ． ∵AD⊥平面ABC ， 故AD⊥AC ． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ． 等腰 中，MN=1， ∴ ． ∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ． （Ⅲ）连接CM ∵ 为等边三角形，M为边AB中点， ∴CM⊥AB CM= 又面ABC⊥面ABD,而CM 面ABC，故CM⊥面ABD,∴ 为直线CD与面ABD所成角 中 中， 所以CD与平面所成角正弦值为
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直，得到线线垂直，从而得到线面垂直最后线线垂直；（2）平移直线BC解 ；（3）找到线面垂直，得到线面角.
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
【答案】（1）∵PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ∴PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）过点C作CH⊥OM交OM于点H 又∵PO⊥平面ABC ∴ ∴CH的长度为点C到平面POM的距离 在△COM中，CM= ?，OC=2，∠OCM=45° ∴ ∴OM= ∴
【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.
13.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ?PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB ∴AB=BC=2 ?? O是AC的中点 ∴OB⊥AC??? OB⊥平面PAC 如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz 则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0） 平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0） 平面PAC法向量为 =（1，λ，μ）， =（0，2， ）, = （x，4-x，0） 则 即 即 得到 ，∴x=-4（舍） ，x= 即M ∴PAM的法向量 记PC与平面PAM所成的角为θ ∴ 即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
14.（2018?卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明:平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正玄值。
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 即 又DMC 面AMD 所以 平面 （2）解：当M-ABC三棱锥体积最大时，M位于CD垂直的半径上 取CD中点E，则ME⊥CD,取AB中点F，则EF⊥CD 所以 为面MAB与面MCD所成二面角，又ME=1,EF=2 所以MF= ,即
【考点】平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】由线面垂直，得到面面垂直，第二问由二面角定义，做出二面角即可
15.（2018?北京）如图，在三菱柱ABC- 中， 平面ABC。 D,E,F,G分别为 ,AC, , 的中点，AB=BC= ，AC= =2。 （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF： （Ⅱ）求二面角B-CD- 1的余弦值： （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。
【答案】解：（Ⅰ）∵AC=BC, 又E是AC的中点， ∴ , 又CC1 面ABC,EF CC1, ∴EF 面ABC， 又AC 面ABC, ∴EF AC. 又 ,所以AC 面BEF. （Ⅱ）过E作EH CD于H，连接BH ∵EH CD，BE AC,BE EF, ∴BE 面ACC1A1 ， CD 面ACC1A1 ， ∴CD BE,由二面角定义可知， 为二面角B-CD-C1的平面角的补角，BE=2，EH= ， ∴BH= ∴cos = ,而二面角B-CD-C1的余弦值为 ， （Ⅲ）假设FG与面BCD不相交，则FG 与面BCD， ∵EF CD=Q，连接BQ， 又∵面EFGB 面DCB=BQ. ∵FG BH，又BG EF， ∴四边形BGEF为平行四边形与 矛盾。所以假设不成立，故FG与面BCD相交。
【考点】反证法，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明AC垂直于面BEF内两条相交直线BE,EF.（2）用定义法作出二面角 BHE为所求二面角的补角；（3）反证法，假设平行，推出矛盾。
16.（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD． （2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ）， ∴ =（1， ）， =（﹣1， ）， ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的性质，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积运算，空间向量运算的坐标表示
【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
17.（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF， ∵E为PD的中点，∴EF∥PA， 在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点， ∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP， ∵EC?平面EFC， ∴EC∥平面PAB． （Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF， ∵PA=PD，∴PF⊥AD， 推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD， ∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC， ∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB， 设DC=CB=1，则AD=PC=2， ∴PB= ， BF=PF=1， ∴MF= ， 又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF， ∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为 ， ∵E为PD的中点，∴E天平面PBC的距离为， 在△PCD中，PC=2，CD=1，PD=， 由余弦定理得CE= ， 设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB． （Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
18.（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面PBD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取z= ，得 ． 取平面PAD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
19.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】（1）解：证明：找到 中点 ，连结 ， ∵矩形 ,∴ ∵ 、 是中点，∴ 是 的中位线 ∴ 且 ∵ 是正方形 中心 ∴ ∴ 且 ∴四边形 是平行四边形 ∴ ∵ 面 ∴ 面 （2）解：如图所示建立空间直角坐标系 ， ， ， 设面 的法向量 得： ∴ ∵ 面 ， ∴面 的法向量 （3）∵ ∴ 设 ∴ 得：
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF； （2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值
20.（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）证明：G是AB的中点；
（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（1）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， ∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB， 又E为D在平面PAB内的正投影， ∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中点； （2）∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC，则PB⊥平面PAC， 而PB?平面PAB，则平面PAB⊥平面PAC， 在平面PAB中，过E作EF⊥PA，则EF⊥平面PAC， 即F为E在平面PAC内的正投影． 由于PA=PB=PC=6，故AB=BC=AC=6 ， 易知PG= =3 ，GD= = ，由勾股定理得PD= =2 ，
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（2）由线面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC，进而由于PB?平面PAB，可得平面PAB⊥平面PAC，由此可以在平面PAB中，过E作EF⊥PA，可得F为E在平面PAC内的正投影． 进而由棱锥的体积公式计算可得答案．；本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．
21.（2016?全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【答案】（1）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （2）解： 由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由CE⊥BE，BE⊥EF， 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC， ∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形EFDC为等腰梯形． 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0）， ∴ =（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0） 设平面BEC的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），则 ， 则 ，取 =（ ，0，﹣1）． 设平面ABC的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），则 ， 则 ，取 =（0， ，4）． 设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=﹣ =﹣ = ， 则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣ ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】与二面角有关的立体几何综合题.（1）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
22.（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
【答案】（1）解：延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED= AD， ∵BC=CD= AD，∴ED=BC， ∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB， ∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE （2）解：如图所示， ∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD． 因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD． 不妨设AD=2，则BC=CD= AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴ =（﹣1，1，0）， =（0，1，﹣2）， =（0，0，2）， 设平面PCE的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得： ． 令y=2，则x=2，z=1，∴ =（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ= = = = ．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED= AD，由BC=CD= AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可． （2）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD= AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出． 本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
