2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第7节 第二课时 立体几何中的向量方法(二)——证明空间角与距离（学生版）
备战基础·零风险
1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应
两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
.
.
求法
.
.
直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝ .
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ ..
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝ .，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
利用空间向量求距离(供选用)
两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝ .
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
3. 本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝.
4. (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．
(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．
5.(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与
互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|＝.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
小结
1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向
向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos|.
(2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos|.
(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝或π－.
2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
(2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.
备战练习·固基石
一、单选题
1.正方体 ， 棱长为2，点到截面的距离为(???? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.平面α内有一以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上移动（不与A，B重合），点D，E分别是A在PC，PB上的射影，则（?? ）
A.?∠ACD是二面角A﹣PC﹣B的平面角????????????????????B.?∠AED是二面角A﹣PB﹣C的平面角 C.?∠EDA是二面角A﹣PC﹣B的平面角?????????????????????D.?∠DAE是二面角B﹣PA﹣C的平面角
3.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（????）
A.?????????????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.在正三棱柱中，若AB=2,=1,则点A到平面的距离为（??）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.已知底面边长为的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为 ， 若点P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
9.在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.在教材中，我们学过“经过点P（x0 ， y0 ， z0），法向量为=(A,B,C)的平面的方程是：A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）=0”．现在我们给出平面α的方程是x﹣y+z=1，平面β的方程是 ， 则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE=120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0， ＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为 ，则f（﹣1）=（? ）
A.?﹣2????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?- ????????????????????????????????????????D.?
13.若向量 ， ， ，则实数 的值为（?? ）
A. B. C. D.
14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
15.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=AD= ，若∠A1AD=∠A1AB=45°，∠BAD=60°，则点A1到平面ABCD的距离为（?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ， BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题
17.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
18.如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=________．
19.如图，在正方体中，E，F是棱A'B'与D'C'的中点，面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的正切值为________．
20.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值________．
21.如图，P﹣ABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tan∠PEF=________．
22.已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________?
23.若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．
24.四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PC⊥平面AC，PC=2，则点P到直线BD的距离为________．
三、解答题
25.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD
（1）求二面角B﹣AD﹣F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值．
26.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．
27.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．
（1）求证：AB1⊥BC1；
（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．
28.已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC．
（1）求C到平面PAB的距离；
（2）求直线PC与平面ABCD成角的正弦值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
2.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
3.（2017?浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（??? ）
A.?γ＜α＜β????????????????????????????B.?α＜γ＜β????????????????????????????C.?α＜β＜γ????????????????????????????D.?β＜γ＜α
二、填空题
4.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
5.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
三、解答题
6.（2018?浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
7.（2017?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分） （I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD⊥平面PBC； （II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
8.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 PF .⊥BF .
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
10.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第7节 第二课时 立体几何中的向量方法(二)——证明空间角与距离（教师版）
备战基础·零风险
1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应
两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
[0，π]
求法
cos θ＝
cos β＝
直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝.
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝<，>.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
利用空间向量求距离(供选用)
两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.
(2)点到平面的距离
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
3. 本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝.
4. (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．
(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．
5.(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|＝.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
小结
1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向
向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos|.
(2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos|.
(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝或π－.
2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
(2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.
备战练习·固基石
一、单选题
1.正方体 ， 棱长为2，点到截面的距离为(???? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】易知为边长的正三角形，面积为， 而,根据等体积法可知点到截面的距离为故选B. 【点评】其点到平面的距离时，“等体积法”是常用的一种方法.
2.平面α内有一以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上移动（不与A，B重合），点D，E分别是A在PC，PB上的射影，则（?? ）
A.?∠ACD是二面角A﹣PC﹣B的平面角????????????????????B.?∠AED是二面角A﹣PB﹣C的平面角 C.?∠EDA是二面角A﹣PC﹣B的平面角?????????????????????D.?∠DAE是二面角B﹣PA﹣C的平面角
【答案】B
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：∵PA⊥⊙O所在平面α，BC?α， ∴PA⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC⊥AC， ∵PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC， ∴AD⊥BC， 又∵D是点A在PC上的射影， ∴AD⊥PC， ∵BC∩PC=C， ∴AD⊥平面PBC， ∴AD⊥PB， 又∵AE⊥PB，AD∩AE=A ∴PB⊥面ADE， ∴∠AED是二面角A﹣PB﹣C的平面角． 故答案为：B． 【分析】根据二面角平面角的求法由题意可找出二面角A﹣PB﹣C的平面角是∠AED。
3.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（????）
A.?????????????????????????????????????B.????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】当平面垂直于平面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时找的重点， 连接， 易证,所以平面,所以,所以为直线和平面所成的角，所以故选D. 【点评】求直线与平面所成的角，关键是先作出角，再证明作出的角是要求的线面角，最后才是求角的大小.
4.在正三棱柱中，若AB=2,=1,则点A到平面的距离为（??）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即,∴， ∴h=， 选B.. 【分析】求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法.
5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， 以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴， 以DD1为z轴，建立空直角坐标系， ∵E为BC1的中点， ∴D（0，0，0），E（1，2，1）， ∴ =（1，2，1）， 设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ， ∵面BCC1B1的法向量 ， ∴sinθ=|cos＜ ＞|=| |= ， ∴cosθ= = ， ∴tanθ= = ． 故选：C． 【分析】以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出DE与面BCC1B1所成角的正切值．
6.已知底面边长为的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为 ， 若点P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示， ∵AA1⊥底面A1B1C1 ， ∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1 ， ∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵S△A1B1C1=×（）2= ， ． ∴=AA1×S△A1B1C1=×AA1= ， 解得AA1= ． 又P为底面正三角形A1B1C1的中心， ∴A1P=×A1D=×X=1， 在Rt△AA1P中，tan∠APA1== ， ∠APA1= ． 故选：B 【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1 ， 再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出
7.已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图所示，CO⊥β，垂足为O，CD⊥AB，垂足为D，且CO=3，CD=4，连接DO， ∵CO⊥β，∴CO⊥DO， ∴在Rt△CDO中，DO=； ∵CO⊥β，AB?β， ∴CO⊥AB，即AB⊥CO，又AB⊥CD，CD∩CO=C； ∴AB⊥平面CDO，DO?平面CDO，∴AB⊥DO； ∴∠CDO是二面角α﹣AB﹣β的平面角，∴∠CDO=θ； ∴． 故选D． 【分析】根据已知条件作出图形，根据图形即可找到角θ，根据已知的边的长度即可求出tanθ．
8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1， 则D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0）， =（0，1，1）， =（1，0，1）， =（1，1，0）， 设平面A1BD的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）， 设直线DC1与平面A1BD所成角为θ， 则sinθ= = = ， ∴cosθ= = ． ∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为 ． 故选：C． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值．
9.在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,所以 , 因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ， 故答案为：C. 【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
10.在教材中，我们学过“经过点P（x0 ， y0 ， z0），法向量为=(A,B,C)的平面的方程是：A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）=0”．现在我们给出平面α的方程是x﹣y+z=1，平面β的方程是 ， 则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】由定义可得：平面x﹣y+z=1的法向量为=（1，﹣1，1），平面的法向量为=（1，﹣2，﹣1）， 所以两个向量的夹角余弦值为：cos 所以平面所成的锐二面角的余弦值 ． 故选A． 【分析】由定义可得：两个平面的法向量分别为：=（1，﹣1，1），=（1，﹣2，﹣1），再利用向量的数量积公式可得两个向量的夹角的余弦值，进而根据向量的夹角与二面角的平面角的关系得到答案。
11.正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE=120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，EO⊥平面ABCD，OF⊥AB，EF⊥AB， 则∠EBO为BE与平面ABCD所成角， 设EB=2a，则EF= a，OF=a， ∴EO= a， ∴sin∠EBO= ， ∵0＜∠EBO＜ ， ∴∠EBO= ． 故选C． 【分析】如图所示，EO⊥平面ABCD，OF⊥AB，EF⊥AB，则∠EBO为BE与平面ABCD所成角，设EB=2a，求出EO= a，即可求出BE与平面ABCD所成角．
12.如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0， ＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为 ，则f（﹣1）=（? ）
A.?﹣2????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?- ????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ= ，再根据 ＜φ＜π，可得φ= ． 再根据A、B两点之间的距离为 = ，求得T=6， 再根据T= =6，求得ω= ． ∴f（x）=2sin（ x+ ），f（﹣1）=2sin（﹣ + ）=2， 故选：B． 【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为 = ，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．
13.若向量 ， ， ，则实数 的值为（?? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】根据题意得 ，
化简得 ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的夹角公式，建立方程，即可求解。
14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图 设正方体的棱长为2，得 C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0） ∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0） 因此，得到， ||=2，且?=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2 ∴cos＜ ， ＞= ∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角 ∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 故选：C. 【分析】分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得C1、E、B、C各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线C1E与BC所成的角的余弦值。
15.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=AD= ，若∠A1AD=∠A1AB=45°，∠BAD=60°，则点A1到平面ABCD的距离为（?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：记A1在面ABCD内的射影为O， ∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上， 又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的 对角线AC，故O在AC上； ∵cos∠A1AB=cos∠A1AO×cos∠OAB ∴cos∠A1AO= ，∴sin∠A1AO= ， 在△A1AO中，AA1= ∴点A1到平面ABCD的距离为A1O=1． 故选：A． 【分析】记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，在三角形AA1O中，求出A1O即为高．
16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ， BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1 ， 在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM= ， 可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：sin600= ． 故选：C． 【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．
二、填空题
17.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
【答案】45°
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC， ∠PAB=90° 所以：∠PAB就是直线PB与平面ABC所成的角． 又PA=AB 所以：∠PAB=45° 故答案为：45° 【分析】利用线面垂直的性质得到：∠PAB就是直线PB与平面ABC所成的角．再根据PA=AB，进一步求出结果．
18.如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=________．
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：∵在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E， AC∥A1E，直线AC与直线DE所成的角为α， ∴α=∠A1ED，且A1E= = ，DE= ，A1D= . ， ∴cosα= = =0，sinα=1， 过E作EF⊥平面ADD1A1 ， 交A1D1于F，则F是A1D1的中点， ∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1 ， 直线DE与平面BCC1B1所成的角为β， ∴β=∠EDF，且EF=1，DF= ， nβ= = ，cosβ= = ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0× +1× = ． 故答案为： ． 【分析】由AC∥A1E，知α=∠A1ED，过E作EF⊥平面ADD1A1 ， 交A1D1于F，则β=∠EDF，由此能求出cos（α﹣β）的值．
19.如图，在正方体中，E，F是棱A'B'与D'C'的中点，面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的正切值为________．
【答案】2
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：取AB中点G，连结EG， ∵在正方体中，E，F是棱A'B'与D'C'的中点， ∴BE⊥BC，BG⊥BC，EG=2BG， ∴∠GBE是面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的平面角， ∴tan∠GBE= =2． ∴面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的正切值为2． 故答案为：2． 【分析】取AB中点G，连结EG，推导出∠GBE是面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的平面角，由此能求出面EFCB与面ABCD所成二面角（取锐角）的正切值．
20.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值________．
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接B1F，过点F作FG⊥BD，垂足为G，连接B1G， 由正方体性质易知BB1⊥平面ABCD，又FG?平面ABCD， ∴BB1⊥FG 又FG⊥BD，BD∩BB1=B，BD?平面BDD1B1 ， BB1?平面BDD1B1 ∴FG⊥平面BDD1B1 ∴∠FB1G为B1F与平面平面BDD1B1所成角 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1， ∴FG= ，B1F= ∴sin∠B1FO= 而AE∥B1F，所以直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为 故答案为： 【分析】取AB的中点F，连接B1F，过点F作FG⊥BD，垂足为G，连接B1G，根据FG⊥平面BDD1B1 ， 可知∠FB1G为B1F与平面BDD1B1所成角，在Rt△FB1G中求解即可，而AE∥B1F，从而求出所求．
21.如图，P﹣ABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tan∠PEF=________．
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图， 取AB中点G，连接EG，则EG⊥AB，又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AB， ∵PE∩EG=E，∴AB⊥平面PEG，则平面PAB⊥平面PEG，且平面PEG∩平面PAB于PG． 过E作EF⊥PG，垂足为F，则EF⊥平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影． 在Rt△PEG与Rt△PFE中，可得∠PEF=∠PGE． ∵P﹣ABCD是棱长均为1的正四棱锥，∴EG= ，PE= ． ∴tan∠PEF= ． 故答案为： ． 【分析】取AB中点G，连接EG，可证得平面PAB⊥平面PEG，过E作EF⊥PG，垂足为F，则EF⊥平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影，然后求解直角三角形得答案．
22.已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________?
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC， ∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC． ∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等． ∵SH= ， CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心． ∵SC=2 ∴SM=1，∠OSM=30° ∴SO= ， ∴OH= ， 即为O与平面ABC的距离． 故答案为： 【分析】根据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．
23.若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．
【答案】（0，0，3）
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设P（0，0，z），由|PA|=|PB|，得1+4+（z﹣1）2=4+4+（z﹣2）2 ， 解得z=3， 故点P的坐标为（0，0，3）， 故答案为：（0，0，3）． 【分析】由点P在z轴上且到A、B两点的距离相等，可设出点P（0，0，z），由两点间的距离公式建立方程求解即可得到点M的坐标．
24.四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PC⊥平面AC，PC=2，则点P到直线BD的距离为________．
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图，连结BD，作CE⊥BD，交BD于E， 连结PE，则由三垂线定理得PE⊥BD， ∴PE就是点P到直线BD的距离， ∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PC⊥平面AC，PC=2， ∴BD= ， ∵ ， ∴CE= = = ， ∴PE= = = ． 故答案为： ． 【分析】连结BD，作CE⊥BD，交BD于E，连结PE，则由三垂线定理得PE⊥BD，从而PE就是点P到直线BD的距离．
三、解答题
25.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD
（1）求二面角B﹣AD﹣F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值．
【答案】（1）解：∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， ∴∠BAF是二面角B﹣AD﹣F的平面角， ∵AB=AC，∠BAC=90°，O是BC的中点， ∴∠BAF= ∠BAC=45°． 即二面角 QUOTE 的大小为45° （2）解：∵OA=OB，∠BAO=45°，∴∠AOB=90°． 以O为原点，以OB，OF，OE所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， 则O（0，0，0），A（0，﹣3 ，0），B（3 ，0，0），D（0，﹣3 ，8），E（0，0，8），F（0，3 ，0）， ∵ =（﹣3 ，﹣3 ，8）， =（0，﹣3 ，8）， ∴ =0+18+64=82．| |=10，| |= ． ∴cos＜ ＞= = = ． 故直线BD与EF所成的角为arccos ．
【考点】直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由AD⊥平面⊙O可得AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF即为所求角的平面角；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，求出cos＜ ， ＞即可．
26.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．
【答案】解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1）， =（2，2，0）， =（0，1，1）． 设平面BDE的法向量为 =（x，y，z）， 则 ，令z=1，得y=﹣1，x=1．∴平面BDE的一个法向量为 =（1，﹣1，1）． 又∵C（0，2，0），A（2，0，0）， =（﹣2，2，0），且AC⊥平面PDB， ∴平面PDB的一个法向量为 =（1，﹣1，0）． 设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α， 则cosα= = = ． ∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为 ．
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．
27.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．
（1）求证：AB1⊥BC1；
（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．
【答案】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1 ． 又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面B1BCC1 ， 则AC⊥BC1 ， ∵BC=CC1 ， ∴四边形B1BCC1是正方形， ∴BC1⊥B1C， 又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1 （2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP． 由（1）知BO⊥AB1 ， 而BO∩OP=O， ∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1 ， ∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角． ∵△OPB1～△ACB1 ， ∴ ， ∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP= ， ∴ = ． 在Rt△POB中，sin∠OPB= ， ∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为 ．
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1 ， 则AC⊥BC1 ， 再由BC=CC1 ， 得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1 ， 进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．
28.已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC．
（1）求C到平面PAB的距离；
（2）求直线PC与平面ABCD成角的正弦值．
【答案】（1）解：由题知△RBC为以∠B=90°的等要直角三角形， ∵点A，D分别是RB，RC的中点 ∴AD∥BC，即AD⊥BR 将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置 ∴AD⊥PA，AD⊥AB ∴AD⊥平面PAB 又BC∥AD ∴BC⊥平面PAB ∴C到平面PAB的距离为BC=2 （2）解：∵PA⊥AB，PA⊥AD ∴PA⊥平面ABCD ∴PC在底面ABCD的投影为AC， 故连接AC．△PAC为RT△． ∵|AC|2=22+12=5，PA=AR=1 ∴|PC|2=|AC|2+|PA|2=6 ∴ ?= ． 故直线PC与平面ABCD成角的正弦值为
【考点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据线面位置关系，可分析出C到平面PAB的距离为线段BC．（2）连接AC，∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ??）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图截面，S=6 ,
故答案为：A.
【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角相等,得到平面 与其中一条对角线垂直,此时截面与相应侧面构成正三棱锥,再求出截面面积的最大值.
2.（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1CC1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ??）
A.8 B.6 C.8 D.8
【答案】C
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：AC1与面BB1C1C所成角平面角为 ,
∴BC1=2
∴CC1=2 .长方体体积为22 2 =8 ，
故答案为：C.
【分析】由长方体的结构特征找到直线与与平面所成的角,求出长方体的高,再求体积.
3.（2017?浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（??? ）
A.?γ＜α＜β????????????????????????????B.?α＜γ＜β????????????????????????????C.?α＜β＜γ????????????????????????????D.?β＜γ＜α
【答案】B
【考点】用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O． 不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ）， Q ，R ， = ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ， = ． 设平面PDR的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ， 可得 = ，取平面ABC的法向量 =（0，0，1）． 则cos = = ，取α=arccos ． 同理可得：β=arccos ．γ=arccos ． ∵ ＞ ＞ ． ∴α＜γ＜β． 解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG． 设OP=h． 则cosα= = = ． 同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ． 由已知可得：OE＞OG＞OF． ∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选：B． 【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角． 解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．
二、填空题
4.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为________。
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：设母线长为l ∵ ∴ ∴ 2r= r= ∴ 【分析】先由 ，可得 ? 可由 的面积等于 ，可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥侧面积公式可求。
5.（2018?卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 的面积为8，则该圆锥的体积为________
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面所成的角
【解析】【解答】依题意可画图如图： SA=SB=SC=l ∠SAC=30°，AC= ∴l=4 ∴AC=4 r=2 ???? h= ∴ 故答案为： 【分析】先由 的面积可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥体积公式可求体积。
三、解答题
6.（2018?浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由 得 ， 所以 . 故 . 由 ， ? 得 ， 由 得 ， 由 ，得 ，所以 ，故 . 因此 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 . 由 平面 得平面 平面 ， 由 得 平面 ， 所以 是 与平面 所成的角 由 得 ， 所以 ，故 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（I）先证得AB1⊥A1B1 ， AB1⊥B1C1 ， 利用直线和平面垂直的判定可得AB1⊥平面A1B1C1；
（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小．
7.（2017?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分） （I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD⊥平面PBC； （II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）如图， 由已知AD∥BC， 故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD． 在Rt△PDA中，由已知，得 ， 故 ． 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ． 证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC， 所以AD⊥PD． 又因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC． 解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1， 由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DCF中，可得 ． 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 ．
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值． （Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC． （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
8.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； 又 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ 面 （2）解：建立如图坐标系 ． ， ， ， ， ， ， ， 设面 法向量 ， 由 得 ，取 ， ∴ ． 同理可得面 的法向量 ， ∴ ， ∴
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到 的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量 ，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求
9.（2018?卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 PF .⊥BF
（1）证明：平面 平面 ;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF ， BF⊥EF ， 又 ， ∴BF⊥平面PEF. ∴又 平面ABFD ， 平面PEF⊥平面ABFD. （2）解：作PH⊥EF ， 垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得 . 则 ? 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为 ，则 . ∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作 于H,由 得到 ,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.
10.（2018?天津）如图， 且AD=2BC ， , 且EG=AD ， 且CD=2FG ， ，DA=DC=DG=2. （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系， 则 ? 设 为面CDE法向量 则 令z=-1 ∴ 又 ，则 ，又 ∴ （Ⅱ） 设 是面BCE法向量， 则 z=1 ∴ 设 是面BCF法向量，则 令z=1∴ ∴ 则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h） ∴ 为平面ADGE的一个法向量， 则 则
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】建立空间直角坐标系。 （Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证； （Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等； （Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
11.（2018?天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ， 点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD ， 平面ABC∩平面ABD=AB ， AD⊥AB ， 可得AD⊥平面ABC ， 故AD⊥BC ． （Ⅱ）解：取棱AC的中点N ， 连接MN ， ND ． 又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC ． ∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ． ∵AD⊥平面ABC ， 故AD⊥AC ． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ． 等腰 中，MN=1， ∴ ． ∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ． （Ⅲ）连接CM ∵ 为等边三角形，M为边AB中点， ∴CM⊥AB CM= 又面ABC⊥面ABD,而CM 面ABC，故CM⊥面ABD,∴ 为直线CD与面ABD所成角 中 中， 所以CD与平面所成角正弦值为
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直，得到线线垂直，从而得到线面垂直最后线线垂直；（2）平移直线BC解 ；（3）找到线面垂直，得到线面角.
12.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
【答案】（1）∵PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ∴PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）过点C作CH⊥OM交OM于点H 又∵PO⊥平面ABC ∴ ∴CH的长度为点C到平面POM的距离 在△COM中，CM= ?，OC=2，∠OCM=45° ∴ ∴OM= ∴
【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.
