2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第6章 第3节 基本不等式

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第3节 基本不等式
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a 0，b 0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3)其中称为正数a，b的 ，称为正数a，b的 ．
几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥ (a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3) 2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥ (a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最 值是 (简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 时， 有最 值是 (简记：和定积最大)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范　一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
2. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
3. 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4. (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
5．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
6．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
备战练习·固基石
一、单选题
1.下列各式中，最小值等于2的是（????）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2.已知 ，且满足 ，那么 的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.已知M是△ABC内的一点，且= ， ∠BAC= ， 若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为 ， x，y，则的最小值为（　　）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?24
4.已知 ， 不等式的解集为 ， 且 ， 则的取值范围是 (???? )
A.????????????B.???????????C.?或??????????????????????D.?或
5.下列不等式中，与不等式≥0同解的是（　　）
A.?（x﹣3）（2﹣x）≥0????????????????B.?（x﹣3）（2﹣x）＞0?????????????????C.?≥0????????????????D.?≥0
6.已知x>0, y>0, 若 >m2＋2m恒成立, 则实数m的取值范围是( ??)
A.?m≥4或m≤－2????????????????????B.?m≥2或m≤－4????????????????????C.?－27.设a>0,b>0且a+b=1则? 的最小值是 （）
A.?2????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?6
8.已知 ，则下列三个数 ， ， （???? ）
A.?都大于6??????????????????B.?至少有一个不大于6??????????????????C.?都小于6??????????????????D.?至少有一个不小于6
9.设a>b>c>0，则的最小值是（???）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?5
10.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（?? ）
A.?????????????????????B.?a2+b2＞2ab????????????????????C.?????????????????????D.?
11.不等式的解集为(??? )
A.?{x|x<-2或x>3}?????????B.?{x|x<-2或13}?????????D.?{x|-212.已知第一象限的点在直线上，则的最小值为(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.已知正数a，b满足a+b+ =10，则a+b的取值范围是________．
14.若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为________．
15.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是________?
16.函数 在 ________处取到最小值，且最小值是________．
17.不等式|x﹣x2﹣2|＞x2﹣3x﹣4的解集是________．
18.已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若 + ＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
19.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是________
20.不等式 ≤0的解集是________．
21.下列结论正确的有________① 的最小值为2??? ②当 x>0且x≠1时， ③ 的最小值为2④ ⑤ ， 的最小值为2⑥ 的最小值为2?????? ⑦ 的最小值为2．
22.设 ，若 ，则 的最小值为________.
三、解答题
23.求函数y= 的最值．
24.已知a+b+c=1，证明：（a+1）2+（b+1）2+ ．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）已知集合 ，则 （ ??）
A.??????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
二、填空题
2.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
3.（2018?上海）已知实数x?、x?、y?、y?满足： ， ， ，则 + 的最大值为________
4.（2017?上海）不等式 ＞1的解集为________．
5.（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
6.（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
7.（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
8.（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
9.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
三、解答题
10.（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第3节 基本不等式
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范　一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
2. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
3. 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4. (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
5．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
6．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
备战练习·固基石
一、单选题）
1.下列各式中，最小值等于2的是（????）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】A不正确，例如 x，y的符号相反时，式子的最小值不可能等于2． B不正确，∵=+≥2，但等号不可能成立，故最小值不是2． C不正确，当tanθ＜0时，它的最小值显然不是2． D正确，∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当 x=0时，等号成立，故选D．【分析】考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
2.已知 ，且满足 ，那么 的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ，且满足 ，那么 = （ ）= ≥ = = ，当且仅当x=2 = 时取等号．故选：C．【分析】在基本不等式中注意“1”的妙用。
3.已知M是△ABC内的一点，且= ， ∠BAC= ， 若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为 ， x，y，则的最小值为（　　）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?24
【答案】B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵= ， ∠BAC= ， ∴， ∴bc=4．∴S△ABC==1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为 ， x，y．∴， 化为x+y= ． ∴=18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．【分析】由= ， ∠BAC= ， 利用数量积运算可得， 即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为 ， x，y．可得， 化为x+y= ． 再利用基本不等式即可得出．
4.已知 ， 不等式的解集为 ， 且 ， 则的取值范围是 (???? )
A.??????????????B.???????????C.?或?????????????????D.?或
【答案】D
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】直接代入求解，既然， 那么有或， 解得或． 选D．
5.下列不等式中，与不等式≥0同解的是（　　）
A.?（x﹣3）（2﹣x）≥0????????????????B.?（x﹣3）（2﹣x）＞0?????????????????C.?≥0????????????????D.?≥0
【答案】D
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式≥0等价为， 即≥0，故选：D．【分析】将不等式进行等价变形进行对比即可．
6.已知x>0, y>0, 若 >m2＋2m恒成立, 则实数m的取值范围是( ??)
A.?m≥4或m≤－2????????????????????B.?m≥2或m≤－4????????????????????C.?－2【答案】D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ?，当且仅当 时取等号，所以 ，故答案为：D.【分析】利用基本不等式求出左边的最小值，再求解一元二次不等式即可。
7.设a>0,b>0且a+b=1则? 的最小值是 （）
A.?2????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】基本不等式
【解析】【分析】因为a+b=1，于是=(a+b)( )，展开利用基本不等式的性质即可．【解答】∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（a+b)()=3+≥3+2=， 当且仅当， a+b=1，即a=-1，b=2-时取等号．∴的最小值为3+2． 故答案为3+2．
8.已知 ，则下列三个数 ， ， （???? ）
A.?都大于6??????????????????B.?至少有一个不大于6??????????????????C.?都小于6??????????????????D.?至少有一个不小于6
【答案】D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】假设3个数 ， ， 都小于6，则 ?利用基本不等式可得， ，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数 ， ， 至少有一个不小于6，故答案为：D.【分析】运用基本不等式的运算可得出题目给出的三个数的和18，故三个数中至少有一个不小于6。
9.设a>b>c>0，则的最小值是（???）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 故选B
10.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（?? ）
A.?????????????????????B.?a2+b2＞2ab????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：例如a=﹣2，b=﹣1时，选项A，C不成立 例如a=b=2时，a2+b2=2ab，选项B不成立由ab＞0可知， ，由基本不等式可得， =2故选D【分析】利用反例：a=﹣2，b=﹣1时，可判断选项A，C，反例：a=b=2时，a2+b2=2ab，可判断B，由ab＞0可知， ，由基本不等式可判断D
11.不等式的解集为(??? )
A.?{x|x<-2或x>3}?????????B.?{x|x<-2或13}?????????D.?{x|-2【答案】C
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】根据题意，由于不等式， 则等价于,然后分别求解可知得到结论为， 故选C.【分析】将分式不等式化为整式不等式是解题的关键，然后结合一元二次不等式的解集来得到，属于基础题。
12.已知第一象限的点在直线上，则的最小值为(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】因为点在直线上，所以即因为点为第一象限的点，所以， 所以【点评】此类题目中，利用“1”的整体代换只用了一次基本不等式，可以保证等号能够取到。利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
二、填空题
13.已知正数a，b满足a+b+ =10，则a+b的取值范围是________．
【答案】[2，8]
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵a+b+ =10， ∴（a+b）（a+b+ ）=10（a+b），∴（a+b）2+ =（a+b）2+10+ =10（a+b），∴（a+b）2+10+2 ≤10（a+b）∴（a+b）2﹣10（a+b）+8≤0，解得2≤a+b≤8．故答案为：[2，8]．【分析】在a+b+ =10的两边同乘以（a+b），展开后求a+b的取值范围．
14.若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为________．
【答案】
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，∴y= ﹣ ，∴2x+y=2x+ ﹣ = x+ = （3x+ ）≥ ×2 = ，当且仅当x= 时取等号，∴2x+y的最小值为 ，故答案为： 【分析】先变形，代入2x+y，再利用基本不等式可得2x+y的最小值．
15.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是________?
【答案】（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】∵函数f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴不等式可转化为：
f（x）x＜0
根据条件可作一函数图象：
∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）
故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）
【分析】由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．
16.函数 在 ________处取到最小值，且最小值是________．
【答案】；
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ≥ ＝ ，当且仅当 ，即 时等号成立，故当 时，函数 取得最小值 ．
【分析】由0＜x＜1可得1-x＞0，f（x）展开后运用基本不等式，即可求得最小值和对应的x的值．
17.不等式|x﹣x2﹣2|＞x2﹣3x﹣4的解集是________．
【答案】（﹣3，+∞）
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由x﹣x2﹣2≤0，即x2﹣x+2≥0，因为△=1﹣8=﹣7＜0， ∴x∈R，∵|x﹣x2﹣2|＞x2﹣3x﹣4，∴x2﹣x+2＞x2﹣3x﹣4，解得x＞﹣3，故答案为：（﹣3，+∞）【分析】根据判断式，得到x2﹣x+2≥0恒成立，则原不等式转化为x2﹣x+2＞x2﹣3x﹣4，解得即可．
18.已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若 + ＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】m＜4
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=2，则 + = （x+2y） = ≥ =4，当且仅当x=2y=1时取等号．∵ + ＞m恒成立，∴m＜4．故答案为：m＜4．【分析】由已知等式，把要求的代数式整理成基本不等式的形式进而求出最小值，进而得到要使式子大于m恒成立所以m＜4。
19.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是________
【答案】（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1） 【分析】由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．
20.不等式 ≤0的解集是________．
【答案】{x|x≤ 或x＞4}
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式 ≤0等价于 ，解得x≤ 或x＞4，∴不等式 ≤0的解集为：{x|x≤ 或x＞4}故答案为：{x|x≤ 或x＞4}．【分析】原不等式等价于 ，解不等式组可得．
21.下列结论正确的有________① 的最小值为2??? ②当 x>0且x≠1时， ③ 的最小值为2④ ⑤ ， 的最小值为2⑥ 的最小值为2?????? ⑦ 的最小值为2．
【答案】④⑦
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：若x＜0则 ＜0，故①错误；若0＜x＜1，则lgx＜0， ，故②错误； = = + ，由于 = 无解，故其最小值不为2，故③错误； =2，故④正确； ，由于sin2x= 在 上无解，故其最小值不为2，故⑤错误； 无解，故其最小值不为2，故⑥错误； ≥2 =2，故⑦正确故答案为④⑦【分析】利用均值定理求最值要注意满足三个条件即一“正”；两个正数的算术平均数和几何平均数；二“定”：和是定值或积是定值；三“等号”：即等号成立的条件要具备，分别用这三个条件检验各选项即可
22.设 ，若 ，则 的最小值为________.
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ? ，当 ，即 时，取等号，故答案为 .
【分析】由已知a+b?1=1，将所求乘以a+b?1后即可应用基本不等式求出所求的最小值.
三、解答题
23.求函数y= 的最值．
【答案】解：①x＞0时，函数f（x）=y= =x +13≥ +13=25，当且仅当x=6时取等号，此时函数f（x）取得最小值25． ②x＜0时，函数y=f（x）= =x +13=﹣（﹣x+ ）+13≤﹣ +13=1，当且仅当x=﹣6时取等号，此时函数f（x）取得最大值1
【考点】基本不等式
【解析】【分析】对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．
24.已知a+b+c=1，证明：（a+1）2+（b+1）2+ ．
【答案】证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2 ， ∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥ ，当且仅当a=b=c= 时取等号，问题得以证明
【考点】基本不等式
【解析】【分析】先将式子变为符合柯西不等式的形式，再利用柯西不等式可证（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）已知集合 ，则 （ ??）
A.?????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】交集及其运算，基本不等式
【解析】【解答】解: ?B= 所以 故答案为：C【分析】先解出集合A,再取交集.
二、填空题
2.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
【答案】-3
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0），所以 =(1，y1)， =(-2，y2) =y1 y2-2? ①又| |=2，故（y1-y2）2=4 又 ≥ ，当 时等号不成立。故假设 代入①， · = 【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。
3.（2018?上海）已知实数x?、x?、y?、y?满足： ， ， ，则 + 的最大值为________
【答案】
【考点】基本不等式，点到直线的距离公式
【解析】【解答】设A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，故有x2+y2=1，使A，B在圆上，又x1x2+y1y2= ，得出 ，故 ，构造直线x+y-1=0，故 变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故 ，又 ，故 最大值为 。【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。
4.（2017?上海）不等式 ＞1的解集为________．
【答案】（﹣∞，0）
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由 ＞1得： ，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
5.（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【答案】4
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4，当且仅当 ，即 ，即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
6.（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
【答案】8
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用，直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1，由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8，当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
7.（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
【答案】30
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．
8.（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
【答案】[-1， ]
【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式
【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤ ，故答案为：[﹣1， ]．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
9.（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．
【答案】（2，+∞）
【考点】基本不等式，两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组? 无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴ ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= ，则a+b=a+ ，则设f（a）=a+ ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ = ，当0＜a＜1时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．
三、解答题
10.（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴ =ab，由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ，∴ （a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．