第三章相互作用第5节力的分解+Word版含答案

第5节　力的分解
核心素养关键词
知识体系
1.求一个力的分力叫做力的分解；力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则．
2．矢量运算遵循平行四边形定则；标量运算遵循算术运算法则．
3．把两个矢量首尾相接与合矢量组成闭合的三角形，即三角形定则．
4．求解多个力的合力常用正交分解法.
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一、力的分解
1．定义：已知一个力求它的分力的过程，叫做力的分解．
把力F分解为两个力F1、F2，使力F1、F2代替力F的作用，力F1和F2就是力F的分力．
2．运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则．
3．注意点
(1)等效替代思想：“等效”是指两分力共同作用产生的效果与真实力(合力)产生的效果相同；“替代”是指在分析和处理问题时，如果用了两分力，就不能再用真实力．
(2)与一个力产生作用效果相同的力可以是两个力，也可以是更多个力．可以将一个力先分解为两个力，再继续向下分解为更多个力．
二、矢量相加的法则
1．三角形定则
(1)内容：如图乙所示，两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向．这就是矢量相加的三角形定则．
(2)实质：平行四边形定则的推广，两者实质是一样的，如图甲所示．
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(3)适用条件：一切矢量运算．
2．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)的物理量叫做矢量．
(2)标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量.
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一、合作探究找规律
考点一　对力的分解的理解
高架桥往往有很长的引桥，在引桥上汽车重力有什么作用效果？从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？
答：汽车重力的两个作用效果分别是使汽车垂直桥面向下挤压桥面和使汽车沿桥面下滑(或阻碍汽车上行)，高大的桥建造很长的引桥可以减小斜面的倾角，即减小汽车重力沿斜面向下的分力，更便于行车．
考点二　力的分解方法
按照力的效果把某已知力分解时，两个分力的受力物体一定相同吗？
答：力的分解应按照力的实际效果进行，某力的效果体现在该力的受力物体上，所以一个力分解的两个分力的受力物体一定与该力的受力物体相同．
二、理解概念做判断
1．分力与合力是等效替代的关系，它们不是同时存在的．(√)
2．如果不加限制，一个力可以分解出无数多组分力．(√)
3．分解一个力时，只能按力的作用效果分解．(×)
4．三角形定则和平行四边形定则其实质是一样的，都是矢量运算的法则. (√)
5．标量有时也有方向，所以运算时也遵循平行四边形定则. (×)
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要点1|力的分解方法
1．力的分解方法
(1)首先是要根据这个力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向作平行四边形．
(3)然后根据平行四边形知识和相关的数学知识，求出两个分力的大小和方向．
2．按实际效果分解的几个实例
实例
分析
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地面上的物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的分力F1和竖直向上的分力F2.F1＝Fcosα，F2＝Fsinα
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质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsinα，F2＝mgcosα
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质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtanα，F2＝
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质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtanα，F2＝
/
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝
/　有一直角V形槽固定在水平面上，其截面如图所示，BC面与水平面间夹角为60°，有一质量为m的正方体均匀木块放在槽内，木块与BC面间的动摩擦因数为μ，与AB面间无摩擦，现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动，则木块受的摩擦力为(　　)
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A. μmg　　　 B.μmg 　　　
C.μmg　　 D．μmg
【思路点拨】　木块受到BC面的滑动摩擦力作用，把重力向两个侧面方向分解，求出对侧面BC的正压力FN，再利用F＝μFN分别求出两侧面摩擦力．
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【解析】　将木块重力按照作用效果分解，如图所示：
F2＝mgsin30°，木块受到的摩擦力Ff＝μF2＝μmg，A选项正确．
【答案】　A
/　榨油在我国已有上千年的历史，较早时期使用的是直接加压式榨油方法．而现在已有较先进的榨油方法，某压榨机的结构示意图如图所示，其中B点为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计．压榨机的尺寸如图所示，l＝0.5 m，b＝0.05 m．求物体D所受压力的大小是F的多少倍．
/
解析：设力F与水平方向的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示．
/
由对称性可知F1＝F2可得2F1cosθ＝F，则得F1＝F2＝
再将F2按作用效果分解为FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示．
则有FN＝F2sinθ，联立解得FN＝
根据几何知识得tanθ＝＝10
得到FN＝5F.
答案：5
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求一个已知力的实际分力的方法步骤：
(1)根据物体(或结点)所处的状态分析力的作用效果．
(2)根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向．
(3)根据两个分力的方向画出平行四边形．
(4)根据平行四边形，利用学过的几何知识求两个分力的大小．
/
名师点易错
1．力的实际作用效果应具体问题具体分析，千万不能死记硬背，因为在不同的情况下，同一个力的作用效果往往是不同的．
2．力对细绳产生的作用效果一定沿绳的方向，力对接触面产生的作用效果一般为弹性形变，故力一般分解为垂直接触面和平行接触面的两个分力．
3．力对轻杆的作用效果比较复杂(因轻杆可以发生多种形变)，不一定沿着杆的方向，要结合题中的已知条件来判断．
要点2|力的分解的讨论
1．力的分解原则
一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小，方向不同的分力．如图所示(因为对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形)，我们通常根据力的实际效果分解力．
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2．对力的分解的讨论
力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否构成平行四边形(或三角形)．若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定分力，即有解；若不能，则无解．常见的四种分解情况有：
已知条件
示意图
解的情况
已知合力和两个分力的方向
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有唯一解
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已知合力和两个分力的大小
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有两解或无解(当|F1－F2|>F或F>F1＋F2时无解)
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已知合力和一个分力的大小和方向
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有唯一解(可由三角形确定)
/
已知合力和一个分力的大小和另一个分力的方向
/
(1)F2＝F·sinθ或F2>F时，有唯一解，且F·sinθ是F2的最小值 .(2)当F2(3)当F·sinθ/　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．已知两分力大小、方向，则它们的合力必为确定值
B．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值
C．分力数目确定，且已知各分力大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力来
D．若合力确定，一个分力大小已知，另一分力方向已知，则这两个分力有唯一解
【思路点拨】　利用平行四边形或三角形定则来确定合力与分力．
【解析】　根据力的分解知识可知，已知两分力大小、方向，则它们的合力必为确定值，A选项正确；已知合力大小、方向，则其分力有无数解，B选项错误；各分力大小、方向和数目确定，可依据平行四边形定则求出合力，C选项正确；合力确定，一个分力大小已知，另一分力方向已知，则这两个分力可能有两组解，D选项错误．
【答案】　AC
/　(2018·浦东新区期末)将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时(　　)
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
解析：如图所示，
/
根据力的分解知识可知，另一个分力的最小值为Fsin30°＝5 N，而另一个分力大小大于5 N、小于10 N，有两组解，B选项正确．
答案：B
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将一个力分解的解的个数分为下列情形：
(1)在无限制条件的情况下，将一个力分解可得无数对解．
(2)把一个力按效果分解或已知一个力和它的两个分力方向，以及已知一个力及其一个分力的大小和方向时，解都是唯一的．
(3)对于将一个力分解讨论解的个数问题时，通常借助三角形定则，利用圆规等工具加以分析和探究，再依据几何条件求解．
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名师点易错
可以将关于力的分解是有解还是无解，以及有几个解的问题转化为能否作出力的平行四边形(或三角形)或能作几个平行四边形(或三角形)的问题，不可凭空想象得出．
要点3|正交分解法
1．目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算．
2．适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成．
3．步骤
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(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示．
(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
(4)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(5)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝，即α＝arctan.
/　大小均为F的三个力共同作用在O点，如图所示，F1、F2与F3之间的夹角均为60°，求合力．
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【思路分析】　本题可以采用正交分解的方法求出合力．将每个力向两个相互垂直的方向分解，然后求出这两个方向上的合力，最后求出总的合力．
【解析】　此题用正交分解法既准确又简便，以O点为原点、F1为x轴建立直角坐标系．
分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图所示．
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F1x＝F1；F1y＝0
F2x＝F2cos60°；F2y＝F2sin60°
F3x＝－F3cos60°；F3y＝F3sin60°.
(2)然后分别求出x轴和y轴上的合力
Fx合＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cos60°－F3cos60°＝F
Fy合＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin60°＋F3sin60°＝F.
(3)求出Fx和Fy的合力即是所求的三个力的合力，如图所示．
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F合＝＝2F
tanθ＝＝，所以θ＝60°
即合力与F1的夹角为60°.
【答案】　2F，与F1的夹角为60°
/　如图所示，物体A置于水平桌面上，物体B的重力为6 N，物体A、B均处于静止状态，绳OA水平，绳OC与水平方向成37°角．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
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(1)求绳OC中的拉力的大小；
(2)求物体A受到的摩擦力的大小；
(3)若物体A与水平桌面间的最大静摩擦力为10 N，为使物体A、B保持静止状态，则物体B的重力不能超过多大？
解析：(1)根据物体平衡条件得：FCsin37°＝GB，
则FC＝＝ N＝10 N.
(2)根据物体平衡条件得FCcos37°＝FA，
代入数据解得FA＝8 N
物体A在水平方向受到的摩擦力f大小与绳OC的拉力大小相等，即f＝FA＝8 N.
(3)绳OA中的最大拉力为FAm＝fm＝10 N
根据物体平衡条件得＝tan37°
解得GBm ＝FAmtan37°＝7.5 N.
答案：(1)10 N　 (2)8 N　 (3)7.5 N
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正交分解的一般步骤：
(1)建坐标系：应使尽量多的力的方向与坐标轴重合．
(2)分解：将不在坐标轴上的力分解．
(3)求各个坐标轴方向上的合力．
(4)将两坐标轴方向上的两个力合成．
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名师点易错
1．建立坐标系的原则：使尽量多的力落在坐标轴上，尽量减少分解力的个数．
2．在物体受多个共点力作用时，用正交分解法可能比力的平行四边形定则或三角形定则更简单．
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对点训练一　力的分解方法
1．物体沿斜面下滑时，常把物体所受的重力分解为(　　)
A．使物体下滑的力和斜面的支持力
B．平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力
C．斜面的支持力和水平方向的分力
D．对斜面的压力和水平方向的分力
解析：把重力按作用效果分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力，如图所示，B选项正确．
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答案：B
2．(多选)一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如右图所示．则下列说法中正确的是(　　)
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A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移时绳子容易断
D．将A端往右移时绳子容易断
解析：研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即FT＝G.
将重物对C点的拉力分解为AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．
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因为AC>CB，所以FBC>FAC.
当增加重物的重力G时，按比例FBC增大的较多，所以BC段绳先断，因此选项A是正确的，选项B是错误的．
将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力FT一定，则两分力FBC与FAC都增大．将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知选项C是正确的，选项D是错误的．
答案：AC
对点训练二　力的分解的讨论
3．(多选)如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则(　　)
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A．Ff变小　　　　　　　 B．Ff不变
C．FN变大 D．FN变小
解析：以整体为研究对象，分析受力：受到重力(M＋2m)g，挡板的摩擦力Ff及弹力FN1、FN2，由平衡条件可知2Ff＝(M＋2m)g，故选项A错误，选项B正确；将绳的拉力Mg分解为沿OO1，OO2方向的两个分力，如图所示，由于O1、O2等高，所以α1＝α2，则F1＝F2，当挡板间距离增大后，α1、α2增大，则F1、F2增大，将F1进行正交分解，则有FN＝F1sinα1，随α1、F1的增大、FN增大，故选项C正确，选项D错误．
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答案：BC
4.擦黑板时我们用斜向上的力F作用在黑板刷上．当黑板刷静止时将F分解为如图所示的F1、F2两个分力，则(　　)
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A．F1就是刷对黑板的正压力
B．黑板刷受到4个力作用
C．黑板对刷的静摩擦力必竖直向下
D．F1与黑板对刷的弹力是一对平衡力
解析：F1是力F的一个分力，受力物体是黑板刷，刷对黑板的正压力的受力物体是黑板，A选项错误；分析黑板刷的受力可知，受重力、黑板的弹力、斜向上的力F作用，黑板对刷是否存在静摩擦力，无法确定，故B、C选项错误；F1与黑板对刷的弹力作用在同一物体上，等大反向，是一对平衡力，D选项正确．
答案：D
对点训练三　正交分解法
5．在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．
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解析：建立直角坐标系如图所示：
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x轴上的合力Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos37°＝27 N.
y轴上的合力Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27 N.
合力F＝≈38.2 N，tanθ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1方向成45°夹角斜向上．
答案：38.2 N，与F1方向成45°夹角斜向上
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【强化基础】
1．已知某力的大小为10 N，则不可能将此力分解为下列哪组力(　　)
A．3 N　3 N 　　　　　　 B．6 N　6 N
C．100 N　100 N D．400 N　400 N
解析：3 N的两个力合成的最大值为3 N＋3 N＝6 N，小于10 N，故A不可能；6 N与6 N合成最大为12 N，最小为0 N，可以为10 N，故B可能；100 N与100 N合成最大为200 N，最小为0 N，可以为10 N，故C可能；400 N与400 N合成最大为800 N，最小为0 N，可以为10 N，故D可能．故选A.
答案：A
2．(多选)一个已知力F＝20 N，把F分解成F1和F2两个分力，已知分力F1与F夹角为30°，则F2的大小(　　)
A．一定小于20 N　　　　 B．可能等于20 N
C．可能大于20 N D．最小等于10 N
解析：根据力的分解知识可知，分力和合力构成矢量三角形，当分力F2与分力F1垂直时，F2最小，如图所示：
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F2＝Fsin30°＝10 N，则F2只要大于10 N均可能，B、C、D选项正确，A选项错误．
答案：BCD
3．关于一个力的分解，下列说法正确的是(　　)
A．已知两个分力的方向，有唯一解
B．已知两个分力的大小，有唯一解
C．已知一个分力的大小和方向，有唯一解
D．已知一个分力的大小和另一个分力方向，有唯一解
解析：力的分解中有唯一解的情况有两种，一是知道其中一个分力的大小及方向，二是知道不在同一直线上的两个分力的方向，如果两个分力与合力在同一条直线上，则有无数组解，A选项错误，C选项正确；已知两力的大小，互换方向时可以有两组解，B选项错误；已知一个分力的大小和另一分力的方向，可以有两组解，也可以有一组解，D选项错误．
答案：C
4．(多选)(2018·大连期末)下列说法正确的是(　　)
A．高大的桥造很长的引桥以减小斜面倾角，主要是为了减小汽车重力沿桥面向下的分力，达到行车安全的目的
B．高大的桥造很长的引桥以减小斜面倾角，主要是为了减小汽车对桥面的压力，达到行车安全的目的
C．运动员做引体向上(缓慢上升)动作时，双臂张开的角度越大手臂用力就越大
D．公园的滑梯比较陡，是为了增加人滑滑梯时受到的重力，使人下滑得更快
解析：高大的桥造很长的引桥以减小斜面倾角，主要是为了减小汽车重力沿桥面向下的分力，达到行车安全的目的，A选项正确，B选项错误；运动员做引体向上(缓慢上升)动作时，合力不变，随着夹角越大，其分力越大，C选项正确；公园的滑梯很陡，是为了增加人下滑的分力，使小孩下滑得更快，而其重力不变，D选项错误．
答案：AC
5．(2018·内蒙古期末)静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个分力，下列的说法正确的是(　　)
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A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上
B．F2的性质是弹力
C．F2就是物体对斜面的正压力
D．F1和F2是与物体的重力等效的力，实际存在的就是重力
解析：F1、F2是重力的两个分力，与重力等效，作用在物体上，A选项错误，D选项正确；F2是使物体紧压斜面的分力，性质上是重力，不是物体对斜面的正压力，B、C选项错误．
答案：D
【巩固易错】
6. 如图所示，物体B的上表面水平，当A、B相对静止沿斜面匀速下滑时，斜面保持静止不动，则下列判断正确的是(　　)
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A．物体B的上表面一定是粗糙的
B．物体B、C都只受4个力作用
C．物体C受水平面的摩擦力方向一定水平向右
D．水平面对物体C的支持力小于三物体的重力大小之和
解析：物体A做匀速直线运动，所以合力为零，即A受重力和支持力，不受摩擦力(若有摩擦力，则不能做匀速直线运动)，所以B的上表面是否粗糙不能判定，故A错误；对AB整体受力分析，受重力、支持力和滑动摩擦力，三个力的合力为零，整体受到的摩擦力作用于B上．所以B受到重力、A对B的压力、C对B的支持力和摩擦力．对C分析可知，C受重力、地面对它的支持力、B对C的压力和摩擦力4个力作用，故B正确；选取ABC的整体为研究对象，AB匀速运动，C静止，加速度为零，故合力为零．所以C不受地面的摩擦力(若有摩擦力，则不平衡)，故C错误；选ABC的整体为研究对象，AB匀速运动，C静止，合力为零；竖直方向受重力和支持力，所以水平面对物体C的支持力等于三物体的重力大小之和，故D错误．
答案：B
7．如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定．若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的(　　)
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A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
解析：OC下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G，OC绳的拉力产生两个效果，使OB在O点受到向左的作用力F1，使OA在O点受到斜向下沿绳方向的作用力F2，F1、F2是G的两个分力．由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示．
/
当逐渐增大所挂物体的质量，哪根绳子承受的拉力最大则最先断．从图中可知：表示F2的有向线段最长，F2分力最大，故OA绳子最先断，故选A.
答案：A
【能力提升】
8．(多选)如图所示，建筑工人通过由一个动滑轮和一个定滑轮组成的滑轮组将一重物缓慢吊起，在此过程中，如果不计滑轮与绳的重力及摩擦，则(　　)
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A．绳子的张力逐渐变大
B．绳子的张力先变大后变小
C．人对地面的压力逐渐变小
D．人对地面的压力逐渐变大
解析：以滑轮为研究对象，设绳与竖直方向的夹角为θ，则2Tcosθ＝mg，随θ角的增加，绳的张力增大，A对，B错；以人为研究对象，可知人受重力、绳的拉力及地面的支持力，由共点力平衡可知T＋N＝G，绳的拉力增大，故人对地面的压力减小，C对，D错．
答案：AC
9．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑，A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为(　　)
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A. B.
C. D.
解析：对A、B，根据平衡条件，F＝μ2(m1＋m2)g，对B，根据平衡条件，水平方向：F＝N；竖直方向：m2g＝f，f＝μ1N，联立有m2g＝μ1F，联立解得＝，B正确．
答案：B
10．如图所示，接触面均光滑，斜面体及挡板被固定，球处于静止状态，球的重力为G＝50 N，请用力的分解法求：球对斜面的压力和球对竖直挡板的压力．
/
解析：如图所示，把重力按照作用效果分解，
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垂直斜面的分力FN1＝＝50 N，方向垂直于斜面向下．
垂直挡板的分力FN2＝G·tan45°＝50 N，方向水平向右．
答案：50 N，方向垂直于斜面向下　50 N，方向水平向右
11．物体A在水平力F1＝400 N的作用下，沿倾角θ＝53°的斜面匀速下滑，如图所示．物体A受的重力G＝400 N，求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数μ.(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)
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解析：对A进行受力分析，A受到重力，水平作用力F1，支持力，摩擦力，共四个力作用，如图所示：
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所以根据正交分解可得
在沿斜面方向上：mgsin53°＝F1cos53°＋μN
在垂直斜面方向上：N＝mgcos53°＋F1sin53°
联立可得N＝560 N，μ＝.
答案：560 N