2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法．
分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有
N＝ 种不同的方法．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点区别
一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．
二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．两点提醒
一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律．
二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取.
3. 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
4. (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
5. (1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．
小结
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
备战练习·固基石
一、单选题
1.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
2.玲玲到保山旅游，打电话给大学同学姗姗，忘记了电话号码的后两位，只记得最后一位是6，8，9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（???）
A.?30种?????????????????????????????????????B.?24种?????????????????????????????????????C.?12种?????????????????????????????????????D.?6种
4.从0，1，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（?）
A.?20个????????????????????????????????????B.?19个????????????????????????????????????C.?25个????????????????????????????????????D.?30个
5.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A.?120 ??B.?240 ??????C.?360 ?D.?480
6.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ， B ， C ， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（?? ）
A.?72种????????????????????????????????????B.?48种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?12种
7.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（ ）
A.?24种 ???B.?12种?????? ???C.?10种????? ????D.?9种
8.甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有（???? ）
A.?36种???????????????????????????????????B.?48种???????????????????????????????????C.?96种???????????????????????????????????D.?1 92种
9.将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有（ ）
A.?76种? B.?100种 ???C.?132种 ??D.?150种
10.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.?150种?????????????????????????????????B.?180种?????????????????????????????????C.?300种?????????????????????????????????D.?345种
11.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）
8
3
4
1
5
9
6
7
2
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?4
12.从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（ ）
A.?512 ??????B.?968 ?????C.?1013 ??D.?1024
13.已知（+1）n展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x的值为（ ）
A.?2 ??B.? ????C.?-2 ?????D.?或2
14.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（????）
A.?60种????????????????????????????????????B.?63种????????????????????????????????????C.?65种????????????????????????????????????D.?66种
二、填空题
15.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数字中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法为________?（用数字作答）．
16.在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为________.
17.某校安排小李等5位实习教师到一、二、三班实习，若要求每班至少安排一人且小李到一班，则不同的安排方案种数为________?（用数字作答）
18.形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为 ________?．
19.现有 个大人， 个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有________种．（用数字作答）
20.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色．若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为________?．
21.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是________．
22.如图，小林从位于街道 处的家里出发，先到 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为________
三、解答题
23.由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数． （1）共可以组成多少个五位数？ （2）其中奇数有多少个？ （3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．
24.对于给定的大于1的正整数n，设 ，其中 ，且 记满足条件的所有x的和为 ，
（1）求
（2）设 ，求
25.某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
26.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(? )
A.?24?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?9
二、填空题
2.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
3.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
4.（2017?浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点区别
一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．
二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．两点提醒
一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律．
二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取.
3. 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
4. (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
5. (1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．
小结
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
备战练习·固基石
一、单选题
1.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（?? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】第一步先选男女运动员各选2人有 种方法；第二步选出4人进行乒乓球男女混合双打共有2种，所以组队种数有 种.
故选C
【分析】第一步先选男女运动员各选2人有种方法；第二步选出4人进行乒乓球男女混合双打共有2中，由此可以得出答案。
2.玲玲到保山旅游，打电话给大学同学姗姗，忘记了电话号码的后两位，只记得最后一位是6，8，9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，最后一位有3种可能，倒数第2位有10种可能，根据分步计数原理总共情况为 ，满足情况只有一种，概率为 。
故答案为：D
【分析】先考虑最后一位有几种可能，再考虑倒数第二位，用乘法原理可得.
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（???）
A.?30种?????????????????????????????????????B.?24种?????????????????????????????????????C.?12种?????????????????????????????????????D.?6种
【答案】B
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】第一步：从4门课程中选1门相同有种选法；第二步：让甲从剩下的3门中再选1门，选法有种；第三步：再让乙从剩下的2门中选1门，选法有种，所以所求的选法有。故选B。 【分析】分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……，做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
4.从0，1，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（?）
A.?20个????????????????????????????????????B.?19个????????????????????????????????????C.?25个????????????????????????????????????D.?30个
【答案】B
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】0作被除数，1，3，5，7，9做除数，商有 1个； 1作被除数，3，5，7，9做除数，商有4个； 3作被除数，1，5，7，9做除数，商有4个； 5作被除数，1，3， 7，9做除数，商有4个； 7作被除数，1，3，5， 9做除数，商有4个； 9作被除数，1，3，5，7做除数，商有4个； 其中， 所以去掉2个重复的商，结果共有1+4×5-2=19个，故选B。
5.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A.?120 ?????B.?240 ?????C.?360 ???D.?480
【答案】C
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，
第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，
第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种，
根据分步计数原理可得3×4×5×6=360，
故选：C．
【分析】分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得．
6.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ， B ， C ， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（?? ）
A.?72种????????????????????????????????????B.?48种????????????????????????????????????C.?24种????????????????????????????????????D.?12种
【答案】A
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种， 故答案为：A。 【分析】先涂A，然后涂B,C,D，运用乘法原理，即可得出答案。
7.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（ ）
A.?24种 ?????B.?12种??????? ???C.?10种????? ??D.?9种
【答案】B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：第一步，为甲地选一女老师，有C21=2种选法；
第二步，为甲地选两个男教师，有C42=6种选法；
第三步，剩下的三名教师到乙地，
故不同的安排方案共有2×6×1=12种，
故选B．
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
8.甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有（???? ）
A.?36种???????????????????????????????????B.?48种???????????????????????????????????C.?96种???????????????????????????????????D.?1 92种
【答案】C
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C． 【分析】本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．
9.将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有（ ）
A.?76种?? ?B.?100种 ?C.?132种 ?D.?150种
【答案】B
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：A宿舍1人；B中1、2、3人；则C中分别为3人、2人、1人．C51（C41+C42+C43）；
A宿舍2人；B中1、2人；则C中分别为2人、1人．C52（C31+C32）．
A宿舍3人；B中1人；则C中分别为1人．C53?C21 ．
因而不看甲同学不能分配到A宿舍时，共有C51（C41+C42+C43）+C52（C31+C32）+C53?C21=150种
甲进A、B、C三个宿舍概率一样，甲同学不能分配到A宿舍，因而不同的分配方案有 种．
故选B
【分析】5名学生进3宿舍，甲同学不能分配到A宿舍，限制条件多需要仔细．
10.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.?150种?????????????????????????????????B.?180种?????????????????????????????????C.?300种?????????????????????????????????D.?345种
【答案】D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】分两类（1)甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法； （2)乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法． 故选D. 【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
11.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）
8
3
4
1
5
9
6
7
2
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8；2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6； 8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4； 6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2． 故选：B． 【分析】列举所有排法，即可得出结论．
12.从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（ ）
A.?512 ???B.?968 ?C.?1013 ?D.?1024
【答案】B
【考点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
共有8种不同的类型，
当有3个键同时按下，有C103种结果，
当有4个键同时按下，有C104种结果，
…
以此类推，根据分类计数原理得到共有
C103+C104+C105+…+C1010
=C100+C101+C102+…+C1010﹣（C100+C101+C102）
=210﹣（1+10+45）=968．
故选B．
【分析】本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数．
13.已知（+1）n展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x的值为（ ）
A.?2 ????????B.? ????C.?-2 ?D.?或2
【答案】D
【考点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：设=y
因为（y+1）n的展开式的通项为Tr+1=Cnryn﹣r根据题意得到Cnr：Cnr+1：Cnr+2=1：2：3
解得n=14，
∵T13+1=C1413y14﹣13=28，
∴y=2，
∴=2，
∴（log2x）2=1，
∴log2x=±1，
∴x=2或x= ，
故选：D．
【分析】设=y，利用二项展开式的通项公式求出（y+1）n的展开式的通项，得到连续三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，再根据且展开式的倒数第二项为28，求出y=2，根据对数的运算性质计算即可．
14.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（????）
A.?60种????????????????????????????????????B.?63种????????????????????????????????????C.?65种????????????????????????????????????D.?66种
【答案】D
【考点】分类加法计数原理
【解析】【解答】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有=1种结果， 当取得4个奇数时，有=5种结果， 当取得2奇2偶时有=6×10=60 ∴共有1+5+60=66种结果，故选D. 【分析】简单题，简单的排列组合问题，一般的可直接分类分步、套用公式，有附加条件的，往往从特殊元素、特殊位置入手。
二、填空题
15.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数字中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法为________?（用数字作答）．
【答案】110
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：若取出的这4个数都是偶数，方法有 =5种；
若取出的这4个数都是奇数，方法有=5种；
若取出的这4个数有2个是偶数、2个是奇数，方法有?=100种．
综上，所有的满足条件的取法共有5+5+100=110种，
故答案为：110．
【分析】分别求得取出的这4个数都是偶数；取出的这4个数都是奇数；取出的这4个数有2个是偶数、2个是奇数这三种情况的方法数，相加，即得所求．
16.在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为________.
【答案】60
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】【解答】先排 个女生，三个女生之间有 个空，从四个空中选两个排男生，共有 （种），若女生甲排在第一个，则三个女生之间有 个空，从 个空中选两个排男生，有 （种），
∴满足条件的出场顺序有 （种）排法.
【分析】分两类考虑：若一个出场的是男生，和第一个出场的是女生（不是女生甲） ，最后利用分类加法计数原理即得所求．
17.某校安排小李等5位实习教师到一、二、三班实习，若要求每班至少安排一人且小李到一班，则不同的安排方案种数为________?（用数字作答）
【答案】50
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】若一班安排小李，则其余4名安排到二、三班，有C41+C42+C43=14种；
若一班安排2人，则先从其余4名选1人，其余3名安排到二、三班，有C41（C31+C32）=24种；
若一班安排3人，则先从其余4名选2人，其余2名安排到二、三班，有C42A22=12种；
故共有14+24+12=50种．
故答案为：50．
【分析】分类讨论，一班安排小李，一班安排2人，一班安排3人，利用组合知识，即可得出结论。
18.形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为 ________?．
【答案】16
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有A22A33=12；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．
故答案为：16．
【分析】“波浪数”中十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，是解题的突破口．
19.现有 个大人， 个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有________种．（用数字作答）
【答案】
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起: ,第二类：小孩都不在一起： ，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360【分析】以小孩为对象进行分类讨论，利用乘法原理求出每类有多少种不同情况，再用加法原理将两类相加即可.
20.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色．若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为________?．
【答案】420
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD．
下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论，
（1）P：C51 ， A：C41 ， B：C31 ，
B与D同色：D：1，C：C31 ．
（2）P：C51 ， A：C41 ， B：C31 ，
B与D不同色：D：C21 ， C：C21 ．
共有C51?C41?C31?1?C31+C51?C41?C31?C21?C21=420．
故答案为：420．
【分析】首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即B与D同色、B与D不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．
21.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是________．
【答案】
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有 ?=6种方法， 甲被选中，共有3种方法， ∴甲被选中的概率是 ?= ． 故答案为： ． 【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．
22.如图，小林从位于街道 处的家里出发，先到 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为________
【答案】9
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】由题意可知A到B最短路径的条数为3，B到C最短路径的条数为3，由乘法计数原理知，所求最短路径的条数为 .故答案为：9. 【分析】根据题意，依次分析从A到B的最短路径和从B到C的最短路径的条数，由分步计数原理计算可得答案．
三、解答题
23.由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数． （1）共可以组成多少个五位数？ （2）其中奇数有多少个？ （3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．
【答案】解：（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55=120个五位数 （2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数， ∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果， 其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果， 根据分步计数原理得到共有C31A44=72； （3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55=120种情况，即一共有120个五位数， 再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论： 1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44=24个， 2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33=6个， 3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22=2个， 4、43215，43251，43152，共3个 故不大于43251的五位数有120﹣（24+6+2﹣3）=85个， 即43125是第85项．
【考点】计数原理的应用
【解析】【分析】（1）利用全排列，可得结论； （2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列； （3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．
24.对于给定的大于1的正整数n，设 ，其中 ，且 记满足条件的所有x的和为 ，
（1）求
（2）设 ，求
【答案】（1）解：当 时， ， ， ， ，
故满足条件的 共有 个，
分别为： ， ， ， ,
它们的和是
（2）解：由题意得， 各有 种取法； 有 种取法，
由分步计数原理可得 的不同取法共有 ，
即满足条件的 共有 个，
当 分别取 时， 各有 种取法， 有 种取法，
故 中所有含 项的和为 ；
同理， 中所有含 项的和为 ；
中所有含 项的和为 ；
中所有含 项的和为 ；
当 分别取 时， 各有 种取法，
故 中所有含 项的和为 ；
所以 ；
故 ．
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【分析】(1)由n=2，直接代入计算得到答案。 （2）将本题看作是分步计数，a 0 , a 1 , a 2 , ? , a n ? 1 各有 n 种取法； a n 有 n ? 1 种取法，计算即得答案。
25.某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【答案】解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3+18+16=37种选法
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【分析】分三类，2人全部选中，只选中一个人，2人全被选中，运用加法原理，即可得出答案。
26.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?
【答案】（1）解：每个盒子放一个球,共有 =24种不同的放法 （2）解：先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有 种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有 种放法.
故共有4×6×6=144种放法
【考点】计数原理的应用
【解析】【分析】（1）每个小球都有4种放法，利用排列公式即可； （2）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子有2个小球，从4个小球中选2个作为一个元素，与另外两个元素一球在三个位置全排列，根据分布计数原理即可.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(? )
A.?24?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?9
【答案】B
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】 有 种走法， 有 种走法，由乘法原理知，共 种走法 故选B 【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．
二、填空题
2.（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为 因此一共有 个没有重复数字的四位数. 【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
3.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【答案】1080
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53?C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080． 【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
4.（2017?浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种， 第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种， 根据分类计数原理共有480+180=660种， 故答案为：660 【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
