2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第7节 第一课时 立体几何中的向量方法(一)——求平行与垂直
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
直线的方向向量与平面的法向量的确定
直线的方向向量
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意 也是直线l的方向向量．
平面的法向量可利用方程组求出
设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 。
空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.
l1∥l2
n1∥n2? 。
l1⊥l2
n1⊥n2? 。
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m? 。
l⊥α
n∥m? 。
平面α，β的法向量分别为n，m.
α∥β
n∥m? 。
α⊥β
n⊥m? 。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异．否则易造成解题不严谨．
2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外
3. (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
4. (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
5. 立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解．
小结
1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
备战练习·固基石
一、解答题
1.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
2.如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ∥ ， 为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： 平面 .
3.如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， ，
求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
4.如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，点 为棱 的中点，
（1）证明： ；
（2）若点 为棱 上一点，且 ，求二面角 的余弦值．
5.如图所示，直线 与抛物线 交于 两点，与 轴交于点 ，且 ，
（1）求证：点 的坐标为 ；
（2）求证： ；
（3）求 面积的最小值.
6.设 为抛物线 的焦点， 是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点. （Ⅰ）若直线 经过焦点 ，且斜率为2，求 ； （Ⅱ）当 时，求 的最小值.
7.已知直角梯形 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且 ，沿 将 折起并连接成如图的多面体 ，折后 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若折后直线 与平面 所成角 的正弦值是 ，求证：平面 平面 ．
8.如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的等边三角形， 为 的中点，侧棱 ，点 在 上，点 在 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
9.如图，在五面体 中，棱 底面 ， .底面 是菱形， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
10.在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
备战真题·勇闯天涯
一、解答题
1.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
2.（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．（12分） （Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
3.（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
4.（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
5.（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
6.（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
7.（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（1）求证：EF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
8.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
9.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第7章 第7节 第一课时 立体几何中的向量方法(一)——求平行与垂直
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
直线的方向向量与平面的法向量的确定
直线的方向向量
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
平面的法向量可利用方程组求出
设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?m·n＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m.
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异．否则易造成解题不严谨．
2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外
3. (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
4. (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
5. 立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解．
小结
1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
备战练习·固基石
一、解答题
1.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则A（1，0，0），B（0，1，0） 设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0） 则 ． 可得 ． 因为 所以PE⊥BC． （2）解：由已知条件可得m= ，n=1，故C（﹣ ）， 设 =（x，y，z）为平面PEH的法向量 则 即 因此可以取 ， 由 ， 可得 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
【考点】用向量证明垂直，直线与平面所成的角
【解析】【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示 ， ，计算 ，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量， 求向量 ，然后求 与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
2.如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ∥ ， 为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明：如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 令 则 ? 设 与 的交点为 ，连接 则 ， ∴ ? 又∵ ，∴ ∥ ， 平面 平面 ，∴ ∥平面 （2）证明：∵ ∴ ∴ 又 ，且 ，∴ 平面
【考点】平面的法向量，用向量证明平行，用向量证明垂直
【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示坐标系．求出A，B，C，D，E，F的坐标；利用用向量证明FH∥平面EDB； （Ⅱ）利用用向量证明垂直,即利用空间向量的数量积为0与向量垂直的关系，以及直线与平面垂直的判定定理证明.
3.如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， ，
求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
【答案】证明：∵ ，
∴ ， 平面PBC.
∴ .由题意可知， 面ABC，
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
同理可证 ， .
∴H是△ABC的垂心．
【考点】用向量证明垂直
【解析】【分析】由题意可知=0，=0，=0，且PA平面ABC，PH平面ABC，所以=0，=0，=0，=0，根据向量的减法的法则将用，表示，根据向量的运算法则可得：=0，所以，即AHBC，同理可证BHAC，CHAB，所以点H为的垂心.
4.如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，点 为棱 的中点，
（1）证明： ；
（2）若点 为棱 上一点，且 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明： 底面 ， ? 平面 ， 面 ， ∴ ， ， 又 ， ∴ ．两两垂直． 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 . 则由题意得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ （2）由（Ⅰ）可得 , ． 由点 在棱 上， 设 ， ， ， , 解得 ， ∴ ． 设平面 的法向量为 ，则 由 ，得 ， 令 ，得 ． 由题意取平面 的一个法向量 ． ∴ ， 由图形知二面角 是锐角， 所以二面角 的余弦值为
【考点】用向量证明垂直，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合题目所求两向量的坐标，证明数量积为0，即可得出答案。（2）求出平面FAB和平面ABP的法向量，进而计算出夹角余弦值，即可得出答案。
5.如图所示，直线 与抛物线 交于 两点，与 轴交于点 ，且 ，
（1）求证：点 的坐标为 ；
（2）求证： ；
（3）求 面积的最小值.
【答案】（1）证明：设 ，直线 方程为 代入 得 ， 是此方程的两根 ①即 点坐标是 （2）证明： ? ，则 （3）解：由方程①得 ，又 当 时， 取最小值1.
【考点】直线的点斜式方程，直线与圆锥曲线的综合问题，用向量证明垂直
【解析】【分析】（1）根据y1y2=-1，先设出直线l的方程，联立抛物线，消去x，利用韦达定理得到y1y2=-x0 ， 对应可得M点坐标。 （2）用向量证明垂直，如果OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，根据上题可以求得x1x2的值，代入计算即可。 （3）根据已知条件设出三角形的面积公式，利用完全平方和公式转化再代值，最后直接判断根号的最小值。
6.设 为抛物线 的焦点， 是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点. （Ⅰ）若直线 经过焦点 ，且斜率为2，求 ； （Ⅱ）当 时，求 的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）由题意，得 ，则直线 的方程为 . 由 ? 消去 ，得 .??? 设点 ， ， 则 ，且 ， ， 所以 . （Ⅱ）因为 是抛物线 上的两点，所以设 ， ， 由 ，得 ， 所以 ，即 . 则点 的坐标为 . 所以 ， 当且仅当 时，等号成立. 所以 的最小值为 .
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，用向量证明垂直
【解析】【分析】（Ⅰ）通过将直线AB的方程与抛物线联立得4 x2 ? 6 x + 1 = 0 ，设点A、B的坐标，利用韦达定理，即可求出。 （Ⅱ）设A、B的坐标，由O A ⊥ O B可以得出=0, 解出方程可以化掉一个变量，列出不等式，可以求得最小值。
7.已知直角梯形 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且 ，沿 将 折起并连接成如图的多面体 ，折后 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若折后直线 与平面 所成角 的正弦值是 ，求证：平面 平面 ．
【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，∴ ， ， 又 ， ，∴ 平面 ， ，又 ， ，∴ 平面 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系， 作 于 ，连 ，由（Ⅰ）知 ，即 为 与平面 所成角，设 ， ，而直线 与平面 所成角的正弦值是 ，即 ．（或：平面 的法向量是 ， ， ， ，则 ）．易知平面 平面 于 ，取 的中点 ，则 平面 ，而 ，则平面 的法向量是 ，（或另法求出平面 的法向量是 ），再求出平面 的法向量 ，设二面角 是 ，则 ，∴平面 平面 ．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用向量证明垂直
【解析】【分析】(1)利用折起后的图形的性质可得E F ⊥ A D ， E F ⊥ D E，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得D E ⊥ 平面 A B F E，再利用线面垂直的性质定理得到线线垂直进而结论即可得证。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面ABEF和平面ABCD的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值,其值为零故二面角为直二面角即平面 A B C D ⊥ 平面 F C B 。
8.如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的等边三角形， 为 的中点，侧棱 ，点 在 上，点 在 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三用形， 为 的中点， ∴ ，∴ 平面 ，得 .① 在侧面 中， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ .② 结合①②，又∵ ， ∴ 平面 （2）解：如图建立空间直角坐标系 ， ? 则 得 设平面 的法向量 ，则 即 得 取 . 同理可得，平面 的法向量 ∴ 则二面角 的余弦值为 .
【考点】用向量证明垂直，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用向量证明垂直的方法能证明CE⊥平面ADF． （Ⅱ）求出平面ADF的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AD-E的余弦值．
9.如图，在五面体 中，棱 底面 ， .底面 是菱形， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
【答案】解：（Ⅰ）在菱形 中， ，
∵ ， ，∴ .
又 ，面 ，∴ .
（Ⅱ）解：作 的中点 ，则由题意知 ，
∵ ，∴ .
如图，以 点为原点，建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ， ，得 ，
令 ，则 ， ，即 ，
同理，设平面 的一个法向量为 ，
由 ， ，得 ，
令 ，则 ， ，即 ，
∴ ，即二面角 的余弦值为 .
【考点】平面的法向量，用向量证明平行，与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）建立坐标系，向量共线；（2）先求法向量，再利用法向量的夹角求二面角。
10.在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
【答案】（1）证明：由题意可得 ， ， 两两互相垂直，如果，以 为原点， ， ， 分别是 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为
，
∴ ，令 ∴
又 ，∴ ，∴
平面
∴ ? 平面
（2）解：设点 坐标为
则 ， ，
由 得 ，∴
设平面 的法向量为 ，
由 得 即 令 ∴
则
又由图可知，该二面角为锐角
故二面角 的余弦值为
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系，直线与平面平行的判定，用向量证明平行
【解析】【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，根据向量法求证直线与平面平行。 （2）分别求出二面角两平面的法向量，求两法向量的余弦值即可。
备战真题·勇闯天涯
一、解答题
1.（2018?卷Ⅱ）如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.
（1）证明： 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）PA=PC=AC=4?? 且O是AC的中点 ?PO⊥AC ∵AB=BC=2 ，AC=4, ∴ ∴∠ABC=90°??? 连接BO 则OB=OC ∴PO2+BO2=PB2 PO⊥OB，PO⊥OC OB∩OC=O ∴PO⊥平面ABC （2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB ∴AB=BC=2 ?? O是AC的中点 ∴OB⊥AC??? OB⊥平面PAC 如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz 则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0） 平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0） 平面PAC法向量为 =（1，λ，μ）， =（0，2， ）, = （x，4-x，0） 则 即 即 得到 ，∴x=-4（舍） ，x= 即M ∴PAM的法向量 记PC与平面PAM所成的角为θ ∴ 即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
2.（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．（12分） （Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A， ∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP， ∴BE⊥BP，又∠EBC=120°， 因此∠CBP=30°； （Ⅱ）解法一、 取 的中点H，连接EH，GH，CH， ∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形， ∴AE=GE=AC=GC= ． 取AG中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， ∴∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM=1，∴EM=CM= ． 在△BEC中，由于∠EBC=120°， 由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ ，因此△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°． 解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0）， 故 ， ， ． 设 为平面AEG的一个法向量， 由 ，得 ，取z1=2，得 ； 设 为平面ACG的一个法向量， 由 ，可得 ，取z2=﹣2，得 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°； （Ⅱ）法一、取 的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小． 法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
3.（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2 ． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴ = = =1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ． 同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）． ∴cos = = =﹣ ． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2 ． 可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
4.（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD， ∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC， 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F． ∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°． ∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则 ， ， 设平面MEN的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取z=2，得 ． 由图可得平面CME的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为 ，则正弦值为 ； （Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， ． ∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ， ∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 解得：t=4． ∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4．
【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值； （Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长．
5.（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面PBD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取z= ，得 ． 取平面PAD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
6.（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0， ），C1（ ）． =（ ）， =（ ）， ， ． （Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ． ∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ； （Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取x= ，得 ； 取平面A1AD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标． （Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
7.（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（1）求证：EF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
【答案】（1）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示， ∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°， ∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC． 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD （2）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF， ∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角． 在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ= ． 在Rt△BQF中，BF= ，FQ= ．可得：cos∠BQF= ． ∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为 ． 方法二：如图 ， 延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC， 以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0）， ， ． =（0，3，0）， = ， （2，3，0）． 设平面ACK的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面ABK的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），由 ，可得 ， 取 = ． 由 ，可得 ，取 = ． ∴ = = ． ∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD． （2）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出； 方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值． 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
8.（2016?天津）如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】（1）解：证明：找到 中点 ，连结 ， ∵矩形 ,∴ ∵ 、 是中点，∴ 是 的中位线 ∴ 且 ∵ 是正方形 中心 ∴ ∴ 且 ∴四边形 是平行四边形 ∴ ∵ 面 ∴ 面 （2）解：如图所示建立空间直角坐标系 ， ， ， 设面 的法向量 得： ∴ ∵ 面 ， ∴面 的法向量 （3）∵ ∴ 设 ∴ 得：
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF； （2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值
9.（2016?全国）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； 又 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ 面 （2）解：建立如图坐标系 ． ， ， ， ， ， ， ， 设面 法向量 ， 由 得 ，取 ， ∴ ． 同理可得面 的法向量 ， ∴ ， ∴
【考点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到 的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量 ，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求
