2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第8章 第9节 第三课时 定点、定值、探索性问题

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第三课时 定点、定值、探索性问题
（学生版）
备战基础·零风险
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝ ＝ (抛物线的焦点弦长|AB|＝ ＝ ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝ ；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝ ；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 .
备战方法·巧解题
规律
方法
1.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2.点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
3. 求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
小结
1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与　　　　　　　　　　　　　　　　　　
系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②引进变量法：其解题流程为
解决探究性、存在性问题的常用方法
(1)解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．
(2)解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明．
(3)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．
(4)解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论．
备战练习·固基石
一、解答题
1.已知倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .（Ⅰ）求抛物线 的方程；（Ⅱ）过点 的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段 和 的中点分别为 、 .如果直线 与 的倾斜角互余，求证：直线 经过一定点.
2.已知圆 ： 与定点 ， 为圆 上的动点，点 在线段 上，且满足 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴交点为 ，不经过点 的直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，若 .证明：直线 过定点.
3.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B． （Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．
4.已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ， 上、下顶点分别为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2= ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
5.在直角坐标系xOy中，设圆的方程为（x+2 ）2+y2=48，F1是圆心，F2（2 ，0）是圆内一点，E为圆周上任一点，线EF2的垂直平分线EF1的连线交于P点，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l（与x轴不重合）与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点M．（i）是否存在定点M，使得 + 为定值，若存在，求出点M坐标及定值；若不存在，请说明理由；（ii）在满足（i）的条件下，连接并延长AO交曲线C于点Q，试求△ABQ面积的最大值．
6.已知右焦点为F的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（1， ），直线x=a与抛物线L：x2= y交于点N，且 = ，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．
7.已知椭圆 的上顶点为点 ，右焦点为 .延长 交椭圆 于点 ，且满足 .
（1）试求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作与 轴不重合的直线 和椭圆 交于 两点，设椭圆 的左顶点为点 ，且直线 分别与直线 交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，则 与 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.
8.如图，矩形 中， ?且 , 交 于点 .
（1）若点 的轨迹是曲线 的一部分，曲线 关于 轴、 轴、原点都对称，求曲线 的轨迹方程；
（2）过点 作曲线 的两条互相垂直的弦 ，四边形 的面积为 ，探究 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
9.已知抛物线 ： ，斜率为 且过点 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
11.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.
（1）若直线 过焦点 ，且与圆 交于 ， （其中 ， 在 轴同侧）两点，求证： 是定值；
（2）设抛物线 在点 和点 处的切线交于点 ，试问在 轴上是否存在点 ，使得四边形 为菱形？若存在，求出此时直线 的斜率和点 的坐标；若不存在，请说明理由.
12.在平面直角坐标系中，点 到点 的距离之和为4.
（1）试求点A的M的方程.
（2）若斜率为 的直线l与轨迹M交于C,D两点， 为轨迹M上不同于C，D的一点，记直线PC的斜率为 ，直线PD的斜率为 ，试问 是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.
13.已知点 是抛物线 上一点，且 到 的焦点的距离为 .
（1）求抛物线 在点 处的切线方程；
（2）若 是 上一动点，且 不在直线 上，过 作直线 垂直于 轴且交 于点 ，过 作 的垂线，垂足为 .证明： 为定值，并求该定值.
14.已知椭圆 ? ，直线 不过原点O且不平行于坐标轴， 与 有两个交点A、B ， 线段AB的中点为M.
（1）若 ，点K在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（2）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（3）若 过点 ，射线OM与 交于点P ， 四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由．
15.已知椭圆 ，三点 中恰有二点在椭圆 上，且离心率为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一点， 为椭圆 的左右顶点， 为 中点，求证：直线 与直线 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ，求证：直线 与直线 斜率之和为定值。
16.设椭圆C： 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 ，过椭圆右焦点 的直线l与椭圆C交于 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 ，求直线l的方程；
（3）若 是椭圆C经过原点O的弦， ，求证： 为定值．
17.已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线交曲线 于 ， 两点.
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
18.已知 、 分别是离心率为 的椭圆 ： 的左、右焦点，点 是椭圆 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 作 的外角平分线 的垂线 ，交 于点 ，且 （ 为坐标原点）．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在圆 上，且在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 、 两点，问： 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
19.已知椭圆 : ?( )的离心率为 ， ， 分别是它的左、右焦点，且存在直线 ，使 ， 关于 的对称点恰好是圆 ： （ ， ）的一条直径的两个端点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与抛物线 相交于 、 两点，射线 、 与椭圆 分别相交于 、 ．试探究：是否存在数集 ，当且仅当 时，总存在 ，使点 在以线段 为直径的圆内？若存在，求出数集 ；若不存在，请说明理由．
20.已知直线 过椭圆 的右焦点 ，抛物线 的焦点为椭圆 的上顶点，且 交椭圆 于 两点，点 在直线 上的射影依次为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 交 轴于点 ，且 ，当 变化时，证明： 为定值；
（3）当 变化时，直线 与 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
备战真题·勇闯天涯
解答题
1.（2016?北京）已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
2.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
3.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4.（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
5.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值；②求直线AB的斜率的最小值．
6.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
7.（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（1）求 ；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第8章 第9节 第三课时 定点、定值、探索性问题
（教师版）
备战基础·零风险
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2.点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
3. 求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
小结
1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与　　　　　　　　　　　　　　　　　　
系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②引进变量法：其解题流程为
解决探究性、存在性问题的常用方法
(1)解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．
(2)解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明．
(3)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．
(4)解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论．
备战练习·固基石
一、解答题
1.已知倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .（Ⅰ）求抛物线 的方程；（Ⅱ）过点 的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段 和 的中点分别为 、 .如果直线 与 的倾斜角互余，求证：直线 经过一定点.
【答案】解：（Ⅰ）由题意可设直线 的方程为 ，由 消去y整理得 ，设令 ， ，则 ，由抛物线的定义得 ，∴ ，∴ .∴抛物线的方程为 .（Ⅱ）设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，直线 的斜率为 ，则 .∵直线 与 的倾斜角互余，∴ ? ，∴直线 的斜率为 .∴直线 的方程为 ，即 ，由 消去x整理得 ，∴ ，∴ ，∴点 ，以 代替点M坐标中的 ，可得点 ，∴ ? .∴直线 的方程为 ，即 ，显然当 ， .∴直线 经过定点 .
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质和根与系数的关系，即可求出，（Ⅱ）于是直线CD的方程为y-8=k（x-12），联立方程组利用根与系数的关系和中点坐标公式求出M，N的坐标，得出直线MN的方程，即可得出结论．
2.已知圆 ： 与定点 ， 为圆 上的动点，点 在线段 上，且满足 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴交点为 ，不经过点 的直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，若 .证明：直线 过定点.
【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，则 ,则点 的轨迹 是以 为焦点的椭圆，可设 的方程为： ，由已知可得 ，则点 的轨迹 的方程为： ．（Ⅱ）①如果 与 轴垂直，设 ，由题知 ，可得 ，又 ，则 ?? 得 或 舍去，则 ②如果 与 轴不垂直，可设 ，将 代入 得 ?? 由题设可知 设 则 又 ，由 ，故 ，得 即 ，则 解得 或 （舍去） 时，满足 ，于是 即 ，恒过定点 又 ，也过点 综上可知，直线 恒过定点 ，故得证.
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目的条件和椭圆的定义即可判断出点Q的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，从而可求出点Q的轨迹；（Ⅱ）分两种情况讨论：l与x轴垂直和l与x轴不垂直，结合向量垂直的条件和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证．
3.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B． （Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0 ， y0），则 ，所以，点P到直线l的距离 ．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．（Ⅱ）设点A的坐标为 ，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；可得B（ ，3），直线AB：y=4x﹣6；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为 ，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为 ．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为 ．因此，B点的坐标为 ．当 ，即 时，直线AB的斜率 ．所以直线AB的方程为 ，整理得 ．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x﹣6上，当 时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）
【考点】抛物线的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为 ，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．
4.已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ， 上、下顶点分别为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2= ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，∴ ，即ab=2? ①由题意可得直线A2B2方程为： ，即bx+ay﹣ab=0，∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为 ，∴圆心O到直线A2B2的距离为 ，即 ②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为： （Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③由韦达定理： ∵直线OM，ON的斜率之积等于 ，∴ ，∴ ，∴2m2=4k2+1满足③…（9分）∴ ，又O到直线MN的距离为 ， ，所以△OMN的面积 若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），则 ， ，又∵M在椭圆上， ，∴ ，所以△OMN的面积S= = =1．综上可知，△OMN的面积为定值1
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用四边形A1B1A2B2为菱形，求出ab=2，圆心O到直线A2B2的距离为 ，列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0，利用韦达定理以及判别式，通过直线OM，ON的斜率之积等于 ，求出三角形的面积，若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称，设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），求解三角形的面积即可．
5.在直角坐标系xOy中，设圆的方程为（x+2 ）2+y2=48，F1是圆心，F2（2 ，0）是圆内一点，E为圆周上任一点，线EF2的垂直平分线EF1的连线交于P点，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l（与x轴不重合）与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点M．（i）是否存在定点M，使得 + 为定值，若存在，求出点M坐标及定值；若不存在，请说明理由；（ii）在满足（i）的条件下，连接并延长AO交曲线C于点Q，试求△ABQ面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）∵圆的方程为（x+2 ）2+y2=48的圆心F1为（﹣2 ，0），半径为4 ．依题意点P满足 ，且4 ＞丨F1F2丨，故点P的轨迹为以F1、F2为焦点，长轴为4 的椭圆∴曲线C的方程： ． （Ⅱ）（i）设M（t，0），设直线l的方程：x=my+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 ，整理得：（m2+3）y2+2mty+t2﹣12=0，y1+y2=﹣ ，y1y2= ， = ， = ，则 + = = ，当2t2+24=72﹣6t2 ， 即t2=6时， + =1，此时M的坐标为（± ，0），综上，存在点M（± ，0），使得 + =1，（ii）由（i）可知：t2=6，则丨AB丨= 丨y1﹣y2丨= ，原点O直线AB的距离d= ，S△ABQ=4× × = ，令 =μ∈[ ，+∞），则S△ABQ= = ≤ =4 ，当且仅当t= ，即m=0取最大值，∴△ABQ面积的最大值4
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由足 ，且4 ＞丨F1F2丨，则点P的轨迹为以F1、F2为焦点，长轴为4 的椭圆，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线l的方程，代入椭圆方程，由 + = ，利用韦达定理可知2t2+24=72﹣6t2 ， 即可求得t的值， + =1；（ii）利用弦长公式，求得丨AB丨，利用点到直线距离公式，换元，即可求得△ABQ面积的最大值．
6.已知右焦点为F的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（1， ），直线x=a与抛物线L：x2= y交于点N，且 = ，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．
【答案】（1）解：设N（a，y0），连接MN，由 = ，则OMNF为平行四边形，则y0= ，将M（1， ）代入抛物线方程：解得：a=2，将M（1， ）代入椭圆方程： ，解得：b2=3，∴椭圆的标准方程： （2）解：①证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1 ， y1），E（x2 ， y2），则A（x1 ， ﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，x1+x2= ，x1x2= ，①则直线AE的方程为：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），∴x= ，∴x=1，∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）；②由题意可知，直线MF的方程为x=1，则kOM= ，设直线l：y= x+n，（n≠1），设A（x3 ， y3），B（x4 ， y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，则kMA+kMB= + = + =1+ + =1+ =1﹣ =0，直线MA，MB关于直线x=1对称
【考点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）将由 = ，即可求得N点坐标，将M代入抛物线方程，即可求得a，代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；（2）①设直线PB的方程，设B，E点坐标，将直线PB代入椭圆方程，求得直线AE的方程，利用韦达定理即可求得x的值，直线AE与x轴相交于定点（1，0）；②设直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得n的取值范围，利用直线的斜率公式及韦达定理kMA+kMB=0，则直线MA，MB关于直线x=1对称．
7.已知椭圆 的上顶点为点 ，右焦点为 .延长 交椭圆 于点 ，且满足 .
（1）试求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作与 轴不重合的直线 和椭圆 交于 两点，设椭圆 的左顶点为点 ，且直线 分别与直线 交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，则 与 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.
【答案】（1）解：椭圆 的上顶点为 ，右焦点 ，点 的坐标为 .∵ ，可得 ，又 ， ，∴ 代入 可得 ，又 ，解得 ， ，即椭圆 的标准方程为 .（2）解：设 ， ， ， ， .由题意可设直线 的方程为 ，联立 消去 ，得 ，∴ 根据 三点共线，可得 ，∴ .同理可得 ，∴ 的坐标分别为 ， ，∴ .∴ 与 之积为定值，且该定值是
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由已知条件推导出关于参数a,b,c的方程组，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l'的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，得关于y的二次方程，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线的斜率之积为定值．
8.如图，矩形 中， ?且 , 交 于点 .
（1）若点 的轨迹是曲线 的一部分，曲线 关于 轴、 轴、原点都对称，求曲线 的轨迹方程；
（2）过点 作曲线 的两条互相垂直的弦 ，四边形 的面积为 ，探究 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：设 ，由 ,求得 ,∵ ,∴ ,∴ ，整理得 .可知点 的轨迹为第二象限的 椭圆，由对称性可知曲线 的轨迹方程为 .（2）解：设 ，当直线 斜率存在且不为零时，设直线 的斜率为 ，把 代入椭圆方程，化简整理得 . ， .∴ .∵ ,∴把 换成 ，即得 .∴ ， ， ，∴ .当直线 斜率不存在或为零时， .∴ 为定值 .
【考点】平面向量的坐标运算，斜率的计算公式，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由向量的线性运算以及斜率的坐标表示代入 Q 点的坐标，即可得到x、y的代数式即为 轨迹在第二象限的 椭圆再由椭圆的对称性即可得到椭圆的方程。(2)首先根据点斜式设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理求出x1+x2、x1x2的代数式并把上式带入到弦长公式中，由两条直线垂直斜率之积等于-1整理化简上式，然后再把上式带入到三角形的面积公式中，整理化简|EF|+|GH/即可求出当直线的斜率存在时的代数式的定值。
9.已知抛物线 ： ，斜率为 且过点 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
【答案】（1）解：直线 的方程为 ，联立方程组 得 ，设 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，从而抛物线 的方程为 （2）解：因为 ， ，所以 ， ，因此 ? ，又 ， ，所以 ，即 为定值
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】第一问，由于直线与抛物线有两个交点，所以首先验证直线斜率不存在时是否满足条件，其次用直线与圆锥曲线的关系的通用解法，得到A、B两点的坐标关系，再用求出参数p就可得抛物线方程。第二问，用斜率公式表示出、?,再借用第一问 可以求解。
10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
【答案】解：（I） ， ，∴ ，∴椭圆方程为 ．（Ⅱ） ， ，设 ， ，则 ， ，直线 ，即 ，代入椭圆 得 ，∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ （定值）
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）根据题目中所给的条件的特点，关键是利用椭圆的几何性质求出a、b的值，写出椭圆的标准方程即可．（2）设出点M的坐标后写出直线CM的方程，并把它和椭圆的方程联立，解方程组可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算它们的数量积，即可证明出定值．
11.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.
（1）若直线 过焦点 ，且与圆 交于 ， （其中 ， 在 轴同侧）两点，求证： 是定值；
（2）设抛物线 在点 和点 处的切线交于点 ，试问在 轴上是否存在点 ，使得四边形 为菱形？若存在，求出此时直线 的斜率和点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：抛物线 的焦点 ，设 ，联立 与 有 ，则 ，且 ， ．若直线 过焦点 ，则 ，则 ， ．由条件可知圆 圆心为 ，半径为1，由抛物线的定义有 ，则 ， ， ? ，(或 )即 为定值，定值为1．（2）解：当直线 的斜率为0，且 时 为菱形．理由如下：由 有 ，则 ，则抛物线 在 处的切线为 ，即 ……①同理抛物线 在 处的切线为 ……②联立①②解得 ，代入①式解得 ，即 ．又 ，所以 ，即 的中点为 ．则有 轴．若 为菱形，则 ，所以 ，此时 ， ，则 ．
【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意联立直线和抛物线的方程消元得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理求出 x1 + x2 = 4 k ， x1 ? x1 的代数式，再根据直线l过焦点F则a=1，由已知条件结合圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，再利用抛物线的定义联立上式求出|AD|?|BE|的代数式整理即可得出结果。(2)根据题意求出抛物线方程的导函数即为抛物线 C 在 A 处的切线的方程，同理可求出抛物线 C 在 B 处的切线的方程，联立两式解出A B 的中点坐标结合P R ⊥ A B求出 k = 0，即可求出点P的坐标。
12.在平面直角坐标系中，点 到点 的距离之和为4.
（1）试求点A的M的方程.
（2）若斜率为 的直线l与轨迹M交于C,D两点， 为轨迹M上不同于C，D的一点，记直线PC的斜率为 ，直线PD的斜率为 ，试问 是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.
【答案】（1）解：由题知 则 ，故由椭圆的定义知点A的轨迹M是椭圆，且a=2，c=1，则 所以轨迹M的方程为 （2）解： 为定值0，理由如下：设直线l的方程为 联立 得 ，当 ，即 时，直线l与椭圆M有两个交点.且 ，因为 所以 = =0所以 为定值.
【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义知点A的轨迹M是椭圆，易得其标准方程.（2）先设直线方程，由根与系数关系可以得出k1+k2为定值.
13.已知点 是抛物线 上一点，且 到 的焦点的距离为 .
（1）求抛物线 在点 处的切线方程；
（2）若 是 上一动点，且 不在直线 上，过 作直线 垂直于 轴且交 于点 ，过 作 的垂线，垂足为 .证明： 为定值，并求该定值.
【答案】（1）解：依题意得 ∴ .∵ ，∴ ，故 的方程为 .由 得 ， ，∴ ，又 ，∴所示切线的方程为 ，即 .（2）解：设 （ ，且 ），则 的横坐标为 ， .（法一）由题可知 ，与 联立可得， ，所以 ，则 为定值.（法二）∵ ， ，∴ ∴ 为定值.
【考点】导数的几何意义，抛物线的定义
【解析】【分析】利用点在曲线上则坐标满足方程，以及抛物线的定义求出和p.（1）利用“切点处的导数就是切线的斜率”求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程。（2）用恰当的方法表示出线段的长度
14.已知椭圆 ? ，直线 不过原点O且不平行于坐标轴， 与 有两个交点A、B ， 线段AB的中点为M.
（1）若 ，点K在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（2）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（3）若 过点 ，射线OM与 交于点P ， 四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：椭圆 ，两个焦点 、 ，设 所以 由于 ，所以 ， ?由椭圆性质可知 ，所以 （2）证明：设直线 （ ）， ， ， ，所以 为方程 的两根，化简得 ，所以 ， . ，所以直线 的斜率与 的斜率的乘积等于 为定值.（3）解：∵直线 过点 ，∴ 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ．设 ?设直线 （ ），即 .由（2）的结论可知 ，代入椭圆方程 得 ?由（2）的过程得中点 ，若四边形 为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以 ，得 ，解得 所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）设P（cosα，3sinα），用α表示,即可得出结论；
（2）设直线l方程为y=kx+b，联立方程组，根据韦达定理求出M点坐标得出结论；（3）设直线l斜率为k，求出P点坐标，令M为OP的中点得出k的值．
15.已知椭圆 ，三点 中恰有二点在椭圆 上，且离心率为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一点， 为椭圆 的左右顶点， 为 中点，求证：直线 与直线 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ，求证：直线 与直线 斜率之和为定值。
【答案】（1）解：由椭圆性质得： 在椭圆上， 得： （2）解：设 为椭圆上任一点， ， 得： ? （3）解：设直线 ： ，设 联立得： ， ?代入得，
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单性质以及离心率的定义即可求出椭圆的方程，（2）根据斜率公式即可证明，（3）设直线l：y=k（x-4），现椭圆方程联立后消去y,利用根与系数的关系和斜率公式即可证明．
16.设椭圆C： 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 ，过椭圆右焦点 的直线l与椭圆C交于 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 ，求直线l的方程；
（3）若 是椭圆C经过原点O的弦， ，求证： 为定值．
【答案】（1）解：椭圆的顶点为(0， )，即b＝ ，e＝ ＝ ，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（2）解：由题可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1 ， y1)，N(x2 ， y2)．由 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ＋k2 ＝ ＝－2，解得k＝± ，故直线l的方程为y＝ ?(x－1)或y＝－ ?(x－1)（3）证明：设M(x1 ， y1)，N(x2 ， y2)，A(x3 ， y3)，B(x4 ， y4)，由(2)可得|MN|＝ ?|x1－x2|＝ ＝ ＝ ，由 消去y并整理得x2＝ ，|AB|＝ ?|x3－x4|＝4 ，∴ ＝ ＝4，为定值
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单性质 ， 即可求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）分两张情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；（Ⅲ）利用弦长公式，以及根与系数的关系，求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论
17.已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线交曲线 于 ， 两点.
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：设点 ，由题知， ，
整理，得曲线 ： ，即为所求.
（2）解：由题意，知直线 的斜率不为0，故可设 ： ， ， ，
设直线 的斜率为 ，由题知， ， ，
由 ，消去 ，得 ，所以 ，
所以 ? .
又因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，为定值.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出P的坐标为（x,y）然后结合题目所给条件得到y关于x的方程，进而得到轨迹方程，得出答案。（2）由题目已知条件可以设出直线MN的方程为：x=my+1,然后结合第一问所求的轨迹方程，代入，得到关于y的一元二次方程，表示出直线NB和直线MB的斜率乘积，表示出直线MA和直线MB的斜率乘积，然后求比值就可以得到答案。
18.已知 、 分别是离心率为 的椭圆 ： 的左、右焦点，点 是椭圆 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 作 的外角平分线 的垂线 ，交 于点 ，且 （ 为坐标原点）．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在圆 上，且在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 、 两点，问： 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
【答案】（1）解：延长 交直线 于点 ，∵ 为 的外角平分线的垂线，∴ ， 为 的中点，∴ ，由椭圆的离心率 ，得 ， ，∴椭圆的方程为 ．（2）解：由题意，设 的方程为 （ ， ），∵直线 与圆 相切，∴ ，即 ，由 得 ，设 ， （ ），则 ， ， ，又 ，∴ ，同理 ，∴ ，∴ ，即 的周长为定值6．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的应用
【解析】【分析】（1）延长 F 2 Q 交直线 F 1 P 于点 R ，利用 为 的外角平分线的垂线，可得 ， 为 的中点，结合椭圆的定义求出a，结合离心率公式求出b，即可得出椭圆的方程；（2）由题意，设 A B 的方程为 y = k x + m （ k < 0 ， m > 0 ），利用直线 A B 与圆 x 2 + y 2 = 8 相切，求出m与k的关系，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式，即可得出结论。
19.已知椭圆 : ?( )的离心率为 ， ， 分别是它的左、右焦点，且存在直线 ，使 ， 关于 的对称点恰好是圆 ： （ ， ）的一条直径的两个端点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与抛物线 相交于 、 两点，射线 、 与椭圆 分别相交于 、 ．试探究：是否存在数集 ，当且仅当 时，总存在 ，使点 在以线段 为直径的圆内？若存在，求出数集 ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将圆 的方程配方得： ，所以其圆心为 ，半径为2，由题设知，椭圆的焦距 等于圆 的直径，所以 ，又 ，所以 ，从而 ，故椭圆 的方程为 （2）解：因为 关于 的对称点恰好是圆 的一条直径的两个端点，所以直线 是线段 的垂直平分线（ 是坐标原点），故 方程为 ，与 ，联立得： ，由其判别式 得 ①.设 ， ，则 ， ，从而 ， .因为 的坐标为 ，所以 ， ，注意到 与 同向， 与 同向，所以点 在以线段 为直径的圆内 ，所以 即 代入整理得 ②当且仅当 即 时，总存在 ，使②成立.又当 时，由韦达定理知方程 的两根均为正数，故使②成立的 ，从而满足①.故存在数集 ，当且仅当 时，总存在 使点 在以线段 为直径的圆内.
【考点】圆的标准方程，椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由圆的标准方程得到圆心坐标与半径,由题设知，椭圆的焦距 2 c 等于圆 C 的直径,求出c,再由离心率求出a,b,得到椭圆的方程;(2)由已知得直线 l 是线段 O C 的垂直平分线,得到其方程,代入抛物线方程中,得到关于y的二次方程,由韦达定理得到两根和与积,再由点 F1在以线段 M N 为直径的圆内,得到向量的数量积小于0,代入整理得到关于m与p的不等式,由关于m的二次不等式的判别式在于0,求出p的范围,即为数集D.
20.已知直线 过椭圆 的右焦点 ，抛物线 的焦点为椭圆 的上顶点，且 交椭圆 于 两点，点 在直线 上的射影依次为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 交 轴于点 ，且 ，当 变化时，证明： 为定值；
（3）当 变化时，直线 与 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
【答案】（1）解：∵ 过椭圆 的右焦点 ，
∴右焦点 ，即 ，
又∵ 的焦点 为椭圆 的上顶点，
∴ ，即 ，
∴椭圆 的方程 ；
（2）解：由 得， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当 变化时， 的值为定值 ；
（3）证明：当 时，直线 轴，则 为矩形，易知 与 是相交于点 ，猜想 与 相交于点 ，证明如下：
∵ ，
∵ ，
∴ ，即 三点共线.
同理可得 三点共线，
则猜想成立，即当 变化时， 与 相交于定点 .
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得c 2 = 1，b 2 = 3，即可得出椭圆 C 的方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和平面向量共线的坐标表示可得λ 1 + λ 2 为定值；（3）由m = 0易知 A E 与 B D 是相交于点 N ( , 0 )，故只需证明当 m 变化时， A E 与 B D 相交于定点 N ( , 0 )即可 .
备战真题·勇闯天涯
一、解答题
1.（2016?北京）已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【答案】（1）解：∵椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则 = ，∴椭圆C的方程为 ，离心率为e= （2）证明：如图， 设P（x0 ， y0），则 ，PA所在直线方程为 ，取x=0，得 ； ，PB所在直线方程为 ，取y=0，得 ．∴|AN|= ，|BM|=1﹣ ．∴ = = = = = ．∴四边形ABNM的面积为定值2．
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ，则椭圆C的方程可求，离心率为e= ；（2）设P（x0 ， y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由 ，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．；本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
2.（2018?北京）已知抛物线C: ?=2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M ， 直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O为原点， ? ， ，求证： + 为定值.
【答案】（Ⅰ） ，所以抛物线方程 设 因为有两个交点，∴ ∴ （Ⅱ） , ∴ 令x=0, ∴ （定值）
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】待定系数法求出P，联立方程组 求出k范围；（2）设而不求，先化简 得到M,N两点间系数关系，再转化为 ， ， ， 关系，代入韦达定理，即可求出值.
3.（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），由韦达定理可得x1x2=﹣2，若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1，即有 ? =﹣1，即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，可得D=m，F=﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，再令x=0，可得y2+y﹣2=0，解得y=1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；（2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
4.（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得： ，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为 =1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴ = = =﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， ，x1x2= ，则 = = = = =﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．
【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
5.（2016?山东）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值；②求直线AB的斜率的最小值．
【答案】（1）解：椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．可得a=2，c= ，b= ，可得椭圆C的方程： ；（2）解：过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），①证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k= = ，k′= =﹣ ， = =﹣3．为定值；②由题意可得 ，m2=4﹣ t2 ， QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得xB= ，yB= +m，同理解得xA= ，yA= ，xB﹣xA= ﹣ = ，yB﹣yA= +m﹣（ ）= ，kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+ ，当且仅当k= 时取等号．此时 ，即m= ，符号题意．所以，直线AB的斜率的最小值为： ．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（2）①设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果②求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．；本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
6.（2016?北京）已知椭圆C： ?（a>b>0）的离心率为 ?，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl ?lBMl为定值。
【答案】（1）解：由已知， ，又 ，? 解得 ∴椭圆的方程为 （2）解：方法一：设椭圆上一点 ，则 .直线 ： ,令 ，得 .∴ 直线 ： ,令 ，得 .∴ 将 代入上式得 故 为定值.方法二：设椭圆 上一点 ，直线PA: ,令 ，得 .∴ 直线 : ,令 ，得 .∴ 故 为定值
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|?|BM|为定值4．
7.（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（1）求 ；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
【答案】（1）解：将直线l与抛物线方程联立，解得P（ ，t），∵M关于点P的对称点为N，∴ = ， =t，∴N（ ，t），∴ON的方程为y= x，与抛物线方程联立，解得H（ ，2t）∴ = =2；（2）解：由（1）知kMH= ，∴直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用 = ，求 ；（2）直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．；本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．