江苏省明德实验学校2018-2019学年高二上学期12月学情调研数学试卷 Word版含答案

2018-2019学年度高二第一学期12月学情测试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．命题p“x∈R，x2<1”的否定是____________
的抛物线的标准方程为________．
3. 已知两定点、，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是 .
4．双曲线的一条渐近线方程为y=3x，则实数m的值为　　．
5 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 .
函数f（x）=x3﹣12x的单调减区间为 _______________．
已知函数f（x）=2cosx + sinx，则的值为　____　．
8. 椭圆的左，右焦点分别为,左右顶点为,，若,，成等比数列，则椭圆的离心率为 .
9.若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为　___　．
10．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+3f'（4）的值等于　_____　．
11. 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则= .
12．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为_________．
13. 已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率的最大值为 .
14．设分别为具有公共焦点和的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且，则 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．
16.（本题满分14分）
已知圆的圆心在直线上，且经过点
（1）求圆M的方程；
（2）直线与圆M相切，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，求直线的方程.

17．已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 AB =，求圆锥曲线C和直线的方程。
18．(本小题满分16分)
椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.
19．已知M(-3,0)﹑N(3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m-1,m0).
(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若, P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为，求证为定值；
(3)在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.
20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2
分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面
积为．
（1）求a，c的值；
（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；
（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．
　
2018-2019学年度高二第一学期12月学情测试
参考答案
填空题


解答题
15.证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，
所以DE∥PC， …..............................................2分
又DE?平面PAC，PC?平面PAC，
故DE∥平面PAC． ……..............................................6分
（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，……..........................................7分
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
又BC⊥AB，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAB， ……...............................9分
因为AD?平面PAB，所以AD⊥BC， …….............................................10分
又PB∩BC=B，PB，BC?平面ABC，故AD⊥平面PBC，…….......................12分.
因为DE?平面PBC，所以DE⊥AD． ……...........................................14分
16.解：（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意得
……..............2分
解之得 ........................5分
圆的方程为 ...................6分
(2)将圆M的方程化为标准方程得
设直线的方程为，即...............8分
即 ...................10分
解之得 a=2或a=-3..........................12分
2x+y-4=0 或2x+y+6=0............14分
17.圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为y=2x－4
，
...............................3分
，....6分
代入①化简得 . ……………………8分
.........10分
由（1）知
..........14分
∴长轴 2a ∈ []. ………………………16分
19.（1）由得，
若m= -1，轨迹为圆；
若为椭圆；
若，轨迹为双曲线 ......................................................4分
（2）时，曲线C方程为，
设的方程为：与曲线C方程联立得：，
......................................................6分
设，
则 ① ②，...............................8分
可得，。 ................................10分
由得代入①②得：
③， ④，
③式平方除以④式得：， .............................12分
而在上单调递增，，，
..........................................14分
的截距为b，=，
。 ............................................16分
20解：（1）∵扇形FB1A1B2的面积为=，∴a=2，
圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）与y轴交点B2（0，b），
在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，
又因为c2+b2=a2，∴c=1． ............................................3分
（2）显然直线PQ的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ方程为：x=my+1
由（1）得半椭圆方程为：（x≥0）与圆弧方程为：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．..............4分分
①当θ∈（0，）时，
Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、
半椭圆：（x≥0）上，
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，.............6分
②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，............8分
③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8 ..................10分

（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，
联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0
y1+y2=，y1y2=．
|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．
△A1PQ的面积s=|PQ|?d=12．................................................13分
令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；
∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，
≤s≤3
∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[]................16分