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28.1锐角三角函数（1）
教学目标：
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：
锐角三角函数的概念．
教学难点：
锐角三角函数概念的理解．
教学过程：
一、新知引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．
新知讲解
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
＝＝，
可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
学生按与上面相似的过程，自主解决．
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，
AB＝BC，
＝＝＝.
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则
＝.
●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
●正弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝
※注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sinB＝＝.
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝5.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝12.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
巩固练习：
1.判断对错:
答案：√ × × √ ×
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___.
4.在Rt△ABC中,则sin∠A=___.
四、拓展提高
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是( )A
A. B.3 C. D.
巩固练习：
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）C
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
1题 2题 3题 4题
2.如图，则sinA=______
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( ) D
A. B. C. D.
4.如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( ) B
A. B. C. D.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？谈谈你的体会。
布置作业
教材64页练习1、2题
当堂测评
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
2．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB＝( )
A. B. C. D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
5．如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，求sinA和sinB的值．
7．计算：sin30°－|－2|＝______
8．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米．
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段之比不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
10．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求的值；
(2)若BD＝10，求sinA的值．
11．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
当堂测评答案：
1---4 CBDA
5.
6. 解：sinA＝，sinB＝
7. －
8. 40
9. D
10. 解：
(1)∵DE∥BC，DE＝3，BC＝9，∴△AED∽△ACB.∴＝＝
(2)∵＝，BD＝10，∴＝.∴AD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴sinA＝＝
11. 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，
在Rt△CFD中，DF==，
∴BC=2DF=2
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28.1锐角三角函数（1）
学习目标：
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
学习重点：
锐角三角函数的概念．
学习难点：
锐角三角函数概念的理解．
学习过程：
一、新知引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
新知讲解
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.（试一试）
解：
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于_________.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形
∴=_________________
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于__________.
疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个________．
●正弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝____；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝________.
当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝________
※注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sinB＝＝.
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：
巩固练习：
1.判断对错:
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___.
4.在Rt△ABC中,则sin∠A=___.
四、拓展提高
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是( )
A. B.3 C. D.
巩固练习：
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
1题 2题 3题 4题
2.如图，则sinA=______
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( )
A. B. C. D.
4.如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
A. B. C. D.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？谈谈你的体会。
布置作业
教材64页练习1、2题
当堂测评
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
2．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB＝( )
A. B. C. D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
5．如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，求sinA和sinB的值．
7．计算：sin30°－|－2|＝______
8．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米．
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段之比不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
10．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求的值；
(2)若BD＝10，求sinA的值．
11．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
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