江苏省常州市14校联盟2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷

常州市“14校合作联盟”
2018学年度第一学期期中质量调研
高一 数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分120分，考试时间120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。
3．答题时，必须用毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）
1．设集合，，则= ▲ ．
2．函数的图象恒过定点 ▲ ．
3．给出下列三个函数：①；②；③．
其中与函数相同的函数的序号是 ▲ ．
4．满足的集合的个数为 ▲ ．
5．已知，则 ▲ ．
6．已知函数是上的偶函数，且时，，
则当时，函数的解析式为 ▲ ．
7．直线与函数，图象的两个交点间距离为 ▲ ．
8．已知函数，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
9．已知集合，，且，则实数的值为 ▲ ．
10．记函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，则 ▲ ．
11．当时，函数恒有意义，则实数的取值范围为 ▲ ．
12．已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数， ，则不等式的解集为 ▲ ．
13．若函数是定义在上的奇函数，则
▲ ．
14．已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分8分）
已知集合，．
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围．
16．（本小题满分8分）
计算：
（1）
（2）
17．（本小题满分10分）
已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）用定义证明是上的增函数；并求当时函数
的值域．
18．（本小题满分10分）
某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，设投资甲、乙两种产品的年收益分别为、万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金万元的关系分别为，，（其中，，都为常数），函数，对应的曲线,如图所示．
（1）求函数、的解析式；
（2）若该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
19．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若函数，的最大值为，求的表达式．
20．（本小题满分14分）
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）求函数的值域（用表示）．
常州市“14校合作联盟”
2018学年度第一学期期中质量调研
高一数学参考答案及评分建议
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，计56分）
1． 2． 3．② 4．3 5．1 6．
7． 8． 9．或或1 10．
11． 12． 13． 14．或
二、解答题（本大题共6小题，计64分）
15．（本小题满分8分）
解：集合是函数的值域
，易知 ………… 2分
（1）若，则，结合数轴知．…………5 分
（2）若，得或，即或．………… 8分
16．（本小题满分8分）
解：（1）
………… 4分（2）
………… 8分
17．（本小题满分10分）
【解析】（1）定义域为，法1：特殊值法，（必须检验），
法2：定义法，，．
………… 3 分
（2）可知函数定义域为，任取，且，则
，，
可知，所以，则是上的增函数．
…………7 分
当时，，当时，，则值域．………10 分
18．（本小题满分10分）
解：由函数的图象过点得，所以；
由函数的图象过点得，所以；
所以，. ………… 4 分
设投资甲产品为万元，则投资乙产品为万元，
则总收益，………… 6 分
设，则，
所以即时，总收益最大，为万. ………… 8 分
答：（1）的解析式分别为，；
（2）投资甲产品万元，投资乙产品万元，可以使得一年的投资获得最大收益为万.
………… 10 分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由题意可知，二次函数在上是单调函数
则或得或（等号没有扣2分） …………4 分
（2）令，则，，，对称轴
①当，即时，， …………8分
②当，即时，， …………12 分
综上所述， …………14 分
20．（本小题满分14分）
解：（1）假设是奇函数，那么对于一切恒成立，可得，而，所以函数不是奇函数
（注本题只要能写出即可得分） …………3分
（2）因为，所以当时，不等式可以化为即
，因为，所以，即
①当，即时，不等式恒成立，故的取值范围是．
②当，即时，不等式得，故的取值范围是． …………7分
（3）令，则且．
①若，则是增函数，其取值范围为； …………9分
②若，则
对于，有．当时，是减函数，取值范围是；当时，的最小值是，取值范围是（
时）或者取值范围是（时）
对于，有是增函数，其取值范围为 …………13分
综上所述，当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为． …………14分