人教版数学七（上）期末各单元易错疑难集训：第四章 几何图形初步

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人教版数学七（上）期末各单元易错疑难集训
第四章 易错疑难集训
过易错
易错点1判断立体图形展开图时出错
1.如图所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）


易错点2对余角和补角的概念理解不清
2.已知∠α=3x＋25°，∠β=x－15°，分别求∠α与∠β互余及∠α与∠β互补时x的值.



易错点3考虑问题不全面
3.已知A，B，C三点在同一条直线上，AB=8，BC=2，M，N分別为AB，BC的中点，求线段MN的长.



4.下面是小马解的一道題：在同一平面上，若∠BOA=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数.
解：根据题意，可画出如图所示的图形，
∠AOC=∠BOA－∠BOC=70°－15°=55°.
若你是老师，会判小马满分吗？若会，说明理由；若不会，请将小马的错误指出，并给出你认为正确的解法.


易错点4忽略角度计算是六十进制
5.计算：28.5°－15°32′.
6.计算：14°41′25"×5.



易错点5对方位角的概念理解不清
7.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上，同时，在它的北偏西30°方向发现了客轮B，西北方向发现了海岛C，
（1）仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线；
（2）求∠BOC和∠AOB的度数.





过疑难
疑难点1线段基本事实的应用
1.已知线段AB=10cm，试探讨下列问题：
（1）是否存在一点C，使它到两点的距离之和等于8cm?
（2）是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于10cm?若存在，它的位置唯一吗？
（3）当点C到A，B两点的距离之和等于20cm时，点C一定在直线AB外吗？举例说明.



疑难点2和线段中点有关的计算
2.如图，延长线段AB到C，使AC=3AB，在线段AB的反向延长线上取一点D，使AD=AB，若点E是线段AB的中点，DE=7.2cm，求线段CD的长.



疑难点3动态时钟问题
3.晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下钟表，时间是6点多，时针与分针成90度角，散步完回家，小明又看了一下钟表还不到7点，而时针和分针又恰好成90度角，问小明出去了多长时间？



疑难点4探索规律问题
4.为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手.
一条直线把平面分成2部分；
两条直线最多可把平面分成4部分；
三条直线最多可把平面分成7部分；
四条直线最多可把平面分成11部分；
……
把上述探究的结果进行整理，列表分析：
直线条数 把平面（最多）分成部分数 写成和的形式
1 2 1＋1
2 4 1＋1＋2
3 7 1＋1＋2＋3
4 11 1＋1＋2＋3＋4
… … …
（1）当直线条数为5时，把平面最多分成______部分，写成和的形式为______；
（2）当直线条数为10时，把平面最多分成______部分；
（3）当直线条数为n时，把平面最多分成______部分.

疑难点4线段动态综合计算问题
5.如图，在原点为O的数轴上有A，B，C，D四个点，且AB=2，CD=4.已知点A表示的数是﹣10，点C表示的数是16，若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.
（1）经过多少秒，BC=8?
（2）当BC=8时，点B表示的数是多少？
（3）若P是线段AB上一点，当点B与点C重合时，是否存在关系式=3？若存在，求出线段PC的长度；若不存在，请说明理由.



参考答案
过易错
1.D【解析】由题图，空白面只能相邻，而不能相对；带粗黑线的面只能相邻，而不能相对，再结合三条粗黑线的位置，可知只有选项D符合要求.故选D.
技巧点拨
此类题型属于带图案的正方体的展开与折叠（高频考点），方法是先看图案所在的面的位置，再看图案在这个面上的形状，再结合所给选项求解.
2.【解析】当∠α与∠β互余时，有∠α＋∠β=90°，
即（3x＋25°）（x－15°）=90°，
解得x=20°
当∠α与∠β互补时，有∠α＋∠β=180°，
解得x=42.5°.
故当∠α与∠β互余时，x的值为20°；当∠α与∠β互补时，x的值为42.5°.
归纳总结
理解余角和补角的概念是解决本题的关键.注意，余角和补角都是和两个角而言，若两个角的和是90°，则这两个角互为余角；若两个角的和是180°，则这两个角互为补角.
3.由AB=8，BC=2，M，N分别为AB，BC的中点，
得MB=AB=4，NB=BC=1.
①当点C在线段AB的延长线上时，MN=MB＋NB=4＋1=5；
②当点C在线段AB上时，MN=MB－NB=4－1=3.
综上，线段MN的长为3或5.
名师点睛
由于点C没有明确具体位置，因此需要分类讨论求解，否则容易出现漏解.
4.【解析】小马不会得满分.小马考虑问题不全面，除了OC在∠BOA内部以外，还有OC在∠BOA的外部的情况.解法如下：
第一种情况见小马的解析（略）.
第二种情况根据题意，可画出如图所示的图形，.

可知∠AOC=∠BOA＋∠BOC=70°＋15°=85°，
综上，∠AOC的度数为55°或85°.
名师点睛
本题考查了分类讨论的数学思想，射线OC在∠AOB内部或外部都能构成角.希望同学们在做没有图形的题时，要全面考虑问题，并画出相应的图形.
5.【解析】28.5°－15°32?
=28°30?－15°32?
=27°90?－15°32?
=12°58?.
6.【解析】14°41?25"=70°205?125"=73°27?5".
易错分析
在角度的计算中，要注意度、分、秒之间是六十进制（即满：60进1），而不是百进制或十进制.在由大单位化成下一级小单位时应乘以60，在由小单位化成上一级大单位时应除以60.马虎的同学在计算第5题时从28°上借1°当成10?，在计算第6题时误认为1?=100"，l°=100?.
7.【解析】（1）如图所示：

（2）由题意，可知∠COF=45°，∠BOF=30°，
所以∠BOC=45°－30°=15°.
因为∠AOE=90°－∠AOD=90°－60°=30°，
所以∠AOB=∠BOF＋∠FOE＋∠AOE=30°＋90°＋30°=150°.
过疑难
1.【解析】（1）由两点之间，线段最短，可知不存在点C，使它到A，B两点的距离之和小于10cm.所以不存在点C，使它到A，B两点的距离之和等于8cm.
（2）存在点C，使它到A，B两点的距离之和等于10cm，但位置不唯一，点C在线段上即可.
（3）点C不一定在直线AB外.
点C可以在直线AB外，也可以在线段AB的延长线上，或者反向延长线上，后两种情况点C均在直线AB上.
①当点C在线段AB的延长线上时，如图，

此时有AC=15cm，BC=5cm；
②当点C在线段AB的反向延长线上时，如图，

此时有AC=5cm，BC=15cm.
归纳总结
解决此类问题的关键是理解线段的基本事实：两点之间，线段最短.
2.【解析】因为点E是线段AB的中点，所以AB=2AE=2BE，
因为AD=AB，所以AD=2AE.
因为DE=7.2cm，所以2AE＋AE=7.2cm，所以AE=2.4cm，
所以AD=AB=2AE=4.8cm.
因为AC=3AB，所以AC=14.4cm，
所以CD=AD＋AC=4.8＋14.4=19.2（cm）.
名师点睛
解答有关线段中点的计算题时，一般要根据题中给定的条件，结合图形，找到所求线段与已知线段之间的数量关系求解.
3.【解析】时钟走1小时，分针要转360°，时针要转30°，所以1分钟.分针要转6°，时针要转0.5°.
设小明出门时时间为6点x分，则可得180－6x＋0.5x=90，
所以x=；
设小明回家时时间为6点y分，则可得6y－180－0.5y=90，
所以y=.
因为－=，
所以小明外出的时间为分钟.
技巧点拨
此类问题可以看成行程问题中的追及问题，结合时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°求解.
4.【解析】（1）16 1＋1＋2＋3＋4＋5
根据题表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成1＋1＋2＋3＋4＋5=16部分.
（2）56
根据题表中规律，当直线条数为10时，把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋10=56部分.
（3）[＋l]
当直线条数为n时，把平面最多分成1＋1＋2＋…＋（n－l）＋n=[＋1]部分.
名师点睛
本题主要考查和直线有关的规律探究问题，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，使学生掌握从特殊到一般的猜想方法.
5.【解析】（1）由题意，易知点B表示的数是﹣8.
①当点B在点C的左边时，有6t＋8＋2t=16－（﹣8），
所以t=2；
②当点B在点C的右边时，有6t－8＋2t=16－（﹣8），
所以t=4.
综上所述，经过2秒或4秒，BC=8.
（2）当BC=8时，由（1）可知线段AB向右匀速运动了2秒或4秒，即点B向右匀速运动了12个单位长度或24个单位长度，所以点B表示的数是4或16.
（3）存在，线段PC的长度为1.
设运动时间为t1秒，
当点B与点C重合时，有6t1＋2t1=16－（﹣8），所以t1=3，
此时BD=CD=4，且AP＋3PC=AB＋2PC=2＋2PC，
又点P在线段AB上，所以0≤PC≤2，
易知当PC=1时，BD=AP＋3PC，即=3.
名师点睛
在动态几何问题中，用点的运动速度、运动时间表示出线段的长度是解题的关键，再利用等量关系建立方程求解.







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