人教版新课标A版 必修四 第三章 三角恒等变换 单元测试卷

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人教版高一数学上必修四单元测试试卷
第三章 三角恒等变换
一、单选题（共12题；共60分）
1. ( 5分 ) 已知 ,则 ?(??? )

A. B. C. D.
2. ( 5分 ) ?（?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?-1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3. ( 5分 ) 已知 ，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4. ( 5分 ) 已知 ， ， ，则 （?? ）

A. B. C. D.
5. ( 5分 ) 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 两点，从 两点分别测得树尖的仰角为 ， ，且 两点间的距离为 ，则树的高度为（?? ）

A.????????????????B.? ????????????????C.????????????????D.? ?
6. ( 5分 ) 已知 ，那么 （??? ）

A. B. C. D.
7. ( 5分 ) 若 ,则 （ ??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8. ( 5分 ) 函数 的最小值和最大值分别为(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.????????????????????????????????? D.?
9. ( 5分 ) 在 中， ，则 的最大值为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
10. ( 5分 ) 若 ?，则 (??? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????? D.?
11. ( 5分 ) 已知 ，则 （??? ）

A. B. C. D.
12. ( 5分 ) 已知函数 图象的一条对称轴是 ? ，则函数 的最大值为（??? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共4题；共20分）
13. ( 5分 ) ，则 ＝________。
14. ( 5分 ) 若 ，则 ________．
15. ( 5分 ) 已知 ?， ?，则 ?=________．

16. ( 5分 ) 有下列命题
①已知 ， 都是第一象限角，若 ，则 ；②已知 ， 是钝角 中的两个锐角，则 ；③若 ， ， 是相互不互线的平面向量，则 与 垂直；④若 ， 是平面向量的一组基底，则 ， 可作为平面向量的另一组基底.其中正确的命题是________（填写所有正确命题的编号）．
三、解答题（共6题；共70分）
17. ( 10分 ) 已知角α的终边上有一点p（1，2），
（Ⅰ）求tan（ ）的值；
（Ⅱ）求sin（2 ）的值．
18. ( 10分 ) 已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19. ( 10分 ) 已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值.
20. ( 10分 ) 已知a,b,c分别是 的三个内角A,B,C的对边，
（1）若 的面积 = ，c=2，A= ，求a,b的值；
（2）若 ，且 ，试判断三角形的形状.

21. ( 15分 ) 中，角 所对的边分别为 .已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
22. ( 15分 ) 已知函数 ．
（1）求 ?的最小正周期；
（2）把 的图象向右平移 个单位后，在 是增函数，当 最小时，求 的值．



答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】∵ ?∴ 易知 ，
∴
∴ ?
故答案为：B.
【分析】首先根据已知条件得出再结合二倍角的正切公式即可求得。
?
2.【答案】B
【解析】【解答】解： ，
即有 ，
?
故答案为：B.
【分析】用诱导公式和正切函数两角和公式进行化简求值。
3.【答案】A
【解析】【解答】 因为 ，根据余弦的二倍角公式可得 ，
故答案为：A.
【分析】先用余弦的二倍角公式整理，再用诱导公式化为与有关的式子，代值即可求出.
4.【答案】B
【解析】【解答】因为 ，

所以


故答案为：B。
【分析】找出与和的关系式 ， 再利用正弦的和角公式求出正弦的二倍角的值。
5.【答案】A
【解析】【解答】在 中，
,由正弦定理得: ,树的高度为 ,
故答案为：A.
【分析】运用正弦两角和与差公式，计算15度角正弦值，结合正弦定理，计算PB的长度，构造三角形，解三角形，即可得出答案。
6.【答案】A
【解析】【解答】解：因为 ，故

，
故答案为：A.
【分析】本题主要考查二倍角公式中的余弦公式，由题中条件经过简单变换，即可得出答案
7.【答案】A
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】由角的转化及tan()=求得答案。
8.【答案】A
【解析】【解答】由题意，函数 ，
当 时， ，当 时， ，
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦定理 ， 结合一元二次函数的最值，代入数据计算，即可得出答案。
9.【答案】C
【解析】【解答】解：根据正弦定理得到 ， ?
，因为角B 故 ，故得到 ?
故最大值为4.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理化简代入所求式子，用角的转化以及正弦两角差公式化简，最后求三角函数在指定区间的值域。
10.【答案】D
【解析】【解答】 .
分子分母同时除以 ，即得： .
故答案为：D.
【分析】结合余弦函数的二倍角公式及化简公式，对所得函数除以1（），通过整理化简并代入数据计算，即可得出答案。
11.【答案】A
【解析】【解答】因为 ?，所以 ，从而 ．
故答案为：A.
【分析】 解方程组求得 ， 代入二倍角余弦公式可得结果.
?
12.【答案】C
【解析】【解答】解：根据辅助角公式，化简 ?因为对称轴是 ? ，所以
代入 得 ?，解得 ?
所以 ?
?
?
?
所以最大值为3
故答案为：C
【分析】 根据辅助角公式化简，由对称轴求出a值，应用降幂公式，二倍角公式进行化简最后求出最值。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】 ，∴ ．
【分析】首先根据已知条件求出 ， 再结合两角和与差的正切函数以及二倍角的正切公式求得。
14.【答案】
【解析】【解答】解： ?
?
故答案为 .
【分析】运用平方差公式及同角公式化简求出答案。
15.【答案】
【解析】【解答】 ?sinα+cosβ=1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，
?cosα+sinβ=0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，
∴2sin（α+β）=﹣1．
∴sin（α+β）=- ?．
故答案为：- ．
【分析】本题利用已知条件转化成正弦的和差角公式，再利用正弦的和差角公式求出 sin ( α + β ) 的值。
16.【答案】②③
【解析】【解答】解：①已知 ， 都是第一象限角，若 ，则 ，不正确，
比如 ，满足 ， 都是第一象限角，且 ，但 ，故①不正确；
② ， 是钝角 中的两个锐角， ， ，故②正确；
③ ， ， 是相互不互线的平面向量， ，
则 与 垂直，故③正确；
④ ，则不可作为平面向量的另一组基底，
故④错误.
故答案为：②③.
【分析】用举例的方法排除①，用平面向量可作为基底的条件可排除错误选项④。用角的变化诱导公式判断②正确。向量垂直时数量积关系判断出③正确。
三、解答题
17.【答案】解：根据题意，角α的终边上有一点p（1，2），即x=1，y=2，r=
sinα= ．cos ，tan
∴ ，
（Ⅰ）tan（ ）= ；
（Ⅱ） = = = ．
【解析】【分析】（1）考查三角函数的定义，根据点的坐标，求出该点所在直线的三角函数值，由正切的和角公式可得；（2）简单的三角恒等变换，由一问中的三角函数值，算出二倍角的正余弦值即可
18.【答案】（1）解：
（2）解：原式


【解析】【分析】（1）由tan=求解。
（2）先由正弦二倍角公式化简，然后分子分母同时除以cos2求出答案。
19.【答案】解：(Ⅰ)已知函数
化解可得：
所以函数 的最小正周期
由 ， 解得：
所以函数 的单调递增区间为： ，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
当 时，可得：
所以 ，即 .
当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值0.
故得 在区间在 上的最大值为 ，最小值为0.
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦函数的二倍角公式及余弦函数的二倍角公式,结合周期公式,由正弦函数的单调递增区间,代入数据计算，即可得出答案。
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中所得函数方程，由所给区间确定的区间，由正弦函数的图像，即可得出答案。
20.【答案】（1）解：
（2）解：等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由三角形的面积可求b，进而可由余弦定理求出a;
(2)由 a = c cos B结合两角和正弦公式可得C为直角，进而可得a=b，即可得到三角形的形状.
21.【答案】（1）解：因 ，故
因 ，故 .
由正弦定理 ，得

（2）解：



的面积为
【解析】【分析】（1）先利用同角三角函数间的基本关系，求出sinA和sinB，再利用正弦定理，即可求出b的值.
（2）先利用诱导公式化简，得到cosB，再利用两角和与差的正弦求出sinC，代入ΔABC 的面积公式，即可求出结果.
22.【答案】（1）解： ?
?
? ?
??? ∴ =

（2）解： ?
由 得单调递增区间为
.
∵ 在 是增函数，而函数的最小正周期恰好是 ，所以 刚好是半个周期，
∴ ， ，∴当 最小时， =
【解析】【分析】（1）结合余弦函数两角和公式，二倍角公式，化简，计算周期，即可得出答案。（2）构造函数g(x)，结合正弦函数的性质，判定单调区间，计算m，即可得出答案。
























































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