2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末达标测试新人教A版选修1_1

第二章 圆锥曲线与方程
章末达标测试（二）
(时间：150分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1和ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为
解析　将方程a2x2＋b2y2＝1和ax＋by2＝0转化为＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，所以>>0，所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左，故选D.
答案　D
2．与曲线＋＝1共焦点，而与曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为
A.－＝1　　　　　　B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　曲线＋＝1的焦点为(0，±5)，
曲线－＝1的渐近线为y＝±x.
设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
于是解得a＝4，b＝3.故所求双曲线方程为－＝1.
答案　A
3．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝
A.　　　B．2　　　C．6　　　　 D．4
解析　设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程为y＝±x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案　D
4．椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为
A．2 B. C．2或 D.或4
解析　∵x2＋＝1表示椭圆，∴m＞0且m≠1.
又e＝，∴e2＝＝＝1－＝，即＝.
当0＜m＜1时，a2＝，b2＝1，∴m＝，
当m＞1时，a2＝1，b2＝，∴＝，m＝4.
综上所述，m＝或4.故选D.
答案　D
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为
A. B. C. D.
解析　不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
答案　C
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得 ＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，
可得 ＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案　D
7．已知双曲线－＝1右支上一点P到左焦点的距离为9，则P到右焦点的距离为
A．1 B．5 C．13 D．5或13
解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
∵a2＝4，a＝2，P在双曲线右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝4，
又|PF1|＝9，∴|PF2|＝5.
答案　B
8．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，故应选A.
答案　A
9．已知P为抛物线y2＝4x上一点，记P到抛物线的准线的距离为d1，P到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为
A. B.＋1
C．2 D．不存在
解析　由抛物线定义知|PF|＝d1，
则d1＋d2＝|PF|＋d2，
∴d1＋d2的最小值是F到x＋2y－12＝0的距离，
过F作直线x＋2y－12＝0的垂线，垂足为Q，则|FQ|＝＝.
答案　A
10．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是
A. B. C. D.
解析　由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.
∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
答案　A
11．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为
A. B．2 C．4 D．8
解析　设C：－＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案　C
12．已知椭圆＋＝1，A，B分别是椭圆的右顶点、上顶点，M是第一象限内的椭圆上任意一点，O是坐标原点，则四边形OAMB面积的最大值为
A．8 B．8 C．12 D．16
解析　设点M的坐标为(xM，yM)(xM＞0，yM＞0)．
∵点M在椭圆上，∴2x＋4y＝32.
故四边形OAMB的面积
S＝×4yM＋×2xM
＝xM＋2yM≤ 
＝＝8(当且仅当xM＝2，yM＝2时取等号)．
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
解析　双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.
答案　
14．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．
解析　设P(x0，y0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
由已知得·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)<0，即x－5＋y<0，
又因为＋＝1，所以－1<0，所以－答案　
15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析　双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝.
答案　
16．对于双曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中命题正确的序号为________．
解析　由解得1此时方程表示椭圆，且14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.
答案　③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
解析　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝ ＝2.
由2＝6，解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
18．(12分)已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
解析　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1，所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由消去y，得
5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5(*)．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，
|PQ|＝
＝ ＝2，
解得m2＝，满足(*)，所以m＝±.
19．(12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．
解析　∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
∴可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点在抛物线上，∴()2＝2p×.解得p＝2.故抛物线方程为y2＝4x.
∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，∴－c＝－1，c＝1.
于是a2＋b2＝1.①
又∵点在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②可得a2＝，b2＝.
故双曲线的方程为4x2－y2＝1.
故所求抛物线与双曲线的方程分别为y2＝4x与4x2－y2＝1.
20．(12分)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解析　(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
21．(12分)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
解析　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
22．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解析　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.