2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语章末达标测试新人教A版选修1_1

第一章 常用逻辑用语
章末达标测试（一）
(时间：150分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析　不妨设B＝，则在原命题与逆命题中都有＝，A、B、C成等差数列，故逆命题和原命题都是真命题．
答案　D
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则綈p为
A．?x0∈R，x＋1＞0　　　B．?x0∈R，x＋1≤0
C．?x0∈R，x＋1＜0 D．?x0∈R，x＋1≤0
解析　根据全称命题的否定为特称命题知B正确．
答案　B
3．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“>”是“a>b”的充要条件，则
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
解析　p假q真，故选A.
答案　A
4．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　先将cos 2α＝0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断．
cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
答案　A
5．已知命题p：函数f(x)＝sin xcos x的最小正周期为π；命题q：函数g(x)＝sin的图像关于原点对称，则下列命题中为真命题的是
A．綈p B．(綈p)∨q
C．p∧q D．p∨q
解析　因为f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，所以命题p为真命题．又因为g(x)＝sin＝cos x，所以g(x)＝sin的图像关于y轴对称，所以命题q为假命题，所以命题p∨q为真命题．
答案　D
6．下列命题中的假命题是
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R，2x＞0
解析　对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；
对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；
对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；
对于D，?x∈R，2x＞0，正确．
答案　C
7．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析　特称命题的否定是全称命题．
改变原命题中的三个地方即可得其否定，?改为?，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.
答案　A
8．下列叙述中正确的是
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析　由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，故A错．ab2>cb2是a>c的充分不必要条件，故B错．命题“对?x∈R，有x2≥0”的否定是“?x0∈R有x<0”，故C错．
答案　D
9．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1，1]．在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“非p”中，真命题的个数为
A．0　　　　 B．1 C．2　　　　 D．3
解析　p为真命题．对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，
∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，非p假．
答案　B
10．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充要条件；命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则下列结论正确的是
A．“p∨q”为假 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p假q真
解析　命题p的判断可举反例：a＝2，b＝－3，
则|a|＋|b|＞1，但|a＋b|＝1，故p为假命题．
命题q：由|x－1|－2≥0解得x≤－1或x≥3，故q真．
答案　D
11．“m＝”是直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，∴(m＋2)(4m－2)＝0，∴m＝－2或m＝.
显然m＝是直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充分不必要条件．故选B.
答案　B
12．下列有关命题的说法正确的是
A．“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要条件
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析　A．∵x2＝1D/?x＝1，x＝1?x2＝1，∴A不正确．
B．∵x＝－1?x2－5x－6＝0，x2－5x－6＝0D/?x＝－1，∴B不正确．
C．特称命题的否定虽然是全称命题，但不符合相应法则，故C不正确．
D．原命题为真，其逆否命题也为真．故选D.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．
解析　原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
答案　2
14．已知命题p：“?x∈N*，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
解析　q：?x0∈N*，x0≤.当x0＝1时，x0＝成立，故q为真．
答案　?x0∈N*，x0≤　真
15．方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________．
解析　设方程的两相异同号实根为x1、x2.
则，∴，∴0＜k＜.
答案　016．已知命题p：存在一对实数x、y，使2x＋3y＋3＜0成立．命题q：“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是________．
解析　∵p真，q真，∴p∧q真，p∨(綈q)真，(綈p)∨q真，(綈p)∨(綈q)假．
答案　①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解析　逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
18．(12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)
(1)p：△ABC为锐角三角形，q：cos A>0；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a>2，q：a>5；
(4)p：a解析　(1)△ABC为锐角三角形?A为锐角?cos A>0，但cos A>0只能得出A为锐角，△ABC不一定为锐角三角形，所以p是q的充分不必要条件．
(2)a＝3?(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0D/?a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．
(3)a>2a>5，但a>5?a>2，所以p是q的必要而不充分条件．
(4)a19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除．
(2)?x∈{x|x>0}，x＋≥2.
(3)?x0∈{x|x∈Z}，log2x0>2.
解析　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(3)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
20．(12分)求关于x的方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解析　方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件是：方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根，或有一负一零根，设两根为x1，x2，则
a＝0或
或
或即a＝0
或或
或即a＝0或
或
所以a＝0或－1即方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件是－121．(12分)已知p：?x∈R，2x＞m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
解析　2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.
若p：?x∈R，2x＞m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R都成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有∴m＜－1.
若q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q均为真命题．
∴∴－2≤m＜－1.
所以实数m的取值范围为{m－2≤m＜－1}．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解析　(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)．②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，得a<－1且a≠－2.所以命题p为真的条件是：a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.