课件34张PPT。第三章 导数及其应用§3.1 变化率与导数
§3.1.1 变化率问题
§3.1.2 导数的概念[课标解读]
1．通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率．
2．了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数．(难点)
3．理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵．(重点)
教材知识梳理函数值自变量快慢2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
平均变化率3.导数的概念
f′(x0)瞬时变化率知识点一 函数的平均变化率
探究1：观察下图，回答下列问题，明确平均变化率的定义．
核心要点探究(1)图中已知的两点分别是__________与__________，在区间[x1，x2]上，自变量的改变量是________，函数值的改变量是f(x2)－f(x1)．
(2)根据(1)中的内容考虑，此函数在区间[x1，x2]的平均变化率是什么？
(x1，f(x1))(x2，f(x2))x2－x1提示 Δx是自变量从x1到x2的增量，可以用x1＋Δx代替x2，Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为零，Δy是相应函数值的增量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.
提示 连接函数图像上对应两点的割线的斜率．
知识点二 物体在某一时刻的平均速度、瞬时速度与函数的瞬时变化率与导数
探究1：根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：
(1)如何计算物体的平均速度？
(2)如何计算物体的瞬时速度？
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？
提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
题型一 求函数的平均变化率例1◎变式训练题型二 求函数在某点处的导数例2●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
◎变式训练题型三 求瞬时速度例33．一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2)．
◎对点训练易错误区(七) 导数的概念理解不明典例典题示例【答案】 8典题试解课件31张PPT。§3.1.3 导数的几何意义
[课标解读]
1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)
2．会求导函数．(重点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的_________称为点P处的切线．
教材知识梳理直线PT(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ____________________＝ f′(x0)．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，_____便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ _____________ ．
f′(x)知识点一 导数的几何意义
探究1：观察图形，思考下列问题，明确切线与割线的关系．核心要点探究(1)当P1，P2，P3，…，Pn的位置逐渐靠近点P时，割线PPn的位置与PT的位置有什么关系？
提示 割线PPn逐渐接近PT.
(2)设点P(x0，y0)，Pn(xn，yn)，则kPPn是多少？你能知道kPT是多少吗？
探究2：据切线的定义，探究以下问题．
(1)曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？
提示 在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上．
(2)过一点与一条曲线相切的直线只有一条吗？
提示 不一定，如过点(0，－1)与y＝bx2(b>0)相切的直线有两条．
知识点二 导函数的概念
探究1：据函数在某点处导数的定义，探究以下问题：
(1)已知函数y＝x2，完成下表：
24681012(2)据(1)中的表格，根据函数的定义考虑f′(x)是否是关于x的函数？
提示 是，由函数的定义知，当x取某一个数时，f′(x)都有唯一的数与之对应，故f′(x)是关于x的函数．
探究2：根据导函数的概念，回答下列问题：
(1)y＝f(x)＝x2与y＝f′(x)＝2x的定义域是否相同？
提示 相同，均为R.
(2)对于一个函数，如何求其导函数？
题型一 求过曲线上一点的切线的方程例1●规律总结
1.求曲线上某一点处的切线方程的三个步骤
1．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
◎变式训练题型二 求切点坐标例2●规律总结
曲线切点坐标的求法
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；
(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．
2．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
◎变式训练题型三 导数几何意义的应用例3●规律总结
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是常设的未知量．
3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
◎变式训练 (12分)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f(x)相切的直线方程．
规范解答(七) 用导数的定义求切线的方程典例典题示例典题试解课件34张PPT。§3.2 导数的计算
§3.2.1 几个常用函数的导数
§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[课标解读]
1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则．(重点)
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．(重点、易混点)
1．几个常用函数的导数
教材知识梳理012x0axln aαxα－1excos x－sin x3.导数的运算法则
f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)知识点一 几个常用函数的导数
探究1：观察函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图像，完成下列问题．熟记正比例函数的导数．
核心要点探究(1)根据导数的几何意义，y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是什么？
提示 y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(2)在这三个函数中，谁增长得最快，谁增长得最慢？
提示 y＝4x增长得最快，y＝2x增长得最慢．
知识点二 导数的运算法则
观察导数的运算法则的形式特点，完成下面的探究．
探究1：两个函数和与差的导数与两个函数的导数有什么关系．
提示 两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形．
探究2：利用导数的运算法则，试推导y＝tan x的导数．
题型一 利用导数公式求函数的导数例1●规律总结
利用求导公式求函数的导数的两个关注点
(1)直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解．
(2)变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，将其进行合理转化为可以直接利用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等．
◎变式训练题型二 利用导数运算法则求函数的导数例2●规律总结
利用导数运算法则求函数的导数的两个策略
(1)熟记公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简单，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
◎变式训练 已知函数f(x)＝x3＋x－16，
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解析】 (1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，
所以点(2，－6)在曲线上．又f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
题型三 求曲线的切线方程例3●规律总结
(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
②准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
(2)常见的两个问题
①已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，两种情况一定要分清楚．
②如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断．
(3)关于导数运算法则的应用的解题策略
导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明等，其核心仍是导数函数，因此需利用导数知识结合导数的运算法则进行转化，再结合其他的知识求解．
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
答案 D
◎变式训练易错误区(八) 不能正确应用导数的运算法则
致误例1典题示例【答案】 A[易错防范]
1．将公式(uv)′＝u′v＋uv′错误理解为(uv)′＝u′v′而致结果不正确，错选为D.
2．熟记导数运算法则
求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错．例如，本例可利用积的导数运算法则求，但要注意应用准确．
3．求导时常用的技巧
利用导数的四则运算求导时，应先把原式进行恒等变形再进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式，这样容易化简计算．
已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．
解析 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
答案 120
典题试解课件30张PPT。§3.3.1 函数的单调性与导数
[课标解读]
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易错点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
教材知识梳理增减2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
陡峭平缓快慢知识点 导数与函数的单调性
探究1：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导函数正负的关系．
核心要点探究(1)观察图像，完成下列填空．
图①中的函数y＝x的导函数y′＝_，此函数的单调增区间为_____________；
图②中的函数y＝x2的导函数y′＝___，此函数的单调增区间为_________；单调减区间为(－∞，0)；
图③中的函数y＝x3的导函数y′＝____，此函数的单调增区间为_____________；
(－∞，＋∞)2x(0，＋∞)3x21(－∞，＋∞)提示 根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数．
探究2：根据函数的单调性与导数之间的关系，完成以下问题．
(1)在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？
提示 不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件．
(2)利用导数求函数单调区间时，能否忽视定义域？
提示 首先需要确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图像中为y＝f(x)的大致图像的是
题型一 函数与导函数的图像例1【自主解答】 由题图知：当x<－1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
当－10，∴f′(x)<0，
函数y＝f(x)单调递减；
当0函数y＝f(x)单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
y＝f(x)单调递增．
【答案】 C
●规律总结
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
1．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是
◎变式训练解析 由导函数图像知：
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减；
当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B.
答案 B
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x－x3；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
【自主解答】 (1)∵f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，
解法一 当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；当f′(x)＜0，即x＜－1或x＞1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
题型二 利用导数求函数的单调区间例2解法二 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜1时，f′(x)＞0；
当x＞1时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
●规律总结
求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
◎变式训练题型三 利用导数求参数的取值范围例3(2)函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1，4)内为减函数，所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时， f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的范围为[5，7]．
【答案】 (1)(3，27) (2)见解析
●规律总结
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．
解析 f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)．
①当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去．
◎对点训练易错误区(九) 误用函数单调递增(减)的充要
条件致误例1典题示例设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数，
∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立．
即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立．
又－3x2<－3，∴a≥－3.
答案 [－3，＋∞)
典题试解课件43张PPT。§3.3.2 函数的极值与导数
[课标解读]
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点)
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点、易错点)1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧_________．
(3)结论：点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，____叫作函数y＝f(x)的极小值．
教材知识梳理都小f′(x)>0f(a)2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_____，f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧________．
(3)结论：点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．
都大f′(x)<03．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为________．
(2)极大值与极小值统称为______．
4．可导函数在某点取得极值的必要条件
可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的必要条件是________．
极值点极值f′(x)＝05．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧_______，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
f′(x)>0f′(x)<0知识点 函数的极值
探究1：如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，请根据图像完成下列问题：
核心要点探究(1)请写出函数y＝f(x)在区间[－2，5]上的单调区间．
提示 由y＝f(x)导数的图像知，f(x)在区间[－2，－1]和[2，4]上f′(x)≤0，在[－1，2]，[4，5]上f′(x)≥0，故函数y＝f(x)的单调递减区间为[－2，－1]和[2，4]，递增区间为[－1，2]和[4，5]．
(2)函数y＝f(x)在[－2，5]上有没有极值点，若有，请指出极值点．
提示 在x＝－1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，故x＝2是f(x)的极大值点，在x＝4的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝4是f(x)的极小值点．
探究2：根据函数极值的概念，回答下列问题：
(1)函数的极值点是否只能有一个？区间的端点能不能成为函数的极值点？
提示 函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有；极值点是函数定义域中的点，因而端点不可能是极值点．
(2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？
提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点．
(3)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是什么？
提示 f′(x0)＝0，且在x0的左、右两侧，f′(x)的符号不同．
题型一 利用导数求函数的极值例1【自主解答】 (1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
●规律总结
1．求极值的步骤
(1)求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
(2)用f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．
2．表格给出了当x变化时y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．
◎变式训练解析 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
(1)已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
(2)(2018·北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
②若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
题型二 已知函数的极值求参数范围例2(ⅲ)若0≤a≤1，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时x＝1为f(x)的极大值点．
所以，综上a的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】 (1)(－∞，0) (2)见自主解答
●规律总结
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
◎变式训练 已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图像与函数y＝k的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
题型三 函数极值的综合应用例3●规律总结
1．三次函数有极值的充要条件
三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值?导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac>0.
2．三次函数的单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时，①若a>0，则f(x)在R上是增函数；
②若a<0，则f(x)在R上是减函数．
(2)当Δ>0时，①若a>0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；②若a<0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值(如图所示).
3．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
解析 (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
◎对点训练由表可知函数f(x)的极小值为
f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
由表可知函数f(x)的极小值为
f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，故f(x)＝0恰有两实根时a＋2＝0或a－2＝0，∴a＝±2.
规范解答(八) 用极值求解含有参数的函数问题例1典题示例已知函数f(x)＝ax2＋bln x，其中ab≠0.求函数有极值时，a，b满足的条件．
典题试解课件34张PPT。§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
[课标解读]
1．理解函数的最值的概念．(难点)
2．了解函数的最值与极值的区别和联系．(易混点)
3．掌握用导数求函数的最值的方法和步骤．(重点)1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有_______和_______，函数的最值必在______或__________处取得．
教材知识梳理最大值最小值极值点区间端点2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与_________的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是_________，最小的一个是_________．
端点处最大值最小值知识点 函数的最值
探究1：观察函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像，思考下列问题，分析极值与最值的关系：
核心要点探究(1)指出函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值点．
提示 从图像观察知，f(x)在[a，b]的极大值点为x2，x4，极小值点为x1，x3，x5，比较极大、小值及端点的函数值得函数在x＝b处取得最大值，故最大值点为b，同理可知，函数的最小值点为x3.
(2)求函数在[a，b]上的最值时，是否需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值？
提示 不需要．只需将各导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
探究2：根据函数最值的概念，探究以下问题：
(1)函数的极值是否一定是函数的最值？
提示 不一定．端点值也可能是函数的最值．
(2)若连续函数f(x)在区间[a，b]上有唯一的极值点且为极小值点x0，则f(x0)是否是最小值？
提示 是．函数y＝f(x)在[a，x0]上单调递减，在[x0，b]上单调递增，故f(x)在x0点取得最小值，f(x0)是最小值.
题型一 求函数的最值例1●规律总结
求函数最值的四个步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化率．
第四步：求极值、端点值，确定最值．
◎变式训练解析 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．
【自主解答】 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
∴当x＝0时，f(x)max＝3.
题型二 含参数的函数最值问题例2●规律总结
已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
2．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
◎变式训练题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥1恒成立，求k的值．
【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
所以当xln 2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
例3●规律总结
分离参数求解不等式恒成立问题
◎对点训练 (12分)已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
规范解答(九) 求解与函数最值有关的综合问题典例典题示例典题试解课件35张PPT。§3.4 生活中的优化问题题型一 面积、体积、最值问题例1【答案】 (1)3 (2)见自主解答●规律总结
1．解决面积、体积最值问题的思路
解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．利用导数解决优化问题的基本思路3．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
◎变式训练令S′(x)>0，得x>140，令S′(x)<0，得20∴函数S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24 500，
故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．
题型二 用料最省（成本最低）问题例2●规律总结
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．
◎变式训练令g′(x)＝0，则x＝8，当08时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．
答案 (1)2∶1 (2)见解析
某公司为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
题型三 利润最大（成本最低）问题例3令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
当0≤x<2时，g′(x)>0；当2故g(x)在[0，2)上是增函数，在(2，3]上是减函数．
∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
●规律总结
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
3．在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱．
(1)试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？
(2)若鱼的市场价为m万元/吨，养殖的总成本为(5ln x＋1)万元．◎对点训练①当m＝0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y最大？
②当m≥0.25时，求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合．
(12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
规范解答(十) 导数在解决实际问题中的应用典例典题示例(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；
(2)求S的最大值．
某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．典题试解课件40张PPT。章末整合提升（三）知识网络 (1)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．
(2)求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．专题归纳专题一 导数的几何意义 典例1(2)设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，将(－1，b)代入到曲线方程中，得b＝－3，即P(－1，－3)，y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.
●规律总结
利用导数求切线方程的两个注意点
(1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上．
(2)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
若点P (x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1) ，再由切线过点P (x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①，又y1＝f(x1) ②，由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
专题二 利用导数研究函数单调性 典例2●规律总结
1．导数的符号与函数单调性的两种关系
(1)符号判单调性：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)为增函数；若f′(x)<0，则f(x)为减函数，若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
(2)单调性判符号：若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0.
2．求含参数的函数的单调区间时要注意的三个方面
(1)f′(x)＝0有无根．
(2)f′(x)＝0根的大小．
(3)f′(x)＝0的根是否在定义域内．另外当f′(x)＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.
3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路
(1)分离：转化为不等式在某区间上恒成立时，即f′(x)≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意．
(2)端点关系：构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)>0(或<0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的取值范围．
求函数f(x)＝x3－3ax＋2，x∈R的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a＞0)
专题三 利用导数研究函数的极值与最值 典例3●规律总结
1．利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；
② 当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
专题四 利用导数解决生活中优化问题 典例4●规律总结
1．利用导数求实际问题最大(小)值的三步骤
(1)审题列式：仔细分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求导：求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数解．
(3)求最值：比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
2．利用导数求实际问题的最大(小)值时应注意的两个问题
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
典例5●规律总结
1．导数问题中引起分类讨论的原因
(1)因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类．
(2)在求极值点的过程中，涉及二次方程问题时，Δ与0的关系不定而引起的分类．
(3)极值点的大小关系不定而引起的分类．
(4)极值点与区间的关系不定而引起的分类．
2．分类讨论的处理方法
(1)若求出导函数中自变量的系数有参数，必须分为等于零和不等于零两种，分点为零(如果是二次方程应该更具体地分为三种：①a＝0；②a>0；③a<0)．
(2)若导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程求解．令Δ＝0，求分点．
(3)求出极值点后，极值点与定义域的关系不明确，所以必须分类．通过令极值点等于定义域端点值求分点．
1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面哪一个判断是正确的
A．在区间(－2，1)内f(x)是增函数
B．在区间(1，3)内f(x)是减函数
C．在区间(4，5)内f(x)是增函数
D．在x＝2时，f(x)取到极小值
解析 当x∈(4，5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4，5)上是增函数．
答案 C跟踪训练解析 ∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.
又∵x∈(0，1)，∴0＜a＜1.故选B.
答案 B3．函数f(x)＝ex＋ax有大于零的极值点，则a的取值范围为
A．a＜1 B．a＞1
C．a＜－1 D．a＞－1
解析 f′(x)＝ex＋a，要使函数有大于零的极值点需满足方程f′(x)＝ex＋a＝0有大于零的实根．又当x＞0时，ex＝－a＞1，∴a＜－1.
答案 C
答案 80 km/h5．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确；
当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，
f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，需f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②不正确．
故填①③④⑤.
答案 ①③④⑤
