课件25张PPT。第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系
§1.1.1 命 题
[课标解读]
1．了解命题的概念，并会判断命题的真假．(重点)
2．理解命题的结构形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)1．定义：在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以_________的陈述句．
2．分类
真命题：判断为___的语句．
假命题：判断为___的语句．
3．形式：命题“若p，则q”，其中p叫作命题的_____，q叫作命题的______．
教材知识梳理判断真假真假条件结论知识点一 命题的概念
阅读命题的概念并观察式子“x<3”，探究以下问题：
探究1：这个式子一定成立吗？
提示 不一定成立．当x＝0时它成立；当x＝4时它不成立，随x的变化而变化，有时成立，有时不成立．
探究2：以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？
提示 这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题．
核心要点探究知识点二 命题的分类
探究1：如何判断一个数学命题是假命题？
提示 数学中判定一个命题是真命题，要经过证明，而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．探究2：公理是真命题吗？
提示 在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理．因而公理是真命题，不需要证明．
知识点三 命题的结构形式
观察命题的基本结构形式“若p，则q”，探究以下问题：
探究1：如何找到“若p，则q”命题的条件和结论？
提示 一般地，“若”后面是条件，“则”后面是结论．
探究2：一个命题写成“若p，则q”的形式后，如何判断命题的真假？
提示 当一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断这种命题真假的方法是：若由p经过逻辑推理推出q，则该命题为真；若判定命题为假，只需举出一个反例即可．
题型一 命题的概念例1●规律总结
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
解析 ①是反意疑问句含有肯定的意思，是命题．③，④也是命题．②是感叹句，不是命题．
答案 ②
◎变式训练 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
题型二 命题真假的判断例2【自主解答】 (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
●规律总结
1.判断命题真假的两个技巧
（1）真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.
（2）假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
2.命题真假判断的三种方法
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②二次函数的图像与x轴有公共点；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．
解析 对于②，二次函数的图像与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．
答案 ①④
◎变式训练 (1)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为________．
(2)把下列命题改写为“若p，则q”的形式，指出条件和结论．
①直角三角形的两个锐角互余．
②正弦值相等的两个角的终边相同．
题型三 命题的构成形式例3【解析】 (1)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为“x，y都是奇数”，结论为“x＋y是偶数”．
(2)①“若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”．
②“若两个角的正弦值相等，则它们的终边相同”，条件是“两个角的正弦值相等”，结论是“它们的终边相同”．
【答案】 (1)x，y都是奇数 x＋y是偶数
(2)见解析
●规律总结
1．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
2．命题改写中的注意点
若命题不是以“若p，则q”这种形式给出的，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式．
3．把例题(2)中的命题改为以下形式：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形．
②终边相同的两个角的正弦值相等．
求解的问题不变，结论如何？
解析 ①“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”，条件是“一个三角形的两个锐角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”．
②“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相等”，条件是“两个角的终边相同”，结论是“它们的正弦值相等”.
◎对点训练易错误区（一） 命题条件不明致误例1典题示例[易错防范]
1．把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．
2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
(1)命题“在△ABC中，如果sin A>sin B，那么a>b”的条件是________，结论是________．
(2)命题“平行于同一平面的两条直线互相平行”的条件是________，结论是________．
答案 (1)sin A>sin B a>b
(2)两条直线平行于同一个平面 这两条直线互相平行
典题试解课件31张PPT。§1.1.2 四种命题
§1.1.3 四种命题间的相互关系
[课标解读]
1．了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．
3．会利用命题的等价性解决问题．1．原命题与逆命题
教材知识梳理条件结论若q，则p2．原命题与否命题
否定3．原命题与逆否命题
否定互换4．四种命题的真假关系
(1)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
真真真真假假假(2)四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为_________，它们有相同的真假性．
②两个命题为__________或_________，其真假性没有关系．
逆否命题互逆命题互否命题知识点一 四种命题之间的关系
探究1：结合四种命题间的关系图，思考下列问题：
(1)判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？
提示 判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否都否定了．
(2)一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？
提示 可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的．
核心要点探究探究2：根据四种命题之间的关系，完成下列填空：
(1)一个命题的逆命题和逆否命题的关系是________．
(2)若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题的逆否命题是________命题(填“真”“假”)．
提示 (1)互为否命题 (2)真
知识点二 四种命题的真假性及等价命题
根据四种命题的真假性，讨论下列问题：
探究1：四种命题之间哪些命题具有相同的真假性？
提示 原命题与其逆否命题具有相同的真假性，原命题的逆命题与原命题的否命题具有相同的真假性．
探究2：在四种命题中，真命题的个数可能有几个？
提示 因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是0，2或4.
探究3：当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？
提示 因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明．在有些题目中，也会用到反证法这种逆向思维的思路来分析和解决问题.
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
题型一 四种命题的概念例1【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
●规律总结
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
1．下列说法错误的是________．
①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边相等的四边形不是正方形”；
②“若x2＝9，则x＝3”的否命题的逆否命题是“若x2≠9，则x≠3”；
③“若a>b，则7a>7b”的逆否命题是“若7a≤7b，则a≤b”．
◎变式训练解析 ①错．否命题的条件、结论同时否定．②错．否命题的逆否命题是“若x＝3，则x2＝9”．③对．
答案 ①②
有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二 四种命题的真假判断例2【自主解答】 (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；
(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；
(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
【答案】 B
●规律总结
四种命题的真假判断的两种方法
(1)直接判断：利用命题真假判断的方法判断．
(2)等价转化：由于互为逆否命题的两命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的两命题的真假具有等价性即可完成．
◎变式训练答案 A (1)命题：“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否命题是________命题(填“真”或“假”)．
(2)证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
题型三 逆否命题的应用例3(2)该命题的逆否命题为：若p＋q>2，则p2＋q2≠2.因为原命题与其逆否命题的真假相同，故只需证明其逆否命题为真命题即可．
因为p＋q>2，所以(p＋q)2>4.因为p2＋q2≥2pq，所以p2＋q2>2.即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．
所以如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2成立．
【答案】 (1)真 (2)见解析
●规律总结
命题真假判断的一种策略
当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时，涉及分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．
3．求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)◎对点训练 (12分)命题：对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立是真命题，求实数a的取值范围．
规范解答(一) 由等价命题求参数的取值范围例1典题示例【规范解答】
因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”等价于对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，(2分)
第一步，通过对条件分析，将所求问题转化为ax2－2ax－3≤0在x∈R上恒成立问题
若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意．(4分)
设f(x)＝ax2－2ax－3，当a>0时，二次函数的图像开口向上，图像不会全部落在x轴下方，显然不符合题意．(5分)已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1<0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
解析 命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1<0不成立”等价于“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0成立”是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，由二次函数的图像易知：Δ＝a2－4≤0，解得：－2≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－2，2].
典题试解课件32张PPT。§1.2 充分条件与必要条件
[课标解读]
1．理解充分条件，必要条件，充要条件的意义．
2．掌握充分条件，必要条件，充要条件的判断方法．(重点)
3．能证明充要条件，会求简单的充要条件．(难点)1．充分条件、必要条件
(1)前提：“若p，则q”形式的命题为_______．
(2)条件：p?q.
(3)结论：p是q的____条件，q是p的____条件．
教材知识梳理真命题充分必要2．充要条件
(1)定义：若p?q且q?p，则记作p___q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的_________．
3．互为充要条件
如果________，那么p与q互为充要条件．
?充要条件p?q知识点一 充分条件和必要条件
探究：结合充分条件和必要条件的概念，思考下列问题：
(1)“地面湿了”与“天下雨了”的关系是什么？
提示 “地面湿了”，不能说“天一定下雨了”，但是如果“天下雨了”，必定会“地面湿了”，“地面湿了”是“天下雨了”的必要条件．核心要点探究(2)若p是q的充分条件，这样的条件p惟一吗？
提示 不惟一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”，“x>3”或“2(3)如何理解充分条件和必要条件中的“充分性”和“必要性”？
提示 ①由充分条件的意义可知，只要具备条件p，就能得出结论q，或要得出结论q，只要具备条件p就行．
②p是q的必要条件，即要使条件q成立，条件p是必须具备的，不可缺少的；若没有条件p，则条件q必不成立．
知识点二 充要条件的概念
探究：思考式子p?q的含义，并结合充要条件的概念，解决下列问题．
(1)符号“?”的含义是什么？
提示 符号“?”的含义是“等价于”．例如“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只需p”；“p?q”的含义还可以理解为“p?q，且q?p”．
(2)p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗？
提示 不相同．两者都有p与q等价的含义，但是两种叙述方式中的条件与结论不同：“p是q的充要条件”中，“p”是条件，“q”是结论，即p?q为真，充分性成立，q?p为真，必要性成立；而“q是p的充要条件”中的条件是“q”，结论是“p”，即q?p为真，充分性成立，p?q为真，必要性成立．
(3)若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？
提示 充分条件与必要条件是共存的，如果p不是q的充分条件，则q也不是p的必要条件．p可能是q的必要条件．
(1)(2018·天津)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的
判断例1(2)(2018·北京)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)已知命题“若p：m<－1，则q：x2－x－m>0对x∈R恒成立”，试判断p是q的____________，q是p的___________(填“充分条件”或“必要条件”)．
(3)因为m<－1，所以Δ＝1＋4m<－3<0，故x2－x－m>0对x∈R恒成立，已知命题为真命题，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
【答案】 (1)A (2)B (3)充分条件 必要条件
●规律总结
1.充分条件的两种判断方法
2．必要条件的两种判断方法
(1)命题的真假判断：“若q，则p”为真命题时，则p是q的必要条件，“若q，则p”为假命题时，则p不是q的必要条件．
(2)根据充分条件判断出必要条件：若q?p，则p是q的必要条件；若qD/?p，则p不是q的必要条件．而要判断p成立的必要条件是q，只需判断由p是否能推出q，即p?q是否成立．◎变式训练解析 (1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
设函数f(x)＝x|x－a|＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
【自主解答】 先证充分性：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以f(x)＝x|x|.因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)对一切x∈R恒成立，所以f(x)是奇函数．
再证必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b.令x＝0，得b＝－b，所以b＝0；令x＝a，得2a|a|＝0，所以a＝0，即a2＋b2＝0.
题型二 充要条件的证明例2●规律总结
1．充要条件证明的两个方面
要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明，一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明，一个是充分条件，另一个是不必要条件．
2．充要条件证明的两个关注点
(1)证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p?q是证明充分性，推证q?p是证明必要性．
(2)充要性的证明，一般有一种情形是比较简单易证的，因此在证明时，既可以先证明充分性，也可以先证明必要性．
2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
◎变式训练 (1)若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)由x2＋ax＋2＝0是x＝1的必要条件，知x＝1是方程x2＋ax＋2＝0的根，代入解得a＝－3.
题型三 充分必要条件的应用例3【答案】 (1)－3 (2)见解析
●规律总结
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
3．已知P＝{x|a－4◎对点训练 已知P＝{x|a－4 致误例1典题示例【答案】 [－1，5][易错防范]
1．忽略了端点1与a－4重合，a＋4与3重合的情况，错填为(－1，5)．
2．集合关系中等号的处理
在已知两集合间的关系求参数的值或范围时，等号问题常有以下两种处理方法：一是借助数轴分析法，二是假设等号成立求出字母的值，再验证其是否符合题意．如本例中a－4≤1，a＋4≥3都能够取到等号，但不能同时取到等号．
已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析 p：－2≤x≤10.
由q：x2－2x＋1－m2≤0得[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)，即1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为q是p的充分条件但不是必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}，
典题试解答案 0[课标解读]
1．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(难点)
2．会判断“或”“且”“非”构成的复合命题的真假．(重点)
3．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系．(难点)
1．用逻辑联结词构成新命题
教材知识梳理p∧qp∨q綈p2.含逻辑联结词的命题的真假判断
真真真真真真假假假假假假知识点一 “且”“或”“非”的含义
探究：观察下面的五个命题，结合逻辑联结词的含义，思考以下问题：
①6是2的倍数．
②6是3的倍数．
③6是2的倍数且是3的倍数．
④6是2的倍数或是3的倍数．
⑤6不是2的倍数．
核心要点探究(1)上面的命题③④与命题①②之间有什么关系？
提示 可以看出，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题；命题④是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题．
(2)命题⑤与命题①有什么关系？如何理解逻辑联结词“非”？
提示 命题⑤是由命题①使用联结词“非”联结得到的新命题．逻辑联结词“非”(也称“否定”)是从日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的，“非”是否定的意思．
知识点二 含有逻辑联结词的命题的真假
探究1：观察下图，结合命题的真假判断，思考以下问题：
(1)若p与q的内容毫无关系，则由逻辑联结词联结后的命题的真假可以判断吗？
提示 真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的含有逻辑联结词的命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．例如：p表示“圆周率π是无
理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断命题p∨q的真假．
(2)判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是判断什么？
提示 关键是判断每个简单命题的真假，进而才能判断由逻辑联结词构成的命题的真假．
探究2：根据含有逻辑联结词的命题的真假，完成下列填空：
(1)命题“p且q”是真命题，则命题p一定是________命题．
(2)命题“p或q”是假命题，则命题p一定是________命题．
(3)命题“p”是假命题，“綈p且q”是真命题，则命题q一定是________命题．
提示 (1)真 (2)假 (3)真
分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
题型一 用逻辑联结词联结新命题例1【自主解答】 (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
●规律总结
用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
◎变式训练 (1)两直线平行，同位角相等且内错角相等是________(填“真”或“假”)命题．
(2)分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
①p：函数y＝x2和函数y＝2x的图像有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数．
②p：7>7；q：7＝7.
题型二 含逻辑联结词的命题的真假判断例2【自主解答】 (1)“两直线平行，同位角相等且内错角相等”是p且q形式的命题，因为p，q都是真命题，所以p且q是真命题．
(2)①因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
②因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题；p或q为真命题，非p为真命题．
【答案】 (1)真 (2)见自主解答
●规律总结
判断“p且q”“p或q”“非p”命题真假的两个步骤
2．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A (A∪B)．
解析 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
◎变式训练(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题．
题型三 利用含逻辑联结词的命题的真假求
参数的范围
(1)已知c>0且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：关于x的不等式x2＋x＋c>0的解集为R.如果“p∧q”为真，则c的取值范围是__________．
(2)已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
例3●规律总结
应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假．
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算．
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
3．已知p：不等式mx2＋1>0的解集是R；q：f(x)＝logmx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
◎对点训练 (12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
规范解答(二) 求解含联结词命题中的参数例1典题示例设命题p：关于x的函数y＝(a－1)x为增函数；命题q：不等式－3x≤a对一切正实数均成立．
若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解析 当命题p为真命题时，a－1>1即a>2.
当命题q为真命题时，由x>0得3x>1，所以－3x<－1.
不等式－3x≤a对一切正实数均成立，所以a≥－1，
由命题“p∨q”为真，且“p∧q”为假，得命题p，q一真一假．
典题试解课件37张PPT。§1.4 全称量词与存在量词
[课标解读]
1．理解全称量词与存在量词的含义．(难点)
2．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断全称命题与特称命题的真假．(重点)
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易错点)
1．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“对_______”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“__”表示．
(2)全称命题：含有________的命题叫作全称命题．
(3)符号表示：符号简记为_______________，读作：对_____x属于M，有p(x)______ ．
教材知识梳理所有的?全称量词?x∈M，p(x)任意成立2．存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“________”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“__”表示．
(2)特称命题：含有________的命题叫作特称命题．
(3)符号表示：符号简记为______________，读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)____ ．”
存在一个?存在量词?x0∈M，p(x0)成立3．全称命题的否定
?x0∈M，
綈p(x0)特称4.特称命题的否定
?x∈M，
綈p(x)全称知识点一 全称量词和全称命题
探究：根据全称命题的概念，思考下列问题：
(1)在全称命题中，量词是否可以省略？
提示 在有些全称命题中，全称量词是可以省略的，如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
核心要点探究(2)一个全称命题的表述是否惟一？
提示 不惟一．对于一个全称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．
知识点二 存在量词和特称命题
探究1：观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
提示 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
提示 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
探究2：怎样区别全称命题和特称命题？
提示 全称命题含有或隐含全称量词，体现了任意、所有的意思，特称命题含有或隐含存在量词，体现了特殊存在性.
知识点三 命题的否定
探究1：观察下面两个全称命题，完成以下问题：
①每一个负数的平方都是正数．
②?x∈R，x2－2x＋3>0.
(1)写出上述全称命题的否定，其否定还是全称命题吗？
(2)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？
提示 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
提示 上述特称命题的否定分别为：①对任意一个数，它的绝对值都是正数．②?x∈Z，x2－1≥0.其否定都变成了全称命题．
(2)特称命题否定后的命题与原特称命题的真假性有什么关系？
提示 特称命题的否定与原特称命题的真假性相反．
判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)有的向量方向不定；
(2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(3)矩形的对角线不相等；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
题型一 全称命题与特称命题的判定例1【自主解答】 (1)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(2)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
●规律总结
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
1．(1)命题“自然数的平方大于零”是________命题(填“全称”或“特称”)，其省略的量词是________．
解析 自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称命题，其省略的量词是“所有的”．
答案 全称 所有的
◎变式训练(2)判断下列命题是全称命题，还是特称命题．
①凸多边形的外角和等于360°；
②有一个实数a，a不能取对数；
③任何数的0次方都等于1.
解析 ①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题；
②含有存在量词“有一个”，因此是特称命题；
③含有全称量词“任何”，故是全称命题．
题型二 全称命题与特称命题的真假判断例2●规律总结
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)?x0，x0－2≤0；
(2)三角形两边之和大于第三边；
(3)有些整数是偶数．
◎变式训练解析 (1)特称命题．x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故特称命题“?x0，x0－2≤0”是真命题．
(2)全称命题．三角形中，任意两边之和大于第三边，故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．
(3)特称命题.2是整数，2也是偶数．故特称命题“有些整数是偶数”是真命题．
题型三 全称命题与特称命题的否定例3(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：?x∈R，x2＋4x＋6>0，真命题．
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
●规律总结
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
◎对点训练题型四 全称命题、特称命题的综合应用例4(2)由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
因为“?x0∈R，sin x0－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2综上所述，实数m的取值范围是(－1，2)．
【答案】 (1)[1，＋∞) (2)见解析
●规律总结
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
4．已知命题p：x2－2x＋a≥0在R上恒成立，命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析 若p是真命题，则Δ＝4－4a≤0，所以a≥1；
若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
依题意得p，q一真一假，当p真q假时，得a∈?；
当p假q真时，得a≤－2.
综上所述，a的取值范围为a≤－2.
◎对点训练 命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
易错误区(三) 混淆命题的否定与否命题而致误例1典题示例命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_______________．
解析 该命题是全称命题，因为含有量词“任何”，其否定应该是特称命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”．
答案 存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3
典题试解课件30张PPT。章末整合提升（一）知识网络答案 ①必要条件 ②p?q ③或 ④全称命题
⑤存在量词
(1)在空间中“若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等”的逆命题为________，为________命题(填“真”或“假”)．
(2)已知a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
专题归纳专题一 四种命题及其相互关系 典例1【解析】 (1)逆命题为：若两个角相等，则这两个角的两边分别平行，是假命题．
(2)逆命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0”，是假命题．
如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0.
否命题“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．
逆否命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．
因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．
【答案】 (1)若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 假 (2)见解析
●规律总结
简单命题真假的判断方法
(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】 A
专题二 充分条件、必要条件与充要条件典例2 已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β.
求证：|a|<2且|β|<2是2|a|<4＋b且|b|<4的充要条件．
典例3(2)必要性：由2|a|<4＋b?f(±2)>0且f(x)的图像是开口向上的抛物线．所以方程f(x)＝0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根．
因为α，β是方程f(x)＝0的实根，所以α，β同在(－2，2)内，即|α|<2且|β|<2.
2．对充要条件的理解及证明
(1)理解：对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”“当且仅当”“必须并且只需”“……，反之也真”等．
(2)证明：证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．
专题三 含有逻辑联结词的命题典例3【解析】 p假，q假，故选C.
【答案】 C(2)设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．●规律总结
判断含有逻辑联结词的命题真假的方法
(1)先确定简单命题p，q.
(2)分别确定简单命题p，q的真假．
(3)利用真值表判断所给命题的真假．专题四 命题的否定与否命题典例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若一个数是质数，则这个数是奇数．
典例5【解析】 (1)命题的否定：x，y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．
原命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
(2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．
●规律总结
命题的否定与否命题的区别
命题的否定包括简单命题的否定和含有一个量词的命题的否定；简单命题的否定，只要把结论否定即可；含有一个量词的命题的否定，注意还要把所含的量词改变，即把全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
而否命题是对原命题的条件和结论分别进行否定，作为新命题的条件和结论．
已知c>0.设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围．
专题五 分类讨论思想典例5●规律总结
应用分类讨论的思想解题的思路
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考的数学思想．分类讨论的关键是逻辑划分标准恰当准确，分类讨论时应注意：
(1)分类讨论时，做到不重不漏．
(2)掌握分类的原则、方法、技巧．
1．命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为
A．p或q B．p且q
C．非p D．简单命题
解析 记命题p：梯形的对角线互相平分，而给定的命题是“梯形的两对角线互相不平分”，是命题p的否定形式，故选C.
答案 C
跟踪训练2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析 所给出的命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题．将存在量词变成全称量词，并对结论进行否定，得到“对任意实数x，都有x≤1”．
答案 C
3．命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sin C＞sin B的充分不必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件．则
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
解析 ∵∠C＞∠B?c＞b?2Rsin C＞2Rsin B?sin C＞sin B，∴p是假命题．
又a＞bD/?ac2＞bc2(c＝0时)，∴q也是假命题．
∴p∨q为假命题．
答案 C
4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的假命题有________个．
解析 原命题是假命题，
如：3≠5，4≠2，但3＋4＝5＋2；
逆命题为：“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4≠d＝5；
由原命题与其逆否命题等价知，其否命题和逆否命题均为假命题，故4个假命题．
答案 4
5．写出命题“如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零”的否定及否命题．
解析 命题的否定：如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零．
命题的否命题：如果m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
6．已知命题p：－2