2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程学案新人教A版选修1_1
文档属性
| 名称 | 2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程学案新人教A版选修1_1 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-06 23:19:40 | ||
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文档简介
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.1 椭圆及其标准方程
[课标解读]
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．(难点)
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．(重点、易错点)
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
知识点一 椭圆的定义
探究1：通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识．
(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？
提示 得到一个椭圆．
(2)如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？
提示 当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平．
(3)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
提示 不能．
探究2：根据探究1中对椭圆的认识及椭圆的定义探讨以下问题：
(1)椭圆的定义中为什么要强调在平面内？
提示 去掉平面的限制后得到的是椭球体．
(2)如果已知椭圆方程及椭圆上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？
提示 能，根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为常数，如果已知椭圆上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)．
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
探究1：椭圆标准方程的推导过程遵循了求轨迹方程的哪些基本步骤，请完成下列填空．
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件P(m)；
(3)用坐标表示条件P(m)，列出方程；
(4)化方程为最简形式．
探究2：推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？
提示 将两个根号分开即移项，先变成＝2a－，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)．
探究3：通过下列问题的探讨，进一步认识椭圆的标准方程．
(1)确定椭圆标准方程的关键是什么？
提示 确定参数a，b的值．
(2)求椭圆的标准方程时，设出椭圆方程的关键是什么？
提示 关键是先确定焦点的位置，若椭圆的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，不能遗漏．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
因为a>b>0，所以无解．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
●规律总结
1．求椭圆方程的方法
方法
内容
适合题型或条件
定义法
分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程
动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a>|AB|
待定系数法
由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数
①已知椭圆上的点的坐标
②已知焦点坐标或焦点间距离
2.椭圆方程的设法技巧
若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解析 (1)解法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二 设椭圆的一般方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝30°.求△PF1F2的面积．
【自主解答】 由已知可得a＝2，c＝1.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
且|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得：
4＝(|PF1|＋|PF2|)2－(＋2)|PF1|·|PF2|
即4＝42－(＋2)|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝＝12(2－)．
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝6－3.
●规律总结
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
解析 ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.
题型三 根据椭圆的标准方程求参数取值范围
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为________．
(2)椭圆＋＝1中a＝2c，则k的值为________．
【解析】 (1)原方程可化为＋＝1，因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得0(2)若焦点在x轴上，则a2＝k＋8，b2＝9，又因为a＝2c，所以＝1－＝，即＝，所以k＝4.
若焦点在y轴上，则a2＝9，b2＝k＋8，
又因为a＝2c，所以＝1－＝.
即＝，所以k＝－，所以k的值是4或－.
【答案】 (1)(0，1) (2)4或－
●规律总结
根据椭圆标准方程求参数取值问题的解题方法
(1)确定焦点的位置，从而可以得a2，b2的值．
(2)焦点不确定时，要进行分类讨论，分别求值．
(3)注意排除a2＝b2，方程表示圆的情况．
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
解析 由题意即
∴－6＜a＜－2或a＞3.
答案 D
若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是________．
解析 由方程＋＝1表示椭圆，知解得m>且m≠1.
答案
[易错防范]
1．遗漏条件m≠2m－1，易得出错误答案m>.
2．必须明确形如方程＋＝1表示椭圆、圆的条件，如本例中，方程表示椭圆，首先应满足A≠B，其次应有A>0，B>0，事实上，当A＝B时，方程表示的曲线为圆而非椭圆．
已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
解析 由于椭圆的焦点在y轴上，所以a2＝|m|－1，
b2＝5－2m且a2＞b2，故
解之得2＜m＜，∴m的取值范围是：2＜m＜.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2.
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
答案 D
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
A．4 B．5 C．8 D．10
解析 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
答案 D
3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，
因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．
答案 C
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
A．2 B．6 C．4 D．12
解析 由椭圆的方程可得a＝，由椭圆定义可知，△ABC的周长是4a＝4，故选C.
答案 C
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案 B
6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于
A. B. C. D．4
解析 如图所示，由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是________．
解析 由3kx2＋ky2＝1，得＋＝1.
∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，则c＝4，
∴a2＝，b2＝，
∴c2＝－＝＝16，∴k＝.
答案
8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析 如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
9．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．
解析 由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)．
因为∠F1PF2为直角，所以·＝0，
即x＋y＝4，①
又＋y＝1，②
①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.
答案 ±
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1⊥F1F2，
|EF1|＝，|EF2|＝，求椭圆C的方程．
解析 因为点E在椭圆C上，
所以2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝6，即a＝3.
在Rt△EF1F2中，
|F1F2|＝＝＝2，
所以椭圆C的半焦距c＝.
因为b＝＝＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
11．(10分)已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解析 (1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|.
所以122＝202－3|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝＝＝.
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝.
所以△F1PF2的面积为.
12．(15分)已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.试求
(1)椭圆的方程；
(2)求sin∠PF1F2的值．
解析 (1)因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·yP＝80，
所以|PF1|·|PF2|＝160，
又|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝4，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
§2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[课标解读]
1．理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴长、短轴长．(重点)
2．掌握椭圆的离心率e以及a、b、c的几何意义．(难点)
1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)
A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2.椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响
椭圆的离心率越接近于1 ，则椭圆越扁；
椭圆离心率越接近于0 ，则椭圆越接近于圆．
知识点一 椭圆的范围，对称点，顶点
探究1：观察下列图形，回答以下几个问题：
(1)已和椭圆方程讨论椭圆性质时，首先要关注椭圆的方程要满足什么形式？
提示 先看椭圆方程是否是标准形式，若不是标准形式要先化成标准形式．
(2)观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？
提示 由≤1，≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b.
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？
提示 a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|.
探究2：观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆，探究下列问题，明确椭圆的几何特征．
(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？
提示 相同点：两图长轴长与短轴长分别相等；
不同点：长轴与短轴所在位置不同．
(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？
提示 椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线．
知识点二 椭圆的离心率
探究1：观察图形，思考以下问题，明确椭圆离心率的实际意义．
(1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？
提示 发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同．
(2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？
提示 椭圆的离心率．
探究2：根据椭圆离心率的定义，探究以下问题，认识椭圆离心率对椭圆形状的影响．
(1)在a不变的情况下，随c的变化椭圆的形状如何变化的？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？
提示 ①a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁平．
②c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁平．
(2)当同时改变a，c的值时椭圆的形状随的变化是如何变化的？
提示 ①的值越大，椭圆越扁平；
②的值越小，椭圆越圆；
③的值不变，椭圆形状不变．
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
【自主解答】 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞，
即a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝，
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标分别为F1，F2；
四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
●规律总结
椭圆中基本量的计算方法
(1)根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，从而准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关性质．
(2)在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；而有些则是与焦点所在坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置．
1．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标．
解析 椭圆方程可化为x2＋＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24，
∴c＝2，a＝5，b＝1，
∴长轴长为10，短轴长为2，焦点为(0，±2)，顶点坐标为(±1，0)，(0，±5)．
(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【自主解答】 c＝1，＝，∴a＝2，则b2＝a2－c2＝3，故C的方程为：＋＝1.
【答案】 D
(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，求椭圆的标准方程．
【自主解答】 设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形．
OF为斜边A1A2上的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
●规律总结
利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项
(1)基本步骤
(2)注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
解析 (1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
则b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
【解析】 直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.
∴A，B.
∴kBF1＝＝＝－.
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)．
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，∴b2＝2ac，
即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝.
∵e＞0，∴e＝＝＝.
【答案】
●规律总结
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
A．1－ B．2－
C. D.－1
解析 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.
答案 D
(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为(其中c2＝a2－b2)，求椭圆离心率e的取值范围．
【审题流程】
―→
―→一个方程：椭圆M的方程已知
一个关系：|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为
―→求解e的取值范围，由点P在椭圆上可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又知|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围，可将e与|PF1|·|PF2|联系起来
【规范解答】
因为P是椭圆上一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a.(2分)
所以2a＝|PF1|＋|PF2|≥2，即
|PF1|·|PF2|≤＝＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．(6分)
所以c2≤a2≤3c2，所以≤≤2，所以≤e2≤2.
因为e>0，所以≤e≤.(10分)
又因为0椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解析 设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：＋y2＝，所以y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，所以e>.
又∵0
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆x2＋6y2＝6的焦点坐标为
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
解析 椭圆的标准方程为＋y2＝1.
∴a2＝6，b2＝1.于是c＝＝，又焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案 C
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由2a＝18，得a＝9.
又a－c＝2c，则c＝3.于是b2＝a2－c2＝81－9＝72.
故椭圆的方程为＋＝1.
答案 A
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
答案 D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
解析 ∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，
∴e＝＝.
答案 D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为
A. B. C. D.
解析 a2＝2，b2＝m.故c2＝2－m.
∴e2＝＝＝.∴m＝.
答案 D
6．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
解析 解法一 将x＝－c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|＝，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.
解法二 设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．椭圆焦点在x轴上，O为坐标原点，A是一个顶点，F是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos ∠OFA＝，椭圆的标准方程是________．
解析 如图，∵椭圆长轴长为6，∴|AF|＝3，
∴cos ∠OFA＝＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0＜e≤，则长轴长的取值范围为________．
解析 由e2＝＝＝1－，得0＜1－≤，从而－1＜－≤－.
于是1＜a2≤4.故1＜a≤2，即2＜2a≤4.
答案 (2，4]
9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析 由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
答案 6
三、解答题(共35分)
10．(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，
由＝得a＝2b.
|PM|2＝x2＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
若0即＝7，所以b＝－>，故矛盾．
若b≥，则当y＝－时，4b2＋3＝7，b2＝1，
从而a2＝4.
所求方程为＋y2＝1.
11．(10分)已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝.
(1)求椭圆方程；
(2)若P是椭圆上的点，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解析 (1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4及|PF1|－|PF2|＝1知|PF1|＝，|PF2|＝，
又|F1F2|＝2c＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝.
12．(15分)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析 解法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为，
△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
解法二 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则M，
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
已知椭圆C：＋＝1，一个顶点为A(0，2)．
(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方程；
(2)若椭圆C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且|AM|＝|AN|，求m的取值范围．
【自主解答】 (1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
所以|AM|＝|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：＋＝1得：＋＝1，①
＋＝1，②
用①减去②得：＝，
所以k＝＝－×，再由垂直平分线的性质得－＝＝，所以＝，
所以y1＋y2＝－2，所以x1＋x2＝－3k(y1＋y2)＝6k，
故MN的中点(3k，－1)．
把y＝kx＋m代入椭圆C：＋＝1得，(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以x1＋x2＝6k＝，所以m＝－(1＋3k2)，所以－mx2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由题意知，判别式大于0，即36k2m2＋4m(3m2－12)>0，m(m－4)<0，所以0●规律总结
直线与椭圆位置关系的判断方法
1．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
解析 由消去y，得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求线段AB的长及线段AB中点坐标．
【自主解答】 ∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，
∴直线l方程y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝ ＝
＝ ＝，即弦AB的长为.
设AB中点为M(x0，y0)，
∴x0＝＝，y0＝x0－＝－＝－.
故中点坐标为.
●规律总结
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
2．已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
解析 (1)设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b＝4，又由＝，解得a＝4，b＝2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0，
由题意，得Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为|AB|＝＝|x1－x2|＝·＝，
所以－＝，解得m＝±2，验证知Δ>0成立，
所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x－y－2＝0.
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
【解析】 (1)由题意知2a＝4，则a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2。
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*)
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积
S＝|m||x1－x2|＝
＝＝2.
设＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知0因此S＝2＝2，故S≤2.
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由①知，△ABQ的面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.
●规律总结
解椭圆综合问题的常用技巧
椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其他章节知识结合考查，如不等式、三角函数以及平面向量等．解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化的思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧．
3．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解析 (1)设椭圆的焦距为2c，
由已知有＝.
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由|AB|＝＝，
从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，
可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，可得x1＝.
由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，
两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－，或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
所以，k的值为－.
规范解答(四) 直线与椭圆的综合问题
(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【审题流程】
―→
―→(1)由顶点A(2，0)，e＝求a，b的值．
(2)由椭圆与直线方程得关于x的一元二次方程，利用弦长求|MN|，再利用点到直线距离公式可得三角形的高，从而表示出面积
―→(1)顶点、离心率→确定a，b的值→椭圆方程．
(2)直线和椭圆方程→关于x的一元二次方程→x1，x2关系→弦长|MN|→点A到直线距离→三角形面积→k的值
【规范解答】
(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.(2分)
由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.(4分)
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.(5分)
所以|MN|＝
＝
＝.(7分)
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，(9分)
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.(10分)
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.(12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
求证：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解析 (1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
所以kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为
A．10 B．12 C．16 D．18
解析 ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
答案 B
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．故选A.
答案 A
3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|＝
A．4 B．2 C．1 D．4
解析 ∵＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
∴c2＝3，∴F2(，0)，
将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，
故|AB|＝1.
答案 C
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析 表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．
不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2)．
由，得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.
令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，
∴kmin＝－，即的最小值为－.
答案 C
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝
A. B．2 C. D．3
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.
答案 A
6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析 依题意＞2，∴＜2.
即m2＋n2＜4
∴＋＜＋＜1
故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．
解析 由消去y，
得3x2＋4x－2＝0.
设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
中点坐标为(x中，y中)，
则x1＋x2＝－，
∴x中＝－.
从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，
∴中点坐标为.
答案
8．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于________．
解析 不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
由
消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋1
＝－＋1＝－.
答案 －
9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析 易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，
∴||min＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解析 (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
11．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解析 (1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由消y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，
∴－2＜m＜2.
∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴＋＝1，∴m＝±.
∴m的值为±.
12．(15分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，
求证：MN⊥AB.
解析 (1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
§2.2 双曲线
§2.2.1 双曲线及其标准方程
[课标解读]
1．掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点、易混点)
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题．(重点)
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c关系
c2＝a2＋b2
知识点一 双曲线定义
探究1：通过下列问题的处理，体会双曲线的形成过程．
(1)若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？
提示 双曲线．
(2)如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？
提示 点M在右支上时，|MF1|>|MF2|，若点M在左支上时，|MF1|<|MF2|.
探究2：双曲线定义如同椭圆一样，规定了参数与两定点之间距离的大小关系，探究下面问题，体会此规定的原因．
(1)若0提示 双曲线．
(2)若a＝c，动点M的轨迹又是什么？
提示 两条射线．
(3)若a＝0，动点M的轨迹又是什么？
提示 线段F1F2的中垂线．
(4)若a>c，动点M的轨迹又是什么？
提示 不存在．
知识点二 双曲线的标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
探究1：观察双曲线的标准方程，探究下列问题，明确双曲线标准方程的特点．
(1)双曲线的标准方程左右两侧各具有怎样的结构特征？
提示 双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1.
(2)类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2分母的大小来判断双曲线焦点的位置吗？
提示 双曲线焦点的位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分．
(3)双曲线方程中a与b，c的关系是怎样的？
提示 a与b的大小关系不确定，a探究2：通过对下列问题的探究，明确确定双曲线标准方程的关键．
(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么？
提示 确定参数a，b的值．
(2)求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？
提示 关键是先确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏.
设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为
A．6 B．12 C．12 D．24
【自主解答】 如图所示，
∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
【答案】 B
●规律总结
双曲线中的焦点三角形
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
(1)定义：|r1－r2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
1．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于
A．24 B．36 C．48 D．96
解析 ∵a＝3，b＝4，∴c＝5，
又|PF2|＝|F1F2|，
∴|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|F1F2|＝2a，
∴|PF1|－10＝6，∴|PF1|＝16，|PF2|＝10，
由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝，
∴sin ∠F1PF2＝，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝48.
答案 C
(1)与椭圆＋＝1有共同焦点且过点(3，)的双曲线的标准方程为_____________________________________________．
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程．
①a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
②a＝4，经过点A.
【自主解答】 (1)椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝20.又双曲线过点(3，)，所以－＝1.
综上可得a2＝20－2，b2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)①设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为a＝4，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
②若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入得－＝1.
因为点A在双曲线上，所以－＝1，
由此得b2<0，不合题意舍去．
若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，同理解得b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 (1)－＝1 (2)见自主解答
●规律总结
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2．(1)已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0，6)，且经过点(2，－5)，求该双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线经过点P(3，2)和点Q(－6，7)，求该双曲线的标准方程．
解析 (1)设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有，解得.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
又双曲线过P、Q两点，∴，解得.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________．
【解析】 由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2，根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.
【答案】
●规律总结
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，则当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
3．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，求k的值．
解析 由8kx2－ky2＝8，得－＝1，由于一个焦点坐标为(0，3)，故方程可化为－＝1，k<0，且－－＝9.得k＝－1.
易错误区(五) 双曲线的定义理解中的误区
已知定点A(－3，0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】 设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4.则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，所以|MC|＝|MA|＋|BC|，即|MC|－|MA|＝|BC|＝4<|AC|.
所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.
所以所求圆心M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹方程．
解析 设动圆M的半径为r，∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.从而可知|MC2|－|MC1|＝1<|C1C2|.
因此，点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，且有a＝，c＝1，b2＝c2－a2＝.
故所求的双曲线的方程为4y2－＝1.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知定点A、B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析 由于点P满足到两定点距离之差为常数(常数小于|AB|)，因此点P的轨迹是双曲线的一支．
答案 B
2．(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.
答案 B
3．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
解析 由双曲线的定义知点P的轨迹为双曲线的一支．由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.
∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．
答案 D
4．k＞1，关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析 原方程可化为－＝1.
∵k＞1，∴k2－1＞0，1＋k＞0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
答案 C
5．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 A
6．过双曲线－＝1的左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是
A．20 B．25 C．28 D．30
解析 ∵a2＝16，a＝4，|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝6，
|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝8，
∴△ABF2的周长＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝(8＋|AF1|)＋(8＋|BF1|)＋|AB|＝16＋2|AB|
＝28.故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析 由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案 16
8．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是_____________________________________________________．
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
c2＝9－4＝5，c＝且焦点在x轴上．
由题意知，所求双曲线焦点在x轴上，且c＝，＝.
∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5－4＝1.
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析 如图，过点M作MA⊥x轴于点A.
∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.
又∵F2(4，0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，
∴|MF2|＝＝4.
答案 4
三、解答题(共35分)
10．(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；
(2)a＝5，c＝7；
(3)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P.
解析 (1)由题设可知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点坐标是(0，6)．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，得a＝4，则b2＝c2－a2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由题设知a＝5，c＝7，则b2＝c2－a2＝24.
故所求双曲线的标准方程是－＝1或－＝1.
(3)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5，0)，A2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，
即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
11．(10分)如图，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．
解析 由题意可设双曲线的标准方程为－＝1.
由于||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12.
又c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
12．(10分)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解析 设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
因为PF1⊥PF2，所以·＝0，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，整理，得
x＋y＝25.①
又因为P(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
§2.2.2 双曲线的简单几何性质
[课标解读]
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、易错点)
1．双曲线的几何性质(完成下表)
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
焦点
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)、A2(a，0)
A1(0，－a)、A2(0，a)
焦距
|F1F2|＝2c(a2＋b2＝c2)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形
渐近线
±＝0
±＝0
离心率
e＝(e>1)
2.等轴双曲线
(1)实轴和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
知识点一 双曲线的范围，对称性，顶点
探究1：观察图示，探究下面问题．
(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？
提示 有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a，或x≤－a.
(2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？
提示 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心．
探究2：完成下列问题，明确双曲线的顶点具有的特点．
(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？为什么？
提示 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．
(2)双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？
提示 有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．
知识点二 双曲线的渐近线和离心率
探究1：研究双曲线－＝1的方程，并探究下列问题．
(1)在位于第一象限内的双曲线上找一点M，点M的横坐标xM与它到直线－＝0的距离d有什么关系？
提示 设M(xM，yM)(xM>0，yM>0)，由点到直线的距离可得d＝，又有－＝1，所以d＝＝＝.
所以点M向远处运动，随着xM增大，d就逐渐减小．
(2)d能否为0？这说明什么？
提示 不能．若d＝0，则双曲线与直线－＝0相交．设交点坐标为M(x0，y0)，则－＝0，又－＝＝0≠1，
所以点M不在双曲线上，所以d≠0.
这说明双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．
探究2：观察图形，探究下列问题．
(1)能不能用a，b表示双曲线的离心率？
提示 能．e＝＝＝ .
(2)双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小？
提示 由于e＝，所以＝ ＝，因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．离心率越大，开口越开阔；离心率越小，双曲线开口越扁狭．
求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标和渐近线方程．
【自主解答】 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)
化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，半实轴长a＝，半虚轴长b＝，c＝，焦点坐标，(－，0)，
离心率e＝＝＝ .
顶点坐标为(－，0)，(，0)．
∴渐近线的方程为y＝± x＝±x.
●规律总结
根据双曲线方程研究其性质的基本思路
(1)将双曲线的方程转化为标准形式．
(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c的值．
(3)根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等．
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解析 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
题型二 利用双曲线的几何性质求其标准方程
(1)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线过点P(－3，4)，它的渐近线方程为y＝±x.
①求双曲线的标准方程；
②设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝55，求∠F1PF2的余弦值．
【自主解答】 (1)根据双曲线的性质求标准方程．
∵e＝＝，F2(5，0)，∴c＝5，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得解得a2＝9，b2＝16.
所以双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得：无解．
故双曲线的方程为－＝1.
②由双曲线定义：||PF1|－|PF2||＝6.在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2＝
＝
＝，
所以cos∠F1PF2＝.
【答案】 (1)C (2)见自主解答
●规律总结
巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ(4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
2．已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0.
(1)若双曲线过点P(，2)，求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的焦距是2，求双曲线的标准方程．
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±＝0.
设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
(1)因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，
所以λ＝－.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若λ>0，则a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.
由题设2c＝2，则λ＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
若λ<0，则a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ，
由题设2c＝2，则λ＝－1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1
(1)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
(2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【解析】 (1)不妨设F(－c，0)，PF的中点为(0，b)．
由中点坐标公式可知P(c，2b)．又点P在双曲线上，则－＝1 ，故＝5，即e＝＝.
(2)设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
【答案】 (1) (2)见解析
●规律总结
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案 2
规范解答(五) 与双曲线有关的综合问题
(12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|.求直线l的方程．
【审题流程】
―→
―→一个方程：双曲线C的方程
两个数量：离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为
―→对于a，b的值，可由＝3及距离为，列出方程求解，然后再借助于|AF1|＝|BF1|，求出k的值
【规范解答】
(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.(2分)
将y＝2代入上式，求得x＝± .(3分)
由题设知，2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(4分)
(2)由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.(6分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，
x1＋x2＝，
x1·x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.(10分)
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，
即x1＋x2＝－，故＝－.解得k＝±.
故直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.(12分)第三步，由根与系数的关系及|AF1|＝|BF1|求出k的值
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点P(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
解析 (1)由e＝可得＝，所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1，将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程?
(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
解得－1所以k的取值范围为∪∪.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析 由双曲线的性质利用排除法求解．
由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
答案 C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 ∵mx2＋y2＝1是双曲线，
∴m＜0，且其标准方程为y2－＝1.
又∵其虚轴长是实轴长的2倍，
∴－＝4，即m＝－.故选A.
答案 A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析 由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知解得故所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案 D
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A.
答案 A
5．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是
A．(－10，0) B．(－12，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
解析 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k.
∴e2＝＝＝1－.
又e∈(1，2)，∴1<1－<4，∴－12答案 B
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是－＝1.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．双曲线－y2＝1的焦距是____________，渐近线方程是____________．
解析 先由双曲线的标准方程确定焦点位置及a，b，c的值，再根据公式作答．由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，
∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，
∴焦距＝2c＝2，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
答案 2 y＝±x
8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析 由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案 2
9．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为____________________________________________．
解析 解法一 设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，)求解．
∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
解法二 ∵渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．
解析 由椭圆＋＝1，得a′2＝16，b′2＝9，c′2＝a′2－b′2＝7，
所以，a′＝4，c′＝，故椭圆离心率为e1＝＝.
因为双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，所以双曲线的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e2＝＝，
所以，a＝2，b2＝c2－a2＝7－4＝3.
所以双曲线的方程为－＝1.
11．(10分)焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．
解析 由已知可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以两条渐近线为y＝±x.
因为两条渐近线的夹角为，故分两种情况，
即y＝x的倾斜角为或.
当y＝x的倾斜角为时，
所以＝tan ＝，所以＝，即a2＝3b2.
又2c＝12，所以c＝6.由c2＝a2＋b2，得b2＝9，a2＝27.
所以双曲线方程为－＝1，e＝＝＝.
当y＝x的倾斜角为时，所以＝tan ＝，所以b2＝3a2.
又2c＝12，所以c＝6.
由c2＝a2＋b2，得a2＝9，b2＝27.
所以双曲线方程为－＝1，e＝＝＝2.
12．(15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解析 (1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，
y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.
§2.3 抛物线
§2.3.1 抛物线及其标准方程
[课标解读]
1．掌握抛物线的定义及四种标准方程．(重点)
2．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义．(易混点)
3．会根据抛物线标准方程求该抛物线的焦点坐标、准线方程，并会求抛物线的标准方程．(重点、难点)
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：定点F叫作抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫作抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px (p>0)
x＝
x2＝2py (p>0)
y＝－
x2＝－2py (p>0)
y＝
知识点一 抛物线的定义
探究1：观察图示，根据抛物线的定义探究以下问题：
(1)抛物线的定义中规定直线l不经过点F，若直线l经过点F，那么动点的轨迹是什么图形？
提示 动点的轨迹是过点F与直线l垂直的一条直线．
(2)物理学中和前面的数学学习中的抛物线分别是怎样的定义？
提示 在物理学中，抛物线被认为是斜抛物体的运动轨迹；前面的数学学习中抛物线是二次函数的图像．
探究2：在用直尺、三角板与细绳画抛物线的实验中，若增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试．这说明了什么？
提示 随着点F到直尺L的距离逐渐增大，曲线的开口由小变大；若缩小点F到直尺L的距离，曲线的开口由大变小．
知识点二 抛物线的标准方程
探究1：结合轨迹方程的求法，根据不同的建系要求完成各题，明确不同建系标准对抛物线方程的影响以及抛物线标准方程的特征．
(1)以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方程为：y2＝2px－p2(p>0)．
(2)以F为原点，过F且垂直于定直线L的直线为x轴(如图2)，此时可得方程：y2＝2px＋p2(p>0)．
(3)以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴(如图3)，此时可得方程：y2＝2px(p>0)．
(4)如果以KF的中点为原点，KF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，可得方程：x2＝2py(p>0)．
探究2：根据抛物线的标准方程，探究以下问题：
(1)抛物线的开口方向与哪个量有关系？
提示 与一次项及其系数的正负有关系．
(2)抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？
提示 焦点到准线的距离．
(3)要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？
提示 确定焦点的位置及2p的值.
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
【自主解答】 (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
●规律总结
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，需注意p>0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
1．(1)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．
(2)指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
①y＝x2.
②x＝ay2(a≠0)．
解析 (1)圆x2＋y2－6x－7＝0可化为(x－3)2＋y2＝16，所以圆心为(3，0)，半径为4，因抛物线y2＝2px(p>0)的准线x＝－与圆相切，故＝4，得p＝2或p＝－14(舍)，所以准线方程为x＝－1.
(2)①抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0，1)，准线方程是y＝－1.
②抛物线x＝ay2(a≠0)的标准形式为y2＝x，所以2p＝.
当a>0时，＝，抛物线开口向右，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－；
当a<0时，＝－，抛物线开口向左，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
答案 (1)x＝－1 (2)见解析
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)以坐标轴为对称轴，且过点A(2，3)；
(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
【自主解答】 (1)由题意，方程可设为y2＝mx或x2＝ny，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.
∴所求的抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
(2)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
●规律总结
求抛物线标准方程的方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
2．根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线为y＝－1；
(2)焦点到准线的距离是4；
(3)过点(1，2)．
解析 (1)焦点在y轴正半轴上，＝1，即p＝2，
故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)p＝4，故抛物线的标准方程有四种形式：
y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(3)点(1，2)在第一象限，分两种情形：
当抛物线焦点在x轴上时，
设其方程为y2＝2px(p＞0)，则22＝2p·1，
解得p＝2，此时抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线焦点在y轴上时，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
则12＝2p·2，解得p＝，
此时抛物线的标准方程为x2＝y.
(1)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________．
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
【解析】 (1)取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP|＝10，所以点A的坐标是(10，12)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，所以p＝7.2.
所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)．因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm.
(2)如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)．
【答案】 (1)3.6 cm (2)见解析
●规律总结
求解抛物线实际应用题的五个步骤
3．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三条边围成，尺寸如图所示(单位：m)，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？并说明理由．
解析 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A(－3，－3)，B(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点坐标代入，得9＝－2p·(－3)，∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)．
则x＝，∴x0＝± ＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，
故此车不能通过隧道.
设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
【解析】 y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
[易错防范]
本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解．
边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析 当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．∵A，∴＝p，即p＝.∴y2＝x.
同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为
y2＝－x.
答案 C
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是
A．x＝ B．x＝
C．y＝2 D．y＝4
解析 抛物线y＝－x2的方程可化为x2＝－8y，所以其准线方程为y＝2.
答案 C
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案 C
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程为
A．x2＝12y B．y2＝12x
C．x2＝4y D．x2＝6y
解析 由题意知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹方程为x2＝12y.
答案 A
4．抛物线y2＝ax的焦点与双曲线－y2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
解析 ∵－y2＝1的左焦点为(－2，0)，
∴抛物线开口向左，∴a＜0，且p＝＝4.∴a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝－8x.故选D.
答案 D
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
A. B．1 C．2 D．4
解析 ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
答案 C
6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为
A. B.
C．(1，2) D．(1，－2)
解析 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S、P、Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.
答案 2
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析 根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案
9．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)．
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案 ②④
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解析 设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F，由题意可得解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x.∴m的值为±2.
11．(10分)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程．
解析 因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，所以△BFD为等腰直角三角形，故斜边|BD|＝2p，
又点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝p，
所以S△ABD＝4＝|BD|×d＝×2p×p，所以p＝2.所以圆F的圆心为(0，1)，半径r＝|FA|＝2，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
12．(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．
解析 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则其准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8，即
x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，
所以|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
§2.3.2 抛物线的简单几何性质
[课标解读]
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(重点)
2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．(难点)
3．会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及焦点弦、中点弦等问题．(重点，难点)
抛物线的几何性质(完成下表)
类型
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图像
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
x＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
知识点 抛物线的几何性质
探究1：观察下列图形，探究以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
提示 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
提示 由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.
所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
探究2：观察下面表格，探究以下问题：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
(1)抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？
提示 抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线．
(2)观察表中抛物线图像上点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小．
提示 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1.
(3)观察图形，分析抛物线的顶点坐标，以及对称性分别是什么？
提示 ①所有抛物线的标准形式都有顶点(0，0)．②焦点在x轴上时抛物线图像关于x轴对称，焦点在y轴上时抛物线图像关于y轴对称．
已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
【自主解答】 如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，－y0)，
又F是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，∴y＝x0，
又y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.
因此直线AB的方程为x＝.
●规律总结
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．
1．(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
解析 如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝(x0－1)，所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，
将此代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝(舍)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
(2)如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y＝2px1，y＝2px2.
又因为|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.
所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＋x2＋2p≠0，所以x1＝x2.
即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，
所以AB⊥x轴，
所以y1＝x1tan 30°＝x1.
又因为x1＝，所以y1＝2p.
而|AB|＝2y1＝4p即为所求边长．
答案 (1)4 (2)见解析
过点(－3，2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【自主解答】 显然，直线斜率k存在，设直线方程为
y－2＝k(x＋3)，
由消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根，所以即解得k＝或k＝－1.
则直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为y＝2或x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
●规律总结
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛
2.1.1 椭圆及其标准方程
[课标解读]
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．(难点)
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．(重点、易错点)
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
知识点一 椭圆的定义
探究1：通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识．
(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？
提示 得到一个椭圆．
(2)如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？
提示 当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平．
(3)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
提示 不能．
探究2：根据探究1中对椭圆的认识及椭圆的定义探讨以下问题：
(1)椭圆的定义中为什么要强调在平面内？
提示 去掉平面的限制后得到的是椭球体．
(2)如果已知椭圆方程及椭圆上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？
提示 能，根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为常数，如果已知椭圆上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)．
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
探究1：椭圆标准方程的推导过程遵循了求轨迹方程的哪些基本步骤，请完成下列填空．
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件P(m)；
(3)用坐标表示条件P(m)，列出方程；
(4)化方程为最简形式．
探究2：推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？
提示 将两个根号分开即移项，先变成＝2a－，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)．
探究3：通过下列问题的探讨，进一步认识椭圆的标准方程．
(1)确定椭圆标准方程的关键是什么？
提示 确定参数a，b的值．
(2)求椭圆的标准方程时，设出椭圆方程的关键是什么？
提示 关键是先确定焦点的位置，若椭圆的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，不能遗漏．
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
因为a>b>0，所以无解．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
●规律总结
1．求椭圆方程的方法
方法
内容
适合题型或条件
定义法
分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程
动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a>|AB|
待定系数法
由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数
①已知椭圆上的点的坐标
②已知焦点坐标或焦点间距离
2.椭圆方程的设法技巧
若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解析 (1)解法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
即a2＝4，b2＝8，则a2
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二 设椭圆的一般方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝30°.求△PF1F2的面积．
【自主解答】 由已知可得a＝2，c＝1.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
且|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得：
4＝(|PF1|＋|PF2|)2－(＋2)|PF1|·|PF2|
即4＝42－(＋2)|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝＝12(2－)．
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝6－3.
●规律总结
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
解析 ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.
题型三 根据椭圆的标准方程求参数取值范围
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围为________．
(2)椭圆＋＝1中a＝2c，则k的值为________．
【解析】 (1)原方程可化为＋＝1，因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得0
若焦点在y轴上，则a2＝9，b2＝k＋8，
又因为a＝2c，所以＝1－＝.
即＝，所以k＝－，所以k的值是4或－.
【答案】 (1)(0，1) (2)4或－
●规律总结
根据椭圆标准方程求参数取值问题的解题方法
(1)确定焦点的位置，从而可以得a2，b2的值．
(2)焦点不确定时，要进行分类讨论，分别求值．
(3)注意排除a2＝b2，方程表示圆的情况．
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
解析 由题意即
∴－6＜a＜－2或a＞3.
答案 D
若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是________．
解析 由方程＋＝1表示椭圆，知解得m>且m≠1.
答案
[易错防范]
1．遗漏条件m≠2m－1，易得出错误答案m>.
2．必须明确形如方程＋＝1表示椭圆、圆的条件，如本例中，方程表示椭圆，首先应满足A≠B，其次应有A>0，B>0，事实上，当A＝B时，方程表示的曲线为圆而非椭圆．
已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
解析 由于椭圆的焦点在y轴上，所以a2＝|m|－1，
b2＝5－2m且a2＞b2，故
解之得2＜m＜，∴m的取值范围是：2＜m＜.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2.
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
答案 D
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
A．4 B．5 C．8 D．10
解析 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
答案 D
3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，
因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．
答案 C
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
A．2 B．6 C．4 D．12
解析 由椭圆的方程可得a＝，由椭圆定义可知，△ABC的周长是4a＝4，故选C.
答案 C
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案 B
6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于
A. B. C. D．4
解析 如图所示，由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是________．
解析 由3kx2＋ky2＝1，得＋＝1.
∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，则c＝4，
∴a2＝，b2＝，
∴c2＝－＝＝16，∴k＝.
答案
8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析 如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
9．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．
解析 由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)．
因为∠F1PF2为直角，所以·＝0，
即x＋y＝4，①
又＋y＝1，②
①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.
答案 ±
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1⊥F1F2，
|EF1|＝，|EF2|＝，求椭圆C的方程．
解析 因为点E在椭圆C上，
所以2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝6，即a＝3.
在Rt△EF1F2中，
|F1F2|＝＝＝2，
所以椭圆C的半焦距c＝.
因为b＝＝＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
11．(10分)已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解析 (1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|.
所以122＝202－3|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝＝＝.
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝.
所以△F1PF2的面积为.
12．(15分)已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.试求
(1)椭圆的方程；
(2)求sin∠PF1F2的值．
解析 (1)因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·yP＝80，
所以|PF1|·|PF2|＝160，
又|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝4，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
§2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[课标解读]
1．理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴长、短轴长．(重点)
2．掌握椭圆的离心率e以及a、b、c的几何意义．(难点)
1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)
A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2.椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响
椭圆的离心率越接近于1 ，则椭圆越扁；
椭圆离心率越接近于0 ，则椭圆越接近于圆．
知识点一 椭圆的范围，对称点，顶点
探究1：观察下列图形，回答以下几个问题：
(1)已和椭圆方程讨论椭圆性质时，首先要关注椭圆的方程要满足什么形式？
提示 先看椭圆方程是否是标准形式，若不是标准形式要先化成标准形式．
(2)观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？
提示 由≤1，≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b.
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？
提示 a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|.
探究2：观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆，探究下列问题，明确椭圆的几何特征．
(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？
提示 相同点：两图长轴长与短轴长分别相等；
不同点：长轴与短轴所在位置不同．
(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？
提示 椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线．
知识点二 椭圆的离心率
探究1：观察图形，思考以下问题，明确椭圆离心率的实际意义．
(1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？
提示 发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同．
(2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？
提示 椭圆的离心率．
探究2：根据椭圆离心率的定义，探究以下问题，认识椭圆离心率对椭圆形状的影响．
(1)在a不变的情况下，随c的变化椭圆的形状如何变化的？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？
提示 ①a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁平．
②c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁平．
(2)当同时改变a，c的值时椭圆的形状随的变化是如何变化的？
提示 ①的值越大，椭圆越扁平；
②的值越小，椭圆越圆；
③的值不变，椭圆形状不变．
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
【自主解答】 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞，
即a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝，
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标分别为F1，F2；
四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
●规律总结
椭圆中基本量的计算方法
(1)根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，从而准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关性质．
(2)在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；而有些则是与焦点所在坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置．
1．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标．
解析 椭圆方程可化为x2＋＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24，
∴c＝2，a＝5，b＝1，
∴长轴长为10，短轴长为2，焦点为(0，±2)，顶点坐标为(±1，0)，(0，±5)．
(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【自主解答】 c＝1，＝，∴a＝2，则b2＝a2－c2＝3，故C的方程为：＋＝1.
【答案】 D
(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，求椭圆的标准方程．
【自主解答】 设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形．
OF为斜边A1A2上的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
●规律总结
利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项
(1)基本步骤
(2)注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
解析 (1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
则b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
【解析】 直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.
∴A，B.
∴kBF1＝＝＝－.
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)．
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，∴b2＝2ac，
即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝.
∵e＞0，∴e＝＝＝.
【答案】
●规律总结
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
A．1－ B．2－
C. D.－1
解析 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.
答案 D
(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为(其中c2＝a2－b2)，求椭圆离心率e的取值范围．
【审题流程】
―→
―→一个方程：椭圆M的方程已知
一个关系：|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为
―→求解e的取值范围，由点P在椭圆上可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又知|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围，可将e与|PF1|·|PF2|联系起来
【规范解答】
因为P是椭圆上一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a.(2分)
所以2a＝|PF1|＋|PF2|≥2，即
|PF1|·|PF2|≤＝＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．(6分)
所以c2≤a2≤3c2，所以≤≤2，所以≤e2≤2.
因为e>0，所以≤e≤.(10分)
又因为0
解析 设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：＋y2＝，所以y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0
又∵0
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆x2＋6y2＝6的焦点坐标为
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
解析 椭圆的标准方程为＋y2＝1.
∴a2＝6，b2＝1.于是c＝＝，又焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案 C
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由2a＝18，得a＝9.
又a－c＝2c，则c＝3.于是b2＝a2－c2＝81－9＝72.
故椭圆的方程为＋＝1.
答案 A
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
答案 D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
解析 ∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，
∴e＝＝.
答案 D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为
A. B. C. D.
解析 a2＝2，b2＝m.故c2＝2－m.
∴e2＝＝＝.∴m＝.
答案 D
6．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
解析 解法一 将x＝－c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|＝，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.
解法二 设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．椭圆焦点在x轴上，O为坐标原点，A是一个顶点，F是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos ∠OFA＝，椭圆的标准方程是________．
解析 如图，∵椭圆长轴长为6，∴|AF|＝3，
∴cos ∠OFA＝＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0＜e≤，则长轴长的取值范围为________．
解析 由e2＝＝＝1－，得0＜1－≤，从而－1＜－≤－.
于是1＜a2≤4.故1＜a≤2，即2＜2a≤4.
答案 (2，4]
9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析 由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
答案 6
三、解答题(共35分)
10．(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，
由＝得a＝2b.
|PM|2＝x2＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
若0
若b≥，则当y＝－时，4b2＋3＝7，b2＝1，
从而a2＝4.
所求方程为＋y2＝1.
11．(10分)已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝.
(1)求椭圆方程；
(2)若P是椭圆上的点，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解析 (1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4及|PF1|－|PF2|＝1知|PF1|＝，|PF2|＝，
又|F1F2|＝2c＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝.
12．(15分)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析 解法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为，
△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
解法二 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则M，
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
已知椭圆C：＋＝1，一个顶点为A(0，2)．
(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方程；
(2)若椭圆C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且|AM|＝|AN|，求m的取值范围．
【自主解答】 (1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
所以|AM|＝|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：＋＝1得：＋＝1，①
＋＝1，②
用①减去②得：＝，
所以k＝＝－×，再由垂直平分线的性质得－＝＝，所以＝，
所以y1＋y2＝－2，所以x1＋x2＝－3k(y1＋y2)＝6k，
故MN的中点(3k，－1)．
把y＝kx＋m代入椭圆C：＋＝1得，(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以x1＋x2＝6k＝，所以m＝－(1＋3k2)，所以－mx2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由题意知，判别式大于0，即36k2m2＋4m(3m2－12)>0，m(m－4)<0，所以0
直线与椭圆位置关系的判断方法
1．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
解析 由消去y，得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求线段AB的长及线段AB中点坐标．
【自主解答】 ∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，
∴直线l方程y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝ ＝
＝ ＝，即弦AB的长为.
设AB中点为M(x0，y0)，
∴x0＝＝，y0＝x0－＝－＝－.
故中点坐标为.
●规律总结
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
2．已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
解析 (1)设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b＝4，又由＝，解得a＝4，b＝2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y，得5x2＋2mx＋m2－16＝0，
由题意，得Δ＝(2m)2－20(m2－16)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为|AB|＝＝|x1－x2|＝·＝，
所以－＝，解得m＝±2，验证知Δ>0成立，
所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x－y－2＝0.
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
【解析】 (1)由题意知2a＝4，则a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2。
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*)
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积
S＝|m||x1－x2|＝
＝＝2.
设＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知0
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由①知，△ABQ的面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.
●规律总结
解椭圆综合问题的常用技巧
椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其他章节知识结合考查，如不等式、三角函数以及平面向量等．解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化的思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧．
3．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解析 (1)设椭圆的焦距为2c，
由已知有＝.
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由|AB|＝＝，
从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，
可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，可得x1＝.
由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，
两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－，或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
所以，k的值为－.
规范解答(四) 直线与椭圆的综合问题
(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【审题流程】
―→
―→(1)由顶点A(2，0)，e＝求a，b的值．
(2)由椭圆与直线方程得关于x的一元二次方程，利用弦长求|MN|，再利用点到直线距离公式可得三角形的高，从而表示出面积
―→(1)顶点、离心率→确定a，b的值→椭圆方程．
(2)直线和椭圆方程→关于x的一元二次方程→x1，x2关系→弦长|MN|→点A到直线距离→三角形面积→k的值
【规范解答】
(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.(2分)
由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.(4分)
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.(5分)
所以|MN|＝
＝
＝.(7分)
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，(9分)
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.(10分)
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.(12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
求证：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解析 (1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
所以kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为
A．10 B．12 C．16 D．18
解析 ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
答案 B
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．故选A.
答案 A
3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|＝
A．4 B．2 C．1 D．4
解析 ∵＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
∴c2＝3，∴F2(，0)，
将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，
故|AB|＝1.
答案 C
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析 表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．
不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2)．
由，得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.
令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，
∴kmin＝－，即的最小值为－.
答案 C
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝
A. B．2 C. D．3
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.
答案 A
6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析 依题意＞2，∴＜2.
即m2＋n2＜4
∴＋＜＋＜1
故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．
解析 由消去y，
得3x2＋4x－2＝0.
设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
中点坐标为(x中，y中)，
则x1＋x2＝－，
∴x中＝－.
从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，
∴中点坐标为.
答案
8．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于________．
解析 不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
由
消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋1
＝－＋1＝－.
答案 －
9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析 易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，
∴||min＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解析 (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
11．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解析 (1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由消y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，
∴－2＜m＜2.
∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴＋＝1，∴m＝±.
∴m的值为±.
12．(15分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，
求证：MN⊥AB.
解析 (1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
§2.2 双曲线
§2.2.1 双曲线及其标准方程
[课标解读]
1．掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点、易混点)
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题．(重点)
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点F1，F2．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c关系
c2＝a2＋b2
知识点一 双曲线定义
探究1：通过下列问题的处理，体会双曲线的形成过程．
(1)若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？
提示 双曲线．
(2)如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？
提示 点M在右支上时，|MF1|>|MF2|，若点M在左支上时，|MF1|<|MF2|.
探究2：双曲线定义如同椭圆一样，规定了参数与两定点之间距离的大小关系，探究下面问题，体会此规定的原因．
(1)若0
(2)若a＝c，动点M的轨迹又是什么？
提示 两条射线．
(3)若a＝0，动点M的轨迹又是什么？
提示 线段F1F2的中垂线．
(4)若a>c，动点M的轨迹又是什么？
提示 不存在．
知识点二 双曲线的标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
探究1：观察双曲线的标准方程，探究下列问题，明确双曲线标准方程的特点．
(1)双曲线的标准方程左右两侧各具有怎样的结构特征？
提示 双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1.
(2)类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2分母的大小来判断双曲线焦点的位置吗？
提示 双曲线焦点的位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分．
(3)双曲线方程中a与b，c的关系是怎样的？
提示 a与b的大小关系不确定，a
(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么？
提示 确定参数a，b的值．
(2)求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？
提示 关键是先确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏.
设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为
A．6 B．12 C．12 D．24
【自主解答】 如图所示，
∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
【答案】 B
●规律总结
双曲线中的焦点三角形
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
(1)定义：|r1－r2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
1．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于
A．24 B．36 C．48 D．96
解析 ∵a＝3，b＝4，∴c＝5，
又|PF2|＝|F1F2|，
∴|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|F1F2|＝2a，
∴|PF1|－10＝6，∴|PF1|＝16，|PF2|＝10，
由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝，
∴sin ∠F1PF2＝，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝48.
答案 C
(1)与椭圆＋＝1有共同焦点且过点(3，)的双曲线的标准方程为_____________________________________________．
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程．
①a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
②a＝4，经过点A.
【自主解答】 (1)椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝20.又双曲线过点(3，)，所以－＝1.
综上可得a2＝20－2，b2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)①设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为a＝4，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
②若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入得－＝1.
因为点A在双曲线上，所以－＝1，
由此得b2<0，不合题意舍去．
若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，同理解得b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 (1)－＝1 (2)见自主解答
●规律总结
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2．(1)已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0，6)，且经过点(2，－5)，求该双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线经过点P(3，2)和点Q(－6，7)，求该双曲线的标准方程．
解析 (1)设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有，解得.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
又双曲线过P、Q两点，∴，解得.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________．
【解析】 由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2，根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.
【答案】
●规律总结
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，则当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
3．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，求k的值．
解析 由8kx2－ky2＝8，得－＝1，由于一个焦点坐标为(0，3)，故方程可化为－＝1，k<0，且－－＝9.得k＝－1.
易错误区(五) 双曲线的定义理解中的误区
已知定点A(－3，0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】 设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4.则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，所以|MC|＝|MA|＋|BC|，即|MC|－|MA|＝|BC|＝4<|AC|.
所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.
所以所求圆心M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹方程．
解析 设动圆M的半径为r，∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.从而可知|MC2|－|MC1|＝1<|C1C2|.
因此，点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，且有a＝，c＝1，b2＝c2－a2＝.
故所求的双曲线的方程为4y2－＝1.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知定点A、B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析 由于点P满足到两定点距离之差为常数(常数小于|AB|)，因此点P的轨迹是双曲线的一支．
答案 B
2．(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.
答案 B
3．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
解析 由双曲线的定义知点P的轨迹为双曲线的一支．由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.
∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．
答案 D
4．k＞1，关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析 原方程可化为－＝1.
∵k＞1，∴k2－1＞0，1＋k＞0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
答案 C
5．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 A
6．过双曲线－＝1的左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是
A．20 B．25 C．28 D．30
解析 ∵a2＝16，a＝4，|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝6，
|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝8，
∴△ABF2的周长＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝(8＋|AF1|)＋(8＋|BF1|)＋|AB|＝16＋2|AB|
＝28.故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析 由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案 16
8．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是_____________________________________________________．
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
c2＝9－4＝5，c＝且焦点在x轴上．
由题意知，所求双曲线焦点在x轴上，且c＝，＝.
∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5－4＝1.
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析 如图，过点M作MA⊥x轴于点A.
∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.
又∵F2(4，0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，
∴|MF2|＝＝4.
答案 4
三、解答题(共35分)
10．(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；
(2)a＝5，c＝7；
(3)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P.
解析 (1)由题设可知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点坐标是(0，6)．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，得a＝4，则b2＝c2－a2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由题设知a＝5，c＝7，则b2＝c2－a2＝24.
故所求双曲线的标准方程是－＝1或－＝1.
(3)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5，0)，A2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，
即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
11．(10分)如图，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．
解析 由题意可设双曲线的标准方程为－＝1.
由于||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12.
又c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
12．(10分)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解析 设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
因为PF1⊥PF2，所以·＝0，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，整理，得
x＋y＝25.①
又因为P(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
§2.2.2 双曲线的简单几何性质
[课标解读]
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、易错点)
1．双曲线的几何性质(完成下表)
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
焦点
F1(－c，0)、F2(c，0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)、A2(a，0)
A1(0，－a)、A2(0，a)
焦距
|F1F2|＝2c(a2＋b2＝c2)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形
渐近线
±＝0
±＝0
离心率
e＝(e>1)
2.等轴双曲线
(1)实轴和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
知识点一 双曲线的范围，对称性，顶点
探究1：观察图示，探究下面问题．
(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？
提示 有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a，或x≤－a.
(2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？
提示 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心．
探究2：完成下列问题，明确双曲线的顶点具有的特点．
(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？为什么？
提示 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．
(2)双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？
提示 有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．
知识点二 双曲线的渐近线和离心率
探究1：研究双曲线－＝1的方程，并探究下列问题．
(1)在位于第一象限内的双曲线上找一点M，点M的横坐标xM与它到直线－＝0的距离d有什么关系？
提示 设M(xM，yM)(xM>0，yM>0)，由点到直线的距离可得d＝，又有－＝1，所以d＝＝＝.
所以点M向远处运动，随着xM增大，d就逐渐减小．
(2)d能否为0？这说明什么？
提示 不能．若d＝0，则双曲线与直线－＝0相交．设交点坐标为M(x0，y0)，则－＝0，又－＝＝0≠1，
所以点M不在双曲线上，所以d≠0.
这说明双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．
探究2：观察图形，探究下列问题．
(1)能不能用a，b表示双曲线的离心率？
提示 能．e＝＝＝ .
(2)双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小？
提示 由于e＝，所以＝ ＝，因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．离心率越大，开口越开阔；离心率越小，双曲线开口越扁狭．
求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标和渐近线方程．
【自主解答】 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)
化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，半实轴长a＝，半虚轴长b＝，c＝，焦点坐标，(－，0)，
离心率e＝＝＝ .
顶点坐标为(－，0)，(，0)．
∴渐近线的方程为y＝± x＝±x.
●规律总结
根据双曲线方程研究其性质的基本思路
(1)将双曲线的方程转化为标准形式．
(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c的值．
(3)根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等．
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解析 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
题型二 利用双曲线的几何性质求其标准方程
(1)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线过点P(－3，4)，它的渐近线方程为y＝±x.
①求双曲线的标准方程；
②设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝55，求∠F1PF2的余弦值．
【自主解答】 (1)根据双曲线的性质求标准方程．
∵e＝＝，F2(5，0)，∴c＝5，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得解得a2＝9，b2＝16.
所以双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得：无解．
故双曲线的方程为－＝1.
②由双曲线定义：||PF1|－|PF2||＝6.在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2＝
＝
＝，
所以cos∠F1PF2＝.
【答案】 (1)C (2)见自主解答
●规律总结
巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ
(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
2．已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0.
(1)若双曲线过点P(，2)，求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的焦距是2，求双曲线的标准方程．
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±＝0.
设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
(1)因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，
所以λ＝－.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若λ>0，则a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.
由题设2c＝2，则λ＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
若λ<0，则a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ，
由题设2c＝2，则λ＝－1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1
(1)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
(2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【解析】 (1)不妨设F(－c，0)，PF的中点为(0，b)．
由中点坐标公式可知P(c，2b)．又点P在双曲线上，则－＝1 ，故＝5，即e＝＝.
(2)设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
【答案】 (1) (2)见解析
●规律总结
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案 2
规范解答(五) 与双曲线有关的综合问题
(12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|.求直线l的方程．
【审题流程】
―→
―→一个方程：双曲线C的方程
两个数量：离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为
―→对于a，b的值，可由＝3及距离为，列出方程求解，然后再借助于|AF1|＝|BF1|，求出k的值
【规范解答】
(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.(2分)
将y＝2代入上式，求得x＝± .(3分)
由题设知，2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(4分)
(2)由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.(6分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，
x1＋x2＝，
x1·x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.(10分)
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，
即x1＋x2＝－，故＝－.解得k＝±.
故直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.(12分)第三步，由根与系数的关系及|AF1|＝|BF1|求出k的值
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点P(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
解析 (1)由e＝可得＝，所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1，将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程?
(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
解得－1
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析 由双曲线的性质利用排除法求解．
由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
答案 C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 ∵mx2＋y2＝1是双曲线，
∴m＜0，且其标准方程为y2－＝1.
又∵其虚轴长是实轴长的2倍，
∴－＝4，即m＝－.故选A.
答案 A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析 由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知解得故所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案 D
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A.
答案 A
5．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是
A．(－10，0) B．(－12，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
解析 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k.
∴e2＝＝＝1－.
又e∈(1，2)，∴1<1－<4，∴－12
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是－＝1.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．双曲线－y2＝1的焦距是____________，渐近线方程是____________．
解析 先由双曲线的标准方程确定焦点位置及a，b，c的值，再根据公式作答．由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，
∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，
∴焦距＝2c＝2，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
答案 2 y＝±x
8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析 由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案 2
9．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为____________________________________________．
解析 解法一 设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，)求解．
∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
解法二 ∵渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．
解析 由椭圆＋＝1，得a′2＝16，b′2＝9，c′2＝a′2－b′2＝7，
所以，a′＝4，c′＝，故椭圆离心率为e1＝＝.
因为双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，所以双曲线的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e2＝＝，
所以，a＝2，b2＝c2－a2＝7－4＝3.
所以双曲线的方程为－＝1.
11．(10分)焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．
解析 由已知可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以两条渐近线为y＝±x.
因为两条渐近线的夹角为，故分两种情况，
即y＝x的倾斜角为或.
当y＝x的倾斜角为时，
所以＝tan ＝，所以＝，即a2＝3b2.
又2c＝12，所以c＝6.由c2＝a2＋b2，得b2＝9，a2＝27.
所以双曲线方程为－＝1，e＝＝＝.
当y＝x的倾斜角为时，所以＝tan ＝，所以b2＝3a2.
又2c＝12，所以c＝6.
由c2＝a2＋b2，得a2＝9，b2＝27.
所以双曲线方程为－＝1，e＝＝＝2.
12．(15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解析 (1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，
y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.
§2.3 抛物线
§2.3.1 抛物线及其标准方程
[课标解读]
1．掌握抛物线的定义及四种标准方程．(重点)
2．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义．(易混点)
3．会根据抛物线标准方程求该抛物线的焦点坐标、准线方程，并会求抛物线的标准方程．(重点、难点)
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：定点F叫作抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫作抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px (p>0)
x＝
x2＝2py (p>0)
y＝－
x2＝－2py (p>0)
y＝
知识点一 抛物线的定义
探究1：观察图示，根据抛物线的定义探究以下问题：
(1)抛物线的定义中规定直线l不经过点F，若直线l经过点F，那么动点的轨迹是什么图形？
提示 动点的轨迹是过点F与直线l垂直的一条直线．
(2)物理学中和前面的数学学习中的抛物线分别是怎样的定义？
提示 在物理学中，抛物线被认为是斜抛物体的运动轨迹；前面的数学学习中抛物线是二次函数的图像．
探究2：在用直尺、三角板与细绳画抛物线的实验中，若增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试．这说明了什么？
提示 随着点F到直尺L的距离逐渐增大，曲线的开口由小变大；若缩小点F到直尺L的距离，曲线的开口由大变小．
知识点二 抛物线的标准方程
探究1：结合轨迹方程的求法，根据不同的建系要求完成各题，明确不同建系标准对抛物线方程的影响以及抛物线标准方程的特征．
(1)以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方程为：y2＝2px－p2(p>0)．
(2)以F为原点，过F且垂直于定直线L的直线为x轴(如图2)，此时可得方程：y2＝2px＋p2(p>0)．
(3)以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴(如图3)，此时可得方程：y2＝2px(p>0)．
(4)如果以KF的中点为原点，KF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，可得方程：x2＝2py(p>0)．
探究2：根据抛物线的标准方程，探究以下问题：
(1)抛物线的开口方向与哪个量有关系？
提示 与一次项及其系数的正负有关系．
(2)抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？
提示 焦点到准线的距离．
(3)要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？
提示 确定焦点的位置及2p的值.
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
【自主解答】 (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
●规律总结
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，需注意p>0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
1．(1)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．
(2)指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
①y＝x2.
②x＝ay2(a≠0)．
解析 (1)圆x2＋y2－6x－7＝0可化为(x－3)2＋y2＝16，所以圆心为(3，0)，半径为4，因抛物线y2＝2px(p>0)的准线x＝－与圆相切，故＝4，得p＝2或p＝－14(舍)，所以准线方程为x＝－1.
(2)①抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0，1)，准线方程是y＝－1.
②抛物线x＝ay2(a≠0)的标准形式为y2＝x，所以2p＝.
当a>0时，＝，抛物线开口向右，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－；
当a<0时，＝－，抛物线开口向左，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
答案 (1)x＝－1 (2)见解析
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)以坐标轴为对称轴，且过点A(2，3)；
(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
【自主解答】 (1)由题意，方程可设为y2＝mx或x2＝ny，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.
∴所求的抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
(2)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
●规律总结
求抛物线标准方程的方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
2．根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线为y＝－1；
(2)焦点到准线的距离是4；
(3)过点(1，2)．
解析 (1)焦点在y轴正半轴上，＝1，即p＝2，
故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)p＝4，故抛物线的标准方程有四种形式：
y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(3)点(1，2)在第一象限，分两种情形：
当抛物线焦点在x轴上时，
设其方程为y2＝2px(p＞0)，则22＝2p·1，
解得p＝2，此时抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线焦点在y轴上时，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
则12＝2p·2，解得p＝，
此时抛物线的标准方程为x2＝y.
(1)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________．
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
【解析】 (1)取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP|＝10，所以点A的坐标是(10，12)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，所以p＝7.2.
所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)．因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm.
(2)如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)．
【答案】 (1)3.6 cm (2)见解析
●规律总结
求解抛物线实际应用题的五个步骤
3．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三条边围成，尺寸如图所示(单位：m)，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？并说明理由．
解析 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A(－3，－3)，B(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点坐标代入，得9＝－2p·(－3)，∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)．
则x＝，∴x0＝± ＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，
故此车不能通过隧道.
设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
【解析】 y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
[易错防范]
本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解．
边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析 当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．∵A，∴＝p，即p＝.∴y2＝x.
同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为
y2＝－x.
答案 C
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是
A．x＝ B．x＝
C．y＝2 D．y＝4
解析 抛物线y＝－x2的方程可化为x2＝－8y，所以其准线方程为y＝2.
答案 C
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案 C
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程为
A．x2＝12y B．y2＝12x
C．x2＝4y D．x2＝6y
解析 由题意知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹方程为x2＝12y.
答案 A
4．抛物线y2＝ax的焦点与双曲线－y2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
解析 ∵－y2＝1的左焦点为(－2，0)，
∴抛物线开口向左，∴a＜0，且p＝＝4.∴a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝－8x.故选D.
答案 D
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
A. B．1 C．2 D．4
解析 ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
答案 C
6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为
A. B.
C．(1，2) D．(1，－2)
解析 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S、P、Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.
答案 2
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析 根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案
9．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)．
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案 ②④
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解析 设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F，由题意可得解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x.∴m的值为±2.
11．(10分)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程．
解析 因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，所以△BFD为等腰直角三角形，故斜边|BD|＝2p，
又点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝p，
所以S△ABD＝4＝|BD|×d＝×2p×p，所以p＝2.所以圆F的圆心为(0，1)，半径r＝|FA|＝2，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
12．(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．
解析 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则其准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8，即
x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，
所以|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
§2.3.2 抛物线的简单几何性质
[课标解读]
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(重点)
2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．(难点)
3．会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及焦点弦、中点弦等问题．(重点，难点)
抛物线的几何性质(完成下表)
类型
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图像
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
x＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
知识点 抛物线的几何性质
探究1：观察下列图形，探究以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
提示 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
提示 由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.
所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
探究2：观察下面表格，探究以下问题：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
(1)抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？
提示 抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线．
(2)观察表中抛物线图像上点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小．
提示 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1.
(3)观察图形，分析抛物线的顶点坐标，以及对称性分别是什么？
提示 ①所有抛物线的标准形式都有顶点(0，0)．②焦点在x轴上时抛物线图像关于x轴对称，焦点在y轴上时抛物线图像关于y轴对称．
已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
【自主解答】 如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，－y0)，
又F是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，∴y＝x0，
又y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.
因此直线AB的方程为x＝.
●规律总结
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．
1．(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
解析 如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝(x0－1)，所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，
将此代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝(舍)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
(2)如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y＝2px1，y＝2px2.
又因为|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.
所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＋x2＋2p≠0，所以x1＝x2.
即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，
所以AB⊥x轴，
所以y1＝x1tan 30°＝x1.
又因为x1＝，所以y1＝2p.
而|AB|＝2y1＝4p即为所求边长．
答案 (1)4 (2)见解析
过点(－3，2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
【自主解答】 显然，直线斜率k存在，设直线方程为
y－2＝k(x＋3)，
由消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根，所以即解得k＝或k＝－1.
则直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为y＝2或x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
●规律总结
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛