2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用学案新人教A版选修1_1
文档属性
| 名称 | 2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用学案新人教A版选修1_1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-06 23:21:52 | ||
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文档简介
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
§3.1.1 变化率问题
§3.1.2 导数的概念
[课标解读]
1．通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率．
2．了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数．(难点)
3．理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵．(重点)
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝．
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
＝
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
3.导数的概念
定义式
＝
记法
f′(x0)或y′|x＝x0
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
知识点一 函数的平均变化率
探究1：观察右图，回答下列问题，明确平均变化率的定义．
(1)图中已知的两点分别是(x1，f(x1))与(x2，f(x2))，在区间[x1，x2]上，自变量的改变量是x2－x1，函数值的改变量是f(x2)－f(x1)．
(2)根据(1)中的内容考虑，此函数在区间[x1，x2]的平均变化率是什么？
提示 由图结合(1)可知，此函数在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
探究2：据平均变化率的定义及表达式＝，回答下列问题：
(1)表达式中Δx，Δy的取值情况是怎样的？
提示 Δx是自变量从x1到x2的增量，可以用x1＋Δx代替x2，Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为零，Δy是相应函数值的增量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.
(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率＝的几何意义是什么？
提示 连接函数图像上对应两点的割线的斜率．
知识点二 物体在某一时刻的平均速度、瞬时速度与函数的瞬时变化率与导数
探究1：根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：
(1)如何计算物体的平均速度？
提示 一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在[t1，t2]这个时间段内的平均速度为.
(2)如何计算物体的瞬时速度？
提示 瞬时速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为 .
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx无限趋近于0时，无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？
提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
【自主解答】 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
●规律总结
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.
(3)得平均变化率＝.
1．求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求x0＝1，Δx＝时函数的平均变化率的值．
解析 当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数的平均变化率的值为4×1＋2×＝5.
(1)函数y＝在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝－1，＝＝，
＝，
所以y′|x＝1＝.
(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.
② ＝[3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，即y′|t1＝4＝48.
【答案】 (1) (2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．Ｋ
2．根据导数的定义求下列函数的导数．
(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；
(2)求函数y＝在x＝a(a≠0)处的导数．
解析 (1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx.
∴y′|x＝1＝ (2＋Δx)＝2.
(2)Δy＝f(a＋Δx)－f(a)
＝－＝
＝－.
∴＝－·＝－.
∴y′|x＝a＝ ＝－.
若一物体的运动方程为s＝
(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【解析】 (1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以＝＝3Δt－12，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为
s′(1)＝ ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．
●规律总结
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
3．一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2)．
解析 自由落体的运动公式是s＝gt2(其中g是重力加速度)，
Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，＝29.4＋4.9Δt.
所以v＝ ＝ (29.4＋4.9Δt)＝29.4(m/s)．
说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速率下降．
易错误区(七) 导数的概念理解不明
已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则 ＝________．
【解析】
＝
＝2
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
【答案】 8
[易错防范]
1．本题中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．
2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：
＝－ ＝－f′(x0)．
若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么
的值为________．
解析
＝
＝ ＋
＝2 ＋2
＝2m＋2m＝4m.
答案 4m
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
解析 ＝＝12＋2Δt.
答案 C
2．f(x)在x＝x0处可导，则
A．与x0、h有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
解析 ＝f′(x0)，因此仅与x0有关．
答案 B
3．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．8 m/s
解析 v＝
＝ ＝ (8＋2Δt)＝8(m/s)．
答案 D
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
解析 k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
答案 D
5．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
解析 ＝ ＝f′(1)．
答案 C
6．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx.∴＝Δx＋2.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．
解析 ∵f′(x)＝＝
＝ ＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案 3
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析 ∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案 2
9．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析 由函数f(x)的图像知，
f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1，4)及附近一点(1＋Δx，4＋Δy)．
求：(1)；(2)f′(1)．
解析 (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
11．(10分)若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
解析 根据导数的定义：
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝[2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)]－(2×x＋4x0)
＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，
∴f′(x0)＝lim
＝lim
＝lim (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.
12．(15分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解析 (1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17.
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.
(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
§3.1.3 导数的几何意义
[课标解读]
1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)
2．会求导函数．(重点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
知识点一 导数的几何意义
探究1：观察图形，思考下列问题，明确切线与割线的关系．
(1)当P1，P2，P3，…，Pn的位置逐渐靠近点P时，割线PPn的位置与PT的位置有什么关系？
提示 割线PPn逐渐接近PT.
(2)设点P(x0，y0)，Pn(xn，yn)，则kPPn是多少？你能知道kPT是多少吗？
提示 据两点间的斜率公式知kPPn＝＝，kPT的值不知道，但当Pn接近于点P时，割线PPn接近于PT，可以用kPPn近似地表示kPT.
探究2：据切线的定义，探究以下问题．
(1)曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？
提示 在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上．
(2)过一点与一条曲线相切的直线只有一条吗？
提示 不一定，如过点(0，－1)与y＝bx2(b>0)相切的直线有两条．
知识点二 导函数的概念
探究1：据函数在某点处导数的定义，探究以下问题：
(1)已知函数y＝x2，完成下表：
x
1
2
3
4
5
6
f′(x)
2
4
6
8
10
12
(2)据(1)中的表格，根据函数的定义考虑f′(x)是否是关于x的函数？
提示 是，由函数的定义知，当x取某一个数时，f′(x)都有唯一的数与之对应，故f′(x)是关于x的函数．
探究2：根据导函数的概念，回答下列问题：
(1)y＝f(x)＝x2与y＝f′(x)＝2x的定义域是否相同？
提示 相同，均为R.
(2)对于一个函数，如何求其导函数？
提示 求导函数的依据是函数在某点处导数的求法，即可利用y′＝f′(x)＝ 求函数的导函数．
已知曲线y＝x3，求曲线在点P(3，9)处的切线方程．
【自主解答】 由y＝x3，得
y′＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3，9)处的切线的斜率等于9.
由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为
y－9＝9(x－3)，即9x－y－18＝0.
●规律总结
1.求曲线上某一点处的切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ .
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．Ｋ
1．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
解析 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋近于2a，所以，所求切线的斜率为2a.因此＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
(1)已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．
(2)曲线y＝x2＋1在点P(x0，y0)处的切线斜率为2，求点P(x0，y0)的坐标．
【自主解答】 (1)因为y＝，所以y′＝ ＝ ＝.
令＝，得x＝1，所以切点的坐标为.
(2)设f(x)＝x2＋1，则
＝＝Δx＋2x0，
当Δx→0时，→2x0.令2x0＝2，解得x0＝1.所以点P的坐标为(1，2)．
【答案】 (1) (2)见自主解答
●规律总结
曲线切点坐标的求法
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；
(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．
2．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
解析 设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝x0＝4x0.
根据题意得4x0＝8，x0＝2，
分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，得y0＝8＋a＝1，得故所求切点为P(2，1)，a＝－7.
(1)曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是________．
(2)求抛物线C1：y＝x2＋2x与抛物线C2：y＝－x2－的公切线方程．
【解析】 (1)由得所以曲线y＝和y＝x2的交点坐标是(1，1)，y＝的导数为
y′＝＝＝－，
所以y′|x＝1＝－1，切线方程是y＝－x＋2，
y＝x2的导数为y′＝＝2x，y′|x＝1＝2，切线方程为y＝2x－1，两条切线与x轴的交点坐标分别为(2，0)和，故它们与x轴所围成的三角形的面积S＝××1＝.
(2)对y＝x2＋2x求导，根据导数的定义可得，y′＝2x＋2，对y＝－x2－求导，根据导数的定义可得，y′＝－2x，设公切线与抛物线C1：y＝x2＋2x的切点为(x0，y0)，与抛物线C2：y＝－x2－的切点为(x1，y1)，
依题意可得方程组
解得x0＝－，y0＝－，
所以公切线方程为y＋＝，
即4x－4y－1＝0.
【答案】 (1) (2)见解析
●规律总结
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是常设的未知量．
3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解析 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
＝3x＋2ax0－9，
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
规范解答(七) 用导数的定义求切线的方程
(12分)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f(x)相切的直线方程．
【审题指导】
―→
―→
―→
【规范解答】
y′＝
＝3x2－3.(2分)
设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则切线l的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，所以切线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．(4分)
又切线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
所以2x－3x＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.(6分)
故所求直线斜率为k＝3x－3＝0或k＝3x－3＝－，
于是y－(－2)＝0·(x－1)或y－(－2)＝－(x－1)，
即y＝－2或y＝－x＋.(10分)
故过点P(1，－2)的切线方程为y＝－2或y＝－x＋.(12分)
曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________ .
解析 ∵y＝f(x)＝，x0＝－1，
∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－(－1)
＝.
∴＝，f′(－1)＝ ＝ ＝2.
∴切线斜率k＝2，由点斜式可得切线方程为
y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
解析 根据导数的几何意义可知选项C正确．
答案 C
2．曲线y＝x2－2x＋4在点(1，3)处的切线的斜率为
A．0 B．1 C．－1 D.
解析 k＝f′(1)＝
＝＝Δx＝0.
答案 A
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为
A．(－2，1) B．(0，－7)
C．(2，1) D．(3，11)
解析 设P点坐标为(x0，2x－7)，
则f′(x0)＝
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
∴4x0＝8，∴x0＝2.∴P(2，1)．
答案 C
4．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x)＝0 D．f′(x0)不存在
解析 由y＝－3x－5知f′(x0)＝－3<0.
答案 B
5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则在点P处的切线方程为
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
解析 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
答案 A
6．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D．(－，－)
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝－1在点A处的切线的斜率为________．
解析 Δy＝－＝＝，
∴＝－，即k＝＝＝－.
答案 －
8．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．
解析 由于切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.
答案 0
9．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案 3
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处的切线方程．
解析 由方程组得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时Δx＋2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2.
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
11．(10分)求抛物线y＝x2上的一点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解析 根据题意可得，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
根据定义可求导数y′|x＝x0＝2x|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为.
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
12．(15分)已知点M(0，－1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解析 (1)y＝f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(2)＝
＝
＝＝0，
∴曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线斜率为0，
而l与此切线平行，故l的斜率也为0.
又l过点M(0，－1)，∴直线l的方程为y＝－1.
(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y＝－1为准线，
设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
§3.2 导数的计算
§3.2.1 几个常用函数的导数
§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[课标解读]
1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则．(重点)
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．(重点、易混点)
1．几个常用函数的导数
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
2.基本初等函数的导数公式
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x) ＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x) ＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
商的导数
′＝
知识点一 几个常用函数的导数
探究1：观察函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图像，完成下列问题．熟记正比例函数的导数．
(1)根据导数的几何意义，y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是什么？
提示 y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(2)在这三个函数中，谁增长得最快，谁增长得最慢？
提示 y＝4x增长得最快，y＝2x增长得最慢．
探究2：根据函数y＝x2与y＝的图像，完成下列问题，体会图像的变化与导数之间的关系．明确导数正负与函数单调性的关系．
(1)在(0，＋∞)上，函数y＝x2是增函数，y＝是减函数．在(－∞，0)上，函数y＝x2是减函数，y＝是减函数．(填“增函数”或“减函数”)
(2)在问题(1)的基础上考虑，函数y＝x2的导数的正负与函数的增减性有关吗？y＝呢？
提示 有关．因为y＝x2的导数是y′＝2x，当x>0时，y′>0，函数y＝x2是增函数，当x<0时，y′<0，函数y＝x2是减函数，故可知导数的正负与函数的增减性有关．同理可知，y＝的增减性也与导数的正负有关．
知识点二 导数的运算法则
观察导数的运算法则的形式特点，完成下面的探究．
探究1：两个函数和与差的导数与两个函数的导数有什么关系．
提示 两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形．
探究2：利用导数的运算法则，试推导y＝tan x的导数．
提示 y′＝(tan x)′＝′＝
＝＝.
求下列函数的导数：
(1)y＝x20；(2)y＝；(3)y＝sin ；
(4)y＝log6x；(5)y＝.
【自主解答】 (1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19；
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
(3)y′＝′＝′＝0；
(4)y′＝(log6x)′＝；
(5)y′＝′＝′＝－x－－1
＝－x－.
●规律总结
利用求导公式求函数的导数的两个关注点
(1)直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解．
(2)变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，将其进行合理转化为可以直接利用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝2cos sin .
解析 (1)y′＝(x·x)′＝(x)′＝x－1＝x＝；
(2)y′＝′＝(sin x)′＝cos x.
(1)已知函数f(x)＝sin ＋＋2x，则f′(1)＝________．
(2)求下列函数的导数．
①y＝x2sin x；②y＝.
【自主解答】 (1)因为f′(x)＝0＋＋2xln 2，
所以f′(1)＝＋2ln 2.
(2)①y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
②y′＝
＝＝.
【答案】 (1)＋2ln 2 (2)见自主解答
●规律总结
利用导数运算法则求函数的导数的两个策略
(1)熟记公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简单，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；
(4)y＝.
解析 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
解法二 ∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一 y′＝′
＝
＝＝.
解法二 ∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(4)y′＝′＝′
＝2x－2－.
已知函数f(x)＝x3＋x－16，
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解析】 (1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，
所以点(2，－6)在曲线上．
又f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为：y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又因为直线l过点(0，0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k＝3×(－2)2＋1＝13，
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
●规律总结
(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
②准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
(2)常见的两个问题
①已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，两种情况一定要分清楚．
②如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断．
(3)关于导数运算法则的应用的解题策略
导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明等，其核心仍是导数函数，因此需利用导数知识结合导数的运算法则进行转化，再结合其他的知识求解．
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
答案 D
易错误区(八) 不能正确应用导数的运算法则致误
设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是互不相等的常数)，则＋＋等于
A．0 B．1 C．3 D．a＋b＋c
【解析】 根据题意，由于函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，
则可知f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)[(x－b)(x－c)]′，所以f′(a)＝(a－b)(a－c)，
同理可知f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)，
那么可知，＋＋
＝＋＋
＝＋
＋
＝＋
＝＋＝0.
【答案】 A
[易错防范]
1．将公式(uv)′＝u′v＋uv′错误理解为(uv)′＝u′v′而致结果不正确，错选为D.
2．熟记导数运算法则
求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错．例如，本例可利用积的导数运算法则求，但要注意应用准确．
3．求导时常用的技巧
利用导数的四则运算求导时，应先把原式进行恒等变形再进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式，这样容易化简计算．
已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．
解析 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
答案 120
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知f(x)＝ln x＋t，则f′(x)等于
A．ln x＋1 B.＋1 C.＋t D.
解析 ∵f(x)＝t＋ln x，∴f′(x)＝(ln x)′＝.
答案 D
2．函数f(x)＝(2πx)2的导数是
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝4π2x
C．f′(x)＝8π2x D．f′(x)＝16πx
解析 ∵f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
∴f′(x)＝(4π2x2)′＝4π2(x2)′＝8π2x.
答案 C
3．下列结论：
①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(exln x)′＝ex；④(ln x2)′＝(x＞0)．
其中正确的个数有
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 利用导数公式(sin x)′＝cos x，①错；
′＝－x－2＝－，②错；
(exln x)′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′
＝exln x＋ex＝ex，③正确；
(ln x2)′＝(2ln x)′＝，④错．故应选B.
答案 B
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(1)＝4a＋2b＝2，
∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
答案 B
5．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析 ∵y＝x3＋11，∴y′＝3x2，
∴切线斜率k＝y′＝3，
∴切线方程为y＝3x＋9，它与y轴交点的纵坐标为9.
答案 C
6．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于
A．0 B．1 C. D．不存在
解析 由于f(x)＝，∴f(x0)＝，
f′(x)＝＝，
∴f′(x0)＝.
依题意知f(x0)＋f′(x0)＝0，
∴＋＝0，
即＝0，
∴2x0－1＝0，得x0＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．
解析 y′＝3x2－4，k＝y′)＝－1，
即tan α＝－1，∴α＝.
答案
8．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析 先求f′(x)，再求字母a的值．
f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 3
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析 ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，∴an＝lgn－lg(n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
答案 －2
三、解答题(共35分)
10．(15分)求下列函数的导(函)数．
(1)y＝x－5； (2)y＝4x；
(3)y＝ ； (4)y＝log3x；
(5)y＝sin； (6)y＝cos ；
(7)y＝cos(2π－x)．
解析 (1)y′＝(x－5)′＝－5x－6.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)∵y＝x·x·x＝x，∴y′＝x－.
(4)y′＝(log3x)′＝.
(5)∵y＝sin＝cos x，
∴y′＝－sin x.
(6)y′＝′＝0.
(7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x，
∴y′＝－sin x.
11．(10分)已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解析 ∵直线l过原点，
∴直线l的斜率k＝(x0≠0)．
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2.
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′)＝3x－6x0＋2.
∴3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.
∵x0≠0，∴x0＝，此时y0＝－，k＝－.
因此直线l的方程为y＝－x，切点坐标为.
12．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析 因为f(1)＝1，所以a＋b＋c＝1.①
又f′(x)＝2ax＋b，f′(2)＝1，所以4a＋b＝1.②
又切点(2，－1)在抛物线上，所以4a＋2b＋c＝－1.③
把①②③联立得方程组
解得即a＝3，b＝－11，c＝9.§3.3 导数在研究函数中的应用
§3.3.1 函数的单调性与导数
[课标解读]
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易错点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值
函数值变化
函数的图像
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
知识点 导数与函数的单调性
探究1：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导函数正负的关系．
(1)观察图像，完成下列填空．
图①中的函数y＝x的导函数y′＝1，此函数的单调增区间为(－∞，＋∞)；
图②中的函数y＝x2的导函数y′＝2x，此函数的单调增区间为(0，＋∞)；单调减区间为(－∞，0)；
图③中的函数y＝x3的导函数y′＝3x2，此函数的单调增区间为(－∞，＋∞)；
图④中的函数y＝的导函数y′＝－，此函数的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？
提示 根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数．
探究2：根据函数的单调性与导数之间的关系，完成以下问题．
(1)在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？
提示 不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件．
(2)利用导数求函数单调区间时，能否忽视定义域？
提示 首先需要确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.
已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图像中为y＝f(x)的大致图像的是
【自主解答】 由题图知：当x<－1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
当－10，∴f′(x)<0，
函数y＝f(x)单调递减；
当0函数y＝f(x)单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
y＝f(x)单调递增．
【答案】 C
●规律总结
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
1．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是
解析 由导函数图像知：
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减；
当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B.
答案 B
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x－x3；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
【自主解答】 (1)∵f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，
解法一 当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；
当f′(x)＜0，即x＜－1或x＞1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
解法二 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜1时，f′(x)＞0；
当x＞1时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝6x－＝＝，
又∵x＞0，∴令f′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.
所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.
●规律总结
求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈(0，2π)；
(2)f(x)＝2x－ln x.
解析 (1)∵f′(x)＝＋cos x，
∴令f′(x)>0得＋cos x>0，即cos x>－.
又∵x∈(0，2π)，∴0同理，令f′(x)<0，得π∴该函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)＝2－.
令2－>0，解得x>；
令2－<0，解得0∴该函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(1)已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为f′(x)＝3x2－k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍去，所以k>0.
令f′(x)＝0，则x＝±.
因为在(－3，－1)上函数不单调，
所以－3<－<－1，即3(2)函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1，4)内为减函数，所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时， f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的范围为[5，7]．
【答案】 (1)(3，27) (2)见解析
●规律总结
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．
解析 f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)．
①当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去．
②当a<0时，由f′(x)≤0得a≤x≤0，即f(x)的减区间为，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去．
③当a>0时，由f′(x)≤0得0≤x≤a，即f(x)的减区间为.由y＝f(x)在[0，2]内单调递减得a≥2得a≥3.
综上可知，a的取值范围是[3，＋∞).
易错误区(九) 误用函数单调递增(减)的充要条件致误
已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
【解析】 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝不符合题意舍去．所以a的取值范围为a<.
故实数a的取值范围为.
【答案】
[易错防范]
1．没有对a＝进行验证，不能正确理解导数小于0是函数递减的充分条件，进而导致范围扩大的错误．
2．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)且f′(x)在区间D任一子区间上不恒为零．本例中利用f′(x)≤0构造关于参数a的不等式，求得a的范围，再验证等号成立时，f(x)是否符合要求．
设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数，
∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立．
即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立．
又－3x2<－3，∴a≥－3.
答案 [－3，＋∞)
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析 f′(x)＝1－cos x＞0，∴f(x)在(0，2π)上递增．故选A.
答案 A
2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是
A. (－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3答案 D
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有
A．f(2)C．f(3)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋>0，所以f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案 A
4．函数f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是
解析 从原函数y＝f(x)的图像可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.
结合选项可知，只有D项满足．
答案 D
5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，则当x<0时，有
A．f′(x)≥0 B．f′(x)>0
C．f′(x)≤0 D．f′(x)<0
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图像关于原点对称，
∵当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f′(x)>0.
答案 B
6．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析 据题意，由f′(x)答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间是________．
解析 函数的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)．
令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1，
所以函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间为
(－∞，－2)，(1，＋∞)．
答案 (－∞，－2)，(1，＋∞)
8．如果函数y＝f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是________．
解析 显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝4x－＝.由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由y′<0，得函数f(x)的递减区间为，又由题意知此函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，故0，解得1答案
9．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
解析 对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
答案 ③
三、解答题(共35分)
10．(10分)求函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
解析 函数的定义域为{x|x≠0}．
当a>0时，f′(x)＝1－＝，
令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－因此，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间是(－，0)和(0，)．
11．(10分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值．
解析 (1)f′(x)＝3(x－1)(x－2)，令f′(x)>0，所以x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)；令f′(x)<0，得x∈(1，2)，故函数f(x)的单调减区间为(1，2)．
(2)由题意可知m≤f′(x)min，
又因为f′(x)＝3－≥－，
所以m≤－.
故m的最大值为－.
12．(15分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
解析 (1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．
(2)由于x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
§3.3.2 函数的极值与导数
[课标解读]
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点)
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点、易错点)
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．
(3)结论：点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．
(3)结论：点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极大值与极小值统称为极值．
4．可导函数在某点取得极值的必要条件
可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的必要条件是f′(x)＝0．
5．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
知识点 函数的极值
探究1：如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，请根据图像完成下列问题：
(1)请写出函数y＝f(x)在区间[－2，5]上的单调区间．
提示 由y＝f(x)导数的图像知，f(x)在区间[－2，－1]和[2，4]上f′(x)≤0，在[－1，2]，[4，5]上f′(x)≥0，故函数y＝f(x)的单调递减区间为[－2，－1]和[2，4]，递增区间为[－1，2]和[4，5]．
(2)函数y＝f(x)在[－2，5]上有没有极值点，若有，请指出极值点．
提示 在x＝－1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，故x＝2是f(x)的极大值点，在x＝4的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝4是f(x)的极小值点．
探究2：根据函数极值的概念，回答下列问题：
(1)函数的极值点是否只能有一个？区间的端点能不能成为函数的极值点？
提示 函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有；极值点是函数定义域中的点，因而端点不可能是极值点．
(2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？
提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点．
(3)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是什么？
提示 f′(x0)＝0，且在x0的左、右两侧，f′(x)的符号不同．
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝.
【自主解答】 (1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值－6
单调递增?
故当x＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－6.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
故当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.
●规律总结
1．求极值的步骤
(1)求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
(2)用f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．
2．表格给出了当x变化时y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．
1．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
解析 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
f(－2)＝16
极小值
f(2)＝－16
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.
当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为R，f′(x)＝
＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值－3
?
极大值－1
?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，
且f(－1)＝－2＝－3，
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
(1)已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
(2)(2018·北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
②若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，所以a<0.
(2)①因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝(2ax－3a－1)ex＋[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
所以f′(2)＝[4a－2(a＋1)＋1]e2＝(2a－1)e2.
又由题知，f′(2)＝0，所以a＝.
②由①知，f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex，
(ⅰ)若a<0，当x∈时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
此时，x＝1为f(x)的极大值点．
(ⅱ)若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时x＝1为f(x)的极小值点．
(ⅲ)若0≤a≤1，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时x＝1为f(x)的极大值点．
所以，综上a的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】 (1)(－∞，0) (2)见自主解答
●规律总结
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(其中m为常数，x∈R)．
(1)当m＝4时，求函数的极值点和极值；
(2)若函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围．
解析 函数的定义域为R.
(1)当m＝4时，f(x)＝x3－x2＋10x，
∴f′(x)＝x2－7x＋10，
令f′(x)＝0，解得x＝5或x＝2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，5)
5
(5，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
由表知，函数的极大值点是x＝2，极大值是；
函数的极小值点是x＝5，极小值是.
(2)∵f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6，
∴要使函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个极值点，
则有方程f′(x)＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数根．
即，解得m＞3.∴m＞3.
已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图像与函数y＝k的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，所以
解得b＝1，c＝－5.经验证，b＝1，c＝－5符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f′(x)＝3x2＋2x－5.
当f′(x)＝0得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
根据表格，当x＝－时函数取得极大值且极大值为f＝，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
根据题意结合上图可知k的取值范围为.
●规律总结
1．三次函数有极值的充要条件
三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值?导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac>0.
2．三次函数的单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时，①若a>0，则f(x)在R上是增函数；
②若a<0，则f(x)在R上是减函数．
(2)当Δ>0时，①若a>0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；②若a<0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值(如图所示).
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0
3．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
解析 (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
a－2
?
a＋2
?
由表可知函数f(x)的极小值为
f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，故f(x)＝0恰有两实根时a＋2＝0或a－2＝0，∴a＝±2.
规范解答(八) 用极值求解含有参数的函数问题
(12分)已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值.
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
【审题流程】
―→
―→解析式中含有参数a，且对数式中的真数是x＋a，函数在x＝0处取得极值，方程f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根
―→令函数g(x)＝f(x)＋b，其图像在区间[－1，1]上与x轴有两个不同的交点，可求出函数的极值，利用数形结合求解参数b的范围
【规范解答】
(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．(4分)
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．(6分)
g(x)与g′(x)在(－2，＋∞)的变化情况如下表：
x
(－2，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0取得极大值，极大值为2ln 2＋b.(8分)
结合图像可知，要使f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，只需：(10分)
即
所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2，2－2ln 3)．(12分)
已知函数f(x)＝ax2＋bln x，其中ab≠0.求函数有极值时，a，b满足的条件．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax＋＝.
若函数f(x)有极值，首先f′(x)＝0，
即2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根．
因为ab≠0，x2＝－，所以当ab＜0时，
2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根x＝ .
又当a＞0，b＜0时，f′(x)在x＝ 两侧的符号是左负右正，此时函数f(x)在x＝ 处取得极小值；
当a＜0，b＞0时，f′(x)在x＝ 两侧的符号是左正右负，此时函数f(x)在x＝ 处取得极大值．
综上，函数f(x)＝ax2＋bln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是
A．－7 B．7
C．3 D．－3
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝0时，f(x)取极大值f(0)＝7.
答案 B
2．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(1，－6)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为
A．1 B．0
C．－5 D．5
解析 设f(x)＝x4－2x2＋c，
又f(x)的图像过点(1，－6)，
∴c＝－5.∴f(x)＝x4－2x2－5.
又f′(x)＝0时，x＝0或1或－1，
∴当函数f(x)取得极大值－5，即f(x)＝－5时，x＝0.
答案 B
3．设函数f(x)＝＋ln x，则
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析 ∵f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．
答案 D
4．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1是f(x)的零点 B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值 D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上
解析 结合二次函数图像，根据零点、极值与极值点、点在函数图像上的定义与性质将各结论转化为关于a，b，c的方程，看是否有符合条件的解，从而进行判断．
A中－1是f(x)的零点，则有a－b＋c＝0.①
B中1是f(x)的极值点，则有b＝－2a.②
C中3是f(x)的极值，则有＝3.③
D中点(2，8)在曲线y＝f(x)上，则有4a＋2b＋c＝8.④
联立①②③解得a＝－，b＝，c＝.
联立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，从而可判断A错误，故选A.
答案 A
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则
A．a＞－3 B．a＜－3
C．a＞－ D．a＜－
解析 f′(x)＝3＋aeax，若函数有大于零的极值点，则f′(x)＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln，由x＞0得a＜－3.
答案 B
6．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于
A. B. C. D.
解析 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析 由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
答案 y＝－
8．函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是________．
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2mx＋1，
f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，
∴f′(x)≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝(2m)2－4×3×1≤0?－≤m≤.
答案 [－，]
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．
解析 依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.
由图像可知，当x＜0时，f′(x)＜0，
当0＜x＜2时，f′(x)＞0，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案 c
三、解答题(共35分)
10．(10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
又g(x)是奇函数，所以g(0)＝－c＝0，
g(－x)＝－g(x)，得b－3＝0，
所以b＝3，c＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x3－6x，
所以g′(x)＝3x2－6，
令g′(x)＝0，得x＝±，
令g′(x)>0，得x<－或x>；
令g′(x)<0，得－所以(－∞，－)，(，＋∞)是函数g(x)的递增区间，(－，)是函数g(x)的递减区间，函数g(x)在x＝－处取得极大值为4；在x＝处，取得极小值为－4.
11．(10分)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0可知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
12．(15分)已知函数f(x)＝x3－x2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)画出它的大致图像；
(3)指出y＝f(x)零点的个数．
解析 (1)由已知得f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝，极小值是f(1)＝－1.
(2)当x→－∞时，f(x)→－∞；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞.
令f(x)＝0得x＝0或.结合函数的单调性及极值可画出f(x)的大致图像，如图．
(3)由图像可知函数f(x)图像与x轴有3个交点，即y＝f(x)有3个零点．
§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
[课标解读]
1．理解函数的最值的概念．(难点)
2．了解函数的最值与极值的区别和联系．(易混点)
3．掌握用导数求函数的最值的方法和步骤．(重点)
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有最大值和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点 函数的最值
探究1：观察函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像，思考下列问题，分析极值与最值的关系：
(1)指出函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值点．
提示 从图像观察知，f(x)在[a，b]的极大值点为x2，x4，极小值点为x1，x3，x5，比较极大、小值及端点的函数值得函数在x＝b处取得最大值，故最大值点为b，同理可知，函数的最小值点为x3.
(2)求函数在[a，b]上的最值时，是否需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值？
提示 不需要．只需将各导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
探究2：根据函数最值的概念，探究以下问题：
(1)函数的极值是否一定是函数的最值？
提示 不一定．端点值也可能是函数的最值．
(2)若连续函数f(x)在区间[a，b]上有唯一的极值点且为极小值点x0，则f(x0)是否是最小值？
提示 是．函数y＝f(x)在[a，x0]上单调递减，在[x0，b]上单调递增，故f(x)在x0点取得最小值，f(x0)是最小值.
求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
【自主解答】 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，)
(，3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
10
?
－8
?
18
因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，
解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
π
π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
极大值＋
?极小值π－
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
●规律总结
求函数最值的四个步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化率．
第四步：求极值、端点值，确定最值．
1．求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的极值及最大值与最小值．
解析 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
4
单调递减?
极小值－
单调递增?
1
∴函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上有极小值且f(x)极小值＝－，最大值为4，最小值为－.
已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．
【自主解答】 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
∴当x＝0时，f(x)max＝3.
●规律总结
已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
2．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
(2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．
当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24.故得a≤.
反之，当a≤时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)＝(2x2＋x－10)＝(2x＋5)(x－2)≤0，而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
综上，a的取值范围为.
题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥1恒成立，求k的值．
【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
所以当xln 2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
(2)因为f′(x)＝kekx－2，
①当k<0时，f′(x)恒小于零，则f(x)在R上单调递减；
因为当x>0时，f(x)②当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，
当x<ln 时，f′(x)<0，
可知f(x)在上单调递减，
当x>ln 时，f′(x)>0，
可知f(x)在上单调递增，
所以f(x)的最小值为f＝－ln .
因为f(x)≥1恒成立，即f(x)min≥1恒成立，
所以－ln ≥1，
构造函数g(x)＝x－xln x(x>0)，则有g≥1.
因为g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得最大值，
结合g≥1，所以＝1，所以k＝2.
●规律总结
分离参数求解不等式恒成立问题
3．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
解析 (1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝.令g′(x)＝0得x＝1.
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立?g(a)－1<，即ln a<1，从而得0
规范解答(九) 求解与函数最值有关的综合问题
(12分)已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
【审题流程】
―→
―→由函数在x＝1处取极值可得a，b的值，利用导数求f(x)的最小值，可建立c的不等关系
―→
【规范解答】
由题意知f(1)＝－3－c，
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.(1分)
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．(3分)
由题意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，(5分)
从而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.(6分)
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．(7分)
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3－c，
并且此极小值也是最小值．(8分)
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．(10分)
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.(11分)第三步：f(x)≥－2c2恒成立转化为[f(x)]min≥－2c2成立
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.(12分)
设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．
解析 (1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，即，
解得，∴所求a，b的值分别为－，－.
(2)由(1)知f(x)＝－x＋＋ln x在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min.
由f′(x)＝－－＋＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)＜0，
故f(x)在上单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，
故f(x)在上单调递增；
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(1，2)上单调递减．
∴f是f(x)在上的极小值．
而f＝＋ln ＝－ln 2，f(2)＝－＋ln 2，
且f－f(2)＝－ln 4＝ln e－ln 4.
又e3－16＞0，∴ln e－ln 4＞0，
∴在上f(x)min＝f(2)，∴c≥f(x)min＝－＋ln 2.
∴c的取值范围为，
所以c的最小值为－＋ln 2.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
A．5，15 B．5，－4
C．5，－16 D．5，－15
解析 ∵y′＝6x2－6x－12，
∴令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.
故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，
而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
故最大值为5，最小值为－15.
答案 D
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析 由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，
解得x＝0或x＝2，
又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，
所以f(x)max＝m＝3，
f(x)min＝f(－2)＝m－40＝3－40＝－37.
答案 A
3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
答案 A
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为
A．2 B．3
C. D．2＋
解析 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0，1)时，f′(x)<0；x∈(1，5]时，f′(x)>0，∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
答案 B
5．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为
A．0 B. C. D.
解析 ∵y′＝1－2sin x，
解y′＞0得sin x＜，故0≤x＜，
解y′＜0得sin x＞，故＜x≤，
∴原函数在上单调递增，在上单调递减，
当x＝时函数取极大值，
同时也为最大值．
答案 B
6．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
解析 令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．
解析 f′(x)＝－＋1＝，
当x∈[1，3]时，f′(x)>0.
故f(x)在[1，3]上为增函数，
又f(1)＝，f(3)＝，∴函数f(x)的值域为.
答案
8．已知：f(x)＝x·ex，x∈[－2，2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析 f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0得：x＝－1.
f(－2)＝－2×e－2＝，
f(－1)＝－1×e－1＝－，
f(2)＝2·e2.
所以M＝2·e2，m＝.∴M＋m＝2e2－.
答案 2e2－
9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.由f′(x)<0得00得x>，∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f()＝1＋2ln ＝1＋ln a．∵f(x)≥2恒成立，∴f(x)min≥2，即1＋ln a≥2，∴a≥e.
答案 [e，＋∞)
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．
解析 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得：
f′(x)＝3x2＋2ax.
∵f′(x)的图像关于直线x＝1对称，∴－＝1.
∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，
f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x在[－1，2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－2
?
2
?
－2
由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.
11．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解析 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9
＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＜0，则－3(x＋1)(x－3)＜0，
解得x＜－1或x＞3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又x∈[－2，2]，∴x＝－1.
当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；
当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2，2]上的最小值，
即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22＞a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7.
12．(15分)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q})表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．
解析 (1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2.
又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.
(2)当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．理由：
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0，1]时，h(x)<0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1，2)时，h′(x)>1－>0，
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增．
所以当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．
(3)由(2)知，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x∈(0，x0)时，f(x)g(x)，
所以m(x)＝
当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；
若x∈(1，x0)，由m′(x)＝ln x＋＋1>0，
可知0当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，
可得x∈(x0，2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；
x∈(2，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)综上可得，函数m(x)的最大值为.
§3.4 生活中的优化问题
(1)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是________m3.
(2)如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y＝－x2＋2，x∈[－2，2]的图像切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值．
【自主解答】 (1)设该长方体的宽是x m，由题意知，其长是2x m，高是＝m，则该长方体的体积V(x)＝x·2x·＝－6x3＋9x2，由V′(x)＝0，得到x＝1，且当00；当1所以该长方体体积的最大值是3 m3.
(2)设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(0由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC的方程为y＝2.因为y＝－x2＋2，所以y′＝－x，所以y′|x＝t＝－t，
所以直线AB的方程为y－＝－t(x－t)，
即：y＝－tx＋t2＋2，令y＝0得，x＝，所以A.
令y＝2得，x＝t，所以B，
所以S＝××2×2＝2t＋.S′＝2－，令S′＝0得t＝.
当0＜t＜时，S′＜0；当＜t≤2时，S′＞0.
故当t＝时，S有最小值为4.
所以梯形ABCD的面积的最小值为4.
【答案】 (1)3 (2)见自主解答
●规律总结
1．解决面积、体积最值问题的思路
解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．利用导数解决优化问题的基本思路
3．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
解析 设广告牌的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，由此得y＝＋25.
广告牌面积为S(x)＝x＝＋25x，
∴S′(x)＝＋25＝＋25.
令S′(x)>0，得x>140，令S′(x)<0，得20∴函数S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24 500，
故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1) 试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【自主解答】 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1，所以，
y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝m＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
●规律总结
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．
2．(1)圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为________．
(2)某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
解析 (1)设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2.
由V＝πR2h，得h＝，则S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，
从而h＝＝＝ ＝2，即h＝2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．
(2)设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝元．因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋＝800＋160ln x＋(x>0)，所以g′(x)＝(x>0)．
令g′(x)＝0，则x＝8，当08时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．
答案 (1)2∶1 (2)见解析
某公司为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
【解析】 (1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设?
§3.1 变化率与导数
§3.1.1 变化率问题
§3.1.2 导数的概念
[课标解读]
1．通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率．
2．了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数．(难点)
3．理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵．(重点)
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝．
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
＝
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
3.导数的概念
定义式
＝
记法
f′(x0)或y′|x＝x0
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
知识点一 函数的平均变化率
探究1：观察右图，回答下列问题，明确平均变化率的定义．
(1)图中已知的两点分别是(x1，f(x1))与(x2，f(x2))，在区间[x1，x2]上，自变量的改变量是x2－x1，函数值的改变量是f(x2)－f(x1)．
(2)根据(1)中的内容考虑，此函数在区间[x1，x2]的平均变化率是什么？
提示 由图结合(1)可知，此函数在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
探究2：据平均变化率的定义及表达式＝，回答下列问题：
(1)表达式中Δx，Δy的取值情况是怎样的？
提示 Δx是自变量从x1到x2的增量，可以用x1＋Δx代替x2，Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为零，Δy是相应函数值的增量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.
(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率＝的几何意义是什么？
提示 连接函数图像上对应两点的割线的斜率．
知识点二 物体在某一时刻的平均速度、瞬时速度与函数的瞬时变化率与导数
探究1：根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：
(1)如何计算物体的平均速度？
提示 一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在[t1，t2]这个时间段内的平均速度为.
(2)如何计算物体的瞬时速度？
提示 瞬时速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为 .
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx无限趋近于0时，无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？
提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
【自主解答】 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
●规律总结
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.
(3)得平均变化率＝.
1．求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求x0＝1，Δx＝时函数的平均变化率的值．
解析 当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数的平均变化率的值为4×1＋2×＝5.
(1)函数y＝在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝－1，＝＝，
＝，
所以y′|x＝1＝.
(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.
② ＝[3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，即y′|t1＝4＝48.
【答案】 (1) (2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．Ｋ
2．根据导数的定义求下列函数的导数．
(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；
(2)求函数y＝在x＝a(a≠0)处的导数．
解析 (1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx.
∴y′|x＝1＝ (2＋Δx)＝2.
(2)Δy＝f(a＋Δx)－f(a)
＝－＝
＝－.
∴＝－·＝－.
∴y′|x＝a＝ ＝－.
若一物体的运动方程为s＝
(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【解析】 (1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以＝＝3Δt－12，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为
s′(1)＝ ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．
●规律总结
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
3．一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2)．
解析 自由落体的运动公式是s＝gt2(其中g是重力加速度)，
Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，＝29.4＋4.9Δt.
所以v＝ ＝ (29.4＋4.9Δt)＝29.4(m/s)．
说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速率下降．
易错误区(七) 导数的概念理解不明
已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则 ＝________．
【解析】
＝
＝2
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
【答案】 8
[易错防范]
1．本题中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．
2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：
＝－ ＝－f′(x0)．
若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么
的值为________．
解析
＝
＝ ＋
＝2 ＋2
＝2m＋2m＝4m.
答案 4m
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
解析 ＝＝12＋2Δt.
答案 C
2．f(x)在x＝x0处可导，则
A．与x0、h有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
解析 ＝f′(x0)，因此仅与x0有关．
答案 B
3．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．8 m/s
解析 v＝
＝ ＝ (8＋2Δt)＝8(m/s)．
答案 D
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为
A．k1>k2 B．k1
解析 k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
答案 D
5．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
解析 ＝ ＝f′(1)．
答案 C
6．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx.∴＝Δx＋2.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．
解析 ∵f′(x)＝＝
＝ ＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案 3
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析 ∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案 2
9．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析 由函数f(x)的图像知，
f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1，4)及附近一点(1＋Δx，4＋Δy)．
求：(1)；(2)f′(1)．
解析 (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
11．(10分)若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
解析 根据导数的定义：
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝[2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)]－(2×x＋4x0)
＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，
∴f′(x0)＝lim
＝lim
＝lim (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.
12．(15分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解析 (1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17.
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.
(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
§3.1.3 导数的几何意义
[课标解读]
1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)
2．会求导函数．(重点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
知识点一 导数的几何意义
探究1：观察图形，思考下列问题，明确切线与割线的关系．
(1)当P1，P2，P3，…，Pn的位置逐渐靠近点P时，割线PPn的位置与PT的位置有什么关系？
提示 割线PPn逐渐接近PT.
(2)设点P(x0，y0)，Pn(xn，yn)，则kPPn是多少？你能知道kPT是多少吗？
提示 据两点间的斜率公式知kPPn＝＝，kPT的值不知道，但当Pn接近于点P时，割线PPn接近于PT，可以用kPPn近似地表示kPT.
探究2：据切线的定义，探究以下问题．
(1)曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？
提示 在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上．
(2)过一点与一条曲线相切的直线只有一条吗？
提示 不一定，如过点(0，－1)与y＝bx2(b>0)相切的直线有两条．
知识点二 导函数的概念
探究1：据函数在某点处导数的定义，探究以下问题：
(1)已知函数y＝x2，完成下表：
x
1
2
3
4
5
6
f′(x)
2
4
6
8
10
12
(2)据(1)中的表格，根据函数的定义考虑f′(x)是否是关于x的函数？
提示 是，由函数的定义知，当x取某一个数时，f′(x)都有唯一的数与之对应，故f′(x)是关于x的函数．
探究2：根据导函数的概念，回答下列问题：
(1)y＝f(x)＝x2与y＝f′(x)＝2x的定义域是否相同？
提示 相同，均为R.
(2)对于一个函数，如何求其导函数？
提示 求导函数的依据是函数在某点处导数的求法，即可利用y′＝f′(x)＝ 求函数的导函数．
已知曲线y＝x3，求曲线在点P(3，9)处的切线方程．
【自主解答】 由y＝x3，得
y′＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3，9)处的切线的斜率等于9.
由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为
y－9＝9(x－3)，即9x－y－18＝0.
●规律总结
1.求曲线上某一点处的切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ .
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．Ｋ
1．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
解析 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋近于2a，所以，所求切线的斜率为2a.因此＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
(1)已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．
(2)曲线y＝x2＋1在点P(x0，y0)处的切线斜率为2，求点P(x0，y0)的坐标．
【自主解答】 (1)因为y＝，所以y′＝ ＝ ＝.
令＝，得x＝1，所以切点的坐标为.
(2)设f(x)＝x2＋1，则
＝＝Δx＋2x0，
当Δx→0时，→2x0.令2x0＝2，解得x0＝1.所以点P的坐标为(1，2)．
【答案】 (1) (2)见自主解答
●规律总结
曲线切点坐标的求法
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；
(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．
2．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
解析 设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝x0＝4x0.
根据题意得4x0＝8，x0＝2，
分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，得y0＝8＋a＝1，得故所求切点为P(2，1)，a＝－7.
(1)曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是________．
(2)求抛物线C1：y＝x2＋2x与抛物线C2：y＝－x2－的公切线方程．
【解析】 (1)由得所以曲线y＝和y＝x2的交点坐标是(1，1)，y＝的导数为
y′＝＝＝－，
所以y′|x＝1＝－1，切线方程是y＝－x＋2，
y＝x2的导数为y′＝＝2x，y′|x＝1＝2，切线方程为y＝2x－1，两条切线与x轴的交点坐标分别为(2，0)和，故它们与x轴所围成的三角形的面积S＝××1＝.
(2)对y＝x2＋2x求导，根据导数的定义可得，y′＝2x＋2，对y＝－x2－求导，根据导数的定义可得，y′＝－2x，设公切线与抛物线C1：y＝x2＋2x的切点为(x0，y0)，与抛物线C2：y＝－x2－的切点为(x1，y1)，
依题意可得方程组
解得x0＝－，y0＝－，
所以公切线方程为y＋＝，
即4x－4y－1＝0.
【答案】 (1) (2)见解析
●规律总结
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是常设的未知量．
3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解析 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
＝3x＋2ax0－9，
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
规范解答(七) 用导数的定义求切线的方程
(12分)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f(x)相切的直线方程．
【审题指导】
―→
―→
―→
【规范解答】
y′＝
＝3x2－3.(2分)
设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则切线l的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，所以切线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．(4分)
又切线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
所以2x－3x＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.(6分)
故所求直线斜率为k＝3x－3＝0或k＝3x－3＝－，
于是y－(－2)＝0·(x－1)或y－(－2)＝－(x－1)，
即y＝－2或y＝－x＋.(10分)
故过点P(1，－2)的切线方程为y＝－2或y＝－x＋.(12分)
曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________ .
解析 ∵y＝f(x)＝，x0＝－1，
∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－(－1)
＝.
∴＝，f′(－1)＝ ＝ ＝2.
∴切线斜率k＝2，由点斜式可得切线方程为
y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
解析 根据导数的几何意义可知选项C正确．
答案 C
2．曲线y＝x2－2x＋4在点(1，3)处的切线的斜率为
A．0 B．1 C．－1 D.
解析 k＝f′(1)＝
＝＝Δx＝0.
答案 A
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为
A．(－2，1) B．(0，－7)
C．(2，1) D．(3，11)
解析 设P点坐标为(x0，2x－7)，
则f′(x0)＝
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
∴4x0＝8，∴x0＝2.∴P(2，1)．
答案 C
4．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x)＝0 D．f′(x0)不存在
解析 由y＝－3x－5知f′(x0)＝－3<0.
答案 B
5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则在点P处的切线方程为
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
解析 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
答案 A
6．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D．(－，－)
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝－1在点A处的切线的斜率为________．
解析 Δy＝－＝＝，
∴＝－，即k＝＝＝－.
答案 －
8．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．
解析 由于切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.
答案 0
9．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案 3
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处的切线方程．
解析 由方程组得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时Δx＋2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2.
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
11．(10分)求抛物线y＝x2上的一点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解析 根据题意可得，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
根据定义可求导数y′|x＝x0＝2x|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为.
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
12．(15分)已知点M(0，－1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解析 (1)y＝f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(2)＝
＝
＝＝0，
∴曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线斜率为0，
而l与此切线平行，故l的斜率也为0.
又l过点M(0，－1)，∴直线l的方程为y＝－1.
(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y＝－1为准线，
设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
§3.2 导数的计算
§3.2.1 几个常用函数的导数
§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[课标解读]
1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则．(重点)
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．(重点、易混点)
1．几个常用函数的导数
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
2.基本初等函数的导数公式
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x) ＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x) ＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
商的导数
′＝
知识点一 几个常用函数的导数
探究1：观察函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图像，完成下列问题．熟记正比例函数的导数．
(1)根据导数的几何意义，y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是什么？
提示 y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(2)在这三个函数中，谁增长得最快，谁增长得最慢？
提示 y＝4x增长得最快，y＝2x增长得最慢．
探究2：根据函数y＝x2与y＝的图像，完成下列问题，体会图像的变化与导数之间的关系．明确导数正负与函数单调性的关系．
(1)在(0，＋∞)上，函数y＝x2是增函数，y＝是减函数．在(－∞，0)上，函数y＝x2是减函数，y＝是减函数．(填“增函数”或“减函数”)
(2)在问题(1)的基础上考虑，函数y＝x2的导数的正负与函数的增减性有关吗？y＝呢？
提示 有关．因为y＝x2的导数是y′＝2x，当x>0时，y′>0，函数y＝x2是增函数，当x<0时，y′<0，函数y＝x2是减函数，故可知导数的正负与函数的增减性有关．同理可知，y＝的增减性也与导数的正负有关．
知识点二 导数的运算法则
观察导数的运算法则的形式特点，完成下面的探究．
探究1：两个函数和与差的导数与两个函数的导数有什么关系．
提示 两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形．
探究2：利用导数的运算法则，试推导y＝tan x的导数．
提示 y′＝(tan x)′＝′＝
＝＝.
求下列函数的导数：
(1)y＝x20；(2)y＝；(3)y＝sin ；
(4)y＝log6x；(5)y＝.
【自主解答】 (1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19；
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
(3)y′＝′＝′＝0；
(4)y′＝(log6x)′＝；
(5)y′＝′＝′＝－x－－1
＝－x－.
●规律总结
利用求导公式求函数的导数的两个关注点
(1)直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解．
(2)变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，将其进行合理转化为可以直接利用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝2cos sin .
解析 (1)y′＝(x·x)′＝(x)′＝x－1＝x＝；
(2)y′＝′＝(sin x)′＝cos x.
(1)已知函数f(x)＝sin ＋＋2x，则f′(1)＝________．
(2)求下列函数的导数．
①y＝x2sin x；②y＝.
【自主解答】 (1)因为f′(x)＝0＋＋2xln 2，
所以f′(1)＝＋2ln 2.
(2)①y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
②y′＝
＝＝.
【答案】 (1)＋2ln 2 (2)见自主解答
●规律总结
利用导数运算法则求函数的导数的两个策略
(1)熟记公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简单，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；
(4)y＝.
解析 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
解法二 ∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一 y′＝′
＝
＝＝.
解法二 ∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(4)y′＝′＝′
＝2x－2－.
已知函数f(x)＝x3＋x－16，
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解析】 (1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，
所以点(2，－6)在曲线上．
又f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为：y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又因为直线l过点(0，0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k＝3×(－2)2＋1＝13，
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
●规律总结
(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
②准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
(2)常见的两个问题
①已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，两种情况一定要分清楚．
②如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断．
(3)关于导数运算法则的应用的解题策略
导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明等，其核心仍是导数函数，因此需利用导数知识结合导数的运算法则进行转化，再结合其他的知识求解．
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
答案 D
易错误区(八) 不能正确应用导数的运算法则致误
设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是互不相等的常数)，则＋＋等于
A．0 B．1 C．3 D．a＋b＋c
【解析】 根据题意，由于函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，
则可知f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)[(x－b)(x－c)]′，所以f′(a)＝(a－b)(a－c)，
同理可知f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)，
那么可知，＋＋
＝＋＋
＝＋
＋
＝＋
＝＋＝0.
【答案】 A
[易错防范]
1．将公式(uv)′＝u′v＋uv′错误理解为(uv)′＝u′v′而致结果不正确，错选为D.
2．熟记导数运算法则
求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错．例如，本例可利用积的导数运算法则求，但要注意应用准确．
3．求导时常用的技巧
利用导数的四则运算求导时，应先把原式进行恒等变形再进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式，这样容易化简计算．
已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．
解析 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
答案 120
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知f(x)＝ln x＋t，则f′(x)等于
A．ln x＋1 B.＋1 C.＋t D.
解析 ∵f(x)＝t＋ln x，∴f′(x)＝(ln x)′＝.
答案 D
2．函数f(x)＝(2πx)2的导数是
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝4π2x
C．f′(x)＝8π2x D．f′(x)＝16πx
解析 ∵f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
∴f′(x)＝(4π2x2)′＝4π2(x2)′＝8π2x.
答案 C
3．下列结论：
①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(exln x)′＝ex；④(ln x2)′＝(x＞0)．
其中正确的个数有
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 利用导数公式(sin x)′＝cos x，①错；
′＝－x－2＝－，②错；
(exln x)′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′
＝exln x＋ex＝ex，③正确；
(ln x2)′＝(2ln x)′＝，④错．故应选B.
答案 B
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(1)＝4a＋2b＝2，
∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
答案 B
5．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析 ∵y＝x3＋11，∴y′＝3x2，
∴切线斜率k＝y′＝3，
∴切线方程为y＝3x＋9，它与y轴交点的纵坐标为9.
答案 C
6．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于
A．0 B．1 C. D．不存在
解析 由于f(x)＝，∴f(x0)＝，
f′(x)＝＝，
∴f′(x0)＝.
依题意知f(x0)＋f′(x0)＝0，
∴＋＝0，
即＝0，
∴2x0－1＝0，得x0＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．
解析 y′＝3x2－4，k＝y′)＝－1，
即tan α＝－1，∴α＝.
答案
8．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析 先求f′(x)，再求字母a的值．
f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 3
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析 ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，∴an＝lgn－lg(n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
答案 －2
三、解答题(共35分)
10．(15分)求下列函数的导(函)数．
(1)y＝x－5； (2)y＝4x；
(3)y＝ ； (4)y＝log3x；
(5)y＝sin； (6)y＝cos ；
(7)y＝cos(2π－x)．
解析 (1)y′＝(x－5)′＝－5x－6.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)∵y＝x·x·x＝x，∴y′＝x－.
(4)y′＝(log3x)′＝.
(5)∵y＝sin＝cos x，
∴y′＝－sin x.
(6)y′＝′＝0.
(7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x，
∴y′＝－sin x.
11．(10分)已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解析 ∵直线l过原点，
∴直线l的斜率k＝(x0≠0)．
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2.
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′)＝3x－6x0＋2.
∴3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.
∵x0≠0，∴x0＝，此时y0＝－，k＝－.
因此直线l的方程为y＝－x，切点坐标为.
12．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析 因为f(1)＝1，所以a＋b＋c＝1.①
又f′(x)＝2ax＋b，f′(2)＝1，所以4a＋b＝1.②
又切点(2，－1)在抛物线上，所以4a＋2b＋c＝－1.③
把①②③联立得方程组
解得即a＝3，b＝－11，c＝9.§3.3 导数在研究函数中的应用
§3.3.1 函数的单调性与导数
[课标解读]
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易错点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值
函数值变化
函数的图像
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
知识点 导数与函数的单调性
探究1：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导函数正负的关系．
(1)观察图像，完成下列填空．
图①中的函数y＝x的导函数y′＝1，此函数的单调增区间为(－∞，＋∞)；
图②中的函数y＝x2的导函数y′＝2x，此函数的单调增区间为(0，＋∞)；单调减区间为(－∞，0)；
图③中的函数y＝x3的导函数y′＝3x2，此函数的单调增区间为(－∞，＋∞)；
图④中的函数y＝的导函数y′＝－，此函数的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？
提示 根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数．
探究2：根据函数的单调性与导数之间的关系，完成以下问题．
(1)在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？
提示 不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件．
(2)利用导数求函数单调区间时，能否忽视定义域？
提示 首先需要确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.
已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图像中为y＝f(x)的大致图像的是
【自主解答】 由题图知：当x<－1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
当－1
函数y＝f(x)单调递减；
当0
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
y＝f(x)单调递增．
【答案】 C
●规律总结
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
1．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是
解析 由导函数图像知：
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减；
当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B.
答案 B
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x－x3；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
【自主解答】 (1)∵f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，
解法一 当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；
当f′(x)＜0，即x＜－1或x＞1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
解法二 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜1时，f′(x)＞0；
当x＞1时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝6x－＝＝，
又∵x＞0，∴令f′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.
所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.
●规律总结
求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈(0，2π)；
(2)f(x)＝2x－ln x.
解析 (1)∵f′(x)＝＋cos x，
∴令f′(x)>0得＋cos x>0，即cos x>－.
又∵x∈(0，2π)，∴0
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)＝2－.
令2－>0，解得x>；
令2－<0，解得0
(1)已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为f′(x)＝3x2－k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍去，所以k>0.
令f′(x)＝0，则x＝±.
因为在(－3，－1)上函数不单调，
所以－3<－<－1，即3
【答案】 (1)(3，27) (2)见解析
●规律总结
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．
解析 f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)．
①当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去．
②当a<0时，由f′(x)≤0得a≤x≤0，即f(x)的减区间为，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去．
③当a>0时，由f′(x)≤0得0≤x≤a，即f(x)的减区间为.由y＝f(x)在[0，2]内单调递减得a≥2得a≥3.
综上可知，a的取值范围是[3，＋∞).
易错误区(九) 误用函数单调递增(减)的充要条件致误
已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
【解析】 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝不符合题意舍去．所以a的取值范围为a<.
故实数a的取值范围为.
【答案】
[易错防范]
1．没有对a＝进行验证，不能正确理解导数小于0是函数递减的充分条件，进而导致范围扩大的错误．
2．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)且f′(x)在区间D任一子区间上不恒为零．本例中利用f′(x)≤0构造关于参数a的不等式，求得a的范围，再验证等号成立时，f(x)是否符合要求．
设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数，
∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立．
即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立．
又－3x2<－3，∴a≥－3.
答案 [－3，＋∞)
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析 f′(x)＝1－cos x＞0，∴f(x)在(0，2π)上递增．故选A.
答案 A
2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是
A. (－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有
A．f(2)
4．函数f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是
解析 从原函数y＝f(x)的图像可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.
结合选项可知，只有D项满足．
答案 D
5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，则当x<0时，有
A．f′(x)≥0 B．f′(x)>0
C．f′(x)≤0 D．f′(x)<0
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图像关于原点对称，
∵当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f′(x)>0.
答案 B
6．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析 据题意，由f′(x)
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间是________．
解析 函数的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)．
令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1，
所以函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间为
(－∞，－2)，(1，＋∞)．
答案 (－∞，－2)，(1，＋∞)
8．如果函数y＝f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是________．
解析 显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝4x－＝.由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由y′<0，得函数f(x)的递减区间为，又由题意知此函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，故0
9．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
解析 对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
答案 ③
三、解答题(共35分)
10．(10分)求函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
解析 函数的定义域为{x|x≠0}．
当a>0时，f′(x)＝1－＝，
令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－
单调递减区间是(－，0)和(0，)．
11．(10分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值．
解析 (1)f′(x)＝3(x－1)(x－2)，令f′(x)>0，所以x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)；令f′(x)<0，得x∈(1，2)，故函数f(x)的单调减区间为(1，2)．
(2)由题意可知m≤f′(x)min，
又因为f′(x)＝3－≥－，
所以m≤－.
故m的最大值为－.
12．(15分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
解析 (1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．
(2)由于x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
§3.3.2 函数的极值与导数
[课标解读]
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点)
2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点、易错点)
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．
(3)结论：点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．
(3)结论：点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极大值与极小值统称为极值．
4．可导函数在某点取得极值的必要条件
可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的必要条件是f′(x)＝0．
5．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
知识点 函数的极值
探究1：如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，请根据图像完成下列问题：
(1)请写出函数y＝f(x)在区间[－2，5]上的单调区间．
提示 由y＝f(x)导数的图像知，f(x)在区间[－2，－1]和[2，4]上f′(x)≤0，在[－1，2]，[4，5]上f′(x)≥0，故函数y＝f(x)的单调递减区间为[－2，－1]和[2，4]，递增区间为[－1，2]和[4，5]．
(2)函数y＝f(x)在[－2，5]上有没有极值点，若有，请指出极值点．
提示 在x＝－1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，故x＝2是f(x)的极大值点，在x＝4的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝4是f(x)的极小值点．
探究2：根据函数极值的概念，回答下列问题：
(1)函数的极值点是否只能有一个？区间的端点能不能成为函数的极值点？
提示 函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有；极值点是函数定义域中的点，因而端点不可能是极值点．
(2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？
提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点．
(3)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是什么？
提示 f′(x0)＝0，且在x0的左、右两侧，f′(x)的符号不同．
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝.
【自主解答】 (1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值－6
单调递增?
故当x＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－6.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
故当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.
●规律总结
1．求极值的步骤
(1)求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
(2)用f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．
2．表格给出了当x变化时y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．
1．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
解析 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
f(－2)＝16
极小值
f(2)＝－16
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.
当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为R，f′(x)＝
＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值－3
?
极大值－1
?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，
且f(－1)＝－2＝－3，
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
(1)已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
(2)(2018·北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
②若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，所以a<0.
(2)①因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝(2ax－3a－1)ex＋[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
所以f′(2)＝[4a－2(a＋1)＋1]e2＝(2a－1)e2.
又由题知，f′(2)＝0，所以a＝.
②由①知，f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex，
(ⅰ)若a<0，当x∈时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
此时，x＝1为f(x)的极大值点．
(ⅱ)若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时x＝1为f(x)的极小值点．
(ⅲ)若0≤a≤1，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时x＝1为f(x)的极大值点．
所以，综上a的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】 (1)(－∞，0) (2)见自主解答
●规律总结
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(其中m为常数，x∈R)．
(1)当m＝4时，求函数的极值点和极值；
(2)若函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围．
解析 函数的定义域为R.
(1)当m＝4时，f(x)＝x3－x2＋10x，
∴f′(x)＝x2－7x＋10，
令f′(x)＝0，解得x＝5或x＝2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，5)
5
(5，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
由表知，函数的极大值点是x＝2，极大值是；
函数的极小值点是x＝5，极小值是.
(2)∵f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6，
∴要使函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个极值点，
则有方程f′(x)＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数根．
即，解得m＞3.∴m＞3.
已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图像与函数y＝k的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，所以
解得b＝1，c＝－5.经验证，b＝1，c＝－5符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f′(x)＝3x2＋2x－5.
当f′(x)＝0得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
根据表格，当x＝－时函数取得极大值且极大值为f＝，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
根据题意结合上图可知k的取值范围为.
●规律总结
1．三次函数有极值的充要条件
三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值?导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac>0.
2．三次函数的单调性与极值(设x1
②若a<0，则f(x)在R上是减函数．
(2)当Δ>0时，①若a>0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；②若a<0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值(如图所示).
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0
3．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
解析 (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
a－2
?
a＋2
?
由表可知函数f(x)的极小值为
f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，故f(x)＝0恰有两实根时a＋2＝0或a－2＝0，∴a＝±2.
规范解答(八) 用极值求解含有参数的函数问题
(12分)已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值.
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
【审题流程】
―→
―→解析式中含有参数a，且对数式中的真数是x＋a，函数在x＝0处取得极值，方程f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根
―→令函数g(x)＝f(x)＋b，其图像在区间[－1，1]上与x轴有两个不同的交点，可求出函数的极值，利用数形结合求解参数b的范围
【规范解答】
(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．(4分)
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．(6分)
g(x)与g′(x)在(－2，＋∞)的变化情况如下表：
x
(－2，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0取得极大值，极大值为2ln 2＋b.(8分)
结合图像可知，要使f(x)＋b＝0在区间[－1，1]上恰有两个不同的实数根，只需：(10分)
即
所以－2ln 2
已知函数f(x)＝ax2＋bln x，其中ab≠0.求函数有极值时，a，b满足的条件．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax＋＝.
若函数f(x)有极值，首先f′(x)＝0，
即2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根．
因为ab≠0，x2＝－，所以当ab＜0时，
2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根x＝ .
又当a＞0，b＜0时，f′(x)在x＝ 两侧的符号是左负右正，此时函数f(x)在x＝ 处取得极小值；
当a＜0，b＞0时，f′(x)在x＝ 两侧的符号是左正右负，此时函数f(x)在x＝ 处取得极大值．
综上，函数f(x)＝ax2＋bln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是
A．－7 B．7
C．3 D．－3
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝0时，f(x)取极大值f(0)＝7.
答案 B
2．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(1，－6)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为
A．1 B．0
C．－5 D．5
解析 设f(x)＝x4－2x2＋c，
又f(x)的图像过点(1，－6)，
∴c＝－5.∴f(x)＝x4－2x2－5.
又f′(x)＝0时，x＝0或1或－1，
∴当函数f(x)取得极大值－5，即f(x)＝－5时，x＝0.
答案 B
3．设函数f(x)＝＋ln x，则
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析 ∵f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．
答案 D
4．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1是f(x)的零点 B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值 D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上
解析 结合二次函数图像，根据零点、极值与极值点、点在函数图像上的定义与性质将各结论转化为关于a，b，c的方程，看是否有符合条件的解，从而进行判断．
A中－1是f(x)的零点，则有a－b＋c＝0.①
B中1是f(x)的极值点，则有b＝－2a.②
C中3是f(x)的极值，则有＝3.③
D中点(2，8)在曲线y＝f(x)上，则有4a＋2b＋c＝8.④
联立①②③解得a＝－，b＝，c＝.
联立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，从而可判断A错误，故选A.
答案 A
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则
A．a＞－3 B．a＜－3
C．a＞－ D．a＜－
解析 f′(x)＝3＋aeax，若函数有大于零的极值点，则f′(x)＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln，由x＞0得a＜－3.
答案 B
6．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于
A. B. C. D.
解析 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析 由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
答案 y＝－
8．函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是________．
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2mx＋1，
f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，
∴f′(x)≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝(2m)2－4×3×1≤0?－≤m≤.
答案 [－，]
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．
解析 依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.
由图像可知，当x＜0时，f′(x)＜0，
当0＜x＜2时，f′(x)＞0，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案 c
三、解答题(共35分)
10．(10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
又g(x)是奇函数，所以g(0)＝－c＝0，
g(－x)＝－g(x)，得b－3＝0，
所以b＝3，c＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x3－6x，
所以g′(x)＝3x2－6，
令g′(x)＝0，得x＝±，
令g′(x)>0，得x<－或x>；
令g′(x)<0，得－
11．(10分)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0可知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
12．(15分)已知函数f(x)＝x3－x2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)画出它的大致图像；
(3)指出y＝f(x)零点的个数．
解析 (1)由已知得f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝，极小值是f(1)＝－1.
(2)当x→－∞时，f(x)→－∞；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞.
令f(x)＝0得x＝0或.结合函数的单调性及极值可画出f(x)的大致图像，如图．
(3)由图像可知函数f(x)图像与x轴有3个交点，即y＝f(x)有3个零点．
§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
[课标解读]
1．理解函数的最值的概念．(难点)
2．了解函数的最值与极值的区别和联系．(易混点)
3．掌握用导数求函数的最值的方法和步骤．(重点)
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有最大值和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点 函数的最值
探究1：观察函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像，思考下列问题，分析极值与最值的关系：
(1)指出函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值点．
提示 从图像观察知，f(x)在[a，b]的极大值点为x2，x4，极小值点为x1，x3，x5，比较极大、小值及端点的函数值得函数在x＝b处取得最大值，故最大值点为b，同理可知，函数的最小值点为x3.
(2)求函数在[a，b]上的最值时，是否需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值？
提示 不需要．只需将各导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
探究2：根据函数最值的概念，探究以下问题：
(1)函数的极值是否一定是函数的最值？
提示 不一定．端点值也可能是函数的最值．
(2)若连续函数f(x)在区间[a，b]上有唯一的极值点且为极小值点x0，则f(x0)是否是最小值？
提示 是．函数y＝f(x)在[a，x0]上单调递减，在[x0，b]上单调递增，故f(x)在x0点取得最小值，f(x0)是最小值.
求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
【自主解答】 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，)
(，3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
10
?
－8
?
18
因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，
解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
π
π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
极大值＋
?极小值π－
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
●规律总结
求函数最值的四个步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化率．
第四步：求极值、端点值，确定最值．
1．求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上的极值及最大值与最小值．
解析 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
4
单调递减?
极小值－
单调递增?
1
∴函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，3]上有极小值且f(x)极小值＝－，最大值为4，最小值为－.
已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．
【自主解答】 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
∴当x＝0时，f(x)max＝3.
●规律总结
已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
2．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
(2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．
当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24.故得a≤.
反之，当a≤时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)＝(2x2＋x－10)＝(2x＋5)(x－2)≤0，而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
综上，a的取值范围为.
题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥1恒成立，求k的值．
【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
所以当x
(2)因为f′(x)＝kekx－2，
①当k<0时，f′(x)恒小于零，则f(x)在R上单调递减；
因为当x>0时，f(x)
当x<ln 时，f′(x)<0，
可知f(x)在上单调递减，
当x>ln 时，f′(x)>0，
可知f(x)在上单调递增，
所以f(x)的最小值为f＝－ln .
因为f(x)≥1恒成立，即f(x)min≥1恒成立，
所以－ln ≥1，
构造函数g(x)＝x－xln x(x>0)，则有g≥1.
因为g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得最大值，
结合g≥1，所以＝1，所以k＝2.
●规律总结
分离参数求解不等式恒成立问题
3．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
解析 (1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝.令g′(x)＝0得x＝1.
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立?g(a)－1<，即ln a<1，从而得0
规范解答(九) 求解与函数最值有关的综合问题
(12分)已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
【审题流程】
―→
―→由函数在x＝1处取极值可得a，b的值，利用导数求f(x)的最小值，可建立c的不等关系
―→
【规范解答】
由题意知f(1)＝－3－c，
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.(1分)
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．(3分)
由题意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，(5分)
从而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.(6分)
当0
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3－c，
并且此极小值也是最小值．(8分)
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．(10分)
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.(11分)第三步：f(x)≥－2c2恒成立转化为[f(x)]min≥－2c2成立
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.(12分)
设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．
解析 (1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，即，
解得，∴所求a，b的值分别为－，－.
(2)由(1)知f(x)＝－x＋＋ln x在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min.
由f′(x)＝－－＋＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)＜0，
故f(x)在上单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，
故f(x)在上单调递增；
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(1，2)上单调递减．
∴f是f(x)在上的极小值．
而f＝＋ln ＝－ln 2，f(2)＝－＋ln 2，
且f－f(2)＝－ln 4＝ln e－ln 4.
又e3－16＞0，∴ln e－ln 4＞0，
∴在上f(x)min＝f(2)，∴c≥f(x)min＝－＋ln 2.
∴c的取值范围为，
所以c的最小值为－＋ln 2.
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
A．5，15 B．5，－4
C．5，－16 D．5，－15
解析 ∵y′＝6x2－6x－12，
∴令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.
故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，
而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
故最大值为5，最小值为－15.
答案 D
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析 由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，
解得x＝0或x＝2，
又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，
所以f(x)max＝m＝3，
f(x)min＝f(－2)＝m－40＝3－40＝－37.
答案 A
3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
答案 A
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为
A．2 B．3
C. D．2＋
解析 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0，1)时，f′(x)<0；x∈(1，5]时，f′(x)>0，∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
答案 B
5．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为
A．0 B. C. D.
解析 ∵y′＝1－2sin x，
解y′＞0得sin x＜，故0≤x＜，
解y′＜0得sin x＞，故＜x≤，
∴原函数在上单调递增，在上单调递减，
当x＝时函数取极大值，
同时也为最大值．
答案 B
6．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
解析 令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．
解析 f′(x)＝－＋1＝，
当x∈[1，3]时，f′(x)>0.
故f(x)在[1，3]上为增函数，
又f(1)＝，f(3)＝，∴函数f(x)的值域为.
答案
8．已知：f(x)＝x·ex，x∈[－2，2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析 f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0得：x＝－1.
f(－2)＝－2×e－2＝，
f(－1)＝－1×e－1＝－，
f(2)＝2·e2.
所以M＝2·e2，m＝.∴M＋m＝2e2－.
答案 2e2－
9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.由f′(x)<0得0
答案 [e，＋∞)
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．
解析 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得：
f′(x)＝3x2＋2ax.
∵f′(x)的图像关于直线x＝1对称，∴－＝1.
∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，
f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x在[－1，2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－2
?
2
?
－2
由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.
11．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解析 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9
＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＜0，则－3(x＋1)(x－3)＜0，
解得x＜－1或x＞3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又x∈[－2，2]，∴x＝－1.
当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；
当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2，2]上的最小值，
即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22＞a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7.
12．(15分)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q})表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．
解析 (1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2.
又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.
(2)当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．理由：
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0，1]时，h(x)<0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1，2)时，h′(x)>1－>0，
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增．
所以当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．
(3)由(2)知，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x∈(0，x0)时，f(x)
所以m(x)＝
当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；
若x∈(1，x0)，由m′(x)＝ln x＋＋1>0，
可知0
可得x∈(x0，2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；
x∈(2，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)
§3.4 生活中的优化问题
(1)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是________m3.
(2)如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y＝－x2＋2，x∈[－2，2]的图像切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值．
【自主解答】 (1)设该长方体的宽是x m，由题意知，其长是2x m，高是＝m，则该长方体的体积V(x)＝x·2x·＝－6x3＋9x2，由V′(x)＝0，得到x＝1，且当0
(2)设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(0
所以直线AB的方程为y－＝－t(x－t)，
即：y＝－tx＋t2＋2，令y＝0得，x＝，所以A.
令y＝2得，x＝t，所以B，
所以S＝××2×2＝2t＋.S′＝2－，令S′＝0得t＝.
当0＜t＜时，S′＜0；当＜t≤2时，S′＞0.
故当t＝时，S有最小值为4.
所以梯形ABCD的面积的最小值为4.
【答案】 (1)3 (2)见自主解答
●规律总结
1．解决面积、体积最值问题的思路
解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．利用导数解决优化问题的基本思路
3．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
解析 设广告牌的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，由此得y＝＋25.
广告牌面积为S(x)＝x＝＋25x，
∴S′(x)＝＋25＝＋25.
令S′(x)>0，得x>140，令S′(x)<0，得20
当x＝140时，y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24 500，
故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1) 试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【自主解答】 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1，所以，
y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝m＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
●规律总结
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．
2．(1)圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为________．
(2)某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
解析 (1)设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2.
由V＝πR2h，得h＝，则S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，
从而h＝＝＝ ＝2，即h＝2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．
(2)设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝元．因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋＝800＋160ln x＋(x>0)，所以g′(x)＝(x>0)．
令g′(x)＝0，则x＝8，当0
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．
答案 (1)2∶1 (2)见解析
某公司为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
【解析】 (1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设?